山东省烟台市莱州市第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

2023级高二第二次质量检测数学试卷 一、单远题：本题共8小题，每小凰5分，共40分。在您小题给出的选项中，只有一项是符含题自要求的。 1.已知数列(anJ的首项a1=4,且满足an+1=an一3(EN),则as=() A.-11 B.-8 C.16 D.19 2.抛物线y=2x2的焦点坐标是(). A经 a(信 c.(0) D.() 3.在等比数列(anJ中，若asa7aga11=81,则a1a15=(） A.6 B.9 C.±6 D.±9 4已知双曲线C音-兰=1，双曲线c,的焦点在y辅上，它的渐近线与双曲线c1相同，则双曲线C2的腐心率为() A.V3 B.2 C.V5 D.√7 5.图1是第七届国际数学数育大会（简称1CME一7）的会徽图案，会微的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角 形演化而成的，其中0A1=A1A2=A2A3=…=A7AB=1,如果把图2中的直角三角形继续作下去，记 OA1,0A2,,0An的长度构成的数列为(a},由此数列的通项公式为a=() ICME-7 图1 图2 A.n B.√m C.n+1 D.Vn+i 6.已知椭圆c: 荒+发=10>0的左右焦点分别为F,F,点0为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为P中点， 若△Q0Fz的周长为6，则椭圆C的焦距为() A.2 B.4 C.6 D.12 1.已知数列(a,是正项等比数列，且a2=a4,又a2,a4+1,as成等差数列，则(a,J的通项公式为() A8=品 B4=贵 C.an=2n D.a=2n-1 8.已经点M在抛物线y2=4x上运动，过点M引圆C:(x-4)2+y2=1的切线，切点为N,则MN的最小值为() A.3 B.4 c.V10-1 D.√1i 第1页， 二、多选题：本题共3小鬣，共18分。在每小图铅出的选项中，有多项符合雁目驱球。 9.下面止确的是() A.在等比数列(a}中，若a4=12,g=6,则a12=3 B.等差数列(a)的前n项和为Sm,S6<S,且S,>S,则Sn的最大值为S7 C.在等差数列(aJ中，若a4=10,a10=4,则a14=14 D.在等比数列(aJ中，若a5=8,ag=1,则q=2 10.若方程号片=1所表示的陆线为C,则下列命愿正确的是(） A.曲线C可能是圆 B.若曲线c为椭圆，则<号 C若曲线C为焦点在x抽上的椭圆，则-<t<号 D.若曲线C为双曲线，则时<t<2 11.已知抛物线B:y2=8x的焦点为F,点F与点C关于原点对称，过点C的直线与抛物线E交于A,B两点（点A和点C在 点B的两侧，则下列命题正确的是() A.BF<4 B.若BF为△ACP的中线，则AF1=BF C.存在直线使得1AC1=V②AF1 D.对于任意直线L,都有AF1+IBFI>2CF列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12已知直线交椭圆号+若=1于A,B两点，且线段AB的中点为(-1)，则直线的斜率为一 13.已知等差数列(anJ的前n项和为St,a2+as=-2a10,a3+a7=-14,则满足SnSnt1<0的n的值为 14.已知双曲线C:号-y2=1的左、右焦点分别为P1、P2,点A为双曲线C的右顶点，直线过点A且与x轴垂直，点B 为直线上异于点A的任意一点，以点B为圆心，线段BA长为半径作圆，过点F1、F2分别作圆8的切线m和(m、n与x 轴不重合)，切线m和n相交于点P,则点P到直线y=x的最小距离为· ,共2页 四、解答画：本题共5小履，共77分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步哪。 15.(本小题13分) 已知数列(an)的前n项和公式为5n=2n-1(neN). (1)求数列(a)的通项公式an (2)设b,=1og2a2n,求数列b,)的前n项和T, 16.(本小题15分) 已知抛物线Cy2=2印x(p>0)的焦点为F,点P(4,m)是C上的一点，且PF1=7. (1)求p和m的值： (②)过点F的直线与C交于A,B两点，记直线0A,OB的斜率分别为k1,k2,其中0为坐标原点，求证：k1k2为定值. 17.(本小题15分) 己知(aJ为等差数列，其前n项的和为Sn,b,J为等比数列，公比q不为1，若a2=b1,a4=b2,a5=b,且S5=-15. (1)求数列(a,J的通项公式和等比数列(b)的公比q: (2)求数列产3的前10项和. 第2页， 18.(本小题17分) 已知双曲线c号-茶=1Q>0,b>0)的-一条渐近线的倾斜角为号虚轴长为2。 (1)求双曲线C的方程； (2)直线x+1=my与双曲线C的左支交于A,B两点，点D与点A关于x轴对称. (i)求m的取值范围； (i)求证：直线BD过x轴的一个定点. 19.(本小题17分) 已知椭圆后+F-1(a>b>0)左、右焦点分别为P1,F2,点(0，V)在椭圆上，过r,的直线交椭圆于B、D两点，过 F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD,当直线BD的斜率为0时，IBD+IAC1=7. (1)求椭圆的方程； (2)若P是该椭圆上的一个动点，求P了·PF的取值范围： (3)求四边形ABCD的面积的最小值. 瓦，共2页223级高二第二次质量检测数学试卷答案 设直线AB的方程为红=y+3, 【答案】 设A(x1),B(x2y2 1.B2.D3.B4A5.B6B7.D8D 邮 得y2-12y-36=0, 9 AB 10 ACD 11 AD 因此y2■-36， 12月 又y7=12x1,y号=12x2 13.12 14号 所以==品0y2=g=9, 144 所以kk2=是是=0==-4， 15.解：(1)当n=1时，1=S1=2-1=1, 121X2 当n22时，4m=5n-S。-1=2"-1-(2"-1-1)=2-1, 17解：(1)设婷差数列则a)的公差为d: 显然n=1时，2-1=1满足要求， 因为b》为等比数列， 综上，am=2-(neN): 所以b候=b1bg:即a听=azas (2)油(1)得b,=log20=log222m-1=2n-1,则bn+1-bn=2(a+1)-1-2+ 所以(a1+3d02=(a1+d(a1+4d0.即5d2=-a1d, 1■2， 又因为q*1,所以d*0. 故伯，]为首项b1=1,d=2的等差数列，所以T,=+-》=n己. 2 所以a1=-5d, 16解：(1)油圈意PF明=4+=7， 而5，=501+婴d=-15,所以d=1 所以=a1+(n-1)d=n-6 p=6,抛物线方程为y2=12x, 所以{a)的通项公式为am=n-6, P在抛物线上，因此m2=12×4=48. 所以b1■0-46=a4-2.等比数列b,的公比q-是- 所以m=土W③ (2)因为Sn=na1+d=n (2)由(1)知焦点为F(30), 2 2 所以= 显然直线AB与x轴不重合， 建1气，其2有 令Gn=马则c+1-cn=为常数， (2F1(-1,0,F2(1,0),设Px0,则PF·PF=x2+y2-1=x2+31-)-1= 所以{cnJ是首项为-5，公差为的等差数列， +2 所以产的前10项和为-5x10+0×=-要 因为xe[-22引，故当x=0,即点P为椭圆知轴端点时，PF·PF有最小值，为2， 18解：(1)由已知得 =n解得a=3,b=1 当x■土2，即点P为椭圆长轴撂点时，PFPF2有最大值，为3， (2b=2. 所以双曲线C的方程为号-广=1： 所以PF·PF的取值范田为23)： (30当BD的斜率存在且k0时，BD的方程为=c+1),代入椭周方程鳄+号=1， ②以4，e小则-州.联3. 并化简得(4k2+3)x2+8数2x+4k2-12=0. 消去x得(m2-3)y2-2my-2=0, 设（名1y1),D(x2,2),而4>0恒成立， 则m2-3+0,4=4m2+8(m2-3)=12(m2-2)>0.hy2=-m3>0, 则+一品新=铝 2 可得2<m2<3所以m的取值范国为(-V3,-√②U(√乙√3) BD1=V1+1-x=√1+3+P-4=2 精+3 (i)油0得1+=品=-名写 因为AC1BD,所以AC的斜率为-可理得1AG=。 2D=120+ %+好3热44 由对称性可知BD过的定点在x轴上，设定点的坐标为T(L,), 72k2412 四边形ABCD的面积5S=BD列AG= 70241)2 2 HTB=(x2-ty2).TD=(x1-t,-y1). 42302+4 2 所以(x1-t)y2+(x2-)为=x1yz+x2y1-0y1+y》=(m%-1y2+(my2- 当且仅当k2=1时，上式取等号 1y1-0y1+y (0当BD的斜率k=0或斜率k不存在时，四边形ABCD的面积6. =2my5-t+10y+2=2m-(-子)-+)=-2=0， 综上。四边形ABCD的面积的最小值为得 可得t=-3, 所以直线BD过定点(-30). 19.解：(1)当直线BD的斜率为0时，直线AC垂直于x轴， 所以1BD叫=2a,4G=兰所以2a+些=7， 因为(0，V3)在椭圆上，所以b=√3， 解得a=2,b=V3。所以稀圆方程芳+号=士 宽2气，共2有