0207对数与对数函数 专项训练 2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习—— 对数与对数函数 专项训练 0207对数与对数函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、对数的运算 例1．化简下列各式，并求值． (1) (2)； 训练1-1．（多选）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 训练1-2．（多选）以下运算中不正确的有（    ） A．若，则 B． C． D． 训练1-3．（多选）下列各式正确的有（     ） A．已知，，则 B． C．设，则 D． 二、对数函数的图象及应用 例2．（多选）已知，则函数与的图像可能是（    ） A． B． C． D． 训练2-1．已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围为____. 训练2-2．已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 训练2-3．已知函数，若，则______；若，且，则的取值范围是______. 三、对数函数的性质及应用——比较大小 例3．已知，，，则三者大小关系为（   ） A．a > b > c B．b > a > c C．c > a > b D．b > c > a 训练3-1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 四、对数函数的性质及应用——解对数方程或不等式 例4．设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 训练4-1．已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C．(1，0) D． 训练4-2．已知函数，则不等式的解集_________. 五、对数性质的综合应用 例5．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在定义域上是增函数 D．在定义域上是减函数 训练5-1．（多选）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 训练5-2．已知函数为偶函数. (1)解关于x的不等式； (2)若在区间上恒成立，求a的取值范围. 训练5-3．已知函数且. (1)若，求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习—— 对数与对数函数 专项训练 0207对数与对数函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、对数的运算 例1．化简下列各式，并求值． (1) (2)； 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用对数的运算即可得到答案.（2）利用对数的运算法则计算求解； 【详解】（1）. （2）原式 ． 训练1-1．（多选）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数幂运算和对数的计算公式逐一判断即可. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 训练1-2．（多选）以下运算中不正确的有（    ） A．若，则 B． C． D． 【答案】BD 【分析】由对数，指数幂运算可判断各选项正误． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：BD 训练1-3．（多选）下列各式正确的有（     ） A．已知，，则 B． C．设，则 D． 【答案】ACD 【分析】根据对数运算律结合换底公式计算判断A，D，应用指数运算律计算判断B，C. 【详解】因为，，则，A选项正确； ，B选项错误； 设，则，C选项正确； ，D选项正确； 二、对数函数的图象及应用 例2．（多选）已知，则函数与的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先化简的解析式，然后根据函数定义域及两个函数的单调性进行判断即可． 【详解】∵， ∴， 又，定义域为，A选项错误； ∴函数与的单调性相同，结合各选项可得B，D符合题意，C不符合题意． 故选：BD 训练2-1．已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围为____. 【答案】 【分析】根据指数函数、对数函数图象与性质画出函数图象，通过平移直线找到当与有三个交点时的的范围即可. 【详解】作出的函数图象如图所示: 画出函数的图象, 由图象可知当时，有1零点， 当时，有3个零点， 当或时，有2个零点. 故答案为：. 训练2-2．已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由函数图像知，在定义域内单调递减，所以， 根据图像可知函数的图像是把的图像向左平移小于1个单位得到的， 所以，解得. 训练2-3．已知函数，若，则______；若，且，则的取值范围是______. 【答案】 或 【分析】根据对数运算求解方程；根据对数函数的图象，即可去绝对值，再结合基本不等式，即可求解的取值范围. 【详解】，得或； 由题意可知，， 由函数图象可知，，则， 即，则， ， 所以的取值范围是. 故答案为：或； 三、对数函数的性质及应用——比较大小 例3．已知，，，则三者大小关系为（   ） A．a > b > c B．b > a > c C．c > a > b D．b > c > a 【答案】B 【分析】利用对数函数的换底公式比较，借助于中间值比较. 【详解】利用换底公式，，， 由于，，所以，即. 显然，所以. 训练3-1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】单调递增，故， 单调递增，故， ， 对于，，设函数，， 故函数在上单调递增， 所以， 则，所以， 故． 四、对数函数的性质及应用——解对数方程或不等式 例4．设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】探讨函数的奇偶性和单调性，再借助性质求解不等式即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以是偶函数， 因为函数，在上单调递增， 因此函数在上单调递增， 若，则，得，解得或， 所以的取值范围为. 训练4-1．已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C．(1，0) D． 【答案】B 【分析】首先化简函数，再判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质解不等式. 【详解】， 设，，所以为偶函数， 所以，是偶函数， 当时，， 所以在单调递增，根据复合函数单调性可知，在单调递增， 所以不等式， 即，两边平方，整理为， 解得：或 所以不等式的解集为. 训练4-2．已知函数，则不等式的解集_________. 【答案】 【分析】探讨函数的性质，进而求解不等式. 【详解】函数的定义域为，， 函数是奇函数，而函数在上单调递减， 函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 不等式， 则，解得， 所以所求不等式的解集为. 故答案为： 五、对数性质的综合应用 例5．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在定义域上是增函数 D．在定义域上是减函数 【答案】AC 【分析】先求函数的定义域，再根据函数奇偶性的定义判断可得AB项的对错；再根据复合函数的单调性可得CD项的对错. 【详解】因为要使函数有意义，则，即， ，解得，所以函数的定义域为. 因此函数的定义域关于原点对称. 又因为， 故函数为奇函数，所以A正确，B错误； 令，则， 因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递增， 因此函数在上单调递增，且，函数在上单调递增， 根据复合函数的单调性可知函数在上单调递增， 因此函数在定义域上是增函数，故C正确，D错误. 训练5-1．（多选）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 【答案】BCD 【分析】作出函数的图象，结合图象逐一判断即可． 【详解】作出函数的大致图象，如图． 对于A，因为函数有三个互不相等的零点，则函数与的图象有三个不同的交点． 结合图象可得，故A不正确． 对于B，由函数的图象可知其单调递减区间为， ，故B正确． 对于C，由函数的图象可知，且，所以， 即，所以，故C正确． 对于D，设，则． 令，由函数的图象，得或． 当，即时，则，解得； 当，即时，所以或，解得或或， 所以函数有4个零点，故D正确． 训练5-2．已知函数为偶函数. (1)解关于x的不等式； (2)若在区间上恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇偶性求m，然后解不等式可得； （2）参变分离，将问题转化为函数最值问题，然后利用单调性求函数最值即可. 【详解】（1），由于函数为偶函数， 所以， 即，即， 即恒成立，∴. 所以不等式为，解得：或，所以原不等式的解集是. （2）由题得恒成立，即恒成立， 因为，所以，所以恒成立， 令，令， 则， 因为在单调递增， 所以函数在上单调递减，故. ∴. ∵对任意的恒成立，且，∴. ∴实数a的取值范围是. 训练5-3．已知函数且. (1)若，求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）把代入函数解析式，令，换元法求不等式的解集即可；（2）依题意，令，问题转化为存在，成立，求出的最小值即可. 【详解】（1）当，， 令， 则可化为， 即， 解得或，即，或， 所以或， 故不等式的解集为或， （2）因为， 当时，有最大值， 故存在，成立， 令，因为，所以 即存在，成立， 即， 而函数的图象开口向下，对称轴为， 又，则， 故. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $