1.3空间向量及其运算的坐标表示（一）（教学设计+导学案+课件）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3　空间向量及其运算的坐标表示（一）　学案 ——空间直角坐标系与坐标运算 一、学习目标 1. 能说出单位正交基底与空间直角坐标系的关系，会写点的坐标与对称点坐标，会把向量写成三个坐标分量。 2. 能熟练进行空间向量的加、减、数乘、数量积的坐标运算，会用模公式与夹角公式。 3. 能在正方体中建立坐标系，求出指定点的坐标与指定向量的坐标，并用坐标判定平行与垂直。 重点：空间直角坐标系的建立与点的坐标表示；向量的坐标表示及其四则与数量积运算。难点：在几何体中合理建系；把平行、垂直的几何条件翻译成坐标条件。 二、课前预习（阅读教材后完成） 1. 空间直角坐标系 在空间取一点 ，过 作三条两两＿＿＿的数轴 、、，单位长度＿＿＿，就构成空间直角坐标系 。 过点 分别作三个坐标平面的垂线，垂足在三条轴上的读数就是点 的坐标 ，此时 ＿＿＿。 2. 对称点的坐标规律 点 关于 平面的对称点为（＿＿＿）；关于 轴的对称点为（＿＿＿）；关于原点的对称点为（＿＿＿）。 口诀：关于谁对称，＿＿＿的分量不变，其余分量＿＿＿。 3. 向量的坐标运算 设 ，，则 （＿＿＿）；（＿＿＿）；（＿＿＿）； ＿＿＿； ＿＿＿； ＿＿＿。 判定： ⇔ 存在实数 使 ＿＿＿（即坐标＿＿＿）； ⇔ ＿＿＿。 三、课堂探究 探究一　点与向量，坐标各记什么 点 的坐标与向量 的坐标形式上都是三个数，它们的含义一样吗？若 、，用 、 的坐标如何表示 ？ 探究二　为什么平行要看三个分量 已知 ，。只看前两个分量时 成立，能不能就此判定 ？为什么？ 探究三　正方体怎么建系最省事 棱长为 1 的正方体 ，若以 为原点、以 、、 的方向为 、、 轴正方向，请写出八个顶点的坐标： （　　）　（　　）　（　　）　（　　） （　　）　（　　）　（　　）　（　　） 思考：若改以 为原点建系，坐标会变得复杂吗？建系时你有什么取舍？ 四、典例剖析 例1　对称点坐标 已知点 ，分别写出它关于 平面、关于 轴、关于原点的对称点坐标。 变式1 已知点 ，写出它关于 平面的对称点坐标，以及关于 轴的对称点坐标。 例2　坐标四则与模 已知 ，，求 、、、 与 ，并判断 与 是否垂直、是否平行。 变式2 已知 ，，求 、、 及 。 例3　正方体中的坐标运算 正方体 的棱长为 1，以 为原点，、、 的方向分别为 、、 轴正方向建立坐标系。 （i）写出 、、、、、 的坐标； （ii）求 与 的坐标及其模； （iii）判断体对角线 与面对角线 所在的向量是否垂直。 变式3 在同一个坐标系中，求 ，并由此求 。 补充题　平行判定 在同一个坐标系中，判断棱 与棱 所在直线的方向向量是否平行。 【方法小结】① 点看位置，向量看位移（终点减起点）；② 关于谁对称谁不变；③ 数量积是三个分量乘积之和；④ 平行看三比例，垂直看一点积。 五、当堂检测 1. 已知点 ，写出它关于 平面的对称点 的坐标，以及关于 轴的对称点 的坐标。 2. 已知 ，，求 与 。 3. 已知 ，，且 ，求实数 的值。 4. 已知 ，，求 、 与 ，并由此判断两向量的位置关系。 六、分层作业 A 基础巩固 1. 点 关于 平面的对称点为 ，关于原点的对称点为 ，求 、 的坐标。 2. 已知 ，，求 、、 与 。 3. 已知空间两点 、，求 的坐标与 。 4. 已知 ，，且 ，求实数 与实数比 （使 ）。 B 能力提升 5. 正方体 的棱长为 1，以 为原点，、、 的方向分别为 、、 轴正方向建立坐标系。求 与 的坐标，并判断这两向量是否垂直。 6. 已知 ，，且 与 的夹角为 ，求 与 。 7. 已知 且 ，求实数 的值。 C 思维挑战 8. 正方体 的棱长为 1，以 为原点，、、 的方向分别为 、、 轴正方向建立坐标系。设 为体对角线 的中点。 （1）求点 的坐标； （2）试说明点 到八个顶点的距离都相等，并求出这个距离。 七、学习反思 本节课我掌握得最好的： 还需要加强的： $1.3　空间向量及其运算的坐标表示（一）　教学设计 ——空间直角坐标系与坐标运算 课型：新授课　课时：第 1 课时（共 2 课时） 教材：人教A版·普通高中教科书 数学 选择性必修第一册 一、课标依据 ①　掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示（摘要表述，完整条文以现行课标文本为准）。（出处：选择性必修课程·主题二「几何与代数」·空间向量；对应本课：环节二、三：坐标法则与线性运算的坐标公式） ②　能用向量方法解决简单的几何问题，体会向量是沟通几何与代数的桥梁。（出处：选择性必修课程·主题二「几何与代数」·向量应用；对应本课：环节四：正方体坐标系中的向量运算） 本课核心素养锚点：数学运算（主要）　直观想象、数学抽象（次要）。 二、教材与学情分析 是什么：本节把 1.2 的基本定理「数字化」：取两两垂直且模为 1 的单位正交基底 ，则任一向量 唯一写成 ，简记为 ；于是加、减、数乘、数量积全部化为逐坐标的实数运算，模 ，夹角 ，平行与垂直分别化为「坐标成比例」与「数量积为 0」. 从哪来：学生已掌握平面直角坐标系中的坐标运算与空间向量基本定理：既然任一向量都能用三个不共面的基向量唯一表示，那么取最方便的那组——两两垂直且模为 1 的三条坐标轴方向——就得到坐标；平面坐标的一切运算规则在这里自然升级为三维。 往哪去：坐标是本章后半段的「通用语言」：1.4 用坐标求平面的法向量、判定直线与平面的位置关系、计算距离与夹角，全部建立在坐标运算之上。 核心矛盾：重点：空间直角坐标系的建立、点的坐标与向量坐标的读写、四类坐标运算公式。 难点：由几何体建系时原点和坐标轴的选择（选择不当会让坐标变复杂），以及把「垂直 ⇔ 数量积为 0」迁移到三维。 成因：学生首次在立体图形中自主建立坐标系，缺乏「先选原点、再定向」的程序意识。 独特价值：空间直角坐标系把立体几何中的位置与度量彻底代数化——这是「几何问题代数化」这一高中核心思想最直接的体现。 知识／能力起点：已掌握平面直角坐标系中的点与坐标、平面向量的坐标运算，以及 1.2 空间向量基本定理与单位正交基底。 认知／思维特点：对立体图形的直观能力强于符号运算能力，容易出现「会说方向、写不对坐标」的局面；习惯了二维坐标，容易漏掉第三个分量。 预判困难与兴趣点：① 易错点：把点的坐标与向量的坐标混为一谈（前者是位置，后者是位移）；② 对称点坐标的符号规律记错； ③ 计算数量积时漏掉第三个分量的乘积；④ 兴趣点在于「建系之后全部变算术」的爽快感。 学情参考：可参考 1.2 当堂检测第 2 题（基底表示向量）的得分率作为类比参照。 三、教学目标 1. 能说出单位正交基底与空间直角坐标系的关系，会写点的坐标与对称点坐标，会把向量写成三个坐标分量。 布鲁姆层级：理解　｜　SOLO 水平：单点—多点　｜　成功标准：坐标书写题 3 题对 2 题及以上 2. 能熟练进行空间向量的加、减、数乘、数量积的坐标运算，会用模公式与夹角公式。 布鲁姆层级：应用　｜　SOLO 水平：多点结构　｜　成功标准：坐标运算题 4 题对 3 题 3. 能在正方体中建立坐标系，求出指定点的坐标与指定向量的坐标，并用坐标判定平行与垂直。 布鲁姆层级：应用／分析　｜　SOLO 水平：关联结构　｜　成功标准：几何体建模题 2 题对 1 题及以上 目标 1 的评估证据：例 1 + 变式 1 + 当堂检测第 1 题；对应环节：环节二。 目标 2 的评估证据：例 2 + 变式 2 + 当堂检测第 2、3 题；对应环节：环节三。 目标 3 的评估证据：例 3 + 变式 3 + 补充题 + 当堂检测第 4 题；对应环节：环节四。 四、教学重点、难点与教学方法 重点：空间直角坐标系的建立与点的坐标表示；空间向量的坐标表示及其加、减、数乘、数量积运算。 难点：在正方体、长方体中合理建立坐标系并写出各点坐标；把平行、垂直的几何条件翻译成坐标条件。 难点成因：建系需要「选原点—定轴向—写坐标」三段程序，任一步出错后续全错，属于典型的长链条任务。 教法：类比迁移 + 讲练结合——以平面直角坐标系类比引入第三根轴；公式一律先由单位正交基底推出，再进入大量短平快的口算与板演，形成运算熟练度。 学法：程序化操作（选原点 → 定三轴 → 写各点坐标 → 逐坐标运算）+ 错题归因——本课认知任务以坐标运算为主，须通过足量短题建立自动化。 五、教学过程 环节一　复习导入：从字母运算到数字运算（约3分钟） 回顾 1.2：任一空间向量都能写成三个不共面向量的线性组合。若取三条互相垂直且长度都为 1 的向量为基底，就得到单位正交基底 。 提问：平面里我们用坐标把几何题变成了算术题，空间中能不能如法炮制？有了空间直角坐标系，第一个要解决的就是「点怎么记、向量怎么记」。 【学生活动】口答单位正交基底的含义；回顾平面坐标中点与坐标的对应关系。 【设计意图】对应目标 1。以「升级」视角进入，降低新概念的陌生感，明确本课落点是「记法」与「算法」。 环节二　空间直角坐标系与点的坐标（约10分钟） （1）建系：在空间取一点 ，过 作三条两两垂直的数轴 、、，单位长度一致，构成空间直角坐标系 ；通常采用右手系（右手拇指指向 轴正向，四指由 轴转向 轴）。 （2）点的坐标：过点 作三个坐标平面的垂线，垂足在三条轴上的读数 、、 构成 的坐标 ；此时 （位置向量）。 （3）特殊位置：位于 轴 ⇔ 形如 ；位于 平面 ⇔ 形如 。 （4）对称规律（口诀：关于谁对称，谁的分量不变）：点 关于 平面的对称点为 ；关于 轴的对称点为 ；关于原点的对称点为 。 例 1（对称点）　已知点 ，分别写出它关于 平面、关于 轴、关于原点的对称点坐标。 【解答】关于 平面：；关于 轴：；关于原点：。 【方法归纳】「关于谁对称，谁不变，其余变号」：关于坐标平面对称只改一个分量，关于轴对称改两个分量，关于原点对称三个都改。 变式 1　已知点 ，写出它关于 平面的对称点坐标，以及关于 轴的对称点坐标。 【答案】关于 平面：；关于 轴：。 【详解】关于 平面对称， 分量变号，得 ；关于 轴对称，、 两个分量都变号，得 。 【学生活动】在学案「知识梳理」填出三条对称规律；同桌互查：一人口述规律，一人举坐标。 【设计意图】对应目标 1。「口诀 + 立即可练」降低记忆负担；本节是后续一切坐标操作的起点，必须当堂练熟。 环节三　向量的坐标运算（约14分钟） （1）向量的坐标表示：若 ，记作 ；以 为起点、 为终点的向量 （终点减起点）。 （2）四则运算（逐坐标进行）： ；； ；。 （3）模与夹角：； （两向量均非零）。 （4）平行与垂直的坐标条件： （）⇔ 存在实数 使 （即对应坐标成比例）； ⇔ 。 例 2（坐标四则与模）　已知 ，，求 、、、 与 ，并判断 与 是否垂直、是否平行。 【解答】；； ； ； ； ，故不垂直；又 而 ，三个分量不同比例，故不平行。 【方法归纳】判断平行要看三个分量是否同比例（只看两个分量会误判）；判断垂直只需看一个数： 是否为 0。 变式 2　已知 ，，求 、、 及 。 【答案】，，， 。 【详解】； ，； 。 【学生活动】教师板演例 2 第一行，其余由学生接力完成；变式 2 独立完成，指名板演核对。 【设计意图】对应目标 2。公式集中给出后立即密集训练，把运算固化为本能；变式 2 顺势练分母有理化。 环节四　在正方体中建系（约10分钟） （1）建系三步曲：选原点（通常取几何体一个顶点）→ 定三轴（通常沿三条棱，务必两两垂直）→ 写坐标（每条轴上的读数就是对应分量）。 （2）例 3（正方体中的坐标）　棱长为 1 的正方体 中，以 为原点，分别以 、、 的方向为 、、 轴正方向，建立空间直角坐标系： （i）写出 、、、、、 的坐标；（ii）求 与 的坐标及其模； （iii）判断体对角线 与面对角线 所在的向量是否垂直。 【解答】（i）、、、、、。 （ii），； ，（两者都是体对角线）。 （iii）；，故两向量垂直。 【方法归纳】建系后，终点减起点即得向量坐标；判定垂直不必画图，算一次数量积即可。 变式 3　在同一个坐标系中，求 ，并由此求 。 【答案】，。 【详解】； ，故 。 补充题（平行判定）　在同一个坐标系中，判断棱 与棱 所在直线的方向向量是否平行。 【答案】平行。 【详解】、，；、，；，存在实数 使 ，故两向量平行。 【学生活动】教师出示框架模型，学生同步在学案坐标系图上标注各顶点字母与坐标；例 3 三小问分组承包。 【设计意图】对应目标 3。这是本课与后续 1.4 的接口：先练熟「建系—写坐标—算数量积」，才有资本谈法向量与位置关系。 环节五　当堂检测（约5分钟） 独立完成约 4 分钟，同桌互换批改，统计错题。 检测题见《学案》「当堂检测」栏（4 小题），答案与详解由课件单击呈现。 1. 已知点 ，写出它关于 平面的对称点 的坐标，以及关于 轴的对称点 的坐标。 【答案】；。 【详解】关于 平面对称， 分量变号，得 ；关于 轴对称，、 两个分量同时变号，得 。 2. 已知 ，，求 与 。 【答案】；。 【详解】，故 ； 。 3. 已知 ，，且 ，求实数 的值。 【答案】。 【详解】由 得 ，即 ；整理得 ，故 。 4. 已知 ，，求 、 与 ，并由此判断两向量的位置关系。 【答案】，，，两向量垂直。 【详解】，； ，故两向量垂直（夹角为 ）。 【学生活动】独立作答 → 互换批改 → 举手统计错号。 【设计意图】对应目标 1、2、3。四题分别覆盖对称点、坐标运算、垂直求值、夹角计算。 环节六　课堂小结与作业布置（约3分钟） 小结一张表：建系三步骤 → 点的坐标（含对称规律）→ 向量坐标（终点减起点）→四类运算（加减、数乘、数量积、模）→ 两个判定（平行看成比例、垂直看点积）。 作业布置见下方分层作业。 【学生活动】齐答小结表格中的空缺处。 【设计意图】对应全部目标。以「一张表」收束，强化从几何对象到坐标规则的转化链。 教学准备——教具：多媒体课件、正方体框架模型（顶点贴字母标签）；学具：学案（随堂印发）、直尺、草稿纸；媒体资源：课件需支持：正方体建系过程分步演示、坐标渐次出现。 六、板书设计 选型：提纲式（左侧主板书，右侧副板书） 结构：主板书（左侧，随课自上而下生成）： 1.3 空间向量及其运算的坐标表示（一） 一、建系：，三条轴两两垂直、单位统一；右手系 二、点 ⇔ ；对称口诀「关于谁对称谁不变」 三、向量坐标：（终点减起点） 四、运算：加减（逐坐标）、数乘（逐坐标乘）、数量积（分量积之和）、模（平方和开方） 五、判定： ⇔ 坐标成比例； ⇔ 副板书（右侧）：例 3 正方体八个顶点坐标表 + 错题纠正区。 与重难点的对应：左侧「二、三、四」对应教学重点；右上角的坐标表对应教学难点。 呈现方式：随课逐步生成；副板书的顶点坐标表在环节四一次性补齐。 七、教学反思（预设要点，供课后填写） 目标达成情况：目标 1、2 预计达成良好；目标 3 的建系能力差异较大，预计约三分之一学生建系时会出现坐标轴不一致或顶点坐标写错，需在 1.4 前用一题小测复核。 学情预判是否准确：例 2 的平行判定（前两项同比例、第三项不同）是设计的「陷阱」，当堂统计做错人数，验证第三个分量的检查是否真的被忽视。 情境与实践活动效果：若正方体框架模型演示有效，可让两组学生分别以 、 为原点建系，对比坐标繁简，体会「原点选得好，后面少烦恼」。 改进设想：本课计算量大而板书多，可把例 2 的四个小问做成课件逐步呈现，腾出时间用于建系训练；下一课时讲距离与夹角公式时再回首正方体坐标系。 附录　本课易错警示 1. ① 混淆点的坐标与向量的坐标：点 的坐标是相对于原点 的位置，向量 的坐标是终点坐标减去起点坐标，两者不可混写。 2. ② 对称规律记反：关于坐标平面对称只改一个分量（如关于 平面只改 ），关于轴对称改两个分量（如关于 轴改 、）。 3. ③ 数量积漏项：三维的数量积是三个分量乘积之和，写成两个必然出错。 4. ④ 判定平行只看两个分量：必须三个分量都成同一比例（且要注意分母不为 0 的情形）。 5. ⑤ 用夹角公式前忘了检查 、 是否为 0——零向量没有确定方向，夹角公式不适用。 附：分层作业（题目·答案·详解） 教材原题答案以课本配套教师教学用书为准，下列补充题为本课自编题，答案与详解附后。 说明：下面每一道题的题干之后，紧接该题的【答案】与【详解】（深红），便于投影讲评或印发；其中教材原题的答案以课本配套教师教学用书为准。 作业布置： 基础巩固——下列补充题第 1—4 题：对称点坐标、坐标四则运算、模与平行垂直的坐标条件 能力提升——下列补充题第 5—7 题：正方体建系、夹角与模的综合 思维挑战——下列补充题第 8 题：正方体中心到八个顶点等距 基础巩固 1. 点 关于 平面的对称点为 ，关于原点的对称点为 ，求 、 的坐标。 【答案】；。 【详解】关于 平面对称， 分量变号，得 ；关于原点对称，三个分量全变号，得 。 2. 已知 ，，求 、、 与 。 【答案】；；；。 【详解】逐坐标相加得 ，逐坐标相减得 ； ，故 ； 。 3. 已知空间两点 、，求 的坐标与 。 【答案】；。 【详解】；。 4. 已知 ，，且 ，求实数 与实数比 （使 ）。 【答案】，。 【详解】由 得 ，，；由后两式均得 ，故 。 能力提升 1. 正方体 的棱长为 1，以 为原点，、、 的方向分别为 、、 轴正方向建立坐标系。求 与 的坐标，并判断这两向量是否垂直。 【答案】，，两向量不垂直。 【详解】由建系得 、、、， 故 ，； ，故不垂直。 2. 已知 ，，且 与 的夹角为 ，求 与 。 【答案】；。 【详解】； ，故 。 3. 已知 且 ，求实数 的值。 【答案】。 【详解】由 得 ，故 。 思维挑战 8. 正方体 的棱长为 1，以 为原点，、、 的方向分别为 、、 轴正方向建立坐标系。设 为体对角线 的中点， （1）求点 的坐标； （2）试说明点 到八个顶点的距离都相等，并求出这个距离。 【答案】（1）；（2）到八个顶点的距离均为 。 【详解】（1）、，由中点坐标公式得 。 （2）以 为例：； 以 为例：，； 其余六个顶点同理（每个分量差的绝对值都是 ），故 到八个顶点距离相等，这正是正方体中心到顶点的距离。 $ 1.3　空间向量及其运算的坐标表示（一） ——空间直角坐标系与坐标运算 第一章 空间向量与立体几何 人教A版·普通高中教科书 数学 选择性必修第一册 新授课　第 1 课时（共 2 课时） 30 秒导入：本课把 1.2 的字母运算升级为数字运算——建系之后，一切变算术。 学习目标 1 目标1　会建系、会写点的坐标与对称点坐标，会把向量写成三个分量。 目标2　熟练掌握加减、数乘、数量积的坐标运算，会用模公式与夹角公式。 目标3　能在正方体中建系，用坐标判定平行与垂直。 60 秒：突出第 3 条——建系是 1.4 求法向量、算距离的前提能力。 复习导入：从字母运算到数字运算 2 回顾：任取三个不共面的向量作基底，空间中任一向量都可唯一表示。 若这三个基向量两两垂直且模都是 1，就是单位正交基底 。 此时 ，简记为 。 提问：平面里坐标把几何题变成算术题，空间中能不能如法炮制？ 3 分钟：强调「单位正交基底」是把向量写成坐标的前提。 空间直角坐标系与点的坐标 3 建系 在空间取一点 ，过 作三条两两垂直、单位长度一致的数轴 、、， 构成空间直角坐标系 （通常用右手系）； 过 作三个坐标平面的垂线，垂足在三条轴上的读数即 的坐标 。 此时 ，记 。 特殊位置：在 轴上 ⇔ ；在 平面内 ⇔ 。 5 分钟：右手系只要求「知道」，重点是坐标的读写。 对称规律与例 1 4 口诀 点 关于 平面的对称点为 ；关于 轴的对称点为 ； 关于原点的对称点为 。关于谁对称，谁的分量不变，其余变号。 例1　已知 ，求它关于 平面、关于 轴、关于原点的对称点。 【解答】关于 平面：；关于 轴：； 关于原点：。 【详解】关于 轴对称时，、 两个分量变号；关于原点对称时三个分量全变号。 4 分钟：口诀「关于谁对称谁不变」，讲完立刻让学生自练变式 1。 变式 1　立刻自测 5 已知点 ，写出它关于 平面的对称点坐标，以及关于 轴的对称点坐标。 【答案】关于 平面：；关于 轴：。 【详解】关于 平面对称， 分量变号；关于 轴对称，、 两个分量都变号。 90 秒：学生独立完成，答案单击呈现后再追问「为什么只改一个」。 向量的坐标表示与四则运算 6 若 ，记 ； （终点减起点）。 ，。 ，。 ，。 5 分钟：公式集中给出，逐坐标 operation 要与平面向量对照记忆。 例 2　坐标四则与模 7 已知 ，，求 、、 、、，并判断是否垂直、是否平行。 【解答】；； ；；。 点积不为 0 ⇒ 不垂直；前两项同比例但 ≠ ⇒ 不平行。 【详解】三个分量必须同比例才能判平行，只看两个分量会误判。 5 分钟：平行判定是设计的「陷阱」——前两项同比例但第三项不同。 变式 2　夹角与有理化 8 已知 ，，求 、 、 及 。 【答案】，，， 。 【详解】。 3 分钟：夹角公式代入后一定要分母有理化，这是考试扣分点。 建系三步曲 · 正方体示例 9 三步曲：选原点（取顶点 ）→ 定三轴（沿 、、）→ 写坐标。 棱长为 1 的正方体 中： 　　　 　　　 口诀：沿哪条棱走，就把哪个分量加 1；落在原点处的顶点全是 0。 4 分钟：坐标当场一起写，写得快的同学上黑板补全八个顶点。 例 3　正方体中的坐标运算 10 （i）、、、、、。 （ii）求 与 的坐标及其模； （iii）判断体对角线 与面对角线 所在的向量是否垂直。 【解答】（ii），； ，。 （iii）， ⇒ 垂直。 5 分钟：三小问分组承包；第（iii）问体现「判定垂直只需一个点积」。 变式 3 · 补充题 11 变式3　求 与 。 【答案】，。 【详解】，两向量模均为 ，故余弦为 。 补充题　棱 与棱 所在直线的方向向量是否平行？ 【答案】平行。 【详解】，，存在 。 4 分钟：两题连做，巩固「点积判垂直、坐标成比例判平行」。 当堂检测（第 1—2 题） 12 1. 已知点 ，写出它关于 平面的对称点 的坐标，以及关于 轴的对称点 的坐标。 【答案】；。 【详解】关于 平面对称， 分量变号，得 ；关于 轴对称，、 两个分量同时变号，得 。 2. 已知 ，，求 与 。 【答案】；。 【详解】，故 ； 　。 5 分钟：独立完成约 4 分钟，同桌互换批改，举手统计错号。 当堂检测（第 3—4 题） 13 3. 已知 ，，且 ，求实数 的值。 【答案】。 【详解】由 得 ，即 ；整理得 ，故 。 4. 已知 ，，求 、 与 ，并由此判断两向量的位置关系。 【答案】，，，两向量垂直。 【详解】，； 　，故两向量垂直（夹角为 ）。 5 分钟：独立完成约 4 分钟，同桌互换批改，举手统计错号。 课堂小结与作业布置 14 小结：记法 · 算法 · 判定 记法： 看位置， 看位移（终点减起点）；对称「关于谁对称谁不变」； 算法：加减数乘逐坐标，数量积三项和，模为平方和开方，余弦 = 点积 ÷ 模积； 判定：平行看三个分量是否同比例，垂直只看点积是否为 0。 作业布置 教材 1.3 节「练习」；「习题 1.3」相关题； 另完成本套《学案》所附分层作业（A 必做，B、C 选做）。 3 分钟：小结只落一张表——记法、算法、判定法。 $