2.4.2圆的一般方程（教学设计+导学案+课件）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.2　圆的一般方程　教学设计 ——一般方程与配方法 课型：新授课　课时：第 7 课时（本册） 教材：人教A版·普通高中教科书 数学 选择性必修第一册 一、课标依据 ①　在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程；能根据给定条件（不共线三点、圆心与半径、几何约束）选用标准方程或一般方程求圆的方程，体会两种形式的联系与各自优势。（出处：选择性必修课程·主题二「几何与代数」·圆与方程；对应本课：环节二、三、四：一般方程的推导、表示圆的条件、待定系数法） ②　会用配方法把圆的一般方程化为标准方程，能判别一个二元二次方程是否表示圆，感悟「形」与「数」互化的思想。（出处：选择性必修课程·主题二「几何与代数」·圆与方程；对应本课：环节三、五：判别条件、当堂检测第 1、2 题） 本课核心素养锚点：数学运算、逻辑推理（主要）　数学抽象、直观想象（次要）。 二、教材与学情分析 是什么：本节把上一课时的标准方程展开、整理，得到圆的一般方程 。配方后化为 ，由此看出它表示圆的充要条件是 ，此时圆心为 ，半径为 。 为什么：标准方程直观看圆心与半径，但含平方项、不便于代入三点坐标求解；一般方程是关于 的二次整式，把「圆过某点」直接翻译成一个一次方程，解三元一次方程组即可定圆。两种形式各有分工：看性质用标准式，求方程用一般式。 怎么办：教材的处理顺序是：展开标准方程 → 观察系数特征 → 配方还原 → 归纳判别条件 → 用待定系数法求过三点的圆。本教案沿用这一顺序，并在环节三补上「二元二次方程表示圆的一般判别」，为后续直线与圆、圆与圆的位置关系扫清障碍。 易错点：① 配方时漏除以 4，把半径写成 ；② 忘记圆心是 而写成 ；③ 用一般式时忘记先化 的系数为 1；④ 求过三点的圆时，未检验三点是否共线。 已有基础：学生已经掌握圆的标准方程 ，会由圆心半径写方程、由方程读圆心半径；具备配方法与解三元一次方程组的技能。 潜在困难：一是配方过程涉及分数与符号，、 的负号最容易写错；二是判别条件 的来龙去脉不清，只会背不会用；三是面对「求圆的方程」时不知道该设标准式还是一般式。 突破策略：用「展开—配方」的双向演练强化互化；把判别条件挂在配方结果的右端，让学生看到它就是 ，从而由 自然得到；用对比表总结两种形式的选用时机，并在例题中反复调用。 三、教学目标 1. 能把圆的标准方程 展开整理成 的形式，知道 、、，并会用配方法把它还原成标准方程。 布鲁姆层级：理解　｜　SOLO 水平：单点—多点　｜　成功标准：展开与配方各 2 题，4 题对 3 题及以上 2. 掌握圆的一般方程表示圆的充要条件 ，能由一般方程读出圆心 与半径 ，并能判断所给方程是否表示圆。 布鲁姆层级：应用　｜　SOLO 水平：多点结构　｜　成功标准：判别与求值共 4 题对 3 题 3. 会根据已知条件选用恰当形式求圆的方程：已知圆心、半径或几何约束明显时用标准方程；已知圆过不共线三点时用一般方程（待定系数法）。 布鲁姆层级：应用／分析　｜　SOLO 水平：关联结构　｜　成功标准：例 2、例 3 及变式共 4 题对 3 题 目标 1 的评估证据：例 1 + 变式 1 + 当堂检测第 1、2 题；对应环节：环节二、三。 目标 2 的评估证据：例 2 + 变式 2 + 作业 A 组第 4 题；对应环节：环节三。 目标 3 的评估证据：例 3 + 变式 3 + 当堂检测第 3、4 题 + 作业 B 组第 6 题、C 组第 8 题；对应环节：环节四。 四、教学重点、难点与教学方法 重点：圆的一般方程 的配方还原；表示圆的条件 ；圆心与半径公式。 难点：配方法中符号与分母的处理；由一般方程判别图形（圆／点／虚圆）；两种方程形式的选用。 难点成因：配方是纯代数操作，缺少直观支撑，学生只能靠记忆，符号稍一疏忽就全盘皆错；判别条件的本质是「半径的平方必须为正」，这一几何意义若不点破，学生只会机械代公式。 教法：复习引入 + 代数推导 + 对比归纳——先由标准方程展开得到一般方程，再配方还原，形成闭环；判别条件由配方结果右端直接读出；最后用对比表把两种形式的适用场景讲清。 学法：展开（去括号）→ 配方（凑完全平方）→ 判别（看右端正负）→ 选用（看已知条件）——本课是典型的代数运算课，学生应把四步流程写成口诀，并在每题前先问一句「已知条件更适合设哪种形式」。 五、教学过程 环节一　情境导入：为什么要换一种写法（约3分钟） 回顾：圆心为 、半径为 的圆的标准方程是 。 把它展开：，整理得 。 观察：这是一个关于 的二元二次方程，特点是 与 的系数相同且都为 1，没有 项。 追问：反过来，形如 的方程，一定表示圆吗？这就是本课时的问题。 【学生活动】跟教师一起完成标准方程的展开；在学案上记下一般方程的两条外形特征。 【设计意图】对应目标 1。用「展开」这种学生完全能自己完成的动作引入，让一般方程成为标准方程的自然结果，而不是又一个新公式。 环节二　圆的一般方程与配方法（约9分钟） （1）定义：方程 叫做圆的一般方程。 （2）配方（关键步骤）：把 、 分别凑完全平方—— ，； 代入原方程并移项，得 。 （3）读信息：与标准方程 对比，得 圆心 ，半径 。 图1　圆的一般方程：圆心为（-D/2，-E/2） （4）口诀：圆心是 的一半再添负号；半径是判别式开方再折半。 【学生活动】跟教师一起完成配方全过程，注意 的负号；在学案上默写圆心与半径公式各一遍。 【设计意图】对应目标 1、2。配方法是本课唯一的新技能，板演时把「为什么要减去 」讲透——凑完全平方多出来的量必须减掉，方程才等价。 环节三　方程表示圆的条件（约8分钟） （1）三种情形：由配方结果右端 可知—— ① 当 时，方程表示圆，圆心 ，半径 ； ② 当 时，方程只表示一个点 ； ③ 当 时，不表示任何图形（无实点）。 （2）本质：判别式就是 ，半径的平方必须为正——几何意义讲清了，条件就不用死记。 （3）更一般的形式：二元二次方程 表示圆的充要条件是 ① ；② ；③ （先化为 系数为 1 再用）。 （4）口答： 表示什么？（圆，圆心 ，半径 。） 【学生活动】对照课件，在学案上写出三种情形对应的判别式符号；同桌互查「圆心符号」是否取反。 【设计意图】对应目标 2。把判别式锚定在 上，学生就不必记忆孤立的公式；（3）是判别二元二次方程是否为圆的通法，为后面的综合题预留工具。 环节四　例题精析（约13分钟） 例 1　判别并求圆心半径　判断下列方程是否表示圆；若是，求出圆心坐标与半径。 （1）；（2）；（3）。 【答案】（1）是圆，圆心 ，半径 ；（2）表示一个点 ；（3）是圆，圆心 ，半径 。 【详解】（1）配方得 ，故圆心 、半径 。 （2）配方得 ，右端为 ，只表示点 。 （3）两边同除以 得 ，配方得 ，故圆心 、半径 。 【方法归纳】先化 的系数为 1，再配方；右端大于 0 是圆、等于 0 是点、小于 0 无图形。 变式 1　判断方程 表示什么图形。 【答案】不表示任何图形。 【详解】配方得 ，右端为负，无实数解，不表示任何图形。 例 2　不共线三点定圆（一般式）　求过三点 、、 的圆的方程。 【答案】。 【详解】设圆的一般方程为 。 代入 得 ；代入 得 ，即 ； 代入 得 ，即 。 两式相减得 ，回代得 ，故圆的方程为 。 （检验：，确为圆。） 【方法归纳】过三点求圆设一般式：三点坐标代入得到关于 的三元一次方程组，解出后务必用判别式检验。 变式 2　求过三点 、、 的圆的方程。 【答案】（即 ）。 【详解】设 ，代入三点得 、、。 第一、三式相减得 ；第一、二式相减得 。 代回第一式 ，得 。 检验 ，确为圆，圆心 、半径 。 例 3　含参圆方程　已知方程 表示圆，求 的取值范围；当半径最大时，求圆心坐标。 【答案】；半径最大时圆心为 。 【详解】由表示圆的条件得 ，即 ，整理得 ，即 ，解得 。 半径 ，根号内是开口向下的二次函数，在 处取最大值，故半径最大时 ，圆心为 。 变式 3　已知圆 的圆心为 、半径为 ，求 。 【答案】，，。 【详解】由圆心公式得 ，；由半径公式 得 ，故 。 【学生活动】例 1 由教师板演前两小题，第（3）小题请学生上台；变式 1 全班齐答；例 2 与变式 2 学生独立完成，重点核对三点代入后的方程组；例 3 同桌讨论后汇报。 【设计意图】对应目标 2、3。四题构成「判别 → 三点定圆 → 含参讨论 → 反求系数」的梯度，其中例 2 的分量最重，是本课的主要得分点。 环节五　当堂检测（约4分钟） 独立完成约 3 分钟，同桌互换批改，统计错号。 检测题见《学案》「当堂检测」栏（共 4 小题），答案与详解由课件单击依次呈现。 1. 把圆的标准方程 展开整理成一般方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 【答案】（即 ） 【详解】展开：，移项整理得 。 2. 判断方程 表示什么图形，并说明理由。 【答案】表示一个点 【详解】配方得 ，右端等于 ，故方程只表示一个点 ，不是圆。 3. 圆 的圆心坐标是＿＿＿，半径是＿＿＿。 【答案】圆心 ，半径 【详解】配方：，故圆心为 、半径为 。 4. 求过三点 、、 的圆的一般方程。 【答案】 【详解】设 ，代入 得 ；代入 得 ，故 ；代入 得 ，故 。所以方程为 。 【学生活动】独立作答 → 同桌互换批改 → 举手统计错号，教师只讲错得最多的那一题。 【设计意图】对应目标 1、2、3。四题分别覆盖配方还原、判别条件、圆心半径公式、三点定圆。 环节六　课堂小结与作业布置（约3分钟） 小结一条链：展开标准方程 → 一般方程 → 配方还原 → 判别式 （大于 0 是圆、等于 0 是点、小于 0 无图形）→ 圆心 、半径 。 选用口诀：看性质用标准式，求方程用一般式。 预告：下一课时我们用圆的方程研究直线与圆的位置关系。 作业布置见下方分层作业。 【学生活动】齐答小结链条中的空缺处；把圆心公式与判别式各默写一遍。 【设计意图】对应全部目标。以「一条链」收束全课，并把两种形式的选用口诀固化下来。 时间弹性提示：若环节四推进偏慢，可把变式 3 改为课后完成，确保例 2（三点定圆）与当堂检测完整落地。 差异化处理：对基础较好的班级，例 3 之后可追加追问「 取何值时圆过原点」，把含参讨论再往前推一步；对基础薄弱班级，环节三的（3）可改为选讲。 教学准备——教具：多媒体课件、圆的一般方程示意图（见课件配图）；学具：学案（随堂印发）、直尺、圆规；媒体资源：课件需支持：展开与配方的分步演示、两种方程形式的对比卡片。 六、板书设计 选型：提纲式（左侧主板书，右侧副板书） 结构：主板书（左侧，随课自上而下生成）： 2.4.2　圆的一般方程 一、一般方程 二、配方 三、圆心 ，半径 四、判别　 圆　 点　 无图形 五、选用　看性质用标准式　求方程用一般式 副板书（右侧，随用随擦）：演算过程与易错点 七、教学反思（预设要点，供课后填写） 目标达成情况：目标 1、2 预计达成良好；目标 3 中「已知三点求圆」的计算量较大，估计当堂检测第 4 题与作业 B 组第 6 题失分偏多。 学情预判是否准确：预判的「圆心符号写反」与「半径漏折半」应在当堂检测第 3 题显形，是复核学情预判的关键指标。 情境与实践活动效果：由标准方程展开引入一般方程，学生上手快；配方环节放慢板书节奏效果更好。 改进设想：下一课时进入直线与圆的位置关系，可在小结时点一句「求圆心与半径是判断位置关系的第一步」，为下一课时埋下伏笔。 附录　本课易错警示 1. ① 圆心符号写反：圆心是 ，不是 ，「一半再添负号」要连起来记。 2. ② 半径漏折半：半径是 ，漏掉前面的 是最常见的失分点。 3. ③ 未先化系数为 1：遇到 必须先同除以 2，否则判别式与圆心全错。 4. ④ 忘记检验：用一般式求出 后，要用 检验是否真为圆。 5. ⑤ 三点共线仍硬求：三点共线时方程组无解（或退化），求圆前应先确认三点不共线。 附：分层作业（题目·答案·详解） 教材原题答案以课本配套教师教学用书为准，下列补充题为本课自编题，答案与详解附后。 说明：下面每一道题的题干之后，紧接该题的【答案】与【详解】（深红），便于投影讲评或印发；其中教材原题的答案以课本配套教师教学用书为准。 作业布置： 教材原题——课本 2.4 节练习第 3、4 题，习题 2.4 第 5、6 题 补充题（自编）——① 判别与配方：判断 表示圆时 的范围。 补充题（自编）——② 三点定圆：求过 、、 的圆的一般方程。 基础巩固 1. 把下列标准方程化为一般方程：（1）；（2）。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）展开 ，整理得 。 （2）展开 ，整理得 。 2. 判断下列方程是否表示圆；若是，求出圆心与半径：（1）；（2）。 【答案】（1）是圆，圆心 ，半径 ；（2）表示一个点 【详解】（1）配方得 ，是圆，圆心 、半径 。 （2）配方得 ，右端为 ，只表示点 。 3. 已知圆 的圆心为 ，求 、 与半径 。 【答案】，， 【详解】由 得 ；由 得 ；半径 。 4. 求过三点 、、 的圆的一般方程，并指出圆心与半径。 【答案】，圆心 ，半径 【详解】设一般方程，代入 得 ；代入 得 ，故 ；代入 得 ，故 。方程为 ；圆心 ，半径 。 能力提升 1. 已知方程 表示圆，求 的取值范围。 【答案】 或 【详解】表示圆的条件为 ，即 ，化简得 ，解得 或 。 2. 求过三点 、、 的圆的方程，并判断点 是否在圆上。 【答案】；点 不在圆上 【详解】设 ，代入三点得 、、。 由第三式得 ，代入前两式解得 、、，故方程为 。 把 代入左边得 ，故点 不在圆上。 3. 已知圆 的圆心在直线 上，且圆过两点 、，求圆 的方程。 【答案】（即 ） 【详解】设圆心 ，由圆心在直线上得 。 又 ，即 ，展开化简得 ，即 。 联立 得 ，即圆心 。 半径平方 ，故圆的标准方程为 ，展开得一般方程 。 思维挑战 8. 已知圆 与直线 相交，求 的取值范围；若所截得的弦长为 ，求 的值。 【答案】； 【详解】配方得 ，故圆心 、半径 （需 ）。 圆心到直线 的距离 。 相交需 ，即 ，得 。 弦长 ，即 ，故 ，由 得 。 （若用判别式法：联立后由 同样得 ；弦长为 时 。） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.2　圆的一般方程 ——一般方程与配方法 第二章 直线和圆的方程 人教A版·普通高中教科书 数学 选择性必修第一册 新授课　第 7 课时（本册） 对应目标 1。用「展开」这种学生完全能自己完成的动作引入，让一般方程成为标准方程的自然结果，而不是又一个新公式。 学习目标 1 能把圆的标准方程 展开整理成 的形式，知道 、、，并会用配方法把它还原成标准方程。 掌握圆的一般方程表示圆的充要条件 ，能由一般方程读出圆心 与半径 ，并能判断所给方程是否表示圆。 会根据已知条件选用恰当形式求圆的方程：已知圆心、半径或几何约束明显时用标准方程；已知圆过不共线三点时用一般方程（待定系数法）。 60 秒速读：让学生知道本课结束时要能做什么。 情境导入：为什么要换一种写法 2 回顾：圆心为 、半径为 的圆的标准方程是 。 把它展开：，整理得 。 观察：这是一个关于 的二元二次方程，特点是 与 的系数相同且都为 1，没有 项。 追问：反过来，形如 的方程，一定表示圆吗？这就是本课时的问题。 [3′] 对应目标 1。用「展开」这种学生完全能自己完成的动作引入，让一般方程成为标准方程的自然结果，而不是又一个新公式。 圆的一般方程与配方法 3 （1）定义：方程 叫做圆的一般方程。 （2）配方（关键步骤）：把 、 分别凑完全平方—— ，； 代入原方程并移项，得 。 （3）读信息：与标准方程 对比，得 圆心 ，半径 。 [9′] 对应目标 1、2。配方法是本课唯一的新技能，板演时把「为什么要减去 $\frac{D^^2^^}{4}$」讲透——凑完全平方多出来的量必须减掉，方程才等价。 圆的一般方程与配方法 4 [9′] 对应目标 1、2。配方法是本课唯一的新技能，板演时把「为什么要减去 $\frac{D^^2^^}{4}$」讲透——凑完全平方多出来的量必须减掉，方程才等价。 圆的一般方程与配方法 5 （4）口诀：圆心是 的一半再添负号；半径是判别式开方再折半。 [9′] 对应目标 1、2。配方法是本课唯一的新技能，板演时把「为什么要减去 $\frac{D^^2^^}{4}$」讲透——凑完全平方多出来的量必须减掉，方程才等价。 方程表示圆的条件 6 （1）三种情形：由配方结果右端 可知—— ① 当 时，方程表示圆，圆心 ，半径 ； ② 当 时，方程只表示一个点 ； ③ 当 时，不表示任何图形（无实点）。 （2）本质：判别式就是 ，半径的平方必须为正——几何意义讲清了，条件就不用死记。 （3）更一般的形式：二元二次方程 表示圆的充要条件是 [8′] 对应目标 2。把判别式锚定在 $4r^^2^^$ 上，学生就不必记忆孤立的公式；（3）是判别二元二次方程是否为圆的通法，为后面的综合题预留工具。 方程表示圆的条件 7 ① ；② ；③ （先化为 系数为 1 再用）。 （4）口答： 表示什么？（圆，圆心 ，半径 。） [8′] 对应目标 2。把判别式锚定在 $4r^^2^^$ 上，学生就不必记忆孤立的公式；（3）是判别二元二次方程是否为圆的通法，为后面的综合题预留工具。 例题精析 8 例 1　判别并求圆心半径　判断下列方程是否表示圆；若是，求出圆心坐标与半径。 （1）；（2）；（3）。 【答案】（1）是圆，圆心 ，半径 ；（2）表示一个点 ；（3）是圆，圆心 ，半径 。 【详解】（1）配方得 ，故圆心 、半径 。 （2）配方得 ，右端为 ，只表示点 。 [13′] 对应目标 2、3。四题构成「判别 → 三点定圆 → 含参讨论 → 反求系数」的梯度，其中例 2 的分量最重，是本课的主要得分点。 例题精析 9 （3）两边同除以 得 ，配方得 ，故圆心 、半径 。 【方法归纳】先化 的系数为 1，再配方；右端大于 0 是圆、等于 0 是点、小于 0 无图形。 变式 1　判断方程 表示什么图形。 【答案】不表示任何图形。 【详解】配方得 ，右端为负，无实数解，不表示任何图形。 例 2　不共线三点定圆（一般式）　求过三点 、、 的圆的方程。 [13′] 对应目标 2、3。四题构成「判别 → 三点定圆 → 含参讨论 → 反求系数」的梯度，其中例 2 的分量最重，是本课的主要得分点。 例题精析 10 【答案】。 【详解】设圆的一般方程为 。 代入 得 ；代入 得 ，即 ； 代入 得 ，即 。 两式相减得 ，回代得 ，故圆的方程为 。 （检验：，确为圆。） 【方法归纳】过三点求圆设一般式：三点坐标代入得到关于 的三元一次方程组，解出后务必用判别式检验。 变式 2　求过三点 、、 的圆的方程。 [13′] 对应目标 2、3。四题构成「判别 → 三点定圆 → 含参讨论 → 反求系数」的梯度，其中例 2 的分量最重，是本课的主要得分点。 例题精析 11 【答案】（即 ）。 【详解】设 ，代入三点得 、、。 第一、三式相减得 ；第一、二式相减得 。 代回第一式 ，得 。 检验 ，确为圆，圆心 、半径 。 例 3　含参圆方程　已知方程 表示圆，求 的取值范围；当半径最大时，求圆心坐标。 【答案】；半径最大时圆心为 。 [13′] 对应目标 2、3。四题构成「判别 → 三点定圆 → 含参讨论 → 反求系数」的梯度，其中例 2 的分量最重，是本课的主要得分点。 例题精析 12 【详解】由表示圆的条件得 ，即 ，整理得 ，即 ，解得 。 半径 ，根号内是开口向下的二次函数，在 处取最大值，故半径最大时 ，圆心为 。 变式 3　已知圆 的圆心为 、半径为 ，求 。 【答案】，，。 【详解】由圆心公式得 ，；由半径公式 得 ，故 。 [13′] 对应目标 2、3。四题构成「判别 → 三点定圆 → 含参讨论 → 反求系数」的梯度，其中例 2 的分量最重，是本课的主要得分点。 课堂小结与作业布置 13 小结一条链：展开标准方程 → 一般方程 → 配方还原 → 判别式 （大于 0 是圆、等于 0 是点、小于 0 无图形）→ 圆心 、半径 。 选用口诀：看性质用标准式，求方程用一般式。 预告：下一课时我们用圆的方程研究直线与圆的位置关系。 作业布置见下方分层作业。 [3′] 对应全部目标。以「一条链」收束全课，并把两种形式的选用口诀固化下来。 当堂检测 14 1. 把圆的标准方程 展开整理成一般方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 【答案】（即 ） 【详解】展开：，移项整理得 。 2. 判断方程 表示什么图形，并说明理由。 【答案】表示一个点 【详解】配方得 ，右端等于 ，故方程只表示一个点 ，不是圆。 3. 圆 的圆心坐标是＿＿＿，半径是＿＿＿。 【答案】圆心 ，半径 独立作答 3 分钟 → 同桌互换批改 → 只讲错得最多的题。 当堂检测 15 【详解】配方：，故圆心为 、半径为 。 4. 求过三点 、、 的圆的一般方程。 【答案】 【详解】设 ，代入 得 ；代入 得 ，故 ；代入 得 ，故 。所以方程为 。 独立作答 3 分钟 → 同桌互换批改 → 只讲错得最多的题。 分层作业 16 基础过关 1. 把下列标准方程化为一般方程：（1）；（2）。 【答案】（1）；（2） 2. 判断下列方程是否表示圆；若是，求出圆心与半径：（1）；（2）。 【答案】（1）是圆，圆心 ，半径 ；（2）表示一个点 3. 已知圆 的圆心为 ，求 、 与半径 。 【答案】，， 4. 求过三点 、、 的圆的一般方程，并指出圆心与半径。 【答案】，圆心 ，半径 能力提升 基础过关全体必做；能力提升选做；思维挑战供学有余力的同学。 分层作业 17 1. 已知方程 表示圆，求 的取值范围。 【答案】 或 2. 求过三点 、、 的圆的方程，并判断点 是否在圆上。 【答案】；点 不在圆上 3. 已知圆 的圆心在直线 上，且圆过两点 、，求圆 的方程。 【答案】（即 ） 思维挑战 1. 已知圆 与直线 相交，求 的取值范围；若所截得的弦长为 ，求 的值。 【答案】； 基础过关全体必做；能力提升选做；思维挑战供学有余力的同学。 $ 2.4.2　圆的一般方程　学案 ——一般方程与配方法 一、学习目标 1. 能把圆的标准方程 展开整理成 的形式，知道 、、，并会用配方法把它还原成标准方程。 2. 掌握圆的一般方程表示圆的充要条件 ，能由一般方程读出圆心 与半径 ，并能判断所给方程是否表示圆。 3. 会根据已知条件选用恰当形式求圆的方程：已知圆心、半径或几何约束明显时用标准方程；已知圆过不共线三点时用一般方程（待定系数法）。 重点：圆的一般方程 的配方还原；表示圆的条件 ；圆心与半径公式。 难点：配方法中符号与分母的处理；由一般方程判别图形（圆／点／虚圆）；两种方程形式的选用。 二、知识梳理（阅读教材后完成） 情境导入：为什么要换一种写法 回顾：圆心为 、半径为 的圆的标准方程是 。 把它展开：，整理得 圆的一般方程与配方法 （1）定义：方程 叫做圆的一般方程。 （2）配方（关键步骤）：把 、 分别凑完全平方—— 方程表示圆的条件 （1）三种情形：由配方结果右端 可知—— ① 当 时，方程表示圆，圆心 ，半径 ； 三、典例剖析 例 1　判别并求圆心半径 判断下列方程是否表示圆；若是，求出圆心坐标与半径。 变式 1 判断方程 表示什么图形。 例 2　不共线三点定圆（一般式） 求过三点 、、 的圆的方程。 变式 2 求过三点 、、 的圆的方程。 例 3　含参圆方程 已知方程 表示圆，求 的取值范围；当半径最大时，求圆心坐标。 变式 3 已知圆 的圆心为 、半径为 ，求 。 【方法归纳】先化 的系数为 1，再配方；右端大于 0 是圆、等于 0 是点、小于 0 无图形。 【方法归纳】过三点求圆设一般式：三点坐标代入得到关于 的三元一次方程组，解出后务必用判别式检验。 四、当堂检测 1. 把圆的标准方程 展开整理成一般方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 2. 判断方程 表示什么图形，并说明理由。 3. 圆 的圆心坐标是＿＿＿，半径是＿＿＿。 4. 求过三点 、、 的圆的一般方程。 五、课后巩固 基础过关 1. 把下列标准方程化为一般方程：（1）；（2）。 2. 判断下列方程是否表示圆；若是，求出圆心与半径：（1）；（2）。 3. 已知圆 的圆心为 ，求 、 与半径 。 4. 求过三点 、、 的圆的一般方程，并指出圆心与半径。 能力提升 1. 已知方程 表示圆，求 的取值范围。 2. 求过三点 、、 的圆的方程，并判断点 是否在圆上。 3. 已知圆 的圆心在直线 上，且圆过两点 、，求圆 的方程。 六、易错警示 ① 圆心符号写反：圆心是 ，不是 ，「一半再添负号」要连起来记。 ② 半径漏折半：半径是 ，漏掉前面的 是最常见的失分点。 ③ 未先化系数为 1：遇到 必须先同除以 2，否则判别式与圆心全错。 ④ 忘记检验：用一般式求出 后，要用 检验是否真为圆。 ⑤ 三点共线仍硬求：三点共线时方程组无解（或退化），求圆前应先确认三点不共线。 学科网（北京）股份有限公司 $