2.1 直线的倾斜角与斜率-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第二章 直线和圆的方程 2.1 直线的倾斜角与斜率 重点和难点) 课标要求 重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两，点的直线的 1.理解直线的倾斜角. 斜率公式。 2.掌握直线的斜率 难点：用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征， 3.理解两条直线平行的判定 建立直线的倾斜角、斜率及直线上任意两点 4.理解两条直线垂直的判定. 纵、横坐标差、商之间的关系 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 必备知识梳理 1101100100100110001011110110110111100101101111011110010000011111 基础梳理 知识点①直线的倾斜角◆黑 敲黑板⊙ 1.直线的方向 1.倾斜角定义中的三个条 件：①x轴正方向；②直线向上 在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直 的方向；③小于平角的非负角。 线向上的方向为这条直线的方向.这些直线相对于x轴的倾斜程 2.在平面直角坐标系中，每 度不同，也就是它们与x轴所成的角不同.因此，我们可以利用这 一条直线都有一个确定的倾斜 样的角来表示这些直线的方向。 角，而且方向相同的直线，其倾 斜程度相同，倾斜角相等；方向 2.倾斜角的概念 不同的直线，其倾斜程度不同， 当直线1与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正方向与直 倾斜角不相等.因此，我们可以 线1向上的方向之间形成的角α叫作直线l的倾斜角. 用倾斜角表示平面直角坐标系 (从形的角度刻画了直线的倾斜程度) 中一条直线的倾斜程度，也就表 3.倾斜角的范围 示了直线的方向. 当直线1与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因 3.不同角的范围 此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°，具体如下。 直线的倾斜角 {00°≤0<180°》 的范围 (注意不等于180°) 向量夹角的 {00°≤0≤180 倾斜角 a=0° 0°<a<909 a=909 90°<a<1809 范围 异面直线 {610°<0≤90} 与x轴平行 由左向右上升 重直于x轴 由左向右下降 所成角的范围 (重合) y 直线和平面 本y y {00°≤0≤≤90° 所成角的范围 直线 Ay 二面角的范围 {00°≤0≤180°》 用重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 知识点2直线的斜率 1.斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角α（α≠90）的正切值叫作这条直线 敲黑板) 的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k=tana. (1)当x1=x2时，公式右边 、(从数的角度刻画直线的倾斜程度) 无意义，直线的斜率不存在，倾 2.斜率与倾斜角的关系（结合正切函数y=tanx的性质记忆） 斜角为90°，此时公式不适用.在 a的大小 0° 0°<a<90 90° 90°<a180 研究直线的斜率问题时，一定要 斜率的值（范围） 0 (0,+∞) 不存在 (-∞，0)》 注意讨论斜率存在与不存在两 斜率的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 种情况 (2)斜率公式中k的值与 3.过两点的直线的斜率公式 P1,P2两点在该直线上的位置 (1)公式 无关，即在直线1上任取不同的 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公 两点P1,P2,斜率均不变，故斜 式为=y?二y.直观理解如图所示（以倾斜角为锐角的情况为 率公式中x1与x2,y1与y2也 x2一x1 例)。◆敲黑板。 可以交换位置，即=y?二y x2-x1 (2)直线斜率与方向向量的关系 P(y2) y1-y2 直线P1P2上的向量P1P2以及与它平 P() x1-x2 (3)若y1=y2,x1≠x2,则 行的非零向量都是直线的方向向量.显然，直 42-I 此时斜率=0，直线的倾斜角 倾斜角 线的方向向量不唯一，其中，P1P2=(x2一x1, α=0°，直线与x轴平行或重合 y2一y1)就是直线的一个方向向量， 若直线L的斜率为，我们常常用(1，)或(x,y)表示直线的 方向向量（其中兰=）. (注意直线的斜率是一个数，而其方向向量的 坐标表示是一个有序数对) 知识点(3两条直线平行和垂直的判定 1.两条直线平行的判定 (1)倾斜角的关系 如图，若两条直线11,12的倾斜角分别为 a1,a2,则l1l2台a1=a2. 提个醒回 (2)斜率的关系 若直线l1,l2重合，此时仍 ①（特殊情况）当两条直线11,12都没有斜率，即两条直线的 有1=2或斜率不存在.用斜 倾斜角都为90时，l1亿2 率证明三点共线时，常常用到这 ②对于斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,有11∥12台k1= 个结论 飞2·◆提个醒妇 (前提条件是两条直线的斜率都存在) 2.两条直线垂直的判定 (1)倾斜角的关系 如图1，若两条直线11，l2的倾斜角分别为 a1,a2,则l1⊥12台a1一a2=90°. 图1 42 第二章直线和圆的方程通 (2)斜率的关系 ①（特殊情况）如图2，当直线l1或12的倾 划重点 斜角为90°，另一条直线l2(或11)的倾斜角为 (1)当直线11⊥12时，有 0时，l1⊥L2.(此种情况中，一条直线平行于x轴，另一条 k1k2=一1或其中一条直线垂 直线垂直于x轴) 直于x轴，另一条直线垂直于 ②设直线11，l2的斜率分别为1，k2,则直 图2 y轴；而若kk2=一1，则一定有 l1⊥l2. 线l1,l2的方向向量分别为a=(1,k1),b=(1,2),于是11⊥L2台 (2)当两条直线的斜率都存 a⊥b台→a·b=0台1X1十k1k2=0,即k1k2=-1. 在时，若两条直线垂直，则可以 由上可知，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它 用一条直线的斜率表示另一条 们的斜率之积等于一1；反之，如果两条直线的斜率之积等于一1， 直线的斜率 那么它们互相垂直.即11⊥12台k1k2=一1.◆划重点。 (前提条件是两条直线的斜率都存在) 重难拓展 重难点(1 利用代数式二y的几何意义求最值或范 围问题 x2一x1 例①已知点M(x,y)在函数y=2x十8的图象上，当x∈ [一3,5]时，求： 记方法回 )的取值范同；2)2 x-6 的最大值与最小值： 斜本模型即后的形式， 解析因为，点M在函数y=2x十8的图象上，且x∈[一3,5]，记，点 将目标式化归为此结构式是利 A(-3,2),B(5,18). 用直线的斜率求解的关键.此 (1)由题意可知，点M(x,y)在线段AB上移动. 外，问题也可以从函数的角度解 记点N(-1,一D,则可香作过点M,)与，点V-1,-1D的主 答.如例1第(2)小问y+ x-6 2(2x+8)+1 4x+17 线的斜率。 x-6 x一6 又kM=- ，kw=，所以的取值范为(-，引U 4(x-6)+41 x-6 =4+6由 [g+ x∈[-3,5]知x-6∈[-9，-1]， 1 所以e[1,】,故 (22y+1=2.y+2 y十 ·吾记点P6》到 =2· x-6 可看作过点M(x, [-,8]所以 x-6 (将分子提取2后才符合斜率模型的结构) y)与点P(6,一2）的直线的斜率。 的最大值为一哥，最小值为 -37 又以-高km一-号所以吉的取值花周为37，一哥引 故)的最大值为一号，最小值为一37。园速 x-6 43 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 关键能力提升 题型（①求直线的倾斜角 tana进行求解，在求取值范围时，注意结合正切函 1.利用两直线所夹的角求倾斜角 数的性质求解。 例2(2026·成都外国 (3)由两直线垂直求倾斜角时，可通过作图，数 语学校单元检测)已知直线11 形结合求解，注意分类讨论做到不重不漏」 的倾斜角a1=15°，直线11与 题型2求直线的斜率 l2的交点为A,直线l1和L2 1.利用倾斜角、斜率、方向向量求斜率 向上的方向之间所成的角为120°，如图，求直 例④(2025·湖北华中师大一附中期中) 线12的倾斜角 解析设直线L2的倾斜角为α2，结合图形及三角形 若直线1的倾斜角为红，方向向量为e=(一1， 外角与内角的关系可得a2=120°+十a1=120°+15°= a),则实数a的值是( ) 135°，故直线l2的倾斜角为135° 变式①(2026·广东深圳盐田高级中学 A.3 B.-√3 C3 3 D、③ 3 月考)（多选）设直线1过原点，其倾斜角为α， 解析，直线l的方向向量是e=(一1，a), 将直线1绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得 到直线1，则直线l1的倾斜角可能为( ). 六直线1的斜率为k=马-Q, A.a+45 B.45°-a 又直线的倾斜角Q=2π， 3 C.x-135° D.135°-a 2.利用斜率求直线的倾斜角 ∴.斜率k=tan r=-3=-a, 3 例③(2026·天津宝坻一中月考)设直线 解得a=√5. l的斜率为k,且一1≤k<√3，则直线1的倾斜 答案A 角α的取值范围为( 2.利用过两点的直线的斜率公式求斜率 A[o,5U(8,)B[o,)U(3,x) 例⑤(2026·湖北襄阳第五中学月考)已 知直线l经过P(2,1),Q(4,5)两点，直线m的 c(,） D.[o,U[3) 倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，则直线m的 斜率为( 解析由-1≤k<√3，得-1≤tana<√3，又a∈ A.- 4 B.3 4 [0,), ∴a∈[o,）u[fx. 3 答案D 方法总结 c n (1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的 解析设直线L的倾斜角为α，则直线m的倾斜角 :知识判断直线向上方向与x轴正方向之间所成的 为2a. 角，同时应明确倾斜角的范围：0°≤a<180° .直线1经过P(2,1),Q(4,5)两点， (2)根据直线的斜率求倾斜角时，注意利用= 5-1 ,∴，tana= 4一2 =2, 44 第二章直线和圆的方程通 ∴.直线m的斜率为tan2a= 2tana2X2 题型（④两条直线垂直关系的判定及 1-tan2a1-22 应用 3 1.两条直线垂直关系的判定 答案A 例8判断直线11与l2是否垂直. 题型③两条直线平行关系的判定及 (1)l1的斜率为-10，l2经过点A(10,2), 应用 B(20,3); 1.两条直线平行关系的判定 (2)l1经过点A(3,4),B(3,10),l2经过 例6根据下列给定的条件，判断直线11点M(-10,40),N(10,40); 与直线12是否平行 (3)l1经过点A(-1,2),B(5,一1)，l2经 (1)l1经过点A(2,3),B(一4,0)，l2经过 过点C(1,0),D(4,6). 点M(-3,1),N(-2,2); 解析(1)设直线11，l2的斜率分别为1,2，则 (2)L1平行于y轴，2经过点P(0,一2)， 3-21 Q(0,5); k1=-10,k2-20-10-101 (3)l1经过点E(0,1),F(-2,一1)，l2经 因为k1k2=一1，所以11⊥l2 过点G(3,4),H(2,3). (2)由点A,B的横坐标相等，得11的倾斜角为 3-01 2-1 90°，则l1⊥x轴，设直线12的斜率为k2,则2= 解析(1)k如一2二（二④=2，k=-2-（-3》 40一40 =1,即kAB≠kMN,所以l1与l2不平行. 10-(-10)=0,则l2轴.故11⊥12 (2)由题意知l2恰好与y轴重合，所以l1亿2： ③方法-直线，的外率6：写品=子 （③)由题谚知m=号号日-1，k-多手1， 即kF=kG阳，所以L1与L2平行或重合 直线1，的鲜率：=9-2 需进一步研究E,F,G,H四点是否共线， 因为k1k2=一1，所以l1⊥l2 因为如专行二骨-1， 方法二直线L1的方向向量AB=(6,一3)，直 线l2的方向向量CD=(3,6). 所以E,F,G,H四点共线 所以l1与l2重合. 因为AB·CD=0,所以AB⊥CD,所以L1⊥l2: 2.两条直线平行关系的应用 方法总结 例7已知口ABCD的三个顶点的坐标分 判断两条直线是否垂直的方法 别是A(0,1),B(1,0),C(4,3),求顶点D的 (1)利用直线的斜率判断：在两条直线都有斜 坐标 率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于一1 解析（从平行四边形的性质ABDC且ADBC着 即可.特别地，一条直线的斜率不存在，另一条直线 手，设出点D的坐标，由斜率相等，列方程组即可求解：也可 的斜率为0时，这两条直线也垂直 以根据向量知识，由AB-DC求解) (2)利用直线的方向向量判断：设直线11的方 设点D的坐标为(x,y),则AB=(1,-1),DC 向向量为n,直线l2的方向向量为m,则l1⊥l2台 =(4-x,3-y). :nm→n·m=0. 因为AB=DC,所以 4-x=1, 3-y=-1 解得3， y=4, 2.两条直线垂直关系的应用 所以点D的坐标为(3,4). 例⑨(2026·山东省实验中学单元检测) 45 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,一1)， 解析方法一因为1≠3≠7，所以直线AB,直线 C(4,2),D(2,2),求m和n的值，使四边形 AC的斜率存在。 ABCD为直角梯形 因为A,B,C三，点共线，所以AB=kAC, 解析（直角梯形有一组对边平行，还有垂直关系，此题可 即0-2-m22,即”，2_，解得m=3. 3-1 7-1 26 分ABCD,ADBC两种情况讨论，如图所示.) 观套可知c= 方法二直线AB的方向向量为AB=(2,m 1=-3,kc=2-4 2-2 2),直线AC的方向向量为AC=(6,m). 0,且kck CD=0≠-1， 因为A,B,C三，点共线，所以AB=λAC, 所以直线BC与直线CD不垂直. 12=6λ， 所以 解得m=3. y m-2=m， 答案D D(2.2) C(4,2) 方法总结 利用斜率解决三点共线问题的方法 A(m,n) B(5,-1) (1)斜率法：若两直线AB,BC的斜率相等，则 A(m,n) A,B,C三，点共线；反过来，若A,B,C三点共线， 则直线AB,BC的斜率相等（斜率存在时）或直线 四边形ABCD是直角梯形， AB,BC的斜率都不存在. .有以下两种情形： (2)向量法：利用任意两点确定的直线的方向 ①AB/CD,AB⊥AD, 向量共线求解。 由图可知，A(2,-1), ..m=2,n=-1. ②AD∥BC,AD⊥AB, 2.利用数形结合思想解决倾斜角与斜率 n-2 的相关问题 kAD=k BC, m-2 =3， 即 例1】已知直线1过点P(一1,2)，且与以 k ADR AB=一1， n-2n+1 m-2m-5 =-1, A(一2，一3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直 16 m= 线1的斜率k的取值范围为 51 解得 解析作出直线PA,PB,如图所示，则4= 2-(-3) -1-(-2) =5,kB= 2-0 -1-3 2 16 m=2, m= y 综上可知， 或 P(-1,2) 8 n=- 5 B(3.0) 题型（⑤直线的倾斜角与斜率的综合 A(-2,-3) 应用 当直线l绕点P从直线PA逆时针转到与y轴 1.三点共线问题 平行的直线PC(PC⊥x轴)的位置时，直线I的斜率 例10[教材P58T4改编]若A(1,2), 从5开始增大，并趋向于十∞，即k∈[5，十∞). B(3,m),C(7,m十2)三点共线，则实数m的 当直线L从直线PC逆时针转到直线PB的位置 值为(). 1 A.-2 B.2 C.-3 D.3时，直线1的斜率从一∞开始增大，并趋向于一2，且 46 ,第二章直线和圆的方程 在PB位置达到-2，即k∈(-∞，一] [5,+∞) 答案 （-∞， 2 U[5,+∞). 所以直线1的斜率飞的取值范围为（一∞，一 11B11113010111101100101101010110111111111101111010101101001110311101011101 核心素养聚焦 B110111110111311011010110101011111113010111103101031111010110101101011011011 考向（①斜率公式的应用 ! 量都低于污水达标排放量，故都已达标，②正确；甲企 业在[0，t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，在[t1,t2] 例2（经典·北京卷节选）为满足人民对 时对应的两点连线的斜率最小，因此在[t1,t2]时的污 美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强 水治理能力最强，③错误 污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企 答案①②. 业的污水排放量W与时间t的关系为W 考查内容 核心素养 试题难度 fe),用-6）二fa》的大小评价在[a,b]这 b-a 斜率公式的应用 直观想象、逻 ★★☆☆☆ 辑推理 段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改 期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关 考向2 两条直线平行与垂直的应用 系如图. 例13（经典·辽宁卷）已知点O(0,0), W个甲企业 A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形， 乙企业 则必有( ). 乙企业 污水达标排放量 A.b=a3 甲企业干 0 B.b=a+1 给出下列四个结论： 0 ①在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治 c6-a6-a3-2）=0 理能力比乙企业强； ②在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都 D.6-a31+|b-a3-2|=0 已达标； 解析显然角O不能为直角（否则得a-0,不能 ③甲企业在[0，t1],[t1,t2],[t2,t3]这三 组成三角形).若角A为直角，则根据点A,B的纵坐 段时间中，在[0，t1]时的污水治理能力最强。 标相等得b一a3=0;若角B为直角，则利用OskB 其中正确结论的序号是 -1得6-a-上=0.综上可得(6-a3)(6-a3 解析 -fb）fa表示两，点(a,f(a),(6, b-a f(b)连线斜率的相反数，因此斜率越大，污水治理能 =0 力越弱 答案C 由题图可知甲企业的污水排放量在1时刻高于 考查内容 核心素养 试题难度 乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同， 通过三角形三个顶点的坐 数学抽象、逻 故在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙 标求斜率，进而判断三角形 ★★☆☆☆ 辑推理 企业强，①正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放 的形状 47即平面AEC的一个法向量为n2=(W3(-1),W3(一1)， 3入-1) 设直线PQ与平面AEC所成的角为0， 则sin0=lcos(P,ngl=PQ·nzl IPQIIn21 3a-1)-23 3 ·(3入-1) -3√105 35 ·√6(a-1)2+(3入-1)2 化简得90x2-129λ十46=0，解得入= 号或易 “当成=号P或P成-%P成时，直线PQ与平面ABC 所成角的正孩位为严 19.(1)由题意知∠BEC=∠ECD=∠AEC=90°，∠PED= ∠AED=45°， 而BE=CE,M是BC的中点，所以ME⊥ED. 又平面PED⊥平面BCDE, 平面PED∩平面BCDE=DE,MEC平面BCDE, 所以ME⊥平面PED. (2)如图，在平面PDE内作ED的垂线作为之轴，所以 ME⊥z轴. D y BM C 以E为坐标原点，分别以EM,ED为x轴、y轴正半轴建 立如图所示的空间直角坐标系. 因为BE=CD=CE=√2，BC=2,设PE=t(t>0), 所以E(0,0,0),M(1,0,0),B(1,一1,0)，C(1,1,0),D(0 2,0), 则P(o号，)Nb,,, 所以-(1，号)驴-（←1，号+1）， -02o成-(o号)成-1,10 设平面PBC的法向量n1=(x1y1,之1)， fn1·BC=2y1=0, 测。…萨-+停+)+号-0， 取m=(经0,1小。 2,2 n1·MN 4 所以sin0= MNI 1 1 √1+2× 20 t V0+602+86’ 解得V2<t<2. 设平面PEC的法向量n2=(x2y2,之2)， n2·EC=x2十y2=0, 则 a-号号0， 取x2=1,得n2=(1,-1,1). 设平面PBC与平面PEC所成锐二面角为a,则 √2 n1·n2 t+1 + cos a= Inn2 3 1 /1+22 3 2 于yt+2在2,2)时单调递增，放2<士，2 1+2w∈（ 2 +1,), 3,3 t+ 所以平面PBC与平面PEC所成锐二面角余弦值的取值范 固是(，） (3设S是四面体的表面积，则Vk=号S7,令KG与 面CGH所成的角为a, 则VxoW=合GH·CH·KGsm≤合GH·CH·KG, 1 Sae=CH·GH,SAae=2kKG·GH. 因为GH是公垂线，CD上的点和PK上的点的最短距离 是GH, SACO之SAKCH SACKH之SAcG(取不到等号)， 所以S>CH·GH+KG·GH=GH·(CH+KG), 合GH·CH·kG>GH.(CH+KG)T 所以>2(c+南) 第二章直线和圆的方程 2.1直线的倾斜角与斜率 变武训练 [变式1门AC[根据题意，由于倾斜角的范围是0°≤a<180°， 当0°≤a<135时，直线1的倾斜角为a十45°，当135≤a≤ 180时，直线l1的倾斜角为a一135°.] 、此时a十45°≥180°，不满足倾斜角的范围 基甜过关练 1.CD[因为直线12经过点A(1,W3),B(-2,-23),所以