精品解析：黑龙江哈尔滨市第四十七中学校2026-2027学年九年级上学期9月阶段学情自测数学试题

2026-2027年上学期“青春进阶 学力展示” 数学学科 一、选择题：（每小题3分，共计30分） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 黑龙江省地域辽阔，全省土地总面积约为470000平方千米，将470000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其从正面看得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，从飞机上看地平面指挥台的俯角为，此时飞机与指挥台的距离为，则此时飞行高度为（ ） A. B. C. D. 7. 某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的元降到了元．设平均每次降价的百分率为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，分别以点、为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧的交点为、，连接交于，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 9. 关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 10. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( ) A. B. C. D. 二、填空题：（每小题3分，共计30分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是______． 12. 把多项式－27分解因式的结果是________． 13. 方程的解为______________． 14. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是______________． 15. 不等式组的解集是______________． 16. 如图，点为正方形的边上一点，连接，，是的中线，若，则的长为______________． 17. 定义新运算：，则的运算结果是______________． 18. 用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，按此规律排列下去，则第（）个图案中圆圈的个数是______． 19. 在中，，，，则的长为______________． 20. 如图，在平行四边形中，，，平分，、分别是、上的动点，且，连接交于，有如下结论：①四边形是菱形；②；③若，则；④是中点，射线交于点，在上，连接、，的最小值为6．上述结论中，所有正确结论的序号是______________． 三、解答题：（21题、22题每题7分，23、24题每题8分，25-27题每题10分，共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段的端点在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积为5； （2）在的边上画出点，使（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 23. 为庆祝“十一”国庆节，学校九年级举行了主题为“礼赞盛世华诞，厚植家国情怀”的知识竞赛活动．为了解全年级学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的频数分布表和扇形统计图． 组别 分数/分 频数 10 14 18 根据以上信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生． （2）所抽取参赛学生的成绩的中位数落在“组别”________（A、B、C、D），的值是________． （3）若该校九年级共有2300名学生，请你估计九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生有多少名？ 24. 定义：有一组邻边相等的四边形叫“邻等四边形”． 已知：在四边形中，，是中点，连接、，． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接、分别交、于、，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的邻等四边形． 25. 四十七中学校决定购买一批篮球和足球，商场出售1个篮球和2个足球共需260元，出售2个篮球和3个足球共需440元． （1）求每个篮球和每个足球售价是多少元？ （2）学校打算购买篮球和足球一共60个，且购买的篮球的数量不少于足球数量，本次购买篮球多少个才能使总费用最少，最少费用是多少元？ 26. 已知：在矩形中，点在上，点在上，连接、，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，在上，连接交于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，，点在上，连接，，若，的周长为15，求的长． 27. 已知：在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，． （1）如图1，求的值； （2）如图2，点从点出发，沿轴负方向以每秒个单位长度的速度运动，秒后，点从原点出发，以相同速度沿轴正方向运动，连接、，设点的运动时间为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，过点的直线交直线于点，在上，使，连接，，在延长线上，连接，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年上学期“青春进阶 学力展示” 数学学科 一、选择题：（每小题3分，共计30分） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3， 故选D． 【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键． 2. 下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，故是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，故是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，故是轴对称图形，不符合题意． 3. 黑龙江省地域辽阔，全省土地总面积约为470000平方千米，将470000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 4. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其从正面看得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察几何体，确定从正面看每一列小正方形的层数即可． 【详解】解：从正面看，该几何体共有3列，从左到右每列小正方形的个数分别为2，2，1． 5. 如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 6. 如图，飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，从飞机上看地平面指挥台的俯角为，此时飞机与指挥台的距离为，则此时飞行高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线性质得出，在中利用正弦函数定义建立与的关系． 【详解】解：由题意可知飞机水平视线与地面平行， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 7. 某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的元降到了元．设平均每次降价的百分率为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出等量关系是关键．根据题意列等量关系为：原价现价，据此列方程． 【详解】解：根据题意可列方程：， 故选D． 8. 如图，在中，，分别以点、为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧的交点为、，连接交于，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据尺规作图可知是的垂直平分线，利用垂直平分线性质得，在中利用勾股定理求解．  【详解】解：如图，连接， 由作图可知是线段的垂直平分线， ， ，， 在中，． 9. 关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】对于一元二次方程，判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 10. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊点和三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：由题意可知，P点在AD段时面积为零，在DC段时面积y由0逐渐增大到8，在CB段因为底和高不变所以面积y不变，在BA段时面积y逐渐减小为0， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象识别，根据动点P的位置正确得出三角形的面积变化情况是解答的关键． 二、填空题：（每小题3分，共计30分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】由题意得，， 解得， 故答案为∶． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，解题的关键是掌握函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 把多项式－27分解因式的结果是________． 【答案】3（m＋3）（m－3） 【解析】 【分析】先提取公因数3，后利用平方差公式分解即可． 【详解】∵－27 =3（） =3（） =3（m＋3）（m－3）， 故答案为：3（m＋3）（m－3）． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，后用公式法分解的基本思路是解题的关键． 13. 方程的解为______________． 【答案】 【解析】 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求解后检验分母是否为0即可得到结果． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 解得， 检验：把代入，得 因此是原方程的解． 14. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个根， ∴ 由根与系数的关系可得，， ∴． 15. 不等式组的解集是______________． 【答案】 【解析】 【分析】分别解两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集. 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得 ∴不等式组的解集为. 16. 如图，点为正方形的边上一点，连接，，是的中线，若，则的长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形性质得出，，利用直角三角形斜边中线性质得出，利用三角函数定义求出，利用勾股定理求出，进而可求出的长． 【详解】解：∵点为正方形的边上一点， ∴，， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17. 定义新运算：，则的运算结果是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新运算的定义，将，代入运算式化简计算即可． 【详解】解：∵新运算定义为， ∴ 将，代入得： 18. 用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，按此规律排列下去，则第（）个图案中圆圈的个数是______． 【答案】 【解析】 【分析】观察图形中圆圈数量的变化，发现相邻两个图案圆圈数量之差为定值，据此归纳出第个图案圆圈个数的表达式即可求解． 【详解】解：观察图形可知： 第（）个图案中有个圆圈，； 第（）个图案中有个圆圈，； 第（）个图案中有个圆圈，； 第（）个图案中有个圆圈，； ∴第个图案中圆圈的个数为， 当时，圆圈的个数为， ∴第（）个图案中圆圈的个数是． 19. 在中，，，，则的长为______________． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据题意分情况作图，过点作于，利用三角函数定义和勾股定理分别计算各线段长度即可得到的长. 【详解】解：过点作于， 情况1：垂足在线段上， ∵ ， 设，则， 在中，， ∴， 解得（负值舍去） ∴，， 在中，， ∴， ∴； 情况2：垂足在线段延长线上， 同理可求，，， ∴； 综上，的长为或. 20. 如图，在平行四边形中，，，平分，、分别是、上的动点，且，连接交于，有如下结论：①四边形是菱形；②；③若，则；④是中点，射线交于点，在上，连接、，的最小值为6．上述结论中，所有正确结论的序号是______________． 【答案】 ①②④ 【解析】 【分析】由平行四边形性质结合角平分线推导邻边相等判断①；通过证明得出为等边三角形判断②；利用相似三角形性质计算长度判断③；利用轴对称性质及两点之间线段最短求最小值判断④； 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，则①正确； 连接，如图所示， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴，则②正确； 过点D作，交于点K， ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得，则③不正确； 如图所示，在上取一点，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． ∵点O是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， 的最小值为6，故结论④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 三、解答题：（21题、22题每题7分，23、24题每题8分，25-27题每题10分，共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先化简分式，再根据特殊角的三角函数值求出的值，最后代入化简结果计算即可． 【详解】解： ； 又， ∴原式． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段的端点在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积为5； （2）在的边上画出点，使（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 【答案】（1）如图， 如图所示的即为所求作的． （2）如图， 图中的点即为边上使时的点，的值为． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，再根据的面积为5，且，求出，即可得是以4个单位长度、2个单位长度为直角边的直角三角形的斜边，可找到点，即可得，再根据勾股定理逆定理验证为直角三角形，且，即可得即为所求作的． （2）连接格点，根据平行线分线段成比例即可得可得，图中的点即为边上使时的点，此时求出，根据正切的定义即可得的值． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∵的面积为5，且， ∴ ∴，解得：， ∴， ∴， ∴是以4个单位长度、2个单位长度为直角边的直角三角形的斜边，如下图： ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴如图所示的即为所求作的． 【小问2详解】 解：如图连接格点，根据平行线分线段成比例， 可得， ∴， ∴图中的点即为边上使时的点，此时： ，， ∴， ∴的值为． 23. 为庆祝“十一”国庆节，学校九年级举行了主题为“礼赞盛世华诞，厚植家国情怀”的知识竞赛活动．为了解全年级学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的频数分布表和扇形统计图． 组别 分数/分 频数 10 14 18 根据以上信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生． （2）所抽取参赛学生的成绩的中位数落在“组别”________（A、B、C、D），的值是________． （3）若该校九年级共有2300名学生，请你估计九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生有多少名？ 【答案】（1）人 （2）； （3）人 【解析】 【分析】（1）由题意，“组”的有人，占调查人数的，可求出调查人数； （2）用总数乘以百分比可求出“组”人数，根据中位数的意义，找出处在第、位两个数的平均数即可； （3）利用样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查一共抽取学生：（人）； 【小问2详解】 解：组的人数（人）， ∵共抽取了人，第、位两个数都在组， ∴中位数落在“组别”； 【小问3详解】 解：估计九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生人数为（人）． 24. 定义：有一组邻边相等的四边形叫“邻等四边形”． 已知：在四边形中，，是中点，连接、，． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接、分别交、于、，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的邻等四边形． 【答案】（1）证明：∵， 又∵是中点， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）四边形，四边形，四边形，四边形 【解析】 【分析】（1）容易判断与是等腰三角形，由三角形内角和定理可得，，结合可得，则，命题得证； （2） 根据题干的定义，结合进行判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴四边形与四边形是“邻等四边形”， ∵， ∴四边形与四边形是“邻等四边形”． 25. 四十七中学校决定购买一批篮球和足球，商场出售1个篮球和2个足球共需260元，出售2个篮球和3个足球共需440元． （1）求每个篮球和每个足球售价是多少元？ （2）学校打算购买篮球和足球一共60个，且购买的篮球的数量不少于足球数量，本次购买篮球多少个才能使总费用最少，最少费用是多少元？ 【答案】（1） 每个篮球售价100元，每个足球售价80元 （2） 购买篮球30个时总费用最少，最少费用是5400元 【解析】 【分析】（1）先设每个篮球的售价为x元，每个足球的售价为y元，再根据题意列出二元一次方程组，求出解即可； （2）先设购买a个篮球，总费用为w元，则购买个足球，根据题意列出不等式，并求出解集，再列出关于总费用的一次函数，然后结合一次函数图象的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设每个篮球的售价为x元，每个足球的售价为y元，根据题意，得 ， 解得， 所以每个篮球的售价是100元，每个足球的售价是80元； 【小问2详解】 解：设购买a个篮球，总费用为w元，则购买个足球，根据题意，得 ，， 解得． ∵一次函数中， ∴函数值随着a的增大而增大， 当时，（元）， 所以本次购买篮球30个才能使总费用最少，最少费用是5400元． 26. 已知：在矩形中，点在上，点在上，连接、，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，在上，连接交于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，，点在上，连接，，若，的周长为15，求的长． 【答案】（1）证明：作， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：延长，与的延长线交于点， 四边形是矩形， ，， ，，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）作，由四边形是矩形，得，进而得，可得 ，进而证明 ，根据等角的余角相等可证明，； （2）延长，与的延长线交于点，证明，和全等，可得，由，可证明； （3）连接，取中点，连接，由（2）的结论，证明，可证明，进而得到， ，即可证明，设，则，，，作于，根据中，，在中，，由勾股定理建立方程求得，进而得，证明，求得，由勾股定理可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在（2）的条件下，连接，取中点，连接， 由（2）知，， ，即， ， ， ， 矩形中，，，， ， 又，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， 是的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ，， 则，，， 作于， ， ， 在中，， 在中，， ， 即， 整理得，， 解得（舍去）， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 解得或(不合题意)， ， 在中，． 27. 已知：在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，． （1）如图1，求的值； （2）如图2，点从点出发，沿轴负方向以每秒个单位长度的速度运动，秒后，点从原点出发，以相同速度沿轴正方向运动，连接、，设点的运动时间为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，过点的直线交直线于点，在上，使，连接，，在延长线上，连接，若，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用一次函数的解析式求出的长，再使用三角函数求出，最后将点的坐标代入解析式即可求出； （2）分为和两种情况讨论，用代数式表示出与，再求出的面积即可； （3）设直线交轴于点，作轴于点，作轴于点，在轴正半轴上取点，使得，连接，设，容易判断，使用三角函数可计算出，，由勾股定理可得．由三角形外角的性质可得，进而证明，则，可得方程，使用因式分解法解方程结合可得．通过导角可得，则，从而得到，利用三角函数可得，由可得，最后使用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， ∴点的坐标为，， 在中，， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得； 【小问2详解】 解：由题意可知，， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，； 【小问3详解】 解：如图，设直线交轴于点，作轴于点，作轴于点，在轴正半轴上取点，使得，连接，设， 将代入，得， ∴点的坐标为，， 将代入，得， ∴点的坐标为，， 在中，， ∴， 由（2）可知，，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 整理，得， 两边平方并整理，得， 因式分解，得， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $