指数函数与对数函数分层专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以分层闯关构建指数函数与对数函数方法体系，通过基础概念辨析、性质综合应用到实际建模，形成“概念-性质-应用”逻辑链，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础闯关|14题（含选择、填空）|单调性比较法、零点存在定理、换元法、基本不等式|从指数对数概念生成，到单调性、奇偶性、周期性综合应用，构建性质应用逻辑| |拔尖闯关|3解答题|函数定义证明、单调性判定、数学建模（冷却模型）|从抽象函数证明到实际问题建模，实现知识迁移，体现数学应用意识|

2027届高三数学上学期分层作业：指数函数与对数函数 基础闯关 一、单选题 1．已知 ，，，则（　） A． B． C． D． 2．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 3．已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 4．“”是“”的（      ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，且，则下列式子恒成立的是（    ） A． B． C． D． 6．已知为正实数，且，则下列选项错误的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最小值为8 D．的最小值为 7．已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，现给出下列命题： ①当图象是一条连续不断的曲线时，则； ②当时，在上是减函数； ③当时，不等式恒成立； ④当时，函数的值域为. 其中正确的命题是（    ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 二、多选题 9．(多选)已知，则的值可能为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 10．某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：来研究种群数量的变化趋势，其中为最终预测数量，为初始数量，k为种群数量的年增长率，n为预测的年数，则（   ） A．当，则这期间种群数呈下降趋势 B．当，则这期间种群数呈下降趋势 C．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为1061 D．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为2991 11．已知是定义在上的函数，下列命题不正确的是（    ） A．若在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且在内有零点，则有 B．若在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，则其在内没有零点 C．若在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，则其在内有零点 D．若在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，则其在内有零点 三、填空题 12．若函数的单调递增区间是，则______. 13．已知函数 有 个零点，则实数 的取值范围为______. 14．已知函数，．若，，满足，则实数a的最小值为__________． 拔尖闯关 四、解答题 15．已知函数是偶函数， (1)求的值． (2)令，， （ⅰ）求的值域． （ⅱ）若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 16．定义在的函数满足对任意、，都有，则称 为 “类对数型”函数. (1)求证：为 “类对数型”函数； (2)当时，，请判断并证明函数的单调性； (3)若为 “类对数型”函数， 求的值. 17．中国茶文化源远流长，是中华文明的重要组成部分，从神农时代至今，茶文化已经在中国发展了4700多年，形成了独特的精神内涵和表现形式.若把一杯刚泡的茶水放在冷空气中冷却，茶水初始的温度为，空气温度为（），则经过后茶水的温度（单位：）可由公式（其中，）求得，其中是一个随着茶水与空气的接触状况而定的正的常数.现在有85的一杯茶水，放在25的空气中冷却，20min以后的温度是35. (1)求的值； (2)若将100的茶水，放在20的空气中冷却，该茶水的温度降至24需要多少分钟？（精确到小数点后一位）（参考数值：，，） (3)该函数模型为（其中，，），请结合实际意义对函数模型及其系数，给出合理的解释. 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《2027届高三数学上学期分层作业：指数函数与对数函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C A B C C AD AC 题号 11 答案 ABC 1．A 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法即可判断. 【详解】由于； ； ， 所以. 2．B 【详解】函数的定义域是， 因为和在上都是单调递增的， 所以在上单调递增，最多只有一个零点， ， ， ，所以函数的零点在区间内. 3．D 【分析】将对数式化为指数式，根据指数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，所以. 4．C 【详解】因为， 则“”是“”的充要条件. 5．A 【详解】选项A, ,所以选项A正确; 选项B, ,因为不确定,所以等式不恒成立, 选项B错误; 选项C, 当且仅当或,恒成立,根据题干条件无法得到或,所以选项C错误; 选项D,若,则,根据题干条件无法得到恒成立,所以选项D错误. 6．B 【分析】先利用指数运算得，然后利用基本不等式求解判断A；利用二次函数性质求解判断B；利用基本不等式的常数代换技巧求解判断C；先利用已知得，然后利用基本不等式求解判断D. 【详解】因为，所以，又为正实数， A：由基本不等式：， 两边平方得，即，当且仅当等号成立， 即，因此的最大值为，故A正确； B：将代入得：， 这是开口向上的二次函数，对称轴， 代入得最小值为，故B错误； C：， 得到的最小值为8，当且仅当等号成立，故C正确； D：， 由（1）知，所以，即， 当且仅当等号成立，符合条件， 因此的最小值为，故D正确. 7．C 【分析】由两个偶函数推出周期为2，将a，b，c自变量统一转化到区间，利用该区间函数递减，比较自变量大小得到函数值大小. 【详解】因为函数是偶函数，则，又因为为偶函数，则， 可化为，所以有， 所以函数是周期为2的函数，则，， 又时，是减函数，由， 可得，即. 8．C 【分析】结合分段函数的连续性、单调性、值域定义，逐个验证四个命题. 【详解】①当时，因为，此时的图象是一条连续不断的曲线，①正确； ②当函数是减函数时，则，解得，因此②不正确； ③当时，，， ，， 因为函数在上单调递增， 所以，即， 所以当时，恒成立，故③正确； ④当时，函数在上单调递减，且在上不连续，此时函数的值域不为，④错误． 9．AD 【详解】∵，∴，∴. 10．AC 【分析】根据给定的信息，结合指数函数单调性逐项求解判断. 【详解】对于A，当时，，随的增大而减小，又， 因此这期间种群数呈下降趋势，A正确； 对于B，当时，，随的增大而增大，又， 因此这期间种群数呈上升趋势，B错误； 对于C，，即2年后预测种群数量约为1061，C正确； 对于D，，即2年后预测种群数量约为2881，D错误. 故选：AC 11．ABC 【分析】根据函数的零点的概念，以及函数零点存在定理，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于A中，函数在内有零点，但是，故A不正确； 对于B中，函数，满足，在内有零点，故B不正确； 对于C中，若在区间上的图象是一条连续不断的曲线， ，，且在上恒成立，此时满足， 但是其在内没有零点，故C不正确； 对于D中，若在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有， 根据零点的存在定理，可得在内有零点，故D是正确的. 12．2 【详解】设， 因为函数的对称轴为，其单调递增区间为， 且函数为上增函数， 则依题意可得，解得. 13． 【分析】应用零点列方程，再结合二次函数特征求解. 【详解】令 得 . 设 ，其图象为 在 轴下方部分翻折到轴上方所得， 在 、 处为 ，在 处取得最大值 .要使方程有 4 个不同实根，需 ， 故实数的取值范围是. 14．5 【分析】将双变量问题转化成. 【详解】因为，，满足，所以， 对于对称轴，在上单调递减，在上单调递增，所以， 又在上单调递增，，解得， 实数的最小值为. 15．(1)1 (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】(1)利用偶函数的定义即可求解； (2) （ⅰ）由题可得，令，即，结合对勾函数的单调性即可求解； （ⅱ）令，将问题转化为对任意恒成立． 令，的对称轴为，转化为，结合二次函数的图像与性质即可求解. 【详解】（1）是偶函数， 即 ，， ，． （2）（ⅰ）由（1）可得． ， 令，则． ，． 在上单调递增， 的值域为． （ⅱ）令，则，． 不等式，可化为，即对任意恒成立． 令，的对称轴为，只需． 当时，恒成立． 当时，在单调递增，，解得． 当时，在单调递减，，解得． 综上所述，的取值范围是． 16．(1)证明：的定义域为，满足定义要求. 对任意， ；， 即，满足“类对数型”函数定义，故是“类对数型”函数. (2)是单调递增函数. 证明：令，得，解得. 对任意，有. 根据题目条件，当时，因此. 将改写为，代入“类对数型”恒等式得， 移项整理得结合，可得. 即对任意，都有，因此在定义域上单调递增. (3) 【分析】（1）验证满足类对数型恒等式，即； （2）先令得，再对 利用及条件，由恒等式变形得，证明单调递增； （3）令得，再将原式按互为倒数的两项配对求和，加上 即得结果. 【详解】（1）略. （2）略. （3）令，代入定义得. 对任意，令，代入定义得， 即，得. 原式中，共对，加上， 总和为. 17．(1) (2)33.4分钟. (3)当物体的温度高于环境温度，随着时间的增加，物体的温度下降，温度下降的速度是先快后慢，故函数模型是合理的. ：代表环境温度，是茶水冷却过程中温度趋近的极限值； ：代表茶水初始温度与环境温度的差值，差值越大，初始冷却速度越快. 【分析】（1）结合已知条件及指数函数、对数的运算求解即可. （2）根据指数函数的模型，结合指数与对数的互化、对数的运算求解即可. （3）结合函数模型分析其实际意义，分析解释即可. 【详解】（1）由题意知，，即， 所以，解得. （2）设该物体需要放置分钟温度降至24，由题意知，，即. 由（1）知，所以，即， 所以， 故该茶水的温度降至24需要33.4分钟. （3）当时，物体初始温度； 当时，即当物体冷却时间足够长时，物体的温度会趋近于环境温度， 又当时，，因此，， 故. 当物体的温度高于环境温度，随着时间的增加，物体的温度下降，温度下降的速度是先快后慢，故函数模型是合理的. ：代表环境温度，是茶水冷却过程中温度趋近的极限值； ：代表茶水初始温度与环境温度的差值，差值越大，初始冷却速度越快. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $