江苏省南京市外国语学校2026-2027学年上学期九年级10月月考数学模拟练习卷

江苏省南京市外国语学校2026-2027学年上学期九年级10月月考数学模拟练习卷 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题（共30分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 2．已知样本1.1，0.9，0.8，x，1.2的平均数为1，则该样本的中位数为（        ） A．0.8 B．1.2 C．0.9 D．1 3．某商品经过两次降价，每台零售价由3000元降到2430元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则可列方程为 （      ） A． B． C． D． 4．如图，是上三点，是的直径，的延长线相交于点，则的度数为（  ） A． B． C． D． 5．小智参加演讲比赛，五位评委给他打的分值分别是：6分，7分，8分，9分，10分．五位评委所给分值的平均数是小智的最终得分，则他的最终得分是（   ） A．8分 B．分 C．9分 D．分 6．如图，、为的半径，过点作于点，交于点，连结，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共30分） 7．方程x2=4x的解 __． 8．将一元二次方程用配方法，化为的形式，得：______． 9．如图，是的直径，与相切于点，连接交于点．若，则的度数为_____． 10．一组数据的方差为，则该组数据的平均数是______． 11．若一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等，则x的值为__________（用含m的代数式表示） 12．中国的车轮制造，自古就有完备的标准体系．《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸……”．如图，某学习小组通过以下方式探究某个残缺车轮的半径：在车轮上取，两点，设所在圆的圆心为，经测量：弦，过弦的中点作交圆弧于点，且，则该车轮的半径等于_____cm． 13．如图，四边形内接于，延长交于点E，连接．若，，则_______．        14．如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 15．已知矩形的边长分别为3、2，另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，那么新矩形较大的边长是_____． 16．如图，已知的半径是6，点A、B在上，且，动点C在上运动（不与A、B重合），点M为弦的中点，连接，则线段长度的最大值是______． 三、解答题（共90分） 17．用适当的方法解下列方程． （1）x（x－2）＋x－2＝0； （2）x2－4x－192＝0； （3）3x2－5x＋1＝0； （4）4x2－3＝12x． 18．甲、乙两人在相同条件下进行了10次射击，成绩如下： 人员 环数 甲 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7 乙 5 7 5 10 5 8 6 9 8 7 对以上数据进行分析，绘制成如表： 人员 平均数 中位数 众数 方差 甲 7 6 乙 7 5 2.8 (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据，评价甲、乙两人射击成绩的稳定性，并说明理由； (3)如果乙再射击1次，成绩为7环，那么乙射击11次的成绩的方差______原来射击10次的成绩的方差（选填“大于”，“小于”或“等于”）． 19．已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)在（1）中，设、为该方程的两个根，且，求m的值． 20．某超市销售一批精装玩偶，平均每天能售出20个，每个盈利15元．为了扩大销售、增加盈利及尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施，经调查发现，当每个玩偶每降价1元时，平均每天可多售出4个．超市要想使这批玩偶的销售利润平均每天达到396元，每个玩偶应降价多少元？ 21．如图，在中，，点O为边上一点，以点O为圆心，长为半径的圆与边相交于点D，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为1，求的长． 22．尺规作图（保留作图痕迹）． (1)已知：如图，A、B是上任意两点，求作：的直径，使； (2)已知：如图，A、B是内任意两点，求作：的直径，使． 23．【问题背景】 如图，在 中， ，，，点 P从点A 开始沿边向点 B 以 的速度运动，点Q 同时从点B 开始沿边向点C 以的速度运动，设运动时间为． 【构建联系】 （1）点Q，P出发几秒后， 的面积等于? （2）的面积能否等于 ?请说明理由． 【深入探究】 （3）当t为何值时， ? 24．如图，中，，点是的内心．点在边上．以点为圆心．长为半径的圆恰好经过点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，延长交于，求的长． 25．探究圆中折叠． 如图1，是圆的直径，是圆上一点（不与，重合），连接，沿着把翻折交于点，连接，． (1)小浩发现并展示了两种思维方式，请帮他补充完整： 依据：同弧或等弧所对的弦相等 思维方式1 思维方式2 对于，所对两个圆中的弧分别是和______，所以，所以． 如图2，找到点折叠前的对应点，由折叠的性质可知，，所以=______，即可证． (2)如图3，E是的中点． ①若的半径为，连接，的长度是否改变，若不改变，求出的长度，若改变，请说明理由． ②连接，若的最小值为，求的半径． 26．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，，将直线绕点顺时针旋转得到直线，有一半径为1的与轴相切于点，沿着轴向右平移． (1)当直线绕点顺时针旋转至时，求点的对应点的坐标． (2)平移，使得点与点重合时，求落在内部的面积． (3)当与直线相切时，平移的距离是多少个单位? 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 江苏省南京市外国语学校2026-2027学年上学期九年级10月月考数学模拟练习卷 参考答案 1．B 【分析】本题考查一元二次方程的辨认，掌握好一元二次方程的定义是关键． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】解： 一元二次方程需满足：① 只含一个未知数；② 未知数的最高次数为2；③ 整式方程. 对于A：，未知数次数为1，不是二次方程，故A不符合题意； 对于B：，化简为 ，满足定义，是一元二次方程，故B符合题意； 对于C：，含两个未知数，且最高次数为1，不是一元二次方程，故C不符合题意； 对于D：，分母含未知数，不是整式方程，故D不符合题意． 故选：B． 2．D 【分析】先根据平均数的定义求出x，再根据中位数的定义解答. 【详解】解：因为样本1.1，0.9，0.8，x，1.2的平均数为1， 所以， 解得：， 所以原来的样本中的数为0.8，0.9，1，1.1，1.2（已经按照从小到大的顺序排列）， 所以该样本的中位数为1； 故选：D. 【点睛】本题考查了平均数和中位数，熟练掌握二者的定义是解题的关键，注意：一组数据按照大小排列后，最中间的一个数或中间两个数的平均数叫做这组数据的中位数. 3．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，设该商品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半推出，再根据是的直径，得出，最后利用直角三角形两锐角互余即可推出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：B． 5．A 【分析】根据算术平均数的定义，将所有分数求和后除以分数的个数，即可得到小智的最终得分． 【详解】解：分， ∴他的最终得分是8分． 6．A 【分析】本题考查了圆周角定理．由圆周角定理求得，再利用余角的性质求解即可． 【详解】解：∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7．x=0或x=4 【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式x，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解． 【详解】解：原方程变为 x2﹣4x=0 x（x﹣4）=0 解得x1=0，x2=4， 故答案为：x=0或x=4． 【点睛】本题考查用因式分解法解一元一次方程.提公因式是解题的关键. 8． 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是掌握配方法解一元二次方程． 先将常数项移到方程的右边，再在两边同时加上即可． 【详解】解：， 移项，得， 两边同时加上，得， 即， 故答案为：． 9． 【分析】先根据切线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后利用圆周角定理求出的度数。 【详解】解：与相切于点，且为直径， ， ， ． 是的直径， , ． 10． 【分析】根据方差的定义，方差计算公式即可得到结果． 【详解】解：方差的计算公式为，其中为这组数据的平均数，为数据的个数， 对比题目给出的方差为，可得该组数据的平均数． 11．或/或 【分析】根据已知这组数据为相邻的整数，两组数据的方差相同，可得另一组数据也为相邻的整数，即可作答． 【详解】解：∵一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等， ∴这组数据可能为m，，，，或，m，，，， ∴x的值为或． 12．75 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，连接，设的半径为，由垂径定理可知O，C，D三点共线，再由勾股定理即可得出结论． 【详解】解：连接，设的半径为， ∵C为的中点且 ∴O，C，D三点共线， ∴， ， 在中，由勾股定理得，即 ， 解得， 即该车轮的半径等于， 故答案为：75． 13． 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，直径，得到，进而求出的度数，圆内接四边形的内对角互补，求出的度数，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形内接于，延长交于点E， ∴，为直径， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 14． 【分析】本题考查切线的判定及切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，其切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题关键． 根据题意得出与、都相切，切点为、，根据切线长定理即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴与、都相切，切点为、， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 15．/ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设新矩形的长为，则新矩形的宽为，根据新矩形的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结果． 【详解】解：已知矩形周长为，面积为， 新矩形周长为，面积为， 设新矩形长为，则宽为， 根据面积公式可得方程， 化简得， 解得或， 取较大值，即为， 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查圆的定义及性质．取的中点E，连接，得到，即M是以点E为圆心，3为半径的圆上的一点，再求最值即可． 【详解】解：如图1，取的中点E，连接，则， ∵M为线段的中点， ∴是的中位线， ∴． ∴，即M是以点E为圆心，3为半径的圆上的一点． ∴求线段长度的最大值即是求点A与上的点的最大距离． 如图2，当点M在线段的延长线上时，线段的长度取得最大值， ∵， ∴． ∴线段长度的最大值为． 故答案为：． 17．（1），；（2），；（3），；（4）， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可得解； （2）利用配方法解方程即可得解； （3）利用公式法解方程即可得解； （4）现将方程整理成一般式，再利用公式法解方程即可得解． 【详解】解： （1） ， ∴ ， （2） ， ∴， （3） ∵，， ∴ ∴ ∴  ， （4） ∵，， ∴ ∴ ∴， 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：公式法、配方法、因式分解法，能根据题目的特点选择适当的解题方法是解题的关键． 18．(1)，，． (2)甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定，理由是甲的方差1小于乙的方差2.8； (3)小于 【分析】（1）通过平均数公式计算，将乙的成绩排序后求中位数得到，利用方差公式计算甲的方差得到；（2）依据方差“越小，数据波动越小，成绩越稳定”的性质，比较甲、乙方差判断稳定性；（3）先确定乙新增成绩后的平均数，再计算新方差并与原方差比较大小． 【详解】（1）解：甲的10次射击成绩为：6, 7, 6, 8, 7, 6, 8, 6, 9, 7． 根据平均数公式，总和为， 则． 乙的10次射击成绩为：5, 7, 5, 10, 5, 8, 6, 9, 8, 7． 将成绩从小到大排序：5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10． 由于数据个数为10（偶数），中位数是第5和第6个数的平均值， 即． 甲的平均数为7， 各数据与平均数的差的平方分别为： 环数6出现4次：； 环数7出现3次：； 环数8出现2次：； 环数9出现1次：； 总和为，则方差． （2）解：甲的方差为1，乙的方差为2.8． 因为方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定，且， 所以甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定． （3）解：乙原来10次射击的平均数为7，再射击1次成绩为7环，则11次成绩的平均数为： ． 乙原来10次成绩的方差为2.8，现在计算11次成绩的方差： 各数据与平均数7的差的平方和为： 环数5出现3次：； 环数6出现1次：； 环数7出现3次（原2次+新增1次）：； 环数8出现2次：； 环数9出现1次：； 环数10出现1次：； 总和为，则11次成绩的方差为． 因为，所以乙射击11次的成绩的方差小于原来射击10次的成绩的方差． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，解之即可得出m的取值范围； 利用根与系数的关系，可得出，结合，可得出，解之可得出m的值，再结合，即可确定m的值． 本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， 解得， 的取值范围为； （2）解：∵、是关于x的一元二次方程的两个根， ， ∵， ∴， ， 整理得， 解得， 又， 20．每个玩偶应降价6元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键．设每个玩偶应降价元，可使超市销售利润平均每天达到396元，然后根据“当每个玩偶每降价1元时，平均每天可多售出4个”，结合每天利润每个的利润卖出的个数，列出方程，即可求解． 【详解】解：设每个玩偶应降价元，可使超市销售利润平均每天达到396元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 因要尽快减少库存，故，经检验，符合题意． 答：每个玩偶应降价6元． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用圆周角定理可以得到，然后根据切线的判定方法可得结论； （2）连接，利用圆周角定理可得，根据角的倍分关系可得，最后利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形外角的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． 22．(1) 作法：连接并延长，交于点E，再作的平分线，交于，即为所求． (2) 如图： 即为所求． 【分析】本题考查了尺规作图； （1）连接并延长，交于点E，再作的平分线，交于，即为所求 （2）连接，，，根据对称的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据垂直平分线的性质可得，即可得到． 【详解】（1） 略 （2） 理由：连接，，，如图，根据作法可知，点与点关于点对称，是的垂直平分线， ．．． △． ， 是的垂直平分线， ， ． 23．（1）或； （2）不能，理由如下： 由（1）得   整理，得 ， ， ∴该方程无实数根，即的面积不能等于； （3） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意得，，根据三角形面积公式列方程求解即可； （2）根据（1）的方法列出方程，再判断出方程是否有解即可； （3）根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】解：依题意，得 ，，则 整理，得 解得   即或后，的面积等于； （2）略． （3）在中，∵， ∴， 由勾股定理，得 整理，得， 解得或（舍去）. 即当t为时，． 24．(1) 证明：延长交于， 点是的内心． 分别平分， ， 中，， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）延长交于，利用三角形内心性质，以及等腰三角形性质，证明， ，再根据切线判定定理证明即可； （2）根据等腰三角形性质得到，再利用勾股定理计算求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ，，平分， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内心性质，等腰三角形性质，切线判定定理，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 25．(1)， (2)①的长度不变，为 ②的半径为 【分析】（1）思维方式1：由圆周角定义可知：对于，所对两个圆中的弧分别是和； 思维方式2：，由圆周角定义可知所对的弧是，所对的，由圆周角定理的推论可得； （2）①的长度不会改变，如图3，作交于点，作交于点，连接，，，由是的中点，是的中点，是直径，可得，由勾股定理可得长，由折叠得即可得出； ②由三角形两边之差小于第三边可得，当、、三点共线时，最小，设的半径为，则，由，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：思维方式1：对于，所对两个圆中的弧分别是和，所以，所以． 思维方式2：如图2，找到点折叠前的对应点，由折叠的性质可知，，所以，即可证． 故答案为：，； （2）①的长度不会改变，如图3，作交于点，作交于点，连接，，， 由（1）知：是的中点， ∵是的中点，是直径， ∴， ∵， ∴， 由折叠得：； ②如图4，连接，中，，当，，三点共线时，有最小值， 设的半径为，则，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴的半径为． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，折叠问题、圆心角的计算，勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 26．(1) (2) (3)8或4 【分析】（1）过点作于点H，根据旋转的性质，得到，结合，得证，根据OA=1，得到，，写出坐标解． （2）设圆M与射线分别交于点F，点E，根据，判定为圆M的直径，当点与点重合时，点A为圆M与x轴的切点，得到，结合，得到，得到等边，从而得到，，从而得到，根据题意，落在内部的面积等于的面积减去两个小拱形的面积，而两个小拱形面积等于半圆面积减去直角三角形的面积，得到面积为半圆面积加直角三角形的面积． （3）分与直线在其左边相切和右边相切，两种情况，运用勾股定理计算即可． 【详解】（1）过点作于点H，根据旋转的性质，得到， 因为， 所以， 因为， 所以OA=1， 所以， 所以， 所以． （2）如图，设圆M与射线分别交于点F，点E， 因为， 所以为圆M的直径， 当点与点重合时，点A为圆M与x轴的切点， 所以， 因为， 所以， 所以是等边， 所以，， 所以， 因为落在内部的面积等于的面积减去两个小拱形的面积，而两个小拱形面积等于半圆面积减去直角三角形的面积，得到面积为半圆面积加直角三角形的面积． 所以所求面积为． （3）如图，设与直线切于点N，与x轴切于点G，连接，，，并延长交于点H，根据题意，得到，， 所以，且， 因为， 所以． 因为， 所以， 设， 则 所以， 解得， 所以， 所以； 如图，设与直线切于点R，与x轴切于点P，连接，，并延长交x轴于点Q，根据题意，得到，，且， 设，则，， 所以，，， 根据勾股定理，得， 所以， 解得， 所以， 所以； 所以， 综上所述，当与直线相切时，平移的距离是4个单位或8个单位． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，切线长定理，平移的性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，含有30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握圆的切线性质，切线长定理，勾股定理是解题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $