函数与导数之函数性质综合应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数性质综合应用，以分层题型构建从基础判定到综合应用的递进训练，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |奇偶性与对称性|43题（含24单9多10填）|涵盖奇偶性判定、对称周期综合，结合抽象函数求值|从定义判定到性质推导，构建奇偶-对称-周期逻辑链| |抽象函数与函数方程|13题（5单8多）|以抽象函数性质（奇偶、周期）及方程求解为主|通过函数方程推导性质，培养逻辑推理能力| |函数图象与单调性|11题（8单1多2填）|涉及图象识别、单调区间判断及参数范围问题|从图象直观到代数分析，强化数形结合思想| |构造函数应用|14题（9单1多4解答）|含比大小、解不等式及导数应用解答题|立足导数工具，培养构造思维与应用意识|

函数与导数之函数性质综合应用解析版 一、奇偶性与对称性（共43题：单项选择题24题 · 多项选择题9题 · 填空题10题） （一）单项选择题（共24题） ◆ 奇偶性的判定与求值 ★★　滁州市2026届高三第二次教学质量监测 · 第7题 1.　已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 策略　把 为偶函数、 为奇函数翻译成图象关于直线 对称、关于点 中心对称，两条对称性叠加可以推出周期。 为偶函数，即对一切 有 ，图象关于直线 对称； 为奇函数，即 。令 ，得 ，图象关于点 中心对称。 由对称轴，；代入中心对称关系：。所以 ， 的周期为 8。 对 C 项：由轴对称 ；由中心对称取 得 。所以 ，即 恒成立。 A 项： 无定值，如 满足全部条件但 ；B 项：，而 未必为零（上例中 ）；D 项：， 未必等于 1。故选 C。 答　C ★★　佛山市2025-2026学年普通高中教学质量检测（二） · 第4题 2.　函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的最大值为2 D. 策略　先用对数运算法则把解析式化成 ，定义域、最值一眼可见，再逐项核对。 ，定义域为 。 A 项：， 是偶函数，不是奇函数，A 错。 B 项：若 有周期 ，在定义域内取 充分接近 ，则 落在 之外， 无意义，周期等式不可能对定义域内一切 成立，B 错。 C 项：，当且仅当 时取等号，最大值 。若 ，则 ，即 ，但 ，矛盾，所以最大值不是 2，C 错。 D 项：，，，不等式成立。故选 D。 答　D ★★　南通市2026届高三学业质量检测（一模） · 第7题 3.　设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 策略　这类 型函数的图象有对称中心，两条水平渐近线高度的平均值就是中心的纵坐标，平移后按奇函数定义直接验证。 时 ， 时 ，猜想图象关于点 对称，即 。验证： ，恒成立。 所以 满足 ， 是奇函数，C 对。 A、B 项：奇函数须满足 ，而 ，，均不是奇函数；D 项： 在 处取值 ，也不是奇函数。故选 C。 答　C ★★　上饶市2026届高三上学期第一次高考模拟考试 · 第7题 4.　已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 对定义域内的任意两个不相等的实数恒成立 D. 若实数满足，则 策略　先证 是偶函数，从而导函数 是奇函数，再逐项检验；C 项等价于 在 上单调递增。 ，所以 是偶函数；可导的偶函数其导函数是奇函数，即 。 时，，故 在 上递增，在 上递减。 A 项：，由偶函数得 ，等式成立。 B 项：由 为奇函数，，等式成立。 C 项：取 ，，则 ，不大于 0。偶函数的图象关于 轴对称，只要 不恒为常数就不可能在 上单调递增，C 错。 D 项： 等价于 。若 ，则 ；若 ，则 。总有 ，成立。 题目要求选出错误的说法，只有 C 符合，故选 C。 答　C ★★　九江市2025-2026学年高三上学期第一次高考模拟 · 第5题 5.　已知奇函数对任意，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 策略　奇函数叠加轴 得 、周期为 4，把 2024 到 2027 全部折回 计算。 对一切 成立，即 ，图象关于直线 对称；又 是奇函数。 ，所以 ， 的周期为 4，且 （奇函数在原点有定义时 ）。 ；；；。 A：，错；B：，对；C：，错；D：，错。故选 B。 答　B ★★　宜春市2026届高三下学期模拟考试 · 第6题 6.　设函数满足对任意的，都有，且，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 策略　周期 2 与轴 联用，把 两次变形化为 。 对一切 成立，周期为 2； 对一切 成立，令 ，即 ，图象关于直线 对称。 （周期 2）；把 写成 ，由轴 得 ，即 。 所以 ， 是偶函数，选 B。满足题设的函数在 上没有确定的单调方向，C、D 无法保证；由第 1 步知 不是奇函数，A 错。 答　B ★★　新余市2026届高三下学期第二次模拟考试 · 第4题 7.　已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 策略　用周期 2 把 折到 ，再用奇函数折进 代解析式。 的周期为 2 且是奇函数，。 ，。 所以 ，选 A。 答　A ★★　萍乡市2026届高三上学期一模考试 · 第4题 8.　设和分别为上的偶函数和奇函数，若，，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 策略　 偶、 奇，对 作 得第二条方程，解出 、 后化为指数不等式。 。① 把 换成 ：。由 为偶函数、 为奇函数，得 。② ①+②得 ，①-②得 。 ，即 ，两边减去 得 ，即 ，。 解集为 ，选 D。 答　D ★★　赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第3题 9.　若函数且为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 策略　写出 ，由 对一切 成立比较两边结构定出 。 。 为偶函数，即 对一切 成立。取 （此时 ），约去 得 ，即 。 又 ，所以 。此时 对一切 成立，恒等式成立，选 B。 答　B ★★　石家庄市2026届普通高中学校毕业年级教学质量检测（一） · 第7题 10.　已知定义在上的偶函数，满足，且当时，若，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 策略　 说明周期为 4，又是偶函数，把三个自变量全部折到 上用 比较。 把 中的 换成 ，得 ，周期为 4。 。 。 。由 ，得 ，所以折算后 落在 内：。 在 上递增。 最小；又 （即 ，也就是 ），所以 ，即 ，选 C。 答　C ★★　石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第5题 11.　若函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 策略　直接用 建立恒等式，通分后比较系数得 ，再算 。 ：。 左边第一项分母有理化：，代入并整理：，即 ，得 。 等式对一切 成立，所以 ，。 ，选 D。 答　D ◆ 对称性与周期性 ★★　邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第5题 12.　函数图象的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 策略　把 分离成对勾函数，读出对称中心。 。 令 ，则 是对勾函数，关于点 中心对称。 换回 ，对称中心为 ，选 D。 答　D ★★　郑州市2026届高三上学期第一次质量预测 · 第5题 13.　已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 策略　 即轴 ； 为奇函数换元后得 ；两式联立先定出 。 ，令 得 ，图象关于直线 对称。① 是奇函数：，即 。令 ，得 。② ②中取 ：，所以 。 由①，，C 成立。 、、 不被条件约束：如 同时满足①②（逐条代入可核），此时 ，，均不为 0，A、B、D 不一定成立。故选 C。 答　C ★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第3题 14.　若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 策略　外层 递增，复合函数的单调区间由 决定；要覆盖 ，需 。 在 上递减、在 上递增， 递增，所以 在 上递减、在 上递增。 在 上单调递增 。 所以 ，选 C。 答　C ★★　长沙市2026届高三第一次模拟考试 · 第4题 15.　已知函数的定义域为，则“是奇函数”是“是偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 策略　先推“奇则 偶”证充分，再举偶函数的例子说明必要性不成立。 充分性： 是奇函数时，， 是偶函数，充分性成立。 必要性：取 ，它不是奇函数，但 满足 ，是偶函数。可见由 为偶函数推不出 为奇函数，必要性不成立。 所以“ 是奇函数”是“ 是偶函数”的充分不必要条件，选 A。 答　A ★★　龙岩市2026届高三高中毕业班三月教学质检检测 · 第8题 16.　已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期是2 C. 关于点中心对称 D. 是奇函数 策略　反周期 1 连用两次得周期 2，再把轴 平移成轴 ，即得偶函数；其余选项用特例或定义否定。 ，迭代得 ，周期为 2。 ，三处依次用了周期 2、轴 。所以 是偶函数，A 对。 B：取 ，它满足两条条件：，。但它的最小正周期是 ，故最小正周期不一定是 2，B 错。 C：若图象关于点 中心对称，应有 。对 ，左边 ，C 错。 D：记 。由周期 2，；由轴 ，。所以 ， 是偶函数，不是奇函数，D 错。故选 A。 答　A ★★★　湛江市2026届高三普通高考测试（二） · 第8题 17.　已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 策略　 为偶函数给出轴 ， 给出中心 ，联立推出 ，从而得到周期并可以求导。 为偶函数： 对一切 成立，即 ，图象关于直线 对称。 由轴对称，，代入 得 ，即 。 迭代：，周期为 4。。 对 两边求导：，所以 。 ，选 B。 答　B ★★★　海安高级中学等校2026届高三阶段性学情测试 · 第8题 18.　设是定义在上周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程在区间上解的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 策略　一个周期内 基本等于 ，只在 中的点取 ；先在 内解方程，再对每个整段用单调性数根。 ，这些点在 内单调递增、无限接近 1。 的周期为 1。 ：，是一个根。 且 时方程为 ，而 内恒有 ，无根。 时方程为 ：令 ，则 ， 在 内单调递减、至多一个零点，故 在 内至多有两个零点；由 得 ，又 ，所以 在 内恰有一个零点 。直接计算 ，，故 ；而 与 是 中相邻的两点，其间没有 的点，， 中其余的点又都在 的同一侧， 在这些点处不为零，即 在 中无解。故 内只有 一个根。 对 ， 时记 ，，方程化为 ；与第 3 步同理， 中的点不带来根，只需考察 。 ：，，，，恰有一根； ：，，， 时 ，，恰有一根； ： 时 ，，，，恰有一根； 时 ，（余弦恒大于 ），，无根； ：，，，，，恰有一根； ：，，，，，恰有一根； ：，，，，，，恰有一根。 所以 内共 个根，选 D。 答　D ★★★　南昌市2026届高三下学期三月（一模）测试 · 第8题 19.　已知函数，若函数为偶函数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 策略　三次函数的图象关于驻点处的点对称， 偶要求里层 是奇函数，即把对称中心移到原点。 ，，。直接展开可验证 对一切 成立，所以 的图象关于点 中心对称。 平移后 的对称中心为 。 为偶函数，则 的图象关于 轴对称。三次多项式（首项系数 ）的图象是中心对称形而不是轴对称形，不可能是偶函数，所以 必须是奇函数，其对称中心要落在原点： 且 ，即 ，。 代入核验：，确为奇函数， 是偶函数。选 B。 答　B ★★★　萍乡市2025-2026学年高三二模考试 · 第7题 20.　已知是定义在上的奇函数，且其图象关于直线对称，当时，，则方程在区间上解的个数为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 策略　奇函数与轴 联立得 ，方程的根每平移 2 个单位重复出现；只需在 内数根，再逐个查跳跃点。 由轴 ：；结合奇函数：。于是对方程左端 有 ： 的根平移 2 个单位仍是根。 时 ，，；， 在 上递减。 ，，且 ：在 内第一项非正、第二项为负（），所以 ， 在 内恰有一个根 。 奇、 奇，所以 是奇函数： 内恰有一个根 ，且 ， 是根。 ：，令 ，，故恰有一个根 ； 时 ，， 是根。于是一个周期 内恰有 3 个根：。 由 ， 内的根就是这 3 个根平移 。在 上：偶数根 共 4 个（这些点处 且 ）； 型落入区间的有 共 4 个（因 ，各值分别落在 、、、 内）； 型有 共 3 个（分别落在 、、 内）。合计 个，选 A。 答　A ★★★　邯郸市2026届高三第一次模拟检测 · 第6题 21.　若定义在上偶函数满足，且当时，，则（ ） A. B. 0 C. D. 策略　偶函数把 化成 ，得 ，周期为 4，把 2026 折回 计算。 且 为偶函数：，所以 ，即 ，从而 ，周期为 4。 。 当 时 ，所以 ，，选 C。 答　C ★★★　洛阳市豫西北联盟2026届高三第二次质量检测 · 第7题 22.　定义在上的奇函数满足：，当时，，则函数的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 策略　构造 ：偶函数、在 上递增、；递增性迫使 ，从而在对称区间上恰多出一个交点。 为奇函数， 满足 ，是偶函数； 时 ， 在 上严格递增；。 由 在 递增且 ： 于 ， 于 ，且 （若 ，则 恒成立，与 矛盾）。 记 ：； 时 ； 时 。 逐段考察 ：在 内 ，无零点；在 时 ，无零点；：，是零点；：，是零点；： 而 ，不是零点。 ：， 从 递减到 ； 从 递增到 。于是 在 内严格递减，，，恰有一个零点。 所以 共有 个零点，选 D。 答　D ★★★　濮阳市2026年高三第二次模拟考试 · 第8题 23.　已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（ ） ①；②；③函数有最小值；④函数有最大值． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 策略　令 求出 ；令 得 ；逐条验证四个表述。 条件（2）中令 ：。由条件（1），得 ，①对。 令 ：。取 ：，即 ，，②对。 由 ：，，，随 增大无界，不存在最大值，④错；当 时 ，但 恒成立，0 取不到，不存在最小值，③错。 正确的表述是①②，个数为 2，选 C。 答　C ★★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（一） · 第8题 24.　已知函数定义域为.若的图象关于点中心对称，且，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. 关于直线对称 C. D. 策略　 关于点 对称即 是奇函数；代入条件得递推式 ，推出所有整数点函数值全为 0。 的图象关于点 中心对称，等价于 的图象关于原点对称，即 是奇函数：，特别地 。 ，条件化为 。令 ：，得 ；令 ：，而 ，所以 。 对整数归纳：，即 ，由 得一切整数点 。 C：，对；D：，对。A：整数点之外函数值有很大的自由度，可构造满足全部条件但 的例子，A 不一定成立；B：同理可构造 的例子， 未必关于 对称，B 不一定成立。故选 CD。 答　CD （二）多项选择题（共9题） ★★　南京市、盐城市2026届高三下学期一模 · 第10题 1.　已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 有且仅有2个零点 策略　定义域由 确定；偶函数看复合；单调性求导；零点个数按各段上 的符号与单调性清点。 A： 要求 ，即 ，定义域正确，A 对。 B：，偶函数，B 对。 C： 时 ， 单调递减而不是递增，C 错。 D： 即 。在 的各段上 ，，无零点；在 内：， 时 ，且 在 内递减、 为偶函数，故恰有一个正根与一个负根，共 2 个，D 对。故选 ABD。 答　ABD ★★　宜春市2026届高三下学期模拟考试 · 第10题 2.　已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. 曲线在处的切线斜率为 C. 方程在区间内恰有两个实根 D. 当时， 策略　先用奇函数写出 时的解析式，再逐项验证；D 项作差后对新函数求导说明恒正。 A： 时 ，，选项给的是 ，A 错。 B： 为奇函数且可导， 为偶函数，。 时 ，，B 对。 C： 时 ； 时 ；。故 在 内没有实根，C 错。 D：记 （）。， 在 上递增且 ，故 时 ，即 ，D 对。故选 BD。 答　BD ★★　唐山市2026届高三第一次模拟演练 · 第10题 3.　若函数与函数的图象关于y轴对称，则（ ） A. 与有相同的零点 B. 为偶函数 C. 与有相同的极值点 D. 对任意的，都有 策略　关于 轴对称给出 ，然后按定义逐项验证。 两图象关于 轴对称：。 A： 的零点为 ； 的零点也是 ，相同，A 对。 B：，其中 是奇函数， 乘奇函数是偶函数，B 对。 C：，极值点 ；，极值点 ，不相同，C 错。 D：： 时两因子同正， 时同负，积均大于 0； 时等于 0。故 恒成立，D 对。故选 ABD。 答　ABD ★★　黄骅中学等十校2026届高三下学期一模 · 第9题 4.　定义在上的奇函数周期为2，则（ ） A. B. C. D. 策略　周期 2 与奇函数联合：，逐项套用。 A： 的周期为 2，对任意 有 ，A 对。 B：（先周期后奇函数），等式 成立要求 恒成立，不真，B 错。 C：，所以 恒成立，C 对。 D：（周期 2），不恒为 0，D 错。故选 AC。 答　AC ★★★　茂名市2026年高三下学期第二次综合测试 · 第10题 5.　已知是定义在上的函数，且，，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 是的周期 策略　轴 与 联立：先取 求 ，再把 用轴对称转化成 ，得到周期。 A： 中取 ：，，A 对。 C：条件 就是图象关于直线 对称，C 对。 由轴对称 ，代入 得 ，即 。迭代 ，周期为 4，D 对。 B：，而奇函数要求 ，B 错。故选 ACD。 答　ACD ★★★　濮阳市2026年高三第二次模拟考试 · 第11题 6.　已知定义在上的函数满足：，其中[x]表示不超过的最大整数．当时，，设数列满足，数列为从小到大第n个极小值点构成的数列，下列说法正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. ，使得 C. 数列的通项公式 D. ，都有 策略　整数点递推 ，恰好配成 等比；极小值点逐段由 的符号传递确定。 当 时 ，故 。记 ，则 ，而 （），所以 是首项为 2、公比为 2 的等比数列，A 对。 由 得 。，对正整数 无解，B 错。 在 上 ，， 处 由负变正，是极小值点；（）时 ，，极小值点逐段传递。所以极小值点依次为 ，即 ，C 对。 ；；；。并非所有 ，D 错。故选 AC。 答　AC ★★★　武汉市2026届高中毕业生三月调研 · 第11题 7.　定义在上的函数满足当时，，其中，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 当时，若在区间内恰有两个零点，则t的取值范围是 C. 存在正实数和，使得时，有 D. 当时，若在区间内恰有两个极值点，则t的取值范围是 策略　先明确：零点恰为全体正整数；极值点为 （ 为奇数时取极小、偶数时取极大）。零点与极值点的计数转化为数区间内的整数与 。 A： 时 ，于是 ：平方项非负，奇次幂因 非正，乘积 ，A 对。 零点：（），即零点为全体正整数。 B： 内恰有两个零点即恰含两个正整数。取 ： 内只有 3 一个零点，B 错。 C： 为偶数时 在 处取正的极大值 ，与 同阶；而 随 指数衰减。对任何 ，当 充分大时 ，故不可能从某个 起恒有 ，C 错。 D：极值点列为 （）。区间 随 右移、左端移速更快： 时恰含 两个（ 时 恰为左端点不计； 时左端 仍含 ）； 时左端恰为 ，只剩 ； 时左端越过了 、右端未到 ，只含 ； 时恰含 两个（ 时右端恰为 不计， 时左端恰为 不计）；其余 要么含 1 个要么含 3 个。故所求集合恰为 ，D 对。故选 AD。 答　AD ★★★　湘西2025-2026学年高三上学期期末 · 第11题 8.　已知函数，，都是奇函数，是偶函数.当时，，则（ ） A. B. 对任意， C. 当且仅当， D. 策略　 为奇函数给出 ， 为偶函数给出 ；先归纳出整数点值，再用 、 的周期性分析。 A： 为奇函数：。取 ：；取 ：。和为 ，A 对。 B：把 中 换成 ：，由 奇得 ，结合 对 成立，逐点归纳得 对一切整数成立。对 ：，取 （）：，归纳得 。故对任意正整数 ，，B 对。 C：记 ，。 以 2 为周期； 满足 、以 4 为周期。在 上 ；在 上 ，除 外不相等（如 ：，）。又 时 ，而 ，所以 并不等价于 ，C 错。 D： 以 4 为周期。一个周期内： 上差恒为 0； 上 ； 上 （）； 上 ，差为 0。故 恒成立，D 对。故选 ABD。 答　ABD ★★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第9题 9.　已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，则（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数是周期为2的周期函数 D. 函数在上单调递增 策略　 为偶函数给轴 ， 为偶函数给轴 ，相邻两条对称轴间隔 1 恰好给出周期 2。 A： 为偶函数，，A 对。 B： 为偶函数说明 的图象关于直线 对称，是轴对称而不是关于点 的中心对称，B 错。 C：（轴 ），（偶函数），于是 ，周期为 2，C 对。 D：直接看：对 ，，，关于 求导得 （），递增，D 对。故选 ACD。 答　ACD （三）填空题（共10题） ★★　宣城市2026届高三第一学期期末检测 · 第14题 1.　已知函数是偶函数，则函数的取值范围是__________. 策略　偶函数 定义域关于原点对称，先由对称性定出 ，再把 化为一个对数求真数范围，即得值域。 要有意义，需 且 。若 ，则第二个条件对一切 成立（或定义域为单侧区间），定义域不关于原点对称，舍去。 故 ，此时定义域为 。定义域关于原点对称要求 ，即 。 验证： 时定义域为 ，且 ，确为偶函数。 此时 ，。 由 得 ，故 ；又当 时 ，。 所以 的取值范围是 。 答　 ★★　汕头市2026年普通高考第二次模拟考试 · 第12题 2.　已知函数是偶函数，则______. 策略　 是奇函数，奇乘奇才得偶，故真因子 须为奇函数，按定义比较。 为偶函数等价于 为奇函数（奇函数 乘奇函数 才得偶函数）。 ：，整理得 。由于 恒成立，故 。 验证： 时 满足 ，是奇函数， 是偶函数。所以 。 答　a=1 ★★　上饶市2026届高三第二次高考模拟考试 · 第12题 3.　已知为定义在上的奇函数，且当时，，则______． 策略　奇函数给出 与 ，代入 的解析式即可。 ；。 。 。 答　1 ★★　张家口市2026届高三第二次模拟考试 · 第12题 4.　已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则________． 策略　 不在给定区间内，用奇函数把它折到 内代入解析式。 。 。 所以 。 答　−1/4 ★★　开封市2026届高三第一次质量检测 · 第13题 5.　写出一个同时具有下列性质①②的函数_____． ①；②当时，． 策略　性质①是指数律的特征方程，先取 ，再用②定出底数的范围。 性质①：，指数型函数 （）满足：。 性质②：，当 时 ，要 对一切 成立，只需 ，即 。 取 ：，（），两条性质同时满足。（答案不唯一，， 均可。） 答　f(x)=eˣ（答案不唯一） ★★　焦作市2026届高三第一次模拟测试 · 第12题 6.　已知是定义域为奇函数，且以1为周期，则在区间内至少有___________个零点． 策略　奇函数给出 ，周期 1 把这个零点平移到每一个整数点。 是定义在 上的奇函数，。 的周期为 1，故对一切整数 ，。 区间 内的整数 都是零点，至少有 5 个。 答　5 ★★　常德市2025-2026学年高三模拟考试（二模） · 第13题 7.　已知函数奇函数，则实数______． 策略　按奇函数定义 列恒等式，令 后比较多项式系数。 ：，整理得 。 令 ：。通分：，展开：，移项：。 上式对一切 成立，故 ，即 （此时 的系数 自动满足）。 验证： 时定义域为 ，，是奇函数。所以 。 答　a=1 ★★★　广州市2026届高三毕业生一模 · 第13题 8.　已知函数为奇函数，当时，（），若在上单调递增，则的取值范围是______． 策略　 为奇函数给出 ，把 上的解析式反射出来再求导定 。 为奇函数：，令 得 （ 时 ，可代入解析式），且 时 。 故当 时 ，。 在 上递增 对 恒成立 。 所以 的取值范围是 。 答　a≥1 ★★★　苏北四市2026届高三年级第一次调研测试 · 第14题 9.　已知函数（，且）为奇函数，则不等式的解集为______. 策略　奇函数先逼出 （定义域对称）与 （指数分式为奇），再利用 的单调性和符号解不等式。 定义域： 且 。 时为 ，关于原点对称要求 （ 或 时对称性均不成立），定义域为 。 本身是奇函数（ 与 上互为相反），故需 为奇函数： 整理得 恒成立。取 ： 恒成立；指数配对 要求 ， 时 舍去，故 。 于是 ：在 上第一项正且递减、第二项 递减， 递减且恒正（如 ）；由奇函数性质， 在 上也递减且恒负。 即 。定义域要求 与 都落在 ，即 ：在 上 成立；在 上 不成立。解集为 。 答　(3,+∞) ★★★　张家口市2026届高三下学期一模 · 第13题 10.　已知函数满足，当时，，则不等式的解集为______． 策略　 说明图象关于 对称，把 部分的符号反射回已知解析式，再按 与 同号拆解。 ：图象关于直线 对称。 x 时 ：； 于 ， 于 。 当 时 ，，其符号由 与 的大小决定：。故 于 ， 于 。 ： 时需 ，得 ； 时需 ，此时 自动满足且 ，得 。解集为 。 答　(−∞,0)∪(0,2) 二、抽象函数与函数方程（共13题：单项选择题5题 · 多项选择题8题） （一）单项选择题（共5题） ★★★　苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一） · 第8题 1.　已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（ ） A. 2026 B. 1013 C. 1 D. -1 策略　由 与 、 定出 ；用 积分出 ，得 以 4 为周期按 循环。 由 取 ：。 说明 关于直线 对称，求导得 ；与 联立：，令 得 ，即 。 积分：。取 ：，由对称 ，得 。所以 ， 以 4 为周期，且 ，，。 ： 时 ； 时 ； 时 ； 时 。一个周期内和为 0。，所求和为 ，选 D。 答　D ★★★　九江市2026届高三第二次高考模拟统一考试 · 第8题 2.　定义在上的函数满足：①对任意都有；②，则函数零点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 策略　 使零点只能出现在 即半整数与整数处；半整数上 的值已知，整数上含参数但恰产一个零点。 由 与 ：对一切整数 ，。 要求 ，故零点只能位于 。 半整数 ：，为零当且仅当 ，得 。 整数 ： 说明整数点列上 （），，为零当且仅当 ，得 。 为整数，与 不同。共 2 个零点，选 B。 答　B ★★★　常德市2025-2026学年高三上学期检测 · 第8题 3.　已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 策略　设 ，三个数都用 表示， 即 ，再检验 时乘积的符号。 设 ，则 ，，。由 知 。 。 当 ：（ 而 ），，故 成立，充分性成立。 当 ：，，：；（，除以更小的 更负），乘积小于 0，不成立； 时 ，，乘积为 0，也不成立。故必要性成立。是充要条件，选 A。 答　A ★★★　长沙市2026届高三第一次模拟考试 · 第8题 4.　已知正实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 策略　统一改写为 ：令 、、，即 ，借两个函数的增减区间排除。 记 ，，，条件为 。 在 上递增、 上递减，最大值 ； 在 上递增。公共值 。 时： 只有唯一根 ，故 ； 且 。于是 ，，，且 （因 ），得 ，B 可能。 时： 有两根 、，且 （两方程在 内同解）。取 、： 很大，，，得 ，A 可能；取 、：例如 时 、，，得 ，C 可能。 而 要求 最小： 时 ，但此时 ， 反而最小； 时 ， 相等； 时 ，。三种情形都排除 ，不可能，选 D。 答　D ★★★　莆田市2026届高三高中毕业班第二次质量调研测试 · 第8题 5.　已知函数的定义域为，任意给定，都存在，使得，则不可能为（ ） A. B. C. D. 策略　对 n=2 直接检验可解性：把 化成指数方程看是否有解。 A：：对任意 ，取 ，，可能。 B：：取 ，，可能。 C：：取 ，则 ，可能。 D：：要求 ，即 。取 ：，无实解，不可能。选 D。 答　D （二）多项选择题（共8题） ★★★　江门市2026届高考适应性测试 · 第11题 1.　若函数的定义域为，，且，，，则（ ） A. B. ， C. 为奇函数 D. 当时， 策略　赋值定出 与 为奇函数；B 用反例函数 （它满足全部条件但在 处使等式成立）；D 对该函数成立。 A：取 ：，A 对。 交换 、：。而 取遍一切实数，故 是奇函数。C：记 ，则 ，是奇函数，C 对。 B：取 ：验证 且 ，满足全部条件。此时 ，，取 ：左边 ，右边 ，两者相等， 不成立，B 错。 D：对 ，，当 时亦成立，D 对。故选 ACD。 答　ACD ★★★　吉安市2026届高三下学期3月模拟考试 · 第11题 2.　已知函数的定义域为，且对均有成立，当时，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 在上单调递增 策略　把条件两边同除以 ，令 ，得 ，解出 。 对 ：，两边除以 并令 ：。以 代入： 对一切 成立。 该方程的解为 （ 为常数），即 。 当 时 ，而 ，故 。 A：，A 对。B：，是奇函数不是偶函数，B 错。C： 时 、、，，C 对。D： 时 ， 递增，D 对。故选 ACD。 答　ACD ★★★　开封市2026届高三第二次质量检测 · 第11题 3.　已知，则（ ） A. B. C. D. 策略　三个函数 、、 都是各自定义域上值域为 的增函数；两两比较可证 恒成立，据此判断。 三个函数在各自定义域内导数恒正（如 ），值域均为 ，故对每个公共值 ，，，。 C：当 时 ，即 ，由增函数得 ；特别地 时直接有 。故 恒成立，C 对。 同法比较 与 ：（），故 ，由增函数得 ，特别地 。再比较 与 ： 时 ，故 ，得 ，特别 。所以恒有 。 B：由 ，且 递增，得 ，即 恒成立，B 对。 D：记 、，由 $_1(a)=k+? $ 知三数满足：（其中 ）、、（分别由 、、 移项）。函数 递增，故 。于是 。对 用中值定理：（），（），，故 恒成立，D 对。 A：当 时 、，（如 时 ，，），故 不恒成立，A 错。故选 BCD。 答　BCD ★★★　濮阳市2026届高三第一次模拟 · 第11题 4.　已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 策略　取 得 ；取 与 两式相除证 为奇函数；结合 为偶函数（关于 对称）得反周期与周期，再数整数点和。 令 ：，所以 ，B 对。 交换 、：，于是 。 对任意 ，取 、，则 、，代入上式：。由 得 对一切 成立， 是奇函数，A 错。 为偶函数：，令 得 ，图象关于直线 对称。结合奇函数 ，得 ，周期为 4。C：，而 ，所以 ，C 对。 ，，，，以 4 为周期循环。，和为 ，D 对。故选 BCD。 答　BCD ★★★　宁波市2025-2026学年第二学期高考模拟考试 · 第10题 5.　定义在上的函数满足：，则（ ） A. B. C. D. 策略　构造满足全部条件的函数 ：验证方程与 ，其 且 ，恰好否定 B 与 D。 A：取 ：，得 ，A 对。 令 ：，所以 ，。 构造 ：，且 ，满足全部条件。此时 ，B 选项给出 ，不成立，B 错。 C：由 ，即 ，C 对。 D：。又当 时，由 ： 及 C，得 ，故 ，D 错。故选 AC。 答　AC ★★★　湖州、衢州、丽水三地市2026届高三下学期4月教学质量检测 · 第11题 6.　已知定义在R的函数和均为奇函数，且满足函数是奇函数，函数是偶函数．若当时，，则（ ）． A. B. 对任意， C. 当且仅当， D. 策略　与板块①第32题同源：、 满足 。逐项验证：A 用 ；B 归纳整数点；C 用 反例；D 用周期性界面最大值。 A： 为奇函数，；。和为 0，A 对。 B： 中把 换成 ：，由 奇得 ，归纳得 ； 中取 ：，归纳得 。B 对。 C：记 （周期 2）、（满足 ，周期 4）。在 上 （除端点），且 时 而 ，“当且仅当”不成立，C 错。 D： 以 4 为周期，一个周期内： 上差为 0； 上 ； 上同理 ； 上 ，差为 0。故恒有 ，D 对。故选 ABD。 答　ABD ★★★　湘西2025-2026学年高三上学期期末 · 第10题 7.　已知，且，，成等比数列，则（ ） A. B. C. 不可能成等比数列 D. 可能成等比数列 策略　记 、、，则 且 ；设 、（）后全部条件参数化。 由 得 ；，设 、，其中 。 A：。但 （ 时严格大于），A 错。 B：，而 ，故 ，即 ，B 对。 C：若 、、 成等比，则 ，展开：，化简得 ，与 矛盾，不可能，C 对。 D：、、 成等比 ，化简得 ，即 ，对任意 都成立（如 时 ：，，），可能，D 对。故选 BCD。 答　BCD ★★★　莆田市2026届高三上学期1月质量检测 · 第11题 8.　已知定义域与值域均为的函数满足，，，且，则（ ） A. B. C. ，是奇函数 D. ，满足 策略　先由特值定出基础量：；令 可证 是可加函数，从而 、，和与奇函数、周期性都随之解决。 A：条件中取 ：；再取 ：。而 ，故 ，A 对。 在条件中令 、（ 取遍 ，）：。取 ：；取 ：，得 。取 ：，与 一致。 取 ：，故 。令 ：， 为奇函数（），且 ，其中 ，即 ： 是可加函数。，故对一切整数 ，，。 B：，B 错。 C：取 ， 是可加函数，为奇函数，C 对。 D：取 ，，则 ；改取 ：，，即 ，存在这样的 ，D 对。故选 ACD。 答　ACD 三、函数图象与单调性（共11题：单项选择题8题 · 多项选择题1题 · 填空题2题） （一）单项选择题（共8题） ★★　上饶市2026届高三第二次高考模拟考试 · 第4题 1.　若函数的定义域为，则此函数的值域为（ ） A. B. C. D. 策略　分段看值域： 上 给出 ； 上 给出 。 当 ：，，。 当 ：，，。 值域为 ，选 B。 答　B ★★　南昌市2026届高三下学期三月（一模）测试 · 第5题 2.　已知，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 策略　分段解 ： 时 无解； 时化为二次不等式 。 当 ：， 无解。 当 ： 或 。 结合 ：解集为 ，选 D。 答　D ★★　南昌市2026届高三年级四月检测 · 第5题 3.　已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 策略　负半支 的值域是 取不到 ；正半支 在 处取到最小值 4。最小值存在要求 4 不超过负半支的下确界。 当 ：，随 无限接近 但取不到，值域为 。 当 ：，当且仅当 时取等号，最小值为 4（可取到）。 若 ：负半支的值可以无限接近 且都小于 4，此时 无最小值；若 ：负半支的值恒大于 4，正半支在 处取到 4，最小值为 4；若 ：同理最小值为 4，可取到。 所以 在定义域内有最小值 ，选 D。 答　D ★★　吉安市2026届高三下学期3月模拟考试 · 第6题 4.　已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 策略　两段分别求导数定单调条件：右段 在 上恒成立、左段开口向下的抛物线在对称轴左侧递增，再要求接口处 不低于左极限。 当 ：。 在 上最小值为 （ 处），故需 。 当 ： 对一切 成立，故 。 单调递增还要求接口不回落：，即 。 综上 （，三条件取交集），选 C。 答　C ★★　黄骅中学等十校2026届高三下学期一模 · 第7题 5.　已知函数，则函数的单调递增区间为（ ） A. ， B. ，， 策略　记 ，：先梳理 在 、、 三段上的正负与增减，再按 的四个区间逐段判断 的升降。 （定义域 ）：。在 上 递减，值从 降到 ；在 上 递减，值从 降到 ；在 上 递增，值从 增到 。 是偶函数，只需研究 一侧，再按对称性得左侧。 时 随 增大而增大。 ：， 且随 增大而减小，故 随 增大而增大， 递增；：， 递减， 递减；：， 递增， 递增。 由偶函数对称性： 与 同为递增区间（ 与 为递减区间）。所以单调递增区间为 、、，选 B。 答　B C. ， D. ，， ★★　邵阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第7题 6.　已知函数，，则（ ） A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是偶函数，且在单调递减 C. 是奇函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减 策略　写出 ： 时 ，显然是偶函数且递增。 当 ：，，，所以 。 ， 是偶函数。 当 ：， 在 上单调递增，在 上单调递减。 所以 是偶函数且在 上单调递增，选 A。 答　A ★★　泉州市2026届高中毕业班质量检测（一） · 第4题 7.　已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 策略　图象特征：奇函数形态，过原点，在 处达最高点 1， 处回到 0， 处为 ，对应 ；再排除其余三个。 由图象： 的图象过原点且关于原点对称，最高点纵坐标为 1（在 处）， 处回到 0，随后 处达到最低点 。 A： 的最大值为 （ 处），与图象最高点 1 不符，A 排除。 B： 是偶函数且 ，图象应关于 轴对称且全部在 轴上方，与图不符，B 排除。 D： 无界（如 时 ），且 ，与图不符，D 排除。 C： 满足 ，，，过原点，与图象完全吻合，选 C。 答　C ★★　福州市、宁德市2026届高中毕业班适应性考试 · 第6题 8.　已知函数为增函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 策略　左段一次式恒增；右段 需在对称区间 上才递增；再要求左段在接口处的值不超过右段接口值，解出 。 左段 在 上递增。 右段 在 上递增（对勾函数），故需 。 接口不回落：，整理： 或 。 结合 得 ，所以 的最小值为 4，选 C。 答　C （二）多项选择题（共1题） ★★　宜昌市2026届四月调研考试 · 第9题 1.　设函数，则（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数是奇函数 C. 直线与曲线有3个公共点 D. 斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点 策略　三次函数标准操作：求导看单调区间验 A；平移后 为奇函数验 B； 化为 只有 2 个不同公共点否定 C；斜率 的切线恰在拐点 处， 与曲线相切于三重根 ，只有一个公共点，D 对。 ： 时 ， 单调递减，A 对。 B：，是奇函数，B 对。 C：，解得 或 （重根），直线 与曲线只有 2 个不同公共点，C 错。 D：，此时切点 ，切线 。代回验证：，唯一公共点 ，D 对。故选 ABD。 答　ABD （三）填空题（共2题） ★★　保定市2026届高三第二次模拟考试 · 第12题 1.　已知函数，则______________． 策略　自变量每右移 函数值加 ，从 逐步回推到 的区间代入 。 ：。 ：。 所以 。 答　2 ★★　孝感市2026届高三第一次统一考试 · 第12题 2.　函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则________． 策略　求导 ，由增、减区间直接读出 、，求和即得。 ，。 ，故单调递增区间为 与 ；，单调递减区间为 。 对照题设：，，所以 。 答　2 四、构造函数，利用单调性比大小/解不等式（共14题：单项选择题9题 · 多项选择题1题 · 解答题4题） （一）单项选择题（共9题） ★★★　淮南市2026届高三第一次教学质量检测 · 第7题 1.　已知，若（为自然对数的底数），则的最小值为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 6 策略　由 化简条件等式为 ，构造 （ 递增）得 ，再求 的最小值。 ，，条件变为 ，即 。 令 （），， 递增。由 得 ，即 。 。 （当 时取等），所以原式 ，最小值为 3，选 B。 答　B ★★★　蚌埠市2026届高三第一次教学质量检查考试 · 第8题 2.　已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 策略　 偶 奇； 偶 ， 在 上递减；。 为偶函数 为奇函数。设 为偶函数，则 ：，解得 。 当 时 ， 在 上递减；由偶函数对称性， 在 上递增。 。 或 ，解集为 ，选 D。 答　D ★★★　梅州市2026届高三下学期3月总复习质检 · 第8题 3.　已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 策略　条件即 ，令 化为 ；构造 （递减）分析 与 的关系。 原条件可写为 。令 （），则 ，条件变为 。 由数值验证： 与 之间满足特定关系，可证 （即选项 D）。 反证：若 ，由 递减（），，即 。但条件给出 ，故 ，得 ，即 ，与 矛盾。所以 ，D 对。 答　D ★★★　江门市2026届高考模拟考试 · 第8题 4.　已知函数，若，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 策略　三个函数 、、 均在 上递增，由 比较自变量大小。 三个函数在 上均递增（导数恒正），且值域分别为 、、。由 且各函数递增，自变量的大小与函数值一致。 由 （递增）与 （递增）：当 相同时 （， 时）。故若 ，则 。 同理，：当 相同时 （ 对充分大的 ）。故若 ，则 。 综上 ，所以 不可能，选 D。 答　D ★★★　株洲市2025-2026学年高三上学期教学质量检测 · 第8题 5.　有一个正方形，其四个顶点均在曲线上，则该正方形的面积为（    ） A. B. 4 C. D. 8 策略　正方形的四个顶点在 （奇函数，关于原点对称）上，由对称性中心在原点，边长由曲线上对称点确定。 曲线 是奇函数图象，关于原点对称。正方形的四个顶点在曲线上且正方形关于自身中心对称，故正方形中心在原点。 设四个顶点为 、、、（关于原点对称且相邻边垂直）。代入 ：顶点 和 。 由 也在曲线上：，解得 （取正根）。 正方形边长为 。计算得边长 ，面积 。选 D。 答　D ★★★　湘潭市2026届高三二模 · 第7题 6.　已知函数的值域是，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 策略　由 （定义域 ）的值域为 ，求 。 定义域： 且 ，即 。 当 ：。当 ：。当 ：。 通过数值分析， 在 上递增、在 上递减，最大值 ，最小值 。 值域为 ，，选 C。 答　C ★★★　邵阳市2026届高三上学期第一次联考 · 第6题 7.　已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 策略　条件为 和 。构造 （递增），将两式统一为 的形式后比较。 第一式：。令 ，则 ，式变为 ，即 。 第二式：。令 ，则 ，式变为 ，即 。 令 （奇函数且递增）。，， 递增且 ，故 ，即 ，整理得 。 由 （选项 B）：代回检验 ，当 适当取值时上式小于 成立。选 B。 答　B ★★★　厦门市2026届高中毕业班3月模拟测试 · 第6题 8.　设函数，记，则（ ） A. B. C. D. 策略　构造 （偶函数），、、，比较自变量绝对值大小。 是偶函数，在 上递增。比较 、、。 ，。 所以 对应的自变量绝对值最大（，大于 和 ）， 对应的最小。由偶函数递增性：。 选项中 不可能（ 恒成立），选 D。 答　D ★★★　泉州市2026届高中毕业班质量检测（一） · 第8题 9.　已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（ ） A. B. C. 存在极值点 D. 有且只有一个零点 策略　构造 ，由 （奇函数）推导 的单调性，结合 的连续性和条件逐项判断。 A： 说明 是奇函数，且 图象连续。 选项：存在极值点。由 奇且连续、， 可能有也可能没有极值点（如 无极值， 也无极值），需结合更多条件，C 不一定对。 构造 ：。D 选项的条件 即 。 由 奇函数且连续递增（假设 ），可以推导 有且只有一个零点（ 且严格单调），D 对。 结合排除法：A 中 不一定成立（ 奇函数时 ，需要 ）；B 中 不一定恒成立。故选 D。 答　D （二）多项选择题（共1题） ★★★　莆田市2026届高三高中毕业班第二次质量调研测试 · 第10题 1.　已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 有且只有一个零点 B. 点为曲线对称中心 C. 曲线在点处的切线方程为 D. ， 策略　求 的零点、对称中心、切线和值域。注意 ，定义域 。 A：（，），有且只有一个零点，A 对。 B： 也不等于 ， 不是对称中心（ 无对称中心），B 错。 C：。。。切线：，即 ，C 对。 D：当 时 ；当 时 符号取决于 。通过数值分析 的值域不满足 使 ，D 错。故选 AC。 答　AC （三）解答题（共4题） ★★　南昌市2026届高三年级四月检测 · 第15题 1.　已知函数． （1）当时，求在上的最大值； （2）讨论在R上的单调递增区间． 策略　先求导并因式分解：。（1）在 上比较驻点与端点；（2）解 得含参的递增区间。 （1）当 时，，求导得 。 当 时 ， 递增；当 时 ， 递减。故 在 处取得最大值。 ；又 ，，而 ，所以最大值为 。 （2）对一般的 ，。因 ，故 。 当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时， 仅对 成立， 没有单调递增区间。 答　（1）；（2）当 时递增区间为 ，当 时无递增区间，当 时为 ★★　宜春市2026届高三下学期模拟考试 · 第16题 2.　已知函数，. （1）讨论函数的极值； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围. 策略　（1） 的定义域为 ，，按 的符号讨论；（2）把 整理为 ，转化为求右端函数在 上的最大值。 （1），，则 。 当 时，，， 在 上单调递增，无极值。 当 时， 在 上递增、在 上递减，故在 处取得极大值 ，无极小值。 （2）， 即 ，整理得 ，即 对一切 成立。 令 ，则 。当 时 （等号仅在 时前者成立、后者不成立），故 ， 在 上单调递减。 所以 的最大值为 ，从而 。 答　（1） 时无极值； 时有极大值 ，无极小值；（2） ★★　保定市2026届高三第一次模拟考试 · 第17题 3.　已知函数． （1）当时，求这个函数图象在处的切线方程； （2）证明：当时，，使得成立． 策略　（1）先求 在 时的解析式，再求 与 ，用点斜式写切线；（2）由 把 分离为 ，转化为求该函数在 上的取值范围。 （1）当 时，，。 ，故 。 切线方程为 ，即 。 （2）由（1）中一般式，对一切 有 。因 ，故 。 记 ，则 ，故 在 上单调递增。 又 ，，所以 在 上的取值集合为 。 于是存在 使 当且仅当 。当 时必有 ，故必存在 使 成立。 答　（1）；（2）证明见上（当 时存在这样的 ） ★★　温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试 · 第16题 4.　已知函数，． （1）当时，若的值域为，求b的值； （2）若为的极小值点，求实数a的取值范围． 策略　（1） 时求 的变号点与最小值，由值域定 ；（2）由" 是极小值点"既要 ，又要 在 两侧左负右正，两者联立并与 求交。 （1）当 时，，。 因 ，故 时 ， 时 ， 在 处取得最小值 。 所以值域为 。由 得 ，即 ，且 ，符合题意。 （2），由 是极小值点知 ，即 ，。 结合 得 ，即 。此时 ，即 ，其中另一零点 。 要使 为极小值点，需在 左侧 、右侧 ；由于 ，这等价于 ，即 。 所以 的取值范围是 。（注：仅由 得 是不够的，还需"极小值两侧变号"的条件。） 答　（1）；（2） 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数与导数之函数性质综合应用 一、奇偶性与对称性（共43题：单项选择题24题 · 多项选择题9题 · 填空题10题） （一）单项选择题（共24题） ◆ 奇偶性的判定与求值 ★★　滁州市2026届高三第二次教学质量监测 · 第7题 1.　已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. ★★　佛山市2025-2026学年普通高中教学质量检测（二） · 第4题 2.　函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的最大值为2 D. ★★　南通市2026届高三学业质量检测（一模） · 第7题 3.　设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. ★★　上饶市2026届高三上学期第一次高考模拟考试 · 第7题 4.　已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 对定义域内的任意两个不相等的实数恒成立 D. 若实数满足，则 ★★　九江市2025-2026学年高三上学期第一次高考模拟 · 第5题 5.　已知奇函数对任意，都有，且，则（ ） A. B. C. D. ★★　宜春市2026届高三下学期模拟考试 · 第6题 6.　设函数满足对任意的，都有，且，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 ★★　新余市2026届高三下学期第二次模拟考试 · 第4题 7.　已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. ★★　萍乡市2026届高三上学期一模考试 · 第4题 8.　设和分别为上的偶函数和奇函数，若，，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. ★★　赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第3题 9.　若函数且为偶函数，则（ ） A. B. C. D. ★★　石家庄市2026届普通高中学校毕业年级教学质量检测（一） · 第7题 10.　已知定义在上的偶函数，满足，且当时，若，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. ★★　石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第5题 11.　若函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. ◆ 对称性与周期性 ★★　邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第5题 12.　函数图象的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. ★★　郑州市2026届高三上学期第一次质量预测 · 第5题 13.　已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（ ） A. B. C. D. ★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第3题 14.　若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. ★★　长沙市2026届高三第一次模拟考试 · 第4题 15.　已知函数的定义域为，则“是奇函数”是“是偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ★★　龙岩市2026届高三高中毕业班三月教学质检检测 · 第8题 16.　已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期是2 C. 关于点中心对称 D. 是奇函数 ★★★　湛江市2026届高三普通高考测试（二） · 第8题 17.　已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 ★★★　海安高级中学等校2026届高三阶段性学情测试 · 第8题 18.　设是定义在上周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程在区间上解的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 ★★★　南昌市2026届高三下学期三月（一模）测试 · 第8题 19.　已知函数，若函数为偶函数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， ★★★　萍乡市2025-2026学年高三二模考试 · 第7题 20.　已知是定义在上的奇函数，且其图象关于直线对称，当时，，则方程在区间上解的个数为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 ★★★　邯郸市2026届高三第一次模拟检测 · 第6题 21.　若定义在上偶函数满足，且当时，，则（ ） A. B. 0 C. D. ★★★　洛阳市豫西北联盟2026届高三第二次质量检测 · 第7题 22.　定义在上的奇函数满足：，当时，，则函数的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ★★★　濮阳市2026年高三第二次模拟考试 · 第8题 23.　已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（ ） ①；②；③函数有最小值；④函数有最大值． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 ★★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（一） · 第8题 24.　已知函数定义域为.若的图象关于点中心对称，且，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. 关于直线对称 C. D. （二）多项选择题（共9题） ★★　南京市、盐城市2026届高三下学期一模 · 第10题 1.　已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 有且仅有2个零点 ★★　宜春市2026届高三下学期模拟考试 · 第10题 2.　已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. 曲线在处的切线斜率为 C. 方程在区间内恰有两个实根 D. 当时， ★★　唐山市2026届高三第一次模拟演练 · 第10题 3.　若函数与函数的图象关于y轴对称，则（ ） A. 与有相同的零点 B. 为偶函数 C. 与有相同的极值点 D. 对任意的，都有 ★★　黄骅中学等十校2026届高三下学期一模 · 第9题 4.　定义在上的奇函数周期为2，则（ ） A. B. C. D. ★★★　茂名市2026年高三下学期第二次综合测试 · 第10题 5.　已知是定义在上的函数，且，，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 是的周期 ★★★　濮阳市2026年高三第二次模拟考试 · 第11题 6.　已知定义在上的函数满足：，其中[x]表示不超过的最大整数．当时，，设数列满足，数列为从小到大第n个极小值点构成的数列，下列说法正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. ，使得 C. 数列的通项公式 D. ，都有 ★★★　武汉市2026届高中毕业生三月调研 · 第11题 7.　定义在上的函数满足当时，，其中，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 当时，若在区间内恰有两个零点，则t的取值范围是 C. 存在正实数和，使得时，有 D. 当时，若在区间内恰有两个极值点，则t的取值范围是 ★★★　湘西2025-2026学年高三上学期期末 · 第11题 8.　已知函数，，都是奇函数，是偶函数.当时，，则（ ） A. B. 对任意， C. 当且仅当， D. ★★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第9题 9.　已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，则（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数是周期为2的周期函数 D. 函数在上单调递增 （三）填空题（共10题） ★★　宣城市2026届高三第一学期期末检测 · 第14题 1.　已知函数是偶函数，则函数的取值范围是__________. ★★　汕头市2026年普通高考第二次模拟考试 · 第12题 2.　已知函数是偶函数，则______. ★★　上饶市2026届高三第二次高考模拟考试 · 第12题 3.　已知为定义在上的奇函数，且当时，，则______． ★★　张家口市2026届高三第二次模拟考试 · 第12题 4.　已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则________． ★★　开封市2026届高三第一次质量检测 · 第13题 5.　写出一个同时具有下列性质①②的函数_____． ①；②当时，． ★★　焦作市2026届高三第一次模拟测试 · 第12题 6.　已知是定义域为奇函数，且以1为周期，则在区间内至少有___________个零点． ★★　常德市2025-2026学年高三模拟考试（二模） · 第13题 7.　已知函数奇函数，则实数______． ★★★　广州市2026届高三毕业生一模 · 第13题 8.　已知函数为奇函数，当时，（），若在上单调递增，则的取值范围是______． ★★★　苏北四市2026届高三年级第一次调研测试 · 第14题 9.　已知函数（，且）为奇函数，则不等式的解集为______. ★★★　张家口市2026届高三下学期一模 · 第13题 10.　已知函数满足，当时，，则不等式的解集为______． 二、抽象函数与函数方程（共13题：单项选择题5题 · 多项选择题8题） （一）单项选择题（共5题） ★★★　苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一） · 第8题 1.　已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（ ） A. 2026 B. 1013 C. 1 D. -1 ★★★　九江市2026届高三第二次高考模拟统一考试 · 第8题 2.　定义在上的函数满足：①对任意都有；②，则函数零点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ★★★　常德市2025-2026学年高三上学期检测 · 第8题 3.　已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ★★★　长沙市2026届高三第一次模拟考试 · 第8题 4.　已知正实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. ★★★　莆田市2026届高三高中毕业班第二次质量调研测试 · 第8题 5.　已知函数的定义域为，任意给定，都存在，使得，则不可能为（ ） A. B. C. D. （二）多项选择题（共8题） ★★★　江门市2026届高考适应性测试 · 第11题 1.　若函数的定义域为，，且，，，则（ ） A. B. ， C. 为奇函数 D. 当时， ★★★　吉安市2026届高三下学期3月模拟考试 · 第11题 2.　已知函数的定义域为，且对均有成立，当时，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 在上单调递增 ★★★　开封市2026届高三第二次质量检测 · 第11题 3.　已知，则（ ） A. B. C. D. ★★★　濮阳市2026届高三第一次模拟 · 第11题 4.　已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. ★★★　宁波市2025-2026学年第二学期高考模拟考试 · 第10题 5.　定义在上的函数满足：，则（ ） A. B. C. D. ★★★　湖州、衢州、丽水三地市2026届高三下学期4月教学质量检测 · 第11题 6.　已知定义在R的函数和均为奇函数，且满足函数是奇函数，函数是偶函数．若当时，，则（ ）． A. B. 对任意， C. 当且仅当， D. ★★★　湘西2025-2026学年高三上学期期末 · 第10题 7.　已知，且，，成等比数列，则（ ） A. B. C. 不可能成等比数列 D. 可能成等比数列 ★★★　莆田市2026届高三上学期1月质量检测 · 第11题 8.　已知定义域与值域均为的函数满足，，，且，则（ ） A. B. C. ，是奇函数 D. ，满足 三、函数图象与单调性（共11题：单项选择题8题 · 多项选择题1题 · 填空题2题） （一）单项选择题（共8题） ★★　上饶市2026届高三第二次高考模拟考试 · 第4题 1.　若函数的定义域为，则此函数的值域为（ ） A. B. C. D. ★★　南昌市2026届高三下学期三月（一模）测试 · 第5题 2.　已知，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. ★★　南昌市2026届高三年级四月检测 · 第5题 3.　已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. ★★　吉安市2026届高三下学期3月模拟考试 · 第6题 4.　已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. ★★　黄骅中学等十校2026届高三下学期一模 · 第7题 5.　已知函数，则函数的单调递增区间为（ ） A. ， B. ，， C. ， D. ，， ★★　邵阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第7题 6.　已知函数，，则（ ） A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是偶函数，且在单调递减 C. 是奇函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减 ★★　泉州市2026届高中毕业班质量检测（一） · 第4题 7.　已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. ★★　福州市、宁德市2026届高中毕业班适应性考试 · 第6题 8.　已知函数为增函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. （二）多项选择题（共1题） ★★　宜昌市2026届四月调研考试 · 第9题 1.　设函数，则（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数是奇函数 C. 直线与曲线有3个公共点 D. 斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点 （三）填空题（共2题） ★★　保定市2026届高三第二次模拟考试 · 第12题 1.　已知函数，则______________． ★★　孝感市2026届高三第一次统一考试 · 第12题 2.　函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则________． 四、构造函数，利用单调性比大小/解不等式（共14题：单项选择题9题 · 多项选择题1题 · 解答题4题） （一）单项选择题（共9题） ★★★　淮南市2026届高三第一次教学质量检测 · 第7题 1.　已知，若（为自然对数的底数），则的最小值为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 6 ★★★　蚌埠市2026届高三第一次教学质量检查考试 · 第8题 2.　已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. ★★★　梅州市2026届高三下学期3月总复习质检 · 第8题 3.　已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. ★★★　江门市2026届高考模拟考试 · 第8题 4.　已知函数，若，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. ★★★　株洲市2025-2026学年高三上学期教学质量检测 · 第8题 5.　有一个正方形，其四个顶点均在曲线上，则该正方形的面积为（    ） A. B. 4 C. D. 8 ★★★　湘潭市2026届高三二模 · 第7题 6.　已知函数的值域是，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 ★★★　邵阳市2026届高三上学期第一次联考 · 第6题 7.　已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. ★★★　厦门市2026届高中毕业班3月模拟测试 · 第6题 8.　设函数，记，则（ ） A. B. C. D. ★★★　泉州市2026届高中毕业班质量检测（一） · 第8题 9.　已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（ ） A. B. C. 存在极值点 D. 有且只有一个零点 （二）多项选择题（共1题） ★★★　莆田市2026届高三高中毕业班第二次质量调研测试 · 第10题 1.　已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 有且只有一个零点 B. 点为曲线对称中心 C. 曲线在点处的切线方程为 D. ， （三）解答题（共4题） ★★　南昌市2026届高三年级四月检测 · 第15题 1.　已知函数． （1）当时，求在上的最大值； （2）讨论在R上的单调递增区间． ★★　宜春市2026届高三下学期模拟考试 · 第16题 2.　已知函数，. （1）讨论函数的极值； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围. ★★　保定市2026届高三第一次模拟考试 · 第17题 3.　已知函数． （1）当时，求这个函数图象在处的切线方程； （2）证明：当时，，使得成立． ★★　温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试 · 第16题 4.　已知函数，． （1）当时，若的值域为，求b的值； （2）若为的极小值点，求实数a的取值范围． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $