0205函数性质的综合应用 专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习—— 函数性质的综合应用 专项训练 0205函数性质的综合应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为为奇函数，，则（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．的图象关于点对称 4．已知函数的定义域为，且，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数定义域为，且的图象关于对称，当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 8．已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．在上单调递增 C．若，则的最小值为3 D．若恒成立，则的最大值为6 三、填空题 9．已知函数，则不等式的解集为__________. 四、解答题 10．已知在上有意义，单调递增且满足． (1)求证：； (2)求不等式的的解集． 11．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习—— 函数性质的综合应用 专项训练 0205函数性质的综合应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶性即可判断选项A；利用正弦函数单调性即可判断选项B；利用和在上均单调递减，即可判断选项C；利用奇偶函数的定义先判断函数为奇函数，再根据复合函数的单调性即可判断选项D. 【详解】选项A，定义域为，，则是偶函数，选项A错误； 选项B，定义域为，已知正弦函数为奇函数，但在上不是单调递增函数，选项B错误； 选项C，定义域为，易知，则是奇函数， 而和在上均单调递减， 所以单调递减，选项C错误； 选项D，定义域为，，则是奇函数， 又在上单调递增，在上单调递增， 根据复合函数单调性可知在上单调递增，选项D正确. 2．设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知的解集是 的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式的解集是． 故选：B. 3．已知函数的定义域为为奇函数，，则（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．的图象关于点对称 【答案】D 【分析】根据为奇函数，得，从而可知的对称中心；根据题意令可知，从而，结合对称中心可判断的对称轴与奇偶性和最小正周期. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点对称，则的图象关于点对称，项正确； 因为函数的定义域为，易知的定义域为， 因为为奇函数，所以， 则，所以， 根据的图象关于点对称，得， 所以，故为偶函数，项错误； 因为， 所以，所以的最小正周期为， 则的最小正周期为，项错误； 根据为偶函数，且关于点对称，最小正周期为， 易知的所有对称轴为直线，故项错误. 故选：. 4．已知函数的定义域为，且，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】赋值求解，赋式证明奇偶性性与周期性，再利用性质转化求值. 【详解】函数的定义域为，由，， 令，则，解得； 令，则，则； 因为①， ①式中，用替换，则， 故，所以为偶函数. ①式中，用替换，则， 所以，即②， ①②可得，，则③， ③式中，用替换，得④， ④式中，用替换，⑤， 由④⑤得，则为周期函数且周期为6， 所以，， 故. 故选：C. 5．若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到的单调性及，再结合不等式，分类讨论，即可得出答案. 【详解】因为在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且， 所以当时，， 当时，. 所以由可得：或或, 解得或或，即或. 所以满足的的取值范围是. 故选：D. 6．已知函数定义域为，且的图象关于对称，当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知函数为偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称可求出实数的值，根据函数的单调性、偶函数的性质，结合可得出关于实数的不等式组，由此可解得的取值范围. 【详解】因为函数的图象关于对称， 令，则，即， 即，所以，， 故函数是定义在上的偶函数，则，解得， 所以，函数是定义在上的偶函数， 由题意可知，函数在上单调递减， 由可得， 所以，，解得. 因此，不等式的解集为. 故选：A. 二、多选题 7．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误. 【详解】对于A，由题意，，且， 又，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误； 对于B，由，可得，即， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，为偶函数，所以， 令，则有， 令，则有， 令，则有， ， 令，则有， 所以 ，故D错误. 故选：BC. 8．已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．在上单调递增 C．若，则的最小值为3 D．若恒成立，则的最大值为6 【答案】ABD 【分析】根据偶函数的定义即可判断选项A；根据单调性的定义即可判断选项B；根据函数的奇偶性及单调性，即可判断选项C；分离参数后结合基本不等式即可求解，进而判断选项D. 【详解】因为函数的定义域为，且，所以为偶函数，故A正确； 设，则， 因为，所以.因为，，所以，因此， 所以，故在上单调递增，故B正确； 因为为偶函数，且在上单调递增，所以， 两边同时平方，整理得，故，故无最小值，故C错误； 由于在上单调递增，在上单调递减，所以， 故可整理为， 令，则，故在上恒成立. 因为，当且仅当时取等，故，即的最大值为6.故D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查利用定义法证明函数的单调性、奇偶性、利用函数的单调性和奇偶性解函数函数不等式以及函数不等式恒成立问题. （1）定义法证明函数的奇偶性时，需要先说明函数的定义域关于原点对称； （2）定义法证明函数的单调性的步骤：假设、作差、变形、判断符号、得出结论. （3）不等式恒成立问题通常可参变分离求最值. 三、填空题 9．已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】分析函数的定义域与奇偶性，利用导数分析该函数的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】函数的定义域为， ，， 因为， 故函数在上为增函数， 由得，故， 即，解得， 故不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 10．已知在上有意义，单调递增且满足． (1)求证：； (2)求不等式的的解集． 【答案】(1)证明:因为，令，得到， 所以. (2). 【分析】（1）根据条件，通过令，即可证明结果； （2）根据条件得到，再利用在区间上的单调性，即可求出结果. 【详解】（1）略； （2）， 又函数在区间上单调递增， 所以，解得， 所以不等式的的解集为. 11．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 由（1）知， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设，则， 由，得，则，所以函数在R上单调递增. (3). 【分析】（1）利用奇函数性质求出，再利用定义验证即得； （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得； （3）利用奇函数性质及单调性脱去法则、分离参数，再借助基本不等式求解即得. 【详解】（1）由题意，定义在R上的函数为奇函数，得，解得， 此时，则， 即函数是奇函数，所以. （2）略 （3）依题意，对任意的，成立， 则，即在上恒成立，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $