精品解析：山东烟台市莱州市第一中学2023-2024学年高二上学期第一次质量检测数学试题10.7

2022级高二数学第一次质量检测10.7（数学） 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 1 2. 空间四点共面，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 3. 直线的倾斜角的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 4. 设分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直 5. 如图，正四棱柱中，，若直线与直线所成的角为，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多项选择题：本大题共4小题，共24分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 B. 直线在轴的截距是2 C. 直线的倾斜角为30° D. 过点且倾斜角为90°的直线方程为 10. 下列直线经过点并且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ） A. B. 平面 C. 向量与的夹角是60° D. 直线与AC所成角的余弦值为 12. 如图，在边长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当为中点时，直线平面 B. 当为中点时，直线与所成的角为 C. 若是棱上的动点，且，则平面平面 D. 当在棱上运动时，直线与平面所成的角的最大值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知四面体的所有棱长都是，点是的中点，则___________. 14. 已知直线在轴上的截距为4，倾斜角为，且，则直线的斜截式方程为______ 15. 直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则面积的最小值为 __，当面积取最小值时，直线的一般式方程是 __． 16. 在四棱锥中，四边形为正方形，，平面平面，，点为上的动点，平面与平面所成的二面角为（为锐角），则当取最小值时，三棱锥的体积为 ___. 四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知平行四边形ABCD的三个顶点､､． （1）求顶点D的坐标； （2）在中，求边BC的高线所在直线的方程． 18. 如图，在直三棱柱中，，. （1）若三棱锥的体积为，求线段的长； （2）在（1）的条件下，求二面角的大小. 19. 已知直线. （1）当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值： （2）当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围. 20. 如图，平面，四边形是正方形，，、分别是、的中点． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离． 21. 如图，已知三棱台中，平面平面ABC，是正三角形，侧面是等腰梯形，，E为AC的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 22. 已知在长方形中，，点是的中点，沿折起平面，使平面平面. （1）求证：在四棱锥中，； （2）在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022级高二数学第一次质量检测10.7（数学） 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先利用空间向量的数量积及模长的坐标表示求出，再利用空间向量的数量积的运算律进行求解. 【详解】因为，， 所以，，， 因为与互相垂直， 所以， 即， 即， 解得. 故选：A. 2. 空间四点共面，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 由于四点A，B，C，D共面，可得存在实数λ，μ使得，解出即可． 【详解】， ∵四点A，B，C，D共面， 存在实数λ，μ使得， 解得 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量共面定理，考查了计算能力，属于容易题． 3. 直线的倾斜角的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出直线斜率的范围，由斜率与倾斜角的关系确定倾斜角的范围． 【详解】∵直线斜率，又，∴， 设直线倾斜角为，∴，而， 故倾斜角的取值范围是， 故选：B． 4. 设分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程确定斜率，利用三角形边角关系及直线垂直的判定判断两直线的位置关系即可. 【详解】由题设，的斜率为，的斜率为， 又，则，即两直线垂直. 故选：C 5. 如图，正四棱柱中，，若直线与直线所成的角为，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接与交于点，先利用线面垂直的条件证得平面，可知即为直线与平面所成的角，从而得出答案. 【详解】连接与交于点，，所以即为直线与直线所成的角，即．该几何体为正四棱柱，，可得，所以． 连接，易得，平面，平面，所以平面， 所以即为直线与平面所成的角，，所以． 故选：A. 6. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据直线求出a的值,再判断充要关系即可. 【详解】若,则,解得或.当时,直线的方程为,直线的方程为,两直线重合,所以,所以“”是“”的充要条件. 易错警示:很多考生根据求出或后,直接得出结论,而忽略排除两直线重合的情况,从而错选A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查充要关系的判断、两直线平行,考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推理. 7. 设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意将向量用表示出来即可. 【详解】因为，向量在基底下的坐标为， 所以 ， 所以向量在基底下的坐标是. 故选：A 8. 如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】以为空间一组基底，结合四点共面，用两种方法表示出，由空间向量的基本定理求得的值. 【详解】连接并延长，交于点， 以为空间一组基底， 由于是的重心，点M在上，且， 所以 ①. 连接，因为四点共面， 所以存在实数，使得， 即， ②， 由①②以及空间向量的基本定理可知： ， ， 所以. 故选：C 二、多项选择题：本大题共4小题，共24分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 B. 直线在轴的截距是2 C. 直线的倾斜角为30° D. 过点且倾斜角为90°的直线方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线的截距、倾斜角、直线方程等知识确定正确答案. 【详解】A选项，直线过点且在轴，轴截距相等，所以A选项错误. B选项，直线在轴上的截距是，B选项错误. C选项，直线的斜率为，倾斜角为，C选项正确. D选项，过点且倾斜角为90°的直线方程为，D选项正确. 故选：CD 10. 下列直线经过点并且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分两种情况，当截距为时，设直线的方程为：，将点代入求得的值，当截距不等于时，设直线的方程为：，将点代入求得的值即可求解. 【详解】当截距为时，设直线的方程为：， 将点代入可得，可得，所以，即， 当截距不等于时，设直线的方程为：， 将点代入可得：，解得：， 所以直线的方程为：，即， 所以直线的方程为：或， 故选：AC. 11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ） A. B. 平面 C. 向量与的夹角是60° D. 直线与AC所成角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可． 【详解】解：对于， ， 所以，选项错误； 对于 ，所以，即， ，所以，即，因为，平面，所以平面，选项正确； 对于：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项错误； 对于， 所以， ， 同理，可得 ， 所以，所以选项正确． 故选：AC． 12. 如图，在边长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当为中点时，直线平面 B. 当为中点时，直线与所成的角为 C. 若是棱上的动点，且，则平面平面 D. 当在棱上运动时，直线与平面所成的角的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量关系依次求解每个选项即可判断. 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设， 当为中点时，， 所以, 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则可得， 因为，所以， 因为平面，所以平面，故A正确； 因为，所以当为中点时，直线与所成的角为，故B错误； 若，则，又, 则， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，可得， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，可得， 因为，所以平面平面，故C正确； 因为，易得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 则当时，取得最大值为，所以直线与平面所成的角的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知四面体的所有棱长都是，点是的中点，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先拆分，在根据向量数量积的定义计算. 【详解】依题意得，四面体为正四面体，于是每一个面为等边三角形，， ，易知的夹角是，的夹角是，连接，易知是等边三角形的高，故，于是. 故答案为： 14. 已知直线在轴上的截距为4，倾斜角为，且，则直线的斜截式方程为______ 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，即可写出直线的方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，且，所以， 所以直线的斜率 又直线在在轴上的截距为4，所以直线方程为. 故答案为：. 15. 直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则面积的最小值为 __，当面积取最小值时，直线的一般式方程是 __． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】把直线方程设出来，然后求出两点的坐标，进而写出的面积，然后通过基本不等式即可求出面积的最小值,进而得到答案. 【详解】因为直线与轴、轴的正半轴分别交于两点，则可设直线的斜率为，且， 所以直线的方程为：即，令，得到，所以；令，得到，所以. 由，则三角形AOB的面积为 , 当且仅当,即，因为，所以， 所以直线方程为. 故答案为：，. 16. 在四棱锥中，四边形为正方形，，平面平面，，点为上的动点，平面与平面所成的二面角为（为锐角），则当取最小值时，三棱锥的体积为 ___. 【答案】 【解析】 【分析】由题知两两垂直，进而建立空间直角坐标系，设，利用坐标法求解二面角得当时，平面与平面所成的二面角为取最小值，再计算几何体的体积即可得答案. 【详解】解：因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面, 所以平面，所以， 又因为，所以两两垂直， 故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， 设， 则，，，，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 由题易知平面的法向量为， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以当时，平面与平面所成的二面角为取最小值， 此时三棱锥的体积为. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知平行四边形ABCD的三个顶点､､． （1）求顶点D的坐标； （2）在中，求边BC的高线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分，结合中点坐标公式进行求解； （2）求出直线BC的斜率，进而根据垂直关系求出边BC的高线所在直线的斜率，从而利用点斜式写出答案. 【小问1详解】 设平行四边形的中心为E，E为AC和BD的中点， 其中，则E（4,0）， 设D（x,y），则有 ，解得：，故D点的坐标为； 【小问2详解】 易知直线BC的斜率为，所以BC的高线所在直线的斜率为， BC的高线所在的直线方程为， 即. 18. 如图，在直三棱柱中，，. （1）若三棱锥的体积为，求线段的长； （2）在（1）的条件下，求二面角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质，将三棱锥的体积进行转换，变成一个容易算的三棱锥的体积； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解. 【小问1详解】 根据直棱柱性质，侧棱//，又平面，平面，故//平面，故到平面的距离等于到平面的距离，即，而，解得，而，解得. 【小问2详解】 根据直棱柱的性质，题干的条件可知，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量，由，则由可得，不妨取，则，故；设平面的法向量，由，则由可得，不妨取，则，故，结合几何体特征可知二面角的大小是锐角，由，故二面角的大小是 19. 已知直线. （1）当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值： （2）当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出且，再求出直线l在x轴上的截距，在y上的截距，列出方程，求出a的值； （2）考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，列出不等式组，求出实数a的取值范围. 【小问1详解】 由条件知，且， 在直线l的方程中，令得，令得 ∴，解得：，或， 经检验，，均符合要求. 【小问2详解】 当时，l的方程为：.即，此时l不通过第四象限； 当时，直线/的方程为：. l不通过第四象限，即，解得 综上所述，当直线不通过第四象限时，a的取值范围为 20. 如图，平面，四边形是正方形，，、分别是、的中点． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 平面，， 、、两两互相垂直， 如图所示，分别以、、所在直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系， 可得， 则，，， 设是平面的一个法向量， 可得，取，得，， 是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量， 可得，取，得， 是平面的一个法向量， ，， 即平面的法向量与平面的法向量互相垂直， 可得平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，确定平面与平面的法向量，根据法向量的关系，即可得结论； （2）根据空间向量坐标运算计算点到平面的距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得是平面的一个法向量， ， 点到平面的距离． 21. 如图，已知三棱台中，平面平面ABC，是正三角形，侧面是等腰梯形，，E为AC的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）分别取、的中点、，连接、、，则，由平面平面，推出平面，同理可得，平面，故，即、、、四点共面；易知，而，于是有平面，故而得证； （2）由（1）知，平面，得，于是，，两两垂直，故以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，根据法向量的性质求得平面的法向量，设直线与平面所成角为，由，，即可得解． 【详解】（1）证明：分别取、的中点、，连接、、， 为正三角形， ， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 同理可得，平面， ， 、、、四点共面． 等腰梯形中，、分别为、的中点， ， 又，，、平面， 平面， 平面， ． （2）解：由（1）知，平面， 平面， ， ，，两两垂直， 故以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，2，，，1，，，，，，，， ，2，，，2，，，，， 设平面的法向量为，，，则，即， 令，则，，，，， 设直线与平面所成角为， 则，， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】关键点点睛：本题考查空间中线与面的位置关系、线面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 22. 已知在长方形中，，点是的中点，沿折起平面，使平面平面. （1）求证：在四棱锥中，； （2）在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 连接,为的中点，，, 为长方形,中，, 在中，, 同理,,, 在折叠后的图形中： 平面平面，平面平面，,平面, 又平面，, 又，平面,平面,,平面， 又平面,, （2）当点为线段靠近的四等分点时，二面角的余弦值为. 理由如下： 由（1）可知：、均为等腰直角三角形，过点作底边的高，交于点，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示： 则,,,, 易知平面的一个法向量为， 假设在线段上存在点，使二面角的余弦值为， 设,则 设平面的一个法向量为， 取，则，， 即当点为线段靠近的四等分点时，二面角的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）、先在长方形中证明；再根据面面垂直的性质定理证明平面,得到；然后利用线面垂直的判定证明平面，进而证明; （2）、以中点为坐标原点建立空间直角坐标系，设表示出，再分别求出平面、平面的法向量，然后利用向量形式表示二面角的余弦值，进而求出最终确定的位置； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $