2.5.1 直线与圆的位置关系（第1课时）（教学设计）数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦直线与圆的位置关系，涵盖相交、相切、相离三种定义及几何法（距离与半径比较）、代数法（判别式判断）两种方法。通过“海上生明月”古诗结合日出动态视频及道路施工、公园设计等生活情境导入，衔接直线和圆的方程旧知，为圆锥曲线学习搭建基础。 资料特色在于情境化与方法对比，以生活实例让学生用数学眼光观察现实问题，通过几何法与代数法的步骤梳理培养数学思维，例题分层训练求切线、弦长等应用，易错提醒强化公式应用。助力学生提升知识迁移能力，教师可直接使用分层练习与情境案例，提升教学效率。

2.5.1 直线与圆的位置关系（第1课时） 教学设计 教学内容 本节课先回顾直线的点斜式、斜截式与圆的标准方程、一般方程，明确直线与圆相交（两个公共点）、相切（一个公共点）、相离（无公共点）的三种位置关系定义，再重点讲解两种判断方法：几何法通过点到直线距离公式计算圆心到直线的距离 d，对比 d 与半径 r 的大小（d<r 相交、d=r 相切、d>r 相离）；代数法联立直线与圆的方程，消元得一元二次方程，根据判别式 Δ（Δ>0 相交、Δ=0 相切、Δ<0 相离）判断，最后结合简单示例演示方法应用，强调几何法的简便性，为后续相关计算奠基. 内容解析 本节课是人教 A 版（2019）选择性必修第一册第二章 “直线与圆的方程” 的核心课时，承接前序直线的点斜式、斜截式及圆的标准方程、一般方程等知识，是直线与圆综合应用的起点，也为后续圆锥曲线位置关系学习奠定方法基础.内容设计遵循 “旧知铺垫 — 定义感知 — 方法探究 — 应用巩固” 逻辑：先通过回顾直线与圆的方程形式，搭建知识衔接桥梁；再依据公共点数量，明确相交、相切、相离三种位置关系的定义；接着重点探究两种判断方法 —— 几何法（计算圆心到直线的距离 d，对比 d 与半径 r 的大小）、代数法（联立方程得一元二次方程，根据判别式 Δ 判断）；最后结合简单示例演示方法应用，强调几何法的简便性，既落实具体知识，又渗透数形结合的数学思想，帮助学生形成 “形”（位置关系）与 “数”（方程、距离、判别式）转化的思维. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：直线与圆相交、相切、相离的定义及几何法、代数法判断方法. 教学目标 （1）理解直线和圆的三种位置关系． （2）会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． （3）会用代数法来判断直线与圆的位置关系． （4）能解决直线与圆位置关系的求切线方程、求弦长等综合问题． 目标解析 1. 该目标是基础认知目标，需以直线与圆的方程为前提，通过观察公共点数量（0 个、1 个、2 个），让学生从 “形” 的角度抽象出相离、相切、相交的定义，打破单一方程认知，建立 “形” 与位置关系的直接关联，为后续两种判断方法的学习筑牢概念根基. 2. 此目标聚焦几何法的应用能力，要求学生熟练掌握 “求圆心与半径→用点到直线距离公式算 d→对比 d 与 r” 的步骤，既巩固点到直线距离公式的应用，又强化数形结合思想，让学生体会几何法直观、简便的优势，是本节课判断位置关系的核心技能目标. 3. 该目标侧重 “应用”，要求学生掌握用待定系数法（据三个独立条件列方程组求D、E、F）求一般方程，同时能将其用于解决直线与圆位置关系等简单问题，实现理论到实践的转化. 4. 该目标侧重代数法的掌握，需学生理解 “联立直线与圆的方程→消元得一元二次方程→计算判别式 Δ” 的逻辑，将位置关系转化为方程解的个数问题，衔接方程思想，与几何法形成互补，帮助学生从 “数” 的角度理解位置关系，提升代数运算与逻辑判断能力. 达成上述目标的标志是： 1. 能准确判断：看到直线方程 和圆 ，能在 秒内用几何法判断出相交，并说明理由。 1. 能规范求解： 已知圆 和点 ，能正确求出过点 的切线方程（两条），且不遗漏斜率不存在的情况。 已知直线 和圆 ，能正确求出弦长，过程完整，计算准确。 1. 能说理辨析：能口头说明“用几何法判断位置关系”和“用代数法判断位置关系”各自的适用场景与优缺点。 1. 计算正确率：弦长计算、切线方程求解的正确率不低于 。 学生已掌握直线的点斜式、斜截式及圆的标准方程、一般式，能初步提取圆的圆心与半径；学过点到直线距离公式，知晓一元二次方程判别式与解的个数关系，但公式运用熟练度不足，知识间关联应用意识较弱. 教学中可能遇三类困难： 一是几何法中，从圆的一般式提取圆心坐标易出错，距离公式代入计算易漏项； 二是代数法联立直线与圆的方程时，消元整理一元二次方程易失误，判别式计算易出错； 三是面对具体问题，不知如何选择几何法或代数法. 解决方法：通过典型例题强化圆心坐标提取训练，板书距离公式分步计算；分步演示代数法消元步骤，用错题示例强调易错点；对比两种方法优劣，结合例题说明选择依据. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：几何法中圆心坐标提取与距离计算、代数法消元及判别式应用，及问题中方法选择. 知识点一　直线与圆的位置关系 位置关系 公共点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 [想一想]　当直线经过圆内一点时，直线与圆的位置关系是怎样的？ 提示：相交． 知识点二　直线与圆位置关系的判断方法 (1)代数法 直线l：Ax＋By＋C＝0，圆M：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，直线l与圆M的方程联立得方程组，消去y(或x)整理，得关于x(或y)的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(或my2＋ny＋k＝0)，其判别式为Δ＝n2－4mk， Δ>0⇔直线l与圆M相交； Δ＝0⇔直线l与圆M相切； Δ<0⇔直线l与圆M相离． (2)几何法 直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心为M(a，b)、半径为r的圆，圆心M到直线l的距离为d. d>r⇔直线l与圆M相离； d＝r⇔直线l与圆M相切； d<r⇔直线l与圆M相交． [拓展]　切线段的长度公式 (1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则P到切点的切线段长为d＝. (2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的切线，则P到切点的切线段长为d＝. 课堂导入1：道路施工——圆形转盘与新建道路 某城市新建一个圆形转盘，圆心位于路口中心 ，半径 米。市政规划拟从转盘西侧修建一条笔直道路 ，道路边缘所在直线方程为 。施工前需评估： 问题1：这条道路是否会穿过转盘区域？如果会，是否需要调整路线？请用数学方法给出判断依据。 问题2：如果道路与转盘相交，施工时需要在转盘内预留多长的施工围挡范围（即道路在转盘内的长度）？ 设计意图：将“判断直线与圆的位置关系”和“求弦长”融入道路施工的真实场景，让学生体会数学在工程评估中的实用价值，激发学习动机。 课堂导入2：公园景观——圆形水池与观景步道 某公园有一圆形景观水池，中心坐标为 ，半径 米。公园管理处计划在水池边缘某点 处修建一座观景亭，并从亭子出发修建一条笔直石板步道，要求步道恰好与水池边缘相切（步道不与水池相交，仅在亭子处与水池边缘相接）。 问题1：从亭子出发，可以修建几条满足条件的步道？为什么？ 问题2：你能利用今天所学的知识，帮设计师求出这条步道所在直线的方程吗？ 设计意图：将“求切线方程”融入公园景观设计情境，让学生直观理解“相切”的几何意义，体会“过圆上一点只有一条切线”与“过圆外一点有两条切线”的区别，为后续分类讨论埋下伏笔。 视频引入 教师：古诗里描写道：“海上生明月，天涯共此时.”，它生动地描绘了月出的绚丽景象.大家有没有想过，在月出的过程中，其实也蕴含了有趣的数学知识. 把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线， 那么在日出的过程中，体现了直线和圆的哪些位置关系？ 设计意图：以古诗与日出场景联结生活与数学，激发兴趣，让学生直观感知直线与圆的位置变化，自然引出课题. 教学建议：可播放日出动态视频或展示动态课件，引导学生观察圆与直线公共点数量变化，鼓励学生主动描述发现. 学生：思考并回顾初中知识，马上得出答案回顾初中知识，我们知道，直线与圆有三种位置关系： (1) 直线与圆相交，有两个公共点； (2) 直线与圆相切，只有一个公共点； (3) 直线与圆相离，没有公共点． 教师：教师针对学生的不同答案作出适时评价，并指出这是从形的角度给出的判定方法. 设计意图：直线与圆的位置关系在现实生活中有非常多的实例，通过日出的图象来引入本节课的内容，直观且自然，让学生体会到数学是源于实际生活的. 教师：在前面平面解析几何学习中，我们学习了：① 直线的方程，圆的方程； ② 用方程研究两条直线的位置关系，请思考： 类比用方程研究两条直线位置关系的方法， 如何利用直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的三种位置关系呢？ 学生：类比思考，带着问题进入本届新课. 回顾：在本章2.3.1的学习中，我们是如何用方程定量计算研究两条直线的位置关系的？ 学生：回顾所学知识，翻阅相关笔记，得出答案 联立两条直线方程，构成方程组， 方程组解的个数即可得到两直线交点的个数，从而得出两条直线位置关系. 探究：类比以上方法，得出如何用方程定量计算研究直线与圆的的位置关系的方法. 师生：类比探究，与同桌进行讨论，得出答案，教师巡视，适当提示. 联立直线方程和圆的方程，构成方程组， 代入消元得到一个一元二次方程，计算∆，即可判断方程解的个数， 从而可以得出直线与圆交点的个数，即可判断直线与圆的位置关系. 例1 已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：联立直线与圆的方程，得 消去，得， 所以方程③有两个解，直线与圆有两个公共点 所以，直线与圆相交的位置关系为：相交． 教师：以上判断直线与圆的位置关系的方法，称之为代数法. 追问：直线与圆相交，如何求直线被圆所截得的弦长? 师生：共同分析，已判断直线与圆有两个交点，若能求出两个交点坐标，利用两点间的距离公式即可求得弦长. 学生：根据共同分析的思路进行自主求弦长. 预设：解方程，得，． 把，分别代入方程①，得，． 所以，直线与圆的两个交点是，． 因此所求弦长． 师生：共同总结，1、代数法判断直线与圆的位置关系的步骤： ① 联立：将直线方程和圆的方程联立 ② 消元：消元得到一元二次方程 ③ 算∆：计算一元二次方程的∆，得出∆的正负性 ④ 定论：根据∆的正负性，下结论 2、代数法计算弦长： 计算出直线与圆的两个交点坐标，直接用两点间的距离公式求弦长即可 思考：观看以下动画，思考是否还有其他方法判断直线与圆的位置关系呢？ 学生：观看动画，思考分析，寻找其他方法判断直线与圆的位置关系. 教师：将以上动画的三个瞬间定格如下：再次思考是否还有其他方法判断直线与圆的位置关系呢？ d: 圆心到直线的距离，r：圆的半径 学生：自主分析总结，并得出结论： 例1 已知直线和圆心为的圆，用几何法判断直线与圆的位置关系； 学生：根据刚刚的探究，思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：圆的方程可化为，因此圆心的坐标为，半径为，圆心到直线l的距离． 所以直线l与圆C相交，有两个公共点． 追问：直线与圆相交，如何求直线被圆所截得的弦长? 知识小贴士：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧 师生：根据垂径定理，可以构造一个直角三角形，然后利用勾股定理即可求得弦长. 学生：根据共同分析的思路进行自主求弦长. 预设：解如图，由垂径定理，得， 解得 师生：共同总结，1、几何法判断直线与圆的位置关系的步骤： ① 算r：将圆的方程化为标准方程得圆心坐标和半径r. ② 算d：计算圆心到直线的距离d， ③ 下结论：根据d与r的大小关系，下结论 2、几何法计算弦长： 借助垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理求弦长即可 思考：与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么优点？ 学生：回顾初中知识，并比较总结，得出结论： 用方程判断是定量计算分析，若相交或相切可以直接求出交点（切点）坐标 追问：例1中两种解法（代数法和几何法）的差异是什么？ 学生：相互讨论和探讨，得出结论： 解法1，即代数法是直接运用直线和圆的方程组成的方程组，有无实数解的情况判断直线圆位置关系，完全代数的方法，比较容易想到，计算量比较大. 解法2，即几何法是利用图形中的相关几何量(圆心到直线的距离，圆的半径)的大小比较，判断直线与圆位置关系. 利用图形的几何性质，有助于简化计算. 例2 过点作圆的切线，求切线的方程． 师生：共同分析，设切线方程为：，因为相切，联立消元后的一元二次方程只有个解，即，从而求出 学生：根据刚刚的共同分析，思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：设切线的斜率为，则切线的方程为． 因为直线与圆相切，所以方程组 ， 只有一组解． 消元，得． ① 因为方程①只有一组解，所以 ． 解得或． 因此，所求切线的方程为，或． 教师：以上求切线方程的方法为：代数法 师生：共同总结，1、代数法求圆外一点的切线方程： ① 设斜率k：分斜率“存在”与“不存在”两种情况讨论； ② 写方程：用点斜式写出直线的方程:； ③ 联立算∆：联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程，计算∆； ④ 列方程：利用∆=0建立方程，求出k，即可求得切线方程 2、注意事项： ① 过圆外一点的切线一定会有两条 ② 若解方程∆=0只有一个解，说明另一解就是斜率k不存在 例2 过点作圆的切线，求切线的方程． 师生：共同分析，设切线方程为：，因为相切，圆心到直线的距离d=r，从而求出 学生：根据刚刚的共同分析，思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：设切线的斜率为，则切线的方程为，即． 由圆心到切线的距离等于圆的半径1，得 ， 解得或． 因此，所求切线的方程为，或． 师生：共同总结，1、几何法求圆外一点的切线方程： ① 设斜率k：分斜率“存在”与“不存在”两种情况讨论； ② 写方程：用点斜式写出直线的方程:； ③ 算d和r：计算圆心到直线的距离d和圆的半径r； ④ 列方程：利用∆=0建立方程，求出k，即可求得切线方程； 2、注意事项： ① 过圆外一点的切线一定会有两条 ② ② 若解方程d=r只有一个解，说明另一解就是斜率k不存在 题型一：判断直线与圆的位置关系 例题．直线与圆的位置关系为（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 预设：圆，即，其圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系为相切.故选：C 题型二：求弦长、根据弦长求参数值 例题．（1）直线与圆交于两点，则弦的长（    ） A． B． C． D． 预设：设圆的圆心为，半径， 因为到直线的距离， 所以. （2）已知直线与圆交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 预设：圆的圆心， 所以圆心到直线的距离为，则， 而，所以，解得：. 故选：A. 题型三：根据直线与圆的位置关系求参数（值）范围 例题 已知直线方程,圆的方程.当m为何值时,直线与圆 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点? 法一：将直线代入圆的方程,得 , ∴当,即时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点; 当,即时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点; 当,即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 法二：已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,即圆心为(2,1),半径r=2. 圆心(2,1)到直线的距离. ∴当,即时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点; 当,即时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点; 当,即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 方法总结：根据直线与圆的位置关系求参数（值）范围 代数法：联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程， 利用∆>0（相交）、∆<0（相离）、∆=0（相切）建立不等式（方程） 即可解出参数的范围（值） 几何法：求圆心到直线的距离d和圆心半径r， 利用d<r（相交）、d>r（相离）、d=r（相切）建立不等式（方程） 即可解出参数的范围（值） 题型四：求过圆上一点的圆的切线方程 例题 已知过点P(2,2) 的直线l与圆相切,求直线l的方程. 法一：圆的圆心坐标，半径， 又，所以， 易知在圆上，且直线l与圆相切 所以，所以 所以，所求切线方程为：，即 法二：圆的圆心坐标，半径， 设过点的直线的斜率为， （1）当k不存在时，直线l为：，易知与圆不相切，不符合题意； （2）当k存在时，则直线方程，即，由于直线和圆相切，故，得， 所以，所求切线方程为：，即 方法总结: 求过圆上一点P的圆C的切线方程 法一：先判断点P在圆上，则点P为切点；然后用切点和圆心坐标，求直线PC的斜率；然后利用切线与直线PC垂直，求出切线斜率；最后用点斜式即可求切线方程. 法二：设切线的斜率为k，点斜式写出切线方程，利用d=r（相切）建立方程，求出k的值，最后最后用点斜式即可求切线方程. 注意：若方程无解，则说明切线斜率不存在. 题型五：求过圆外一点的圆的切线方程 例题：过点M（2，4）向圆引切线，求其切线的方程． 预设：由于（2－1）2＋（4＋3）2＝50>1，故点M在圆外． 当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0， 由于直线与圆相切，故，解得． 所以切线方程为24x－7y－20＝0． 又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切． 综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2． 方法归纳总结：求过圆外一点P的圆C的切线方程 第一步：设切线的斜率为k，点斜式写出切线方程 第二步：求圆心到切线的距离d（含k的式子）； 第三步：利用d=r（相切）建立方程，求出k的值 第四步：最后用点斜式即可求切线方程. 注意：若方程只有一个解，则说明有一条切线的斜率不存在. 1.（26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】C 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 即，所以直线l与圆C的位置关系是相离. 2.（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】A 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【详解】圆C：的圆心为，半径为， 圆心到：的距离 ， 则圆C与相交，故A正确.. 3.（25-26高二上·安徽六安·期末）已知，直线，则直线与的位置关系（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】A 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系、直线过定点问题、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先求出直线经过的定点坐标，判断点与圆的位置关系即可得出结论. 【详解】将代入直线中有，解得， 所以直线恒过点， 代入方程得， 所以点在内部，所以直线与相交， 故选：A 4.（25-26高二上·广东湛江·期末）直线：与圆C：的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系 【分析】先求出圆心及半径，再应用圆心到直线距离与半径比较即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆C的圆心坐标为，半径为2， 直线的方程为，圆心到直线的距离为， 所以直线与圆C的位置关系是相交. 故选:A. 5.（山东德州市宁津县第一中学2026届高三下学期模拟演练数学试题）若直线与圆心为的圆相离，则该圆的半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相离， 所以该圆的半径的取值范围是.故选:A. 6.（25-26高二上·江苏南通·期末）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系 【分析】先求圆心到直线的距离，再结合半径关系判断即可. 【详解】由题知圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为，， 所以圆上到直线的距离等于1的点的个数为2. 故选：B 7.（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 【答案】C 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】直线与圆相交转化为圆心到直线的距离小于半径，列不等式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交， 所以，化简得.故选：C. 8.（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）若圆上至少有 个点到直线的距离等于 ，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【详解】圆的方程为，圆心坐标为， 直线方程为，即， 圆心到直线的距离为 ， 因为圆上至少有3个点到直线的距离等于1， 所以圆的半径大于等于圆心到直线的距离与1的和，即， 即，则半径的取值范围是.故选：A. 9.（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值. 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5.故选：C. 10.（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知圆：，直线：，设为圆上的一动点，则点到直线的最大距离为（   ） A．4 B．5 C．7 D．13 【答案】C 【知识点】求点到直线的距离、直线过定点问题、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】先求得圆心到直线的最大距离，再根据圆周上的点到直线距离的最大值为即可求解． 【详解】由题意得圆心，半径为3， 因为直线：，所以直线过定点， 数形结合可知，圆心到直线的最大距离， 所以点到直线的最大距离为．故选：C. 1.（2026·江苏·三模）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】先根据点与圆的位置关系得出，再根据点到直线距离公式判断出直线与圆的位置关系． 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为， 因为点在圆外， 所以，则， 到直线的距离， 所以直线与圆相交．故选：C. 2.（25-26高三下·云南昭通·期中）已知直线：（其中）与圆C：，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m的取值有关系 【答案】C 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系、直线过定点问题 【详解】直线：可变形为： ， 令系数为0，则，解得， 直线恒过定点， 圆C：的标准形式为， 是以为圆心，半径是2的圆， ，故过圆内一点的直线与圆恒相交．故选：C. 3.（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知圆上的点到直线的距离为1，则满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 又因为圆的半径为，则劣弧的中点到直线的距离为， 故到直线的距离为1的点共有4个.    4.（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）（多选题）已知圆：，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆的圆心坐标为，半径为 C．圆与轴交于点，则 D．直线：与圆相切，则 【答案】ABC 【知识点】判断点与圆的位置关系、求直线与圆交点的坐标、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】对于A，直接利用点与圆的位置关系判断即可；对于B，将圆的一般式方程化为标准式方程即可；对于C，将点表示出来，利用三角形面积公式求解即可；对于D，根据直线与圆相切表示出圆心到直线的距离，利用直线与圆的位置关系判断即可. 【详解】对于A，根据点与圆的位置关系， 将点代入圆方程，得， 所以点在圆内，选项A正确； 对于B，因为圆：， 所以圆的标准式为，圆心为，半径为2，选项B正确； 对于C，令，则，得， 所以， 因为圆心到轴的距离为1，所以，选项C正确； 对于D，因为直线：与圆相切， 所以，解得，所以D错误. 故选：ABC 1. 知识清单 · 三种位置关系：相交（2个公共点）、相切（1个公共点）、相离（0个公共点）。 · 两种判断方法： · 几何法：比较 与 的大小。 · 代数法：比较 与 的大小。 · 两个应用： · 求弦长：（几何法）。 · 求切线：过圆上一点（1条）、过圆外一点（2条，注意斜率不存在）。 2. 方法归纳 几何法优先，代数法兜底。 · 只判断位置关系 → 几何法 · 求切线、弦长 → 几何法 · 求交点坐标、复杂条件 → 代数法 3. 易错提醒 易错点 正确做法 圆的一般式提取圆心坐标时符号弄反 配方或直接背公式： 的圆心为 点到直线距离公式漏绝对值或分母 公式 ，绝对值与分母缺一不可 求切线时忘记讨论斜率不存在 先判断“过圆上一点”还是“过圆外一点”，再设斜率，最后验证斜率不存在的情况 弦长公式记错 ，不是 判断方法选择策略 问题类型 推荐方法 理由 仅判断位置关系 几何法 计算量小，只需算一个距离 求切线方程 几何法 利用 列方程，简单直接 求弦长 几何法 用垂径定理+勾股定理，避开求交点坐标 求交点坐标 代数法 联立方程解出坐标，几何法无法给出具体坐标 涉及参数范围 几何法/代数法均可 几何法列不等式更直观，代数法列 不等式 作业1：完成教材：第93页 练习1,2,3 作业2：配套辅导资料对应的《直线与圆的位置关系》.  2.5.1 直线与圆的位置关系（第1课时） 1. 根据交点个数： 相离、相交、相切 2. 判断方法： 代数法： 相交 相切 相离 几何法： 相交 相切 相离 3. 例题区：（学生板演区域） 本节课以 “海上生明月” 古诗结合日出动态演示引入，有效激发学生兴趣，帮助其直观感知直线与圆的三种位置关系，后续通过对比几何法（距离与半径比较）和代数法（判别式判断），结合典型例题分步讲解，多数学生能掌握核心方法.但教学中发现，部分学生提取圆的一般式圆心坐标易出错，计算点到直线距离时漏写分母，联立方程消元也存在运算失误，且少数学生面对具体问题时，不知如何选择更简便的判断方法.后续需增加基础公式应用的针对性练习，用错题案例强化易错点，同时设计分层任务，帮助不同层次学生巩固方法，提升知识应用能力. 学科网（北京）股份有限公司 $