精品解析：黑龙江哈尔滨爱建中学校2026-2027学年九年级上学期9月月考数学试卷

爱建学校9月数学学科活动 一、单选题（每小题3分，共计30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形 4. 已知一次函数的图像如图所示，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 或2 6. 如图，河岸互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，夹角，测得，则桥长（ ）m A. B. C. D. 7. 点A（3，）和点B（－2，）都在直线y＝－2x＋3上，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 9. 要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x 个队参赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 周末小晨、小亮相约进行长跑比赛，两人同时起跑，刚跑出350米，小亮发现重要物品落在出发地，立刻原速返回，取回后以更快的速度投入比赛，若他们距离出发地与比赛时间的关系如图，下列说法正确的个数有（ ） （1）小亮共跑了． （2）小晨全程的平均速度为． （3）两人起跑以后第一次相遇时间为． （4）小亮再次投入比赛后在距离终点时追上了小晨． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数中，自变量的取值范围是__________. 12. 把多项式分解因式的结果是______. 13. 不等式组的解集为_________． 14. 如图，，、相交于点，，，，则的长________． 15. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值为______． 16. 某种茶叶的价格两次下降，每次下降的百分率相同，原来每袋125元，现在每袋80元，则每次下降的百分率是_________． 17. 若的图像与轴轴所围成的三角形的面积为2，则________． 18. 如图，正方形的两边分别交边于点，若，则的长为_________． 19. 已知，点P在边上，，点M，N在边上，，如果，那么______． 20. 如图，点P是正方形的对角线上一个动点，连接，过点P作于点E，于点F，连接，有下列4个结论： ①；②；③一定是等腰三角形； ④的最小值等于．其中正确的结论有________．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（其中21-22，题各7分，23-24题各8分，25~27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图．（只用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹．） （1）在图中，在边上取点E，连接，使得； （2）在图中，作出的角平分线，连接，并直接写出的值． 23. 为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗 文化知识竞赛 ”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了20 名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用 x 表示，共分为四组：A.，B.，C.，D．），得到如下不完全的信息： 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 86.6 m 86 九年级 86.6 88.5 n 八年级抽取的竞赛成绩在 B 组中的数据为：89 ，88 ，86 ，86 ，86 ，86． 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99 ，98 ，96 ，96 ，94 ，92 ，92 ，90 ，90 ，89 ，88 ，88 ，88 ，82， 81 ，77 ，77 ，76 ，73 ，66． 请根据以上信息完成下列问题： （1）填空： ， ，并补全八年级的成绩条形统计图； （2）规定在 90分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有 1600名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？ 24. 在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 25. 为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知用2400元购买甲种路灯的数量与用3200元购买乙种路灯的数量相等，且购买1盏乙种路灯比购买1盏甲种路灯多花20元． （1）求购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是多少元； （2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且购买甲种路灯的数量不超过购买乙种路灯数量的，求购买多少盏甲种路灯时，购买总费用最小，并求出最小的购买总费用． 26. 已知：两条弦与相交于点，． 　　 　　　 （1）如图1，求证：； （2）如图2，直径于点，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 27. 已知，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）如图，求直线的解析式； （2）如图，点是第一象限内一点，交轴负半轴于点，若点的横坐标为，线段的长为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图，在（2）的条件下，当时，点在线段上，点在线段上，，连接，作轴，连接交线段于点，连接，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 爱建学校9月数学学科活动 一、单选题（每小题3分，共计30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．不是一元二次方程，故不符合题意； B．是一元二次方程，故符合题意； C．含有2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D．不是一元二次方程，故不符合题意； 故选B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． 2. 下列四个图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义的知识，对于的任何值，都有唯一的值与之相对应，函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点；本题根据函数的定义，逐项判断，进行作答即可求解； 【详解】解：选项A、B、C中的图象，对于的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数，都不符合题意； 选项D中的图象，对于的任何值，有一个或两个的值与之相对应，不是的函数，符合题意； 故选：D. 3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称是解题的关键． 根据轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，符合题意； C、图形是轴对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 4. 已知一次函数的图像如图所示，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，由一次函数的图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系，可得出，熟练运用象限判断一次函数的的取值范围是解题的关键． 【详解】解：一次函数、为常数，且的图象经过第二、三、四象限， ． 故选：A． 5. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 或2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的解的定义得到，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值． 【详解】解：把代入一元二次方程，得 ， 解得， 而，即． 所以k的值为． 故选A． 6. 如图，河岸互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，夹角，测得，则桥长（ ）m A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据锐角三角函数可以求得的长，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， ，，， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答问题． 7. 点A（3，）和点B（－2，）都在直线y＝－2x＋3上，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用一次函数的增减性性质判定即可． 【详解】∵直线y＝－2x＋3的k=-2＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵-2＜3， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 8. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得出AB=DC，ADBC，推出∠DEC=∠BCE，求出∠DEC=∠DCE，推出DE=DC=AB，得出AD=2DE即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，ADBC， ∴∠DEC=∠BCE， ∵CE平分∠DCB， ∴∠DCE=∠BCE， ∴∠DEC=∠DCE， ∴DE=DC=AB， ∵AD=2AB=2CD，CD=DE， ∴AD=2DE， ∴AE=DE=3， ∴DC=AB=DE=3， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定的应用，关键是求出DE=AE=DC． 9. 要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x 个队参赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．关系式为：球队总数每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列一元二次方程为： ， 故选：A． 10. 周末小晨、小亮相约进行长跑比赛，两人同时起跑，刚跑出350米，小亮发现重要物品落在出发地，立刻原速返回，取回后以更快的速度投入比赛，若他们距离出发地与比赛时间的关系如图，下列说法正确的个数有（ ） （1）小亮共跑了． （2）小晨全程的平均速度为． （3）两人起跑以后第一次相遇时间为． （4）小亮再次投入比赛后在距离终点时追上了小晨． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可知， 小亮所跑的路程为，故（1）正确； 小晨全程的平均速度为：，故（2）正确； 小亮第一次出发后的速度为，小亮返回时跑了 所以小亮返回时，比小晨多跑了， 两人起跑以后第一次相遇时间为，故（3）错误； 小亮再次投入比赛后的平均速度为：， 小亮再次投入比赛后在距离终点时追上了小晨，故（4）正确； 故选：C． 【点睛】本题考查函数图像的应用，解答本题的关键是明确题意，正确理解路程、速度及时间的关系． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数中，自变量的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【详解】分析：根据分母不等于0求自变量的取值范围. 详解：根据题意得，则x≠2. 故答案为x≠2. 点睛：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数解析式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数解析式是分式时，分式的分母不能为0；(3)当函数解析式是二次根式时，被开方数非负． 12. 把多项式分解因式的结果是______. 【答案】2m（x+1）（x-1） 【解析】 【分析】首先提取公因式2m，进而利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解：2mx2-2m =2m（x2-1） =2m（x+1）（x-1）． 故答案为：2m（x+1）（x-1）． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 13. 不等式组的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】分别解两个不等式，然后根据求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）进行解答． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集是： 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集．解题的关键是掌握一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 14. 如图，，、相交于点，，，，则的长________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线证明判定三角形相似，得到线段成比例求解． 【详解】解：， ， ，即， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形相似判定和性质，利用这些知识是解题的关键． 15. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数的关系，根据方程的解及一元二次方程根与系数的关系得，，，推出，将式子的值代入计算即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 16. 某种茶叶的价格两次下降，每次下降的百分率相同，原来每袋125元，现在每袋80元，则每次下降的百分率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每次下降的百分率为，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设每次下降的百分率为，根据题意列方程得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 所以每次下降的百分率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 17. 若的图像与轴轴所围成的三角形的面积为2，则________． 【答案】1或 【解析】 【分析】当时，；当时，，代入三角形面积公式即可求得答案． 【详解】解：当时，；当时，，； 的图像与轴轴所围成的三角形的面积为2， ， 解得． 故答案为：1或． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积，解题关键是求出一次函数与两坐标轴的交点． 18. 如图，正方形的两边分别交边于点，若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点G，使，先证，再证，通过等量代换求出，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：如图，延长至点G，使，连接， 四边形是正方形， ，， 在和 中， ， ， ，，， ， ， ， 在和 中， ， ， ， 设正方形的边长为a，则，， 在中，由勾股定理得， ， 解得或（舍）， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，求出． 19. 已知，点P在边上，，点M，N在边上，，如果，那么______． 【答案】2或4##4或2 【解析】 【分析】①当在线段上时，过作交于，可求，设，则，可求，由即可求解；②当在线段上时，过作交于，由即可求解． 【详解】解：①如图，当在线段上时， 过作交于， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ， ； ②如图，当在线段上时， 过作交于， 同理可求，， ； 综上所述：或． 故答案：或． 【点睛】本题考查了一般角的正切函数，等腰三角形的性质，掌握三角函数的定义及等腰三角形的性质是解题的关键． 20. 如图，点P是正方形的对角线上一个动点，连接，过点P作于点E，于点F，连接，有下列4个结论： ①；②；③一定是等腰三角形； ④的最小值等于．其中正确的结论有________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】延长交于点N，延长交于点M，证明得到，即可判断①；根据三角形的内角和定理即可判断②；根据P的任意性可以判断③；根据，当最小时，有最小值，即可判断④． 【详解】解：延长交于点N，延长交于点M， ∵四边形是正方形． ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，四边形是矩形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，故①正确； 在与中，， ∴， ∴，故②正确； ∵P是上任意一点， ∴的长不确定，即是等腰三角形不一定成立，故③错误； ∵， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∵， ∴此时P为的中点， 又∵， ∴，即的最小值为，故④正确； 故正确的是：①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，正确证明，以及理解P的任意性是解决本题的关键． 三、解答题（其中21-22，题各7分，23-24题各8分，25~27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法，然后约分化简，接着根据特殊角三角函数值求出的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 22. 如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图．（只用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹．） （1）在图中，在边上取点E，连接，使得； （2）在图中，作出的角平分线，连接，并直接写出的值． 【答案】（1）如图所示，点E即为所求； （2）如图所示，为所求， 【解析】 【分析】（1）取格点D，F，结合题意得，且，进而得，可得； （2）根据勾股定理可知，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据，，可知是直角三角形，则点A，C，K共线，得，然后结合点H是的中点，则是的角平分线，可证，得，接下来得，再结合等腰三角形的性质说明，即可得出，最后根据特殊角三角函数值求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，取格点K，连接，点H是的中点，连接，交于点G，连接，则． 勾股定理可知， ∴，则是直角三角形，且， ∵，， ∴，则是直角三角形，， ∴， ∴点A，C，K共线， ∴． ∴， ∵点H是的中点， ∴是的角平分线，即． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴． 23. 为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗 文化知识竞赛 ”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了20 名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用 x 表示，共分为四组：A.，B.，C.，D．），得到如下不完全的信息： 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 86.6 m 86 九年级 86.6 88.5 n 八年级抽取的竞赛成绩在 B 组中的数据为：89 ，88 ，86 ，86 ，86 ，86． 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99 ，98 ，96 ，96 ，94 ，92 ，92 ，90 ，90 ，89 ，88 ，88 ，88 ，82， 81 ，77 ，77 ，76 ，73 ，66． 请根据以上信息完成下列问题： （1）填空： ， ，并补全八年级的成绩条形统计图； （2）规定在 90分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有 1600名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？ 【答案】（1）87，88； 补全八年级的成绩条形统计图如图： （2）八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有 680 人 【解析】 【分析】此题考查条形统计图，求中位数，众数， （1）根据中位数和众数定义解答，求出D组人数并补充条形统计图； （2）用优秀人数除以样本数据，再乘以总人数即可 【小问1详解】 解：根据条形统计图和 B 组数据可知，第 10 个数为 88 ，第 11 个数为 86， ∴八年级的中位数为 ∴； 由九年级取的所有学生竞赛成绩数据可知，出现最多的数据为88， ∴九年级的众数为 88， ∴． 故答案为：87 ，88； ∵八年级抽查的学生人数为 20 人， ∴（人）， ∴D 组人数为 2 人， 略； 【小问2详解】 解： （人） 答：八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有 680 人． 24. 在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 【答案】（1） 解：过点作交于，延长交于， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）或或或 【解析】 【分析】（1）过点作交于，延长交于，结合矩形的判定及性质，由判定，由判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）由点的运动路径得，设，由直角三角形的特征得，可求，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 四边形是矩形， ， ， 点是上的一个动点（点不与端点重合）， ， ， 设， 是的中点， ， ， 解得， ， 线段的长为整数， 为或或或， 为或或或， 当时， ， 同理可求时，， 时，， 时，， 综上，的长为或或或． 25. 为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知用2400元购买甲种路灯的数量与用3200元购买乙种路灯的数量相等，且购买1盏乙种路灯比购买1盏甲种路灯多花20元． （1）求购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是多少元； （2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且购买甲种路灯的数量不超过购买乙种路灯数量的，求购买多少盏甲种路灯时，购买总费用最小，并求出最小的购买总费用． 【答案】（1）购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是60元、80元． （2）购买甲种路灯10盏时，购买总费用最小，最小的购买总费用为3000元． 【解析】 【分析】 （1）设甲种路灯单价x元，乙种路灯单价元，根据题意列分式方程求解即可，注意检验． （2）设购买甲种路灯m盏，则乙种盏，得到，求出m的取值范围，设购买总费用为w元．根据题意得，根据w随m的增大而减小，求出w取最小值即可． 【小问1详解】 解：设购买1盏甲种路灯是x元，则购买1盏乙种路灯是元． 根据题意得， 解得． 检验：当时，， 是此方程的解，且符合题意． ． 答：购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是60元、80元． 【小问2详解】 解：设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯盏． 根据题意得， 解得． 设购买总费用为w元． 根据题意得， ， ∴w随m的增大而减小， 时，． 答：购买甲种路灯10盏时，购买总费用最小，最小的购买总费用为3000元． 26. 已知：两条弦与相交于点，． 　　 　　　 （1）如图1，求证：； （2）如图2，直径于点，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接BC，只需要证明，得到∠CBD=∠BCA，即可证明BE=CE； （2）如图所示，过点O作OM⊥BD于M，连接OA，先证明OM是△BDF的中位线，得到，再证明Rt△BOM≌Rt△AON得到ON=OM，即可证明； （3）连接AB，AO，AF，过点O作OK⊥AD于K，先证明△ANB≌△ANG得到，设ON=x，则，，，，由勾股定理得，证明△ABN∽△FAN，得到，推出，在Rt△ANG中，，证明△ANG∽△OKG，推出，则，据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接BC， ∵， ∴， ∴，即， ∴∠CBD=∠BCA， ∴BE=CE； 【小问2详解】 解：如图所示，过点O作OM⊥BD于M，连接OA， ∴BM=DM，∠BMO=90°， ∵M是BD的中点，O是BF的中点， ∴OM是△BDF的中位线， ∴， ∵AC⊥BF，AC=BD， ∴， 在Rt△BOM和Rt△AON中， ， ∴Rt△BOM≌Rt△AON（HL）， ∴ON=OM， ∴； 【小问3详解】 解：连接AB，AO，AF，过点O作OK⊥AD于K， ∵BF是圆O的直径，BF⊥AC， ∴，∠ANB=∠ANG=90°， 由（1）得， ∴， ∴∠BAC=∠DAC， 在△ANB和△ANG中， ， ∴△ANB≌△ANG（ASA）， ∴， 设ON=x，则，， ∴，， ∵OK⊥AD，AD=11， ∴， 在Rt△AKO中，， ∵BF是直径， ∴∠BAF=90°， ∴∠BAN+∠FAN=90°， 又∵∠BAN+∠ABN=90°， ∴∠ABN=∠FAN， ∴△ABN∽△FAN， ∴， ∴， 在Rt△ANG中，， ∵∠OGK=∠AGN，∠ANG=∠OKG=90°， ∴△ANG∽△OKG， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，弧、弦、圆周角之间的关系，等腰三角形的判定等等，正确作出对应的辅助线是解题的关键． 27. 已知，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）如图，求直线的解析式； （2）如图，点是第一象限内一点，交轴负半轴于点，若点的横坐标为，线段的长为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图，在（2）的条件下，当时，点在线段上，点在线段上，，连接，作轴，连接交线段于点，连接，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据得到点的坐标，代入直线的解析式，即可得到答案； （2）连接，过点作于点，通过勾股定理建立关于的等式关系，即可得到答案； （3）根据，得到，延长交于点，过点作于点，通过证明，得到，设，，得到，或，由此解得点的坐标为． 【小问1详解】 解：令，即， ， ， 将代入中，得：，解得：， 直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点， 由题意可得：， ，， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：由（2）可知，， 又， ， ， ，即， 如图，延长交于点，过点作于点， ，， ， ， ， ，，， ， 设，则， ， ， ， ，或， 当时， ， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， 代入点，，得：，解得：， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立，解得， ， 当时，，，点与点重合，点与点重合， 此时点的坐标为直线与直线的交点坐标， 把代入，得：，解得：， ，， ， ， ， ， ， 此时点在点的右侧，线段和线段没有交点，故不符合题意，舍去， 综上所述，点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $