2.5.2 圆与圆的位置关系教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦圆与圆的位置关系，通过展示日食图片导入，引导学生观察圆的位置变化，归纳相交、相切（外切与内切）、相离（外离与内含）三种关系，衔接直线与圆知识，为圆锥曲线学习奠定基础。 以生活实例培养数学眼光中的几何直观，结合几何法（圆心距与半径关系）和代数法（联立方程判别式）发展数学思维中的逻辑推理，例题与练习覆盖外切、内切等情形，帮助学生系统掌握判断方法，提升教师教学效率与学生数学素养。

教学设计-2026-2027学年 数学 人教A版 高二 选择性必修第一册 2.5.2 圆与圆的位置关系 教学内容 本节课是人教A版选择性必修第一册第二章2.5.2的内容，主要研究圆与圆的位置关系。教材从几何直观出发，引导学生归纳出两圆相交、相切（外切与内切）、相离（外离与内含）三种位置关系，进而提出两种代数判断方法：一是联立两圆方程，通过方程组解的个数判定；二是将两圆方程化为标准方程，利用圆心距 与两半径之和 、两半径之差的绝对值 的大小关系进行判断。本课同时涉及利用轨迹方程研究动点轨迹并判断其与圆的位置关系，是直线与圆方程知识的综合应用，为后续学习圆锥曲线奠定基础。 教学内容 圆与圆的位置关系 学时 课标要求 能根据圆心距与半径的关系判断两圆位置关系 教学重点 用圆心距与两半径的关系判断两圆的位置关系 教学难点 内切与外切、内含与外离的区分及动点轨迹方程的探求 授课对象 高二年级 教材版本 人教A版选择性必修第一册 第二章 2.5.2 课标要求 1. 能根据给定两圆的方程，判断两圆的位置关系，掌握利用圆心距 与两圆半径 、 的关系进行判断的方法，理解联立方程组解的个数与位置关系的对应。 2. 能根据两圆位置关系解决求半径、圆心距及参数取值范围等问题，体会数形结合思想在圆与圆位置关系判定中的应用。 3. 能用轨迹方程研究动点轨迹并判断其与圆的位置关系，提升综合运用方程与几何性质解决问题的能力。 学习目标 1. 能结合图形说出两圆相交、相切（外切与内切）、相离（外离与内含）三种位置关系的特征，准确表述公共点个数与位置关系的对应，体会直观想象素养。 2. 能将两圆方程化为标准方程，计算圆心距 ，依据 相交、 外切、 内切、 外离、 内含进行判断，掌握代数运算与逻辑推理能力。 3. 能联立两圆方程，通过消元得到一元二次方程，利用判别式 判断解的个数从而确定位置关系，理解 时需结合图形区分内切与外切、 时区分外离与内含，发展数学运算素养。 4. 能运用轨迹方程探求动点轨迹并判断其与已知圆的位置关系，综合运用方程思想与几何性质解决问题，提升逻辑推理与直观想象素养。 5. 能区分内切与外切、内含与外离的几何本质，在含参问题中正确分类讨论参数取值范围，培养严谨的数学思维品质。 6. 能在具体问题中自主选择几何法或代数法判断两圆位置关系，体会两种方法各自的优势与适用情境，增强数形结合意识。 7. 能用规范数学语言表述判断过程，书写步骤完整、逻辑清晰，养成有条理的表达习惯。 8. 能在小组交流中分享解题思路，倾听他人方法并优化自身策略，提升合作学习与反思评价能力。 9. 能将圆与圆位置关系的判定方法迁移到直线与圆位置关系的研究中，感悟解析几何方法的一致性，形成系统化的知识结构。 教学过程与板书设计 课题：圆与圆的位置关系 一、三种位置关系：相交（两个公共点）；相切：外切与内切（一个公共点）；相离：外离与内含（没有公共点）。 二、判断方法：1. 几何法——圆心距 与 、 比较；2. 代数法——联立方程组，由解的个数判定（ 相切， 相离， 相交）。 三、教学过程：1. 导入环节。教师展示日食形成过程图片，引导学生观察月球与太阳轮廓圆的相对位置变化。教师提问：两个圆在运动过程中会出现哪几种不同的位置关系？预设学生回答：相交、相切、相离。教师追问：相切和相离是否可以进一步细分？预设学生回答：相切分为外切和内切，相离分为外离和内含。教师总结：两个圆之间存在以下三种位置关系：（1）两圆相交，有两个公共点；（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点。设计意图：从生活实例引入，激发兴趣，建立几何直观。 2. 新授环节。教师提出问题：如何用代数方法判断两圆的位置关系？引导学生回顾直线与圆位置关系的代数判定方法。预设学生回答：可以联立两圆方程，看方程组解的个数。教师讲解判断方法一：联立两圆的方程，判定方程组解的个数，解的个数对应公共点个数。教师讲解判断方法二：把两圆方程化成标准方程，求出圆心距 ，与两半径之和 、两半径之差的绝对值 比较。当 时两圆相交；当 时外切；当 时内切；当 时外离；当 时内含。教师强调代数法中 时相切，需结合图形判断内切还是外切； 时相离，需结合图形判断内含还是外离。设计意图：建立几何与代数的对应，突破重难点。 3. 例题精讲。例题：已知圆 ： 与圆 ：，判断两圆的位置关系。教师引导学生用几何法求解。解析：将圆 化为标准方程得 ，圆心 ，半径 ；将圆 化为标准方程得 ，圆心 ，半径 。圆心距 。计算 ，。因为 ，即 ，所以两圆相交。答案：两圆相交。设计意图：示范几何法的规范解题步骤。 4. 巩固练习。练习1：已知圆 ： 与圆 ：，判断两圆的位置关系。解析：圆心 ，；圆心 ，。圆心距 。，。因为 ，所以两圆外切。答案：两圆外切。练习2：已知圆 ： 与圆 ：，判断两圆的位置关系。解析：圆心 ，；圆心 ，。圆心距 。，。因为 ，所以两圆内切。答案：两圆内切。设计意图：通过练习巩固圆心距判断法，覆盖外切与内切两种情形。 5. 课堂小结。教师引导学生回顾本节课所学内容。预设学生回答：两圆有相交、相切、相离三种位置关系，相切分为外切和内切，相离分为外离和内含。判断方法有几何法和代数法两种，几何法通过比较圆心距 与 、 的大小判断，代数法通过联立方程组利用 判断。教师强调：几何法计算量小，代数法能同时求出交点坐标，解题时根据需要选择。设计意图：梳理知识脉络，形成系统认知。 学科网（北京）股份有限公司 $