2.4.2 圆的一般方程 导学案2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“圆的一般方程”，引导学生理解其与二元二次方程的联系，掌握方程互化及求解方法。通过展开圆的标准方程，启发思考一般形式方程是否表示圆，搭建从已知到未知的学习支架。 以问题链驱动探究，结合几何法与待定系数法，培养学生推理能力与模型观念。分层例题、跟踪训练及详细解析助力自主学习，强化数学思维与表达，符合新课标核心素养要求，提升学习效率与教学效果。

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案2.4.2　圆的一般方程 [学习目标]　1.理解圆的一般方程与一般形式的二元二次方程之间的联系.2.能对圆的一般方程和标准方程进行互化，能正确理解圆的一般方程中系数所满足的条件.(重点)3.会求圆的一般方程.(重点) 导语 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，现将其展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.请大家思考一下，形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题. 一、圆的一般方程的辨析 角度1　探究圆的一般方程 问题1　如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，需要满足什么条件？ 问题2　当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形？当D2+E2-4F<0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形？ 知识梳理 1.圆的一般方程：当D2+E2-4F>0时，二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程. 2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形 条件 图形 D2+E2-4F<0 不表示任何图形 D2+E2-4F=0 表示一个点 D2+E2-4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 注意点： (1)二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项. (2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0. 例1　(1)若方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0表示圆，求实数m的取值范围. (2)若点P(2，-1)在圆x2+y2-x+2y+2k=0的外部，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 反思感悟　圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，若D2+E2-4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆. (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解. 跟踪训练1　(1)若关于x，y的方程x2+y2+mx-2y+m=0有实数解，则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞，1)∪(4，+∞) B.(-∞，1]∪[4，+∞) C.(1，4) D.[1，4] (2)已知点(1，m)在圆x2+y2-2mx+2m2-2=0内，则实数m的取值范围是　　　　　. 角度2　求圆心和半径 例2　(1)设圆x2+y2+4x-2y-4=0的圆心为M，半径为r，则(　　) A.M(2，-1)，r=9 B.M(-2，1)，r=9 C.M(2，-1)，r=3 D.M(-2，1)，r=3 (2)当圆C：x2+y2-4x-2my+2m=0的面积最小时，m的值为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 反思感悟　一般方程下求圆的圆心和半径 (1)代入公式：圆心，半径r=. (2)转化为标准方程，再根据标准方程求出圆心和半径. 跟踪训练2　已知圆x2+y2-2ax+4a=0的圆心在x轴的正半轴上，则实数a的取值范围为(　　) A.(0，4) B.(-∞，0) C.(4，+∞) D.(-∞，0)∪(4，+∞) 二、求圆的一般方程 例3　(课本例4)求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 例4　在平面直角坐标系中，A(-1，5)，B(5，5)，C(6，-2)，D(-2，-1)四个点能否在同一个圆上？ 反思感悟　求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程. (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列出关于D，E，F或a，b，r的方程组，解出系数得到圆的方程. 跟踪训练3　已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆心在直线x+y-1=0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程. 1.知识清单： (1)圆的一般方程的辨析. (2)求圆的一般方程. 2.方法归纳：待定系数法、几何法. 3.常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件. 1.若x2+y2-x+y-2m=0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 2.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2，3)，则D，E分别为(　　) A.4，-6 B.-4，-6 C.-4，6 D.4，6 3.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴的交点分别为A，B，则过A，B及原点O三点的圆的方程是(　　) A.x2+y2+4x-3y=0 B.x2+y2-4x-3y=0 C.x2+y2+4x+3y=0 D.x2+y2-4x+3y=0 4.若点P(1，2)在圆x2+y2-x+y+k=0外，则实数k的取值范围为　　　　　　. 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案2.4.2　圆的一般方程参考答案 [学习目标]　1.理解圆的一般方程与一般形式的二元二次方程之间的联系.2.能对圆的一般方程和标准方程进行互化，能正确理解圆的一般方程中系数所满足的条件.(重点)3.会求圆的一般方程.(重点) 导语 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，现将其展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.请大家思考一下，形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题. 一、圆的一般方程的辨析 角度1　探究圆的一般方程 问题1　如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，需要满足什么条件？ 提示　将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方可得，+=，当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆. 问题2　当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形？当D2+E2-4F<0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形？ 提示　①当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示点. ②当D2+E2-4F<0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示任何图形. 知识梳理 1.圆的一般方程：当D2+E2-4F>0时，二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程. 2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形 条件 图形 D2+E2-4F<0 不表示任何图形 D2+E2-4F=0 表示一个点 D2+E2-4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 注意点： (1)二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项. (2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0. 例1　(1)若方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0表示圆，求实数m的取值范围. 解　方法一　由题意得(-4m)2 + (2m)2 -4(20m-20)>0， 即16m2+4m2-80m + 80= 20(m-2)2>0，解得m≠2.所以当m≠2 时，原方程表示圆. 方法二　原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2，当m≠2时，原方程表示圆. (2)若点P(2，-1)在圆x2+y2-x+2y+2k=0的外部，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由已知圆x2+y2-x+2y+2k=0，则1+4-8k>0，即5-8k>0， 又点P在圆外，则1+2k>0， 联立 解得-<k<，故实数k的取值范围为. 反思感悟　圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，若D2+E2-4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆. (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解. 跟踪训练1　(1)若关于x，y的方程x2+y2+mx-2y+m=0有实数解，则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞，1)∪(4，+∞) B.(-∞，1]∪[4，+∞) C.(1，4) D.[1，4] 答案　B 解析　因为关于x，y的方程x2+y2+mx-2y+m=0有实数解， 所以方程x2+y2+mx-2y+m=0表示圆或点， 则m2+(-2)2-4×m≥0，即m2-5m+4≥0， 解得m≤1或m≥4. (2)已知点(1，m)在圆x2+y2-2mx+2m2-2=0内，则实数m的取值范围是　　　　　. 答案　 解析　由于圆x2+y2-2mx+2m2-2=0，即(x-m)2+y2=2-m2， 故2-m2>0，则-<m<； 又点(1，m)在圆x2+y2-2mx+2m2-2=0内，故12+m2-2m+2m2-2<0， 即3m2-2m-1<0，解得-<m<1， 综上，实数m的取值范围为. 角度2　求圆心和半径 例2　(1)设圆x2+y2+4x-2y-4=0的圆心为M，半径为r，则(　　) A.M(2，-1)，r=9 B.M(-2，1)，r=9 C.M(2，-1)，r=3 D.M(-2，1)，r=3 答案　D 解析　将x2+y2+4x-2y-4=0转化为(x+2)2+(y-1)2=9， 可得圆心M(-2，1)，半径r=3. (2)当圆C：x2+y2-4x-2my+2m=0的面积最小时，m的值为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 答案　D 解析　由圆C：x2+y2-4x-2my+2m=0，得圆C的标准方程为(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4，从而对于圆C的半径r有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3，所以当m=1时，r2取得最小值，此时圆C的面积最小. 反思感悟　一般方程下求圆的圆心和半径 (1)代入公式：圆心，半径r=. (2)转化为标准方程，再根据标准方程求出圆心和半径. 跟踪训练2　已知圆x2+y2-2ax+4a=0的圆心在x轴的正半轴上，则实数a的取值范围为(　　) A.(0，4) B.(-∞，0) C.(4，+∞) D.(-∞，0)∪(4，+∞) 答案　C 解析　因为圆x2+y2-2ax+4a=0的标准方程为(x-a)2+y2=a2-4a， 所以圆心为点(a，0)，半径r=， 由题意，得解得a>4， 即实数a的取值范围是(4，+∞). 二、求圆的一般方程 例3　(课本例4)求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 解　方法一　设圆的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0. ① 因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解.把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组 解这个方程组，得 所以，所求圆的方程是x2+y2-8x+6y=0. 由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是(4，-3)，半径r==5. 方法二　OM1的中点为，=1， ∴OM1的垂直平分线的方程为y-=-，即y=-x+1， 同理可得OM2的垂直平分线的方程为y=-2x+5， 联立解得即圆心为(4，-3)， 半径为=5.故所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25. 例4　在平面直角坐标系中，A(-1，5)，B(5，5)，C(6，-2)，D(-2，-1)四个点能否在同一个圆上？ 解　设过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 则 解得 所以过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0. 将点D(-2，-1)代入方程，等式不成立. 故A，B，C，D四点不在同一个圆上. 反思感悟　求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程. (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列出关于D，E，F或a，b，r的方程组，解出系数得到圆的方程. 跟踪训练3　已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆心在直线x+y-1=0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程. 解　圆心C， ∵圆心在直线x+y-1=0上， ∴---1=0， 即D+E=-2. ① 又∵半径长r==， ∴D2+E2=20. ② 由①②可得或 又∵圆心在第二象限， ∴-<0，即D>0.则 故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0. 1.知识清单： (1)圆的一般方程的辨析. (2)求圆的一般方程. 2.方法归纳：待定系数法、几何法. 3.常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件. 1.若x2+y2-x+y-2m=0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据题意，得(-1)2+12-4×(-2m)>0， 所以m>-. 2.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2，3)，则D，E分别为(　　) A.4，-6 B.-4，-6 C.-4，6 D.4，6 答案　A 解析　圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为， 又已知该圆的圆心坐标为(-2，3)， ∴-=-2，-=3， ∴D=4，E=-6. 3.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴的交点分别为A，B，则过A，B及原点O三点的圆的方程是(　　) A.x2+y2+4x-3y=0 B.x2+y2-4x-3y=0 C.x2+y2+4x+3y=0 D.x2+y2-4x+3y=0 答案　A 解析　不妨令A(0，3)，B(-4，0)，设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 则解得 则所求圆的方程为x2+y2+4x-3y=0. 4.若点P(1，2)在圆x2+y2-x+y+k=0外，则实数k的取值范围为　　　　　　. 答案　 解析　因为点P(1，2)在圆x2+y2-x+y+k=0外， 则 解得-6<k<. . 学科网（北京）股份有限公司 $