2.5.2 圆与圆的位置关系 教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦圆与圆的位置关系，涵盖相交、相切、相离三种类型及几何法、代数法两种判断方法。通过日食图片导入，回顾直线与圆位置关系，类比迁移构建学习支架，衔接旧知与新知。 特色在于几何直观与代数验证融合，用几何画板演示两圆运动培养直观想象，推导圆心距与半径和差关系发展逻辑推理，轨迹例题设动点坐标建方程体现模型意识。启发探究式教学提升学生数学运算能力，为教师提供清晰路径，助力重点突破。

人教A版 2.5.2 圆与圆的位置关系 高二 教学设计-2026-2027学年 选择性必修第一册 数学 教学目标 1. 理解两圆相交、相切、相离的三种位置关系及其几何特征，掌握利用圆心距 与两圆半径 、 的和差大小关系判断圆与圆位置关系的方法。 2. 能够通过代数方法联立两圆方程分析解的个数，培养直观想象与数学运算素养，并运用轨迹方程思想解决动点与圆的位置关系问题。 教学方法 本节课采用启发式与探究式相结合的教学方法。教师通过引导学生回顾直线与圆的位置关系研究路径，类比迁移至圆与圆的位置关系探究。课堂以几何直观为基础，辅以代数方程联立验证，帮助学生建立数形结合思想。在教学过程中，组织学生进行小组讨论与自主演算，经历从定性到定量、从几何特征到代数刻度的认知过程，提升学生的逻辑推理与数学运算能力。 教学过程 课题名 圆与圆的位置关系 课 型 新授课 课时数 1 授课时间 教材版本 人教A版选择性必修第一册 授课对象 高二学生 授课教师 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 对应知识点 时间分配 备注 复习导入 展示日食现象图片，引导学生回顾直线与圆的位置关系及其判断方法，引出圆与圆的位置关系课题。 观察图片，回顾直线与圆相离、相切、相交的几何特征与代数判断方法。 通过生活实例激发兴趣，建立类比探究的起点。 两圆的三种位置关系 5分钟 概念探究 利用几何画板演示两圆相对运动过程，引导学生归纳两圆的公共点个数变化规律。 观察运动过程，根据公共点个数归纳出相交、相切、相离三种位置关系。 从直观现象抽象出几何定义，培养直观想象素养。 两圆的三种位置关系 8分钟 方法推导 引导学生在相切与相离状态下找出圆心距与半径和差的关系，板书推导过程。 在草稿纸上画图测量，推导圆心距 与 、 的大小关系。 经历从定性到定量的探究过程，建立代数判断标准。 判断方法二 10分钟 代数验证 讲解联立两圆方程并通过消元得到一元二次方程，利用判别式判断解的个数的方法。 跟随教师演算，理解 、、 分别对应的位置关系。 建立几何特征与代数方程解的对应，深化数形结合思想。 判断方法一、判别式法 7分钟 例题精讲 出示例题，引导学生分别用几何法与代数法求解，规范书写步骤。 独立思考并在练习本上完成演算，同桌互查步骤。 巩固两种判断方法，提升数学运算与逻辑推理能力。 判断方法一、判断方法二 10分钟 轨迹探究 出示动点轨迹例题，引导学生设动点坐标并化简方程，判断轨迹与圆的位置关系。 设动点坐标 ，根据距离条件建立方程并化简。 突破教学难点，综合运用轨迹思想与位置关系判断。 用轨迹方程研究动点轨迹 3分钟 课堂小结 引导学生回顾本节课的知识框架与核心方法。 自主梳理知识点，构建知识网络。 完善认知结构，提炼思想方法。 全节知识点 1分钟 作业布置 布置教材课后习题及补充题。 记录作业要求。 巩固所学，反馈教学效果。 全节知识点 1分钟 1. 复习导入。教师活动：教师在黑板上画出两个圆，通过移动其中一个圆改变两圆位置，提问学生观察两圆公共点个数的变化情况。同时回顾直线与圆位置关系的研究路径。学生活动：学生观察图形变化，发现两圆没有公共点、有一个公共点、有两个公共点三种情况。设计意图：通过直观几何演示唤醒已有经验，自然引出本节课课题。 2. 概念探究。教师活动：教师引导学生根据公共点个数对两圆位置关系进行分类，并给出教材标准定义：两个圆之间存在以下三种位置关系：两圆相交，有两个公共点；两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；两圆相离，包括外离与内含，没有公共点。学生活动：学生结合图形理解三种位置关系，并在笔记上画出外切与内切、外离与内含的示意图。设计意图：明确两圆位置关系的几何特征，突破内切与外切、内含与外离区分的难点。 3. 方法推导。教师活动：教师引导学生将两圆方程化为标准方程，求出圆心距 ，与两半径之和 、两半径之差的绝对值 进行比较。板书核心结论：当 时两圆相交；当 时两圆外切；当 时两圆内切；当 时两圆外离；当 时两圆内含。学生活动：学生在草稿纸上画图验证上述五种数量关系，体会几何法判断的优越性。设计意图：建立圆心距与半径和差的定量关系，突出本课重点。 4. 代数验证。教师活动：教师讲解判断方法一，即联立两圆的方程，判定方程组解的个数。以两圆 与 为例，消去 得到一元二次方程，计算判别式 。指出当 时相切，需结合图形判断内切还是外切；当 时相离。学生活动：学生跟随教师步骤进行代数演算，体会 、、 分别对应相交、相切、相离。设计意图：让学生理解代数法的普适性及其在判断相切类型时的局限性。 5. 例题精讲。教师活动：教师出示例题，判断圆 ： 与圆 ： 的位置关系。引导学生将两圆方程分别化为标准形式。学生活动：学生独立完成配方过程，圆 化为 ，圆心 ，半径 ；圆 化为 ，圆心 ，半径 。计算圆心距 。比较大小：，，由于 ，即 ，故两圆相交。设计意图：通过完整演算巩固几何法，规范解题步骤。 6. 轨迹探究。教师活动：教师出示例题，已知点 与两个定点 、 的距离之比为 ，求点 的轨迹方程，并判断该轨迹与圆 ： 的位置关系。学生活动：学生设 ，根据题意得 ，两边平方化简得 ，即 。该轨迹为圆心 、半径为 的圆。圆 化为标准方程为 ，圆心为 ，半径为 。计算两圆圆心距 。由于 ，即 ，所以点 的轨迹与圆 相交。设计意图：综合运用轨迹方程思想与圆与圆位置关系判断方法，突破教学难点。 课堂小结 1. 本节课核心是两圆的三种位置关系：相交有两个公共点，相切仅有一个公共点，相离没有公共点。 2. 判断方法主要有两种：几何法通过比较圆心距 与两圆半径之和 、半径之差绝对值 的大小关系来确定；代数法通过联立两圆方程，利用消元后一元二次方程的判别式 来判断解的个数。 3. 在使用代数法时，若 仅说明两圆相切，必须结合图形或圆心距进一步判断是内切还是外切；若 则两圆相离，同样需结合图形区分内含与外离。 板书设计 圆与圆的位置关系 一、 三种位置关系 相交（两公共点）；相切（外切、内切，一公共点）；相离（外离、内含，无公共点） 二、 判断方法 1. 几何法：比较 与 、 2. 代数法：联立方程组，利用判别式 判断 三、 例题示范与轨迹探究 作业布置 1. 教材课后习题第 、 题。 2. 已知圆 ： 与圆 ：，若两圆相离，求实数 的取值范围。参考答案：当两圆外离时，，即 ，解得 或 ；当两圆内含时，，即 ，解得 。故实数 的取值范围为 或 或 。 教学反思 本节课通过类比直线与圆的位置关系研究路径，引导学生自主探究圆与圆的位置关系，整体教学流程顺畅。在几何法推导环节，学生能够较好地理解圆心距与半径和差的大小关系。但在代数法应用中，部分学生在联立方程消元时计算容易出错，且对 时无法直接区分内切与外切理解不够透彻。后续教学中应增加代数法与几何法对比的练习量，强化数形结合思想的渗透，同时针对轨迹方程的综合应用给予学生更多自主探究与展示的机会。 学科网（北京）股份有限公司 $