1.2 空间向量基本定理 1.3 空间向量及其运算的坐标表示课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理及坐标表示，通过思维导图梳理知识脉络，从基底概念到坐标运算逐步递进，构建基础、中档、拔高的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于融合数学文化（如阳马问题）与高考真题，通过例题解析和分层练习，培养学生数学眼光（空间观念）、数学思维（逻辑推理）和数学语言（坐标表达）。教师可利用一体化资源提升教学效率，学生能在探究中提升解题能力。

高二数学●2024人教A版选择性必修一 第一章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 本节理解空间向量基本定理及其推论，掌握空间基底概念；能运用定理分解空间向量，掌握空间直角坐标系下向量的坐标运算，会用坐标解决平行、垂直、模长等问题； 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括104张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 图解课标要点 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 空间向量基本定理 1 空间向量基本定理 如果三个向量,,不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一（唯一性是 指若,则,,）的有序实数组 ，使得 . . . 4 2 基底与基向量 如果三个向量,,不共面（说明,,均不为 ，否则三者一定共面，因为零向 量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面），那么所有空间向量组成 的集合就是{,,,}.这个集合可看作由向量,, 生成的，我 们把｛,,｝叫做空间的一个基底,,, 都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量 都可以构成空间的一个基底.（基底不是唯一的，有无数个） . . . . . . 5 知识剖析（1）基底是指一个向量组，而一个基向量是指基底中的某个向量.二者是 相关联的不同概念. （2）对于基底,,，除了应知道,, 不共面外，还应明确以下三点： ①任意性：用空间任意三个不共面的向量都可以表示出空间中的任意一个向量. ②唯一性：基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，选用不同的基 底，同一向量的表达式也可能不同. ③广泛性：所有空间向量都可以用三个基向量线性表示，那么，所有空间向量 间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为几何问题代数化奠定了基础. 6 3 单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫 做单位正交基底，常用{，， }（均为单位向量） 表示. 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量 ， ，，使 .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量， 叫做把空间向量进行正交分解. . . 7 学思用·典例详解 图1.2-4 例1-1 如图1.2-4，在平行六面体 中，可以 作为空间向量的一个基底的是( ) C A.，， B.，， C.，， D.，， 【解析】，， 共面，排除A； ，， 共面，排除B； ，， 共面，排除D； ，， 三个向量是不共面（判断构成基底的关键 就是三个向量不共面）的，可以作为一个基底，故选C. . . 8 例1-2 ［教材改编P12例1］在四面体中，点，满足, ， 若，则 ( ) B A. B. C. D.1 9 【解析】如图1.2-5所示， 图1.2-5 ,故，，， （空间向量基本定理的唯一性） 所以 ． 10 知识点2 空间向量的坐标表示 1 空间直角坐标系 在空间选定一点 和一个单位正交基 底{，，，如图1.2-1.以点 为原点，分 别以，， 的方向为正方向、以它们的 长为单位长度建立三条数轴：轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴.这时我们就建立 了一个空间直角坐标系，叫做原点，，， 都叫做坐标向量，通过每两条坐 标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面， 平面，它们把空间分 成八个部分.（一般称为八个卦限） . . 11 2 空间直角坐标系的作法 画空间直角坐标系时，一般使 （或）， . （斜二测画法） 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向 轴的正方向， 如果中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系（如图1.2-2）.一般 使用的坐标系都是右手直角坐标系. . . 12 3 空间点的坐标与空间向量的坐标 图1.2-3 在空间直角坐标系中，,,为坐标向量，给定向量 ， 作 （如图1.2-3），由空间向量基本定理，存在唯一的有 序实数组，使 . 有序实数组叫做在空间直角坐标系 中的坐标， 上式可简记作.也称为点 的空间直角坐标， 记作，（符号 具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点， 表示点时没有等号，表示向量时有等号，在表述时要注意区分）其中叫做点 的横 坐标，叫做点的纵坐标，叫做点 的竖坐标. . . . . 13 4 空间中点（向量）的坐标的确定（教材深挖：教材第17页第2个探究.） （1）垂面法：过点作三个平面分别垂直于轴、轴、轴于,,三点，点 , ,在轴、轴、轴上的坐标分别为,,，则就是点（向量 ）的坐标. （2）垂线段法：先确定点在平面内的射影,由的长度及与 轴正方向 的异同，确定竖坐标，再在平面内确定点的横坐标和纵坐标，那么点 （向量）的坐标就是 . 说明 当向量的起点是原点时，向量坐标与向量终点的坐标相同. 14 知识剖析 特殊点、特殊向量的坐标#4.1 点的位置 向量位置 坐标 特点 轴上 平行于 轴 纵、竖坐标均为0 轴上 平行于 轴 横、竖坐标均为0 轴上 平行于 轴 横、纵坐标均为0 平面上 平行于 平面 竖坐标为0 平面上 平行于 平面 横坐标为0 平面上 平行于 平面 纵坐标为0 15 点 关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 （【教材深挖】此处是对教材第22页习题1.3第2题的深挖）#4.1.2.1 对称轴、对称平面或对称中心 对称点坐标 轴 轴 轴 平面 平面 平面 坐标原点 记忆口诀:关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反.#4.1.3.1 16 学思用·典例详解 例2-3 ［教材改编P18例1］在长方体中，,, ， 如图1.2-6,建立空间直角坐标系，求点与向量 的坐标. 图1.2-6 17 【解析】记,,轴正方向上的单位向量分别为,,,则,, . ， 所以的坐标为 . 连接, , ， 所以点的坐标为 . 18 点在轴、轴、轴上的射影分别为,, , 它们在坐标轴上的坐标分别为3，5，4， 所以点的坐标是 . 点在坐标平面内的射影为点，点在轴上的射影为点 ，点 的竖坐标为4，所以点的坐标为 . 19 【想一想丨归纳总结】 求空间向量坐标的两种方法 （1）将待求向量用基向量表示出来，对应 项系数形成的有序数组即为所求的向量坐 标，步骤如下： （2）对于建立了空间直角坐标系的情形， 可以先写出相关点的坐标，向量的坐标为 表示其有向线段的终点坐标减去起点坐标. 20 例2-4 [多选题](2026·陕西省西安市鄠邑区第四中学月考)下列命题正确的是 ( ) ABD A.点关于坐标平面的对称点为 B.点关于轴的对称点为 C.点到坐标平面 的距离为1 D.点在平面内射影的坐标为 【解析】根据“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”知A,B正确； 点到坐标平面 的距离为2,所以C错误； 点在平面内的射影的竖坐标为0，即射影的坐标为 ，所以D正确. 21 知识点3 空间向量运算的坐标表示 1 与空间向量运算有关的坐标表示 设， . 名称 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 22 名称 坐标表示 共线 当时，， ， ， 当中坐标不含0时， 垂直 当，时， 向量长度 向量夹角 公式 ， 续表 23 2 空间向量的坐标与其端点坐标的关系 设，，， .（一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 坐标减去起点坐标） 3 两点间的距离公式 已知，，则, 两点间的距离 . 归纳总结（1）已知,，则线段 的中点的坐标为 . （2）已知的三个顶点,，，则 重心 的坐标为 . . . 24 学思用·典例详解 例3-5 [教材改编P22练习T2](2026·山东省枣庄市期末)已知, ，向量 ，，，且，，则 的值为( ) A A. B.1 C.2 D.3 【解析】由，得，解得 ， 由，得，解得，则 ． 25 例3-6 (2026·河北省邯郸市多校期中)已知向量, ． （1）求 的值； 【解析】，， ， . （2）求向量与 夹角的余弦值． 【解析】设与的夹角为 ， 则， ， ， ， ， 向量与 夹角的 余弦值为 ． 26 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 空间向量基底的判断 例7 ［教材改编P12 T1］(2026·广东省封开县广信中学月考)若{，， }为空间的 一个基底，则下列各项中能作为基底的是( ) C A.{，，} B.{，， } C.{，，} D.，， 27 【解析】因为，所以，， 是共面向量，所以 ，， 不能作为基底，故A错误； 因为，所以，，是共面向量，所以 ， ， 不能作为基底，故B错误； 设，可得 此方程组无解，所以 ，，是不共面的向量，所以，， 能作为基底，故C正确； 因为，所以，，是共面向量，所以 ， ， 不能作为基底，故D错误． 28 判断基底的方法 （1）若向量中存在零向量，则不能作为基底;若存在一个向量可以用另外两个向量 表示出来，则不能作为基底. （2）已知三个向量,,,可假设,运用向量共面的充要条件,建立关于 , 的方程组,若有解，则共面，不能作为基底;若无解，则不共面,能作为基底. 29 【学会了吗丨变式题】 1.[多选题]若{,, }构成空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是 ( ) AC A.，， B.，， C.，， D.，， 【解析】由{,,}构成空间的一个基底，得向量,, 不共面， 对于A，若向量，，共面，则存在实数对使得 ，即 ，则向量,,共面，矛盾，所以，， 不共面，能构成空间 的一个基底； 30 对于B，由，得，， 共面， 不能构成基底； 对于C，若，，共面，则存在实数对 使得 ，于是 此方程组无解，所以向量 ，， 不共面，能构成空间的一个基底； 对于D，由，得向量，， 共 面，不能构成基底. 31 题型2 空间向量基本定理的应用 例8 ［教材改编P15 T3］在平行六面体中，为与 的交点. 若,,，试用基底{,,}表示向量 . 32 【解析】如图1.2-7，连接，，则 .（用基底表示向量时，最后结果应只含基向量） 图1.2-7 . . 33 例9 已知,,,,用,,表示 . 思路点拨 先通过空间向量基本定理用,,表示出 ，再利用向量相等得到相关 系数即可得解. 【解析】由题意得,,, 不共面. 设,即 , 所以（空间向量基本定理的唯一性）解得 所以 . . . 34 空间向量基本定理的应用思路 用基底表示空间向量，要结合已知和所求，观察图形，一般要用向量的加法、减法、 数乘的运算法则，尤其是向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法的三角形法 则将所求向量逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示. 35 【学会了吗丨变式题】 图1.2-8 2.数学文化 阳马 (2026·天津市第五十七中学月考)我国古代数 学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四 棱锥称为阳马.如图1.2-8,四棱锥为阳马， 平面 ,且，若，则 ( ) A A.1 B.2 C. D. 36 【解析】 （空间向量基本定理） 由题意， （四点共面推论） 将平移，使起点与重合，则 终点还在平面 上，（【注意】使用四点共面推论时，等式中的向量起点要一致，终点在同一 平面内） 终点设为,则,则 , 所以 . ，又因为，所以 , ,，所以 ． . . . . . . . . 37 题型3 空间向量的坐标运算 例10 [教材改编P22练习T1]已知,,求,, , , . 【解析】 ; ; ; ; . 38 例11 已知是坐标原点，且，，三点的坐标分别是， ， ,求适合下列条件的点 的坐标： （1） ； 【解析】,则点的坐标为 . 39 （2） . 【解析】设,则 . , 解得 则点的坐标为 .（当向量起点不为原点时，求终点坐标需将向量的坐标加上 起点坐标） 【解析】, . . . 40 空间向量的数量积坐标运算的技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧. （1）在运算中注意相关公式的灵活运用，如 , 等. （2）进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代 入坐标运算.如计算,既可以利用运算律把它化成,也可以求出 , 后，再求数量积；计算,既可以求出, 后，求数量积， 也可以把写成 后计算. 41 【学会了吗丨变式题】 3.（1）若向量,,满足条件,则 ___. 【解析】, , 解得 . 42 （2）已知空间四点,,,共面,则 的值为____. 【解析】,, . ,,,共面,,, 共面, 存在实数 , ,使 , 即 , 解得 43 题型4 空间向量平行和垂直的坐标表示 1 空间向量平行、垂直关系的判定 例12 已知向量,,,,, ，求证： , . 【解析】, ， ， . （证明，就是要证明 ） ,,, , ,,， . （证明，可证明, 为非零实数） 44 2 由平行、垂直关系求值 例13 已知， . （1）若，求 的值; 【解析】若 , 则,（【注意】只有向量 中坐标不含0时才可以使用该公式） 解得 . . . 45 （2）若，求 的值. 【解析】若 ， 则，解得 . 【解析】 , . 46 例14 (2026·安徽省巢湖市期末)已知空间三点，， ，若直 线上的一点满足，则点 的坐标为( ) C A. B. C. D. 47 【解析】设,则,, . 因为，所以 , 即 ①, 又点在直线上，所以 , 为非零实数） 即,联立①②解得 所以点的坐标为 . . . 48 3 平行、垂直关系在立体几何证明中的应用 例15 在正方体中，已知,,,分别是,,， 的中点. 求证： （1）, ; 【解析】,, . 因为, , 所以, , 所以（点 直线）, . 49 （2） 平面 . 【解析】,, . 因为, , 所以, . 因为,, 平面,所以 平面 . 50 图1.2-9 【解析】如图1.2-9，以为坐标原点，以,, ｝为正交基 底建立空间直角坐标系.（对于正方体或长方体，一般选取其共 用一个顶点的三条棱所在直线为坐标轴） 设正方体的棱长为1，则,,, , ,, . 由中点坐标公式，得,,, . 名师点评 对于一些以正方体、长方体或其他具备垂直关系的几何体作为载体的立体 几何问题，可以优先考虑坐标法，这种方法的优点在于抛开了繁杂的推理论证，仅 通过计算即可获得一些平行、垂直关系. 51 坐标法判断空间向量垂直或平行的步骤 52 【学会了吗丨变式题】 4.在正方体中，为的中点，为的中点，为 的中 点．证明： （1） ； 53 图D 1.2-1 【答案】设正方体 的棱长为2，以点 为坐标原点，，，所在直线分别为，， 轴建立如图D 1.2-1所示的空间直角坐标系， 则,,,, , ， 所以， ，则 ，又因为不在直线 上， 所以 . 54 （2）不与 平行； 【答案】，，显然， 不共线， 所以不与 平行. （3） ． 【答案】， ， 则，所以 . 55 题型5 空间向量夹角、模的坐标表示的应用 图1.2-10 例16 (2026·四川省绵阳润禾实验高中入学考试)如图1.2-10，已知直 三棱柱中，, ,棱 的长为 2,,分别是, 的中点. （1）求 的长; 【解析】依题意得, . . 56 （2）求与 所成角的余弦值； 【解析】依题意得，,, . , , ,, . , . 故与所成角的余弦值为 . 57 （3）求证 . 【解析】依题意知, , , , , , . 58 【解析】如图1.2-11,以为原点，以,, ｝为正交基底建立空间直角坐标系 . 图1.2-11 （【关键点】坐标原点和三条坐标轴的选取是建立空间直角坐标系 进行解题的关键） . . . . . . 59 坐标法解决几何问题的一般步骤 60 【学会了吗丨变式题】 5.［教材改编P21例3］在棱长为1的正方体中，，分别为 ， 的中点，点在棱上，且，为 的中点. 图D 1.2-2 【答案】如图D 1.2-2所示，以 为坐标原点，建立空间直角坐标 系，则有，，（为 的中点，不熟悉 的时候可以先写出点和点 的坐标） ，，，1，1，, . . . 61 （1）求证： ; 【答案】，，，， ， ， ， ，即 . 62 （2）求与 所成角的余弦值; 【答案】 , . 又， ， ， . 即异面直线与所成角的余弦值为 . （3）求 的长. 【答案】，，，，，， ， . 63 新考法 思维创新 例17 新定义 向量的叉乘 (2026·北京市中国人民大学附属中学月考)向量的运算包含 点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个 不共线的空间向量与 ，规定 为同时与，垂直的向量；，， 三个向量构成右手系 （如图1.2-12）；,；④若， ， 则,,，其中 ．如图1.2-13，在长方体 中，， ，则下列结论错误的是( ) B A. B. C. D. 64 【解析】 同时与,垂直， , ，与 方向相同，模相等，所以选 项A正确. 根据右手系知，与反向，所以 ，故选项B错误. 因为，且 与 同向共线；（【动手操作】用右手比划一下更容易理解） . . 65 又，且与 同向共线， ，与 同向共线，所以 ，且 与同向共线，故 ， 故选项C正确. 因为长方体的体积为 ， 又由右手系知的方向垂直底面向上，与 同向，所以 ，故选项D正确. 66 图1.2-14 建立空间直角坐标系,如图1.2-14所示. 易得，， ， ， ， 则 ， ，与 方向相同，模相等，所以 选项A正确； 67 ，则 ， ,故选项D正确； ，， ，故选项B错误； ，则根据定义可得 ， ，，则 ，所以 ，故选项C正确. 68 解新定义题型的步骤 （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”——利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提 供的解题方法和分类情况. （3）类比“新定义”中的概念、原理、方法，解决问题. 69 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：25分钟 1.(2026·北京市人大附中月考)在空间直角坐标系中，已知点，，点 满足，则点 的坐标是( ) A A. B. C. D. 【解析】设点的坐标为，则， .因为 ，则解得所以 ．故选A． 70 图1.2-1 2.数学文化 阳马 (2026·湖南省株洲市期中)《九章算术》 是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在《商功》 中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底 面的四棱锥”．如图1.2-1，在“阳马”中， 为 的重心，若，， ，则用基底 ｛,,｝表示 ( ) B A. B. C. D. 71 图D 1.2-1 【解析】如图D 1.2-1，连接并延长，交于点 ，因为 为的重心，则为的中点，且 （三角形重心的性质）， 所以 . . . 72 3.［教材改编P23 T9］(2026·吉林省长春市实验中学月考)已知{,, }是空间的一个 基底，向量，,, }是空间的另一个基底，向量 ，则 为( ) A A. B. C. D. 【解析】 ， 所以解得 （空间向量基本定理的唯一性） 所以 ，故选A. 73 图1.2-2 4.数学文化 堑堵 (2026·广东省中山市期中)《九章算术》 中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积 的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图 1.2-2，在堑堵中，，， 分别是 ，的中点，是 的中点， ，则 ( ) C A.4 B.5 C.6 D.8 74 图D 1.2-2 【解析】 以为坐标原点，分别以,, 的 方向为轴，轴， 轴正方向，建立如图D 1.2-2所示的空间 直角坐标系，则,,, , . 因为，分别是， 的中点， 所以, , 又是的中点，所以 , 则, , 所以 . 75 图D 1.2-3 连接， ，如图D 1.2-3所示，由棱柱性质知， 侧棱 平面， 平面 ，则 ，，分别是，的中点，是 的中 点， ，故 ， ，则 ． 76 5.(2026·山东省泰安市宁阳一中月考)以下各组向量中的三个向量，不能构成空间的 基底的是( ) A A.，， B.，， C.，， D.，， 77 【解析】（【方法】若空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，， 不 共面，逐一检验即可） 对于A，由，，，得，即向量 ， ， 共面，不能构成空间基底； 对于B，令，则，不成立，即,, 不共面，可构成基底； 78 对于C，令，则，即无解，即,, 不共 面，可构成基底； 对于D，令，则，即无解，即,, 不共 面，可构成基底.故选A. 79 6.[多选题](2026·陕西省商洛市期中)已知空间三点,, ， 设, .则下列结论正确的是( ) BD A.若，且，则 B.和的夹角的余弦值为 C.若与互相垂直，则 的值为2 D.若与轴垂直，则 ， 应满足 80 【解析】依题意，， . 对于A，因为，所以，又 ，所以 ，解得，所以或 ，A 不正确； 对于B，, ，B正确； 对于C，若与 互相垂直，则 ，解得 或 ，C不正确； 对于D，， 轴的 一个方向向量，依题意 ，即 ，D正确.故选 . 81 7.(2026·山西大学附属中学校月考)已知,，则以, 为邻边 的平行四边形的面积为_____. 【解析】,, , 所以,,所以, . 所以以,为邻边的平行四边形的面积, . 82 8.(2026·贵州省铜仁第一中学月考)如图1.2-3，在直四棱柱 中，底 面是边长为4的菱形， ，，，分别是， 的中 点．以为坐标原点，的方向为 轴的正方向，建立如图1.2-3所示的空间直角坐标 系． 图1.2-3 83 （1）求，，， 四点的坐标； 【答案】连接,因为底面是边长为4的菱形， ， 所以和 均是边长为4的等边三角形， 所以，，（【巧解】可将底面 分离出来， 在平面几何中求解横、纵坐标）， 又，所以，， ， 因为，分别是， 的中点， 所以， ， 综上，，，， ． . . 84 （2）求, 的值． 【答案】由（1）知，，，所以 , ． 85 B 综合练丨高考模拟 建议时间：40分钟 9.(2026·山东淄博实验中学月考)已知向量，，则在 上的投影 向量为( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意，，， ， ，在 上的投影向量为 ，故选B. 86 10.(2026·陕西省西安市铁一中学月考)在三棱锥中，，， 两两垂直， 且.若为该三棱锥外接球上的一点，则 的最大值为 ( ) C A.2 B.4 C. D. 87 【解析】（【厘思路】首先将三棱锥放置在正方体中，并建立空间直角坐标系，利 用转化向量的方法求数量积，再代入坐标运算，即可求解） 图D 1.2-4 将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 球心为正方体体对角线的中点，如图D 1.2-4,建立空间直角坐标 系. 则，，，， ，设 ，三棱锥外接球的半径为 ，则 ，即 . . 88 因为，， ， 所以， ， ,, , 所以,, ,当 ,时，取得最大值 . 89 11.[多选题](2026·广东省中山市实验中学月考)正方体 的棱长为2， 为 的中点，下列命题中正确的是( ) ACD A.与所成的角为 B.若，平面交于点，则 C.若点在正方形边界及内部运动，则存在点满足 D.若，分别在，上，且，直线与， 所成角分别 是 ， ，则 90 【解析】如图D 1.2-5，建立空间直角坐标系，则 ， ，，，，， ， ， . 对于选项A，，， ， ，与所成的角为 ，选项A正 确. 对于选项B，，.设，易得 ， ，，由已知得，，， 四点共面， 91 ，，使得，得 解得，， ， 选项B错误. 对于选项C，设，则 ， ，若，则 ，化简得 ，解得即， 选项C正确. 对于选项D，，分别在，上，且 ， ，，，，，0 ， 则，，，，，0，故，又, , 则，（【注意】两直线所成角的范围为 ，所以其余弦值一 定为非负的） ，即， ， ，即，则 ，故选项D正 确.故选 ． . . . . . . 12.如图1.2-4，在四棱锥中，底面是矩形，， ， ，且 底面，若边上存在异于，的一点使得.当 取 得最大值时，异面直线与 所成角的余弦值为_ ___. 图1.2-4 94 图D 1.2-6 【解析】如图D 1.2-6，以为坐标原点，，， 所在直线分别为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系，设 （不要怕设未知数，后面一般会根据 条件求出来或都与它相关）， 则，，， , ， . ， ， ,即 ， 当时， 取得最大值1. 此时,,设异面直线与 的 夹角为 ,, , 即异面直线与所成角的余弦值为 . . . 95 13.在棱长为1的正方体中，为的中点，， 是正方体表面上 相异的两点，满足，.若，均在平面内，则与 的位置关系是______； 的最小值为_ ___. 平行 【解析】以为原点，，，所在的直线为轴，轴， 轴，建立如图D 1.2-7所示的空间直角坐标系 . ，，，，因为， 均在正方 形表面 内， 所以可设，,,,的范围为 ， . . 96 从而，， .因为 ， ， 所以 解得所以,即 , 所以 ， 又，且,所以与 的位置关系是平行. 由以上分析可知，， , ,由和,得，即此时的范围为, ，当时，有最小值，最小值为 . . . 14.新考法 结构不良 在，， , 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题． 图1.2-5 问题：如图1.2-5，在正方体 中， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系 ． 已知点的坐标为，为棱上的动点， 为棱上的动点，____，试问是否存在点， 满 足？若存在，求 的值；若不存在， 请说明理由． 99 【答案】由题意，正方体的棱长为2，则， ， ，， . 设，，则 ， ，， ，则 ， . 若选择，则，故 . 由，解得 ， 故存在点，满足 ， 此时 . 100 若选，则，解得 ， 由，解得 ， 故存在点，，满足 ， 此时 . 若选,，则与 不共线， 又,所以，即，所以 ， 故不存在点，满足 ． C 培优练丨能力提升 图1.2-6 15.[探索题](2026·浙江省杭州学军中学月考)如图1.2-6，在四棱 锥中， 底面.在四边形中，, ,, .设,在线段 上是 否存在一点,使得点到点,,, 的距离都相等?并说明理由. 【答案】 平面,且 平面, 平面, , . ,,, 两两垂直. 102 图D 1.2-8 以为原点，建立如图D 1.2-8所示的空间直角坐标系 . 在平面内,作交于点,则 . 在中， . 设,则, . 由,得 , ,, . 假设在线段上存在一点,使得点到点,,, 的距离都相等. 设（其中）,则 , , , . . . 103 由得，即 ①. 由,得 ②. 由①②消去，化简得 ③. 由于方程③没有实数根， 在线段上不存在一点,使得点到点,,, 的距离都 相等. $