第5讲 一元二次方程根与系数关系 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

第5讲 一元二次方程根与系数关系 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac的意义，能判断根的情况 · 能根据方程根的情况，逆用判别式求字母系数的取值范围 · 掌握韦达定理：两根之和x1+x2=-，两根之积x1·x2= · 能运用韦达定理求关于两根的代数式的值 · 了解二次三项式因式分解与判别式的关系 📚 知识梳理 ☆ 1.根的判别式 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac Δ>0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根 Δ=0 ⇔ 方程有两个相等的实数根 Δ<0 ⇔ 方程没有实数根 概念辨析例题：判断方程 2x2-7x+5=0 根的情况 解析：Δ=(-7)2-4×2×5=49-40=9>0，所以方程有两个不相等的实数根。 ☆ 2.判别式的逆用 已知根的情况，可列出关于判别式的不等式（或等式）求字母范围 注意二次项系数不为0的隐含条件（a≠0） 若方程是一元二次方程，必须保证二次项系数≠0 等腰三角形问题中，需用判别式判断两腰是否存在 概念辨析例题：若关于x的方程 x2-4x-m=0 有实数根，求m的取值范围 解析：Δ=(-4)2-4×1×(-m)=16+4m≥0，解得m≥-4。 ☆ 3.韦达定理（根与系数关系） 若ax2+bx+c=0（a≠0，Δ≥0）的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1·x2= 对x2+px+q=0，有x1+x2=-p，x1·x2=q 求关于两根对称式的值，常用：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 += 概念辨析例题：已知x1，x2是方程x2+2x-9=0的两根，求x1+x2-2x1x2 解析：x1+x2=-2，x1x2=-9。原式=-2-2×(-9)=-2+18=16。 ☆ 4.二次三项式的因式分解 若ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 二次三项式能在实数范围内因式分解的条件是Δ≥0 十字相乘法本质是韦达定理的逆向应用 注意提取二次项系数a 概念辨析例题：因式分解 x2-3x+2 解析：方程x2-3x+2=0的两根为x1=1，x2=2，所以原式=(x-1)(x-2)。 📋 知识总结表 核心概念 公式/结论 注意事项 判别式 Δ=b2-4ac 必须先化为一般式ax2+bx+c=0 Δ>0 两个不相等实数根 — Δ=0 两个相等实数根 x1=x2=- Δ<0 无实数根 — 韦达定理 x1+x2=-，x1x2= 前提：a≠0且Δ≥0 对称式变形 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 注意符号 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的判别式（第1-16题） · 先把方程化为一般式，确定a、b、c · 计算Δ=b2-4ac，根据符号判断根的情况 · 逆用时列不等式：有实根→Δ≥0；不等实根→Δ>0；等根→Δ=0 · 注意二次项系数a≠0的隐含条件 1．（2026•香洲区校级模拟）一元二次方程2x2﹣7x+5＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．（2026•历城区模拟）定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•下城区校级期中）对于代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），下列说法正确的是（　　） ①若b2﹣4ac＝0，则ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根； ②存在三个实数m≠n≠h，使得am2+bm+c＝an2+bn+c＝ah2+bh+c； ③若ax2+bx+c+2＝0与方程（x+2）（x﹣3）＝0的解相同，则a+b＝0． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（2026•太和县二模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　） A．k1＝k2＝2 B．k1＝2，k2＝10 C．k1＝﹣2，k2＝6 D．k1＝﹣6，k2＝2 5．（2026•济南）若关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4 6．（2026•成都模拟）已知关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有实数根，则m的值可以是_____________ （写出一个即可）． 7．（2025秋•扶余市期末）若关于x的一元二次方程kx2﹣x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是____________________ ． 8．（2025秋•金山区校级期末）若关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0没有实数根，则a的取值范围是____________________ ． 9．（2023秋•新吴区期末）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程x2﹣（2+a）x+2a＝0和（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0互为联根方程，那么a的值为 _______ ． 10．（2025秋•郊区期中）若一元二次方程x2+bx+c＝0无实数根，请写出一个满足条件的一元二次方程：__________________ ． 11．（2025秋•宝山区校级期末）关于x的方程（a﹣1）x2﹣2ax+a﹣1＝0有实数根，那么a的取值范围为____________________ ． 12．（2025秋•黄浦区校级期末）关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是_____________ ． 13．（2025秋•辉县市期末）已知一元二次方程x2+bx+9＝0． （1）求证：当b＞6时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根，求b的值以及这个等腰三角形的周长． 14．（2026春•苏州期中）已知x＝7是关于x的方程x2﹣（3m+1）x+7m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边．求△ABC的周长． 15．（2024春•越城区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0，其中m为常数． （1）若x＝2是方程的一个根，求m的值； （2）当m＝﹣1时，求该方程的根； （3）若方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 16．（2024秋•菏泽期中）（1）用配方法解方程：4x2﹣8x﹣3＝0； （2）用适当方法解方程：4（2x+1）2﹣9（2x﹣1）2＝0； （3）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，求m的范围． 【考点2】根与系数的关系（韦达定理）（第17-36题） · 牢记x1+x2=-，x1x2= · 对称式先用配方法转化为两根和与两根积，再整体代入 · 已知根代入方程求字母，再用韦达定理 · 新定义题（倍根方程、邻根方程）按定义列方程 17．（2026•绥化）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两个根，则x1+x2﹣2x1x2的值为（　　） A．16 B．﹣16 C．20 D．﹣20 18．（2026•桂林模拟）设a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2024 D．2027 19．（2026•太和县模拟）已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2+4m+2n＝（　　） A．1 B．10 C．﹣1 D．﹣10 20．（2026春•顺义区校级期中）如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； ③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程． A．①②③ B．② C．③ D．②③ 21．（2026•宽城县一模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0中，k＜0．则该方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为﹣6 D．两根之和为1 22．（2026春•安庆期末）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a、b、c均为常数，且a≠0）的解是x1＝﹣1，x2＝2，那么方程a（2x+3）2+b（2x+3）+c＝0的解是（　　） A． B． C． D．∵Δ＜0，∴方程无实数解 23．（2026•淄博模拟）已知m，n是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则2m2+4n+5＝_______ ． 24．（2026春•龙泉市期末）设x1，x2分别是一元二次方程ax2+3x+2＝0的两个根，x1+x2＝﹣3，则x1•x2＝_____ ． 25．（2026春•舟山期末）请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是﹣1和1，这个方程可以是________________ ． 26．（2026•巴中）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣x+t＝0的两个实数根，则的最小值是__________________ ． 27．（2026春•宁国市期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．关于x的方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是“邻根方程”，则m的值是__________ ． 28．（2025秋•镇江期末）通过学习，我们知道：若关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q，已知a2+3a﹣7＝0，b4﹣3b2﹣7＝0，且a+b2≠0，则代数式的值等于___________________ ． 29．（2025秋•呼伦贝尔期末）若一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 _____ ． 30．（2025•达孜区一模）已知关于x的方程有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1，x2满足，求k的值． 31．（2026春•西湖区期中）已知关于x的方程x2﹣4kx+4k2﹣1＝0． （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两个实数根x1，x2，且满足2x1＝x2（x1＜x2），求k的值． 32．（2025秋•温江区校级月考）材料1：法国数学家弗朗索瓦•韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac≥0）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则可利用根的定义构造一元二次方程x2﹣x﹣1＝0，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： （1）初步体验：已知实数m，n满足m2+4m﹣2＝0，n2+4n﹣2＝0（m≠n），求m3+n3的值； （2）类比应用：已知实数p，q满足p2＝3p+2，2q2＝1﹣3q，且p•q≠1，求； （3）思维拓展：已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣10、，且c＜10，求c的最大值． 33．（2026•大冶市模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（k+2）x+k＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2﹣x1x2＝6，求k的值． 34．（2023秋•江阳区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣m+2＝0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； （2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长； （3）若x1和x2是原方程的两根，，求m的值． 35．（2025秋•绥棱县期末）已知关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足，求k的值． 36．（2025春•西岗区校级期中）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝1，mn＝﹣1则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝_____ ，x1x2＝_______ ； （2）初步体验：已知一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值； （3）思维拓展：已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣10，，且c＜10，求c的最大值． 【考点3】二次三项式的因式分解（第37-42题） · 能在实数范围内因式分解的条件是Δ≥0 · ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) · 先求根再写分解式，注意提取a · 判断不能分解时，计算Δ<0即可 37．（2024秋•长宁区校级期中）下列关于x的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（　　） A．2x2+1 B．x2+x+2 C．3x2+kx﹣1 D．x2﹣x+k 38．（2023秋•普陀区期中）下列多项式中，能在实数范围内因式分解的是（　　） A．x2+2 B．x2+x+2 C．x2+2x+2 D．x2+3x+2 39．（2023秋•渝中区校级期末）下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是（　　） A．x2﹣y2 B．﹣b2+4b﹣4 C．a3+2a2+a D．m2﹣2mn﹣n 40．（2025秋•同步）在实数范围内因式分解： （1）2x2+4x+1； （2）x2﹣2ax﹣a2． 41．（2025秋•同步）在实数范围内因式分解： （1）2x2+3x﹣1； （2）﹣a2+5a+2． 42．（2025春•城厢区校级期中）小红发现在实数范围内可以分解因式：x2﹣7； 小红方法如下：； 请你仿照分解因式：x2﹣5． 💯 课后巩固 复习建议 · 牢记判别式公式Δ=b2-4ac和三种符号对应的根的情况 · 逆用判别式时，不要漏掉二次项系数a≠0这个前提 · 熟练掌握韦达定理的两个公式，注意x1+x2前面有负号 · 对称式求值先配方，转化为两根和与积的整体代入 · 新定义题要仔细阅读材料，按题目给出的定义列方程 【作业 1】（2026•沈丘县一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥1 【作业 2】（2026•长宁县模拟）已知x1、x2是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3＝0的两个实数根，若，则m等于（　　） A．﹣3 B．﹣5 C．5或﹣3 D．﹣5或3 【作业 3】（2026•海城区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有两个实数根x1，x2，若x1•x2＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【作业 4】（2025•衡阳县一模）下列各式在实数范围内因式分解正确的是（　　） A．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） B．2a2﹣ab+a＝a（2a﹣b） C．a4﹣2a2+1＝（a2﹣1）2 D．4x2﹣8x﹣1＝4x（x﹣2）﹣1 【作业 5】（2026•英德市二模）当k＝_____ 时，关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣2＝0有两个相等的实数根． 【作业 6】（2025秋•襄城区校级月考）关于x的方程m2x2+（2m﹣1）x+1＝0有实数根，则m的取值范围为____________________ ． 【作业 7】（2025秋•合江县校级期末）若一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0两根分别为x1，x2，则___________________ ． 【作业 8】（2026•相城区二模）设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则_____ ． 【作业 9】（2025秋•泉州校级期末）方程x2+4x﹣6＝0的根是x1与x2，则_______ ． 【作业 10】（2025秋•普陀区校级月考）在实数范围内因式分解：﹣3x2+2x+2＝____________________ ． 【作业 11】已知0，在实数范围内分解因式：6xa2﹣3y． 【作业 12】在实数范围内因式分解：162a4﹣32b4． 【作业 13】（2025秋•红河县期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2． （1）求实数m的取值范围； （2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求m的值． 【作业 14】（2025秋•淇滨区校级期末）若x＝k，代数式ax2+bx+c的值也为k，则称k是这个代数式的“x优值”．例如，当x＝0时，代数式x2﹣x的值为0；当x＝2时，代数式x2﹣x的值为2，所以0和2都是x2﹣x的“x优值”． （1）判断代数式x2﹣3x+2是否存在“x优值”，并说明理由； （2）若代数式x2﹣t2+t存在两个“x优值”且差为3，求t的值． 【作业 15】（2026春•怀远县期末）已知关于x的一元二次方程x2+9x+20﹣2k2＝0． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【作业 16】（2026春•长兴县期中）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+1＝0． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）记该方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值； （3）若，N＝2﹣x1x2，比较M与N的大小． 【作业 17】（2026春•诸暨市期末）根据以下素材，解决问题． 佛朗索瓦•韦达被誉为“代数学之父”，他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系，这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”，也被称为“根与系数的关系”． 素材1 材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果b2﹣4ac≥0，设方程的两个实数根为x1，x2，则与系数a，b，c，有如下关系：x1+x2，x1x2． 素材2 材料2：已知一元二次方程x2+2x﹣4＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：因为b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣4）＝20， 所以m+n＝﹣2，mn＝﹣4， 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝（﹣3）×（﹣4）＝12． 问题解决 问题1 先判断一元二次方程2x2+x+1＝0是否存在实数根；若存在，则设实数根为x1，x2，求x1+x2的值；若不存在，请说明理由． 问题2 已知一元二次方程2x2+2026x﹣4＝0的两个实数根为m，n，求（2m2+2025m﹣6）（2n2+2027n﹣2）的值． 问题3 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0有两个实数根为x1，x2，满足x1x2＝x1+x2，求k的值． 【作业 18】（2025秋•吉州区期末）阅读材料：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0、n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则可将m、n看作是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a、b满足a+b＝3、ab＝2，则可以将a、b看作是方程x2﹣3x+2＝0的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程x2+5x+1＝0的两根x1，x2，则x1+x2＝_______ ，x1x2＝_____ ； （2）已知实数m、n满足3m2﹣m﹣2＝0，3n2﹣n﹣2＝0，求的值． （3）已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣5、，且c＜5，求c的最大值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 一元二次方程根与系数关系 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac的意义，能判断根的情况 · 能根据方程根的情况，逆用判别式求字母系数的取值范围 · 掌握韦达定理：两根之和x1+x2=-，两根之积x1·x2= · 能运用韦达定理求关于两根的代数式的值 · 了解二次三项式因式分解与判别式的关系 📚 知识梳理 ☆ 1.根的判别式 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac Δ>0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根 Δ=0 ⇔ 方程有两个相等的实数根 Δ<0 ⇔ 方程没有实数根 概念辨析例题：判断方程 2x2-7x+5=0 根的情况 解析：Δ=(-7)2-4×2×5=49-40=9>0，所以方程有两个不相等的实数根。 ☆ 2.判别式的逆用 已知根的情况，可列出关于判别式的不等式（或等式）求字母范围 注意二次项系数不为0的隐含条件（a≠0） 若方程是一元二次方程，必须保证二次项系数≠0 等腰三角形问题中，需用判别式判断两腰是否存在 概念辨析例题：若关于x的方程 x2-4x-m=0 有实数根，求m的取值范围 解析：Δ=(-4)2-4×1×(-m)=16+4m≥0，解得m≥-4。 ☆ 3.韦达定理（根与系数关系） 若ax2+bx+c=0（a≠0，Δ≥0）的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1·x2= 对x2+px+q=0，有x1+x2=-p，x1·x2=q 求关于两根对称式的值，常用：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 += 概念辨析例题：已知x1，x2是方程x2+2x-9=0的两根，求x1+x2-2x1x2 解析：x1+x2=-2，x1x2=-9。原式=-2-2×(-9)=-2+18=16。 ☆ 4.二次三项式的因式分解 若ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 二次三项式能在实数范围内因式分解的条件是Δ≥0 十字相乘法本质是韦达定理的逆向应用 注意提取二次项系数a 概念辨析例题：因式分解 x2-3x+2 解析：方程x2-3x+2=0的两根为x1=1，x2=2，所以原式=(x-1)(x-2)。 📋 知识总结表 核心概念 公式/结论 注意事项 判别式 Δ=b2-4ac 必须先化为一般式ax2+bx+c=0 Δ>0 两个不相等实数根 — Δ=0 两个相等实数根 x1=x2=- Δ<0 无实数根 — 韦达定理 x1+x2=-，x1x2= 前提：a≠0且Δ≥0 对称式变形 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 注意符号 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的判别式（第1-16题） · 先把方程化为一般式，确定a、b、c · 计算Δ=b2-4ac，根据符号判断根的情况 · 逆用时列不等式：有实根→Δ≥0；不等实根→Δ>0；等根→Δ=0 · 注意二次项系数a≠0的隐含条件 1．（2026•香洲区校级模拟）一元二次方程2x2﹣7x+5＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×5＝49﹣40＝9＞0， 所以方程有两个不相等实数根， 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根． 2．（2026•历城区模拟）定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据新定义得到x2﹣2x﹣3a＝3，再把方程化为一般式，接着利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣3a﹣3）＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵x*a＝3， ∴x2﹣2x﹣3a＝3， 方程化为一般式为x2﹣2x﹣3a﹣3＝0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣3a﹣3）＞0， 解得a． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 3．（2024春•下城区校级期中）对于代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），下列说法正确的是（　　） ①若b2﹣4ac＝0，则ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根； ②存在三个实数m≠n≠h，使得am2+bm+c＝an2+bn+c＝ah2+bh+c； ③若ax2+bx+c+2＝0与方程（x+2）（x﹣3）＝0的解相同，则a+b＝0． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据判别式的意义对①进行判断；根据二次函数的对称性对②进行判断；根据一元二次方程的解的定义对③进行判断． 【解答】解：①∵b2﹣4ac＝0， ∴方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根， ∴①正确； ②∵一元二次方程ax2+bx+c＝k（k为常数）最多有两个解， ∴②错误； ③∵方程（x+2）（x﹣3）＝0的解为x1＝﹣2，x2＝3，将x＝﹣2，x＝3代入ax2+bx+c+2＝0，得， ②﹣①，得5a+5b＝0， ∴a+b＝0， ∴③正确． ∴说法正确的是①③． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解． 4．（2026•太和县二模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　） A．k1＝k2＝2 B．k1＝2，k2＝10 C．k1＝﹣2，k2＝6 D．k1＝﹣6，k2＝2 【分析】根据原方程有两个相等的实数根，可得出Δ＝k2﹣4k﹣12＝0，解之即可得出k的值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k+4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k+4） ＝k2+4k+4﹣8k﹣16 ＝k2﹣4k﹣12＝0， 即（k+2）（k﹣6）＝0， 解得：k1＝﹣2，k2＝6， 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 5．（2026•济南）若关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4 【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），判别式Δ＝b2﹣4ac，当Δ≥0时，方程有实数根，据此代入数值计算，即可作答． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m≥0， 解得m≥﹣4． 故选：C． 【点评】本题考查了根据一元二次方程的根情况求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．（2026•成都模拟）已知关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有实数根，则m的值可以是　2（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【分析】根据一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有实数根，得到根的判别式Δ≥0，求出m的取值范围，在范围内取一个符合要求的值即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2•m≥0， 解得m≤2， ∴m可以取小于等于2的任意实数 故答案为：2（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 7．（2025秋•扶余市期末）若关于x的一元二次方程kx2﹣x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　且k≠0．　 ． 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0即可求解． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+3＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣1）2﹣12k＞0且k≠0， 解得且k≠0． 故答案为：且k≠0． 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根． 8．（2025秋•金山区校级期末）若关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0没有实数根，则a的取值范围是a　 ． 【分析】根据题意得：根的判别式Δ＜0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0没有实数根， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4a＜0， ∴a． 故答案为：a． 【点评】本题考查了根的判别式，根据方程根的情况知根的判别式Δ＜0，得出关于a的一元一次不等式是解题的关键． 9．（2023秋•新吴区期末）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程x2﹣（2+a）x+2a＝0和（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0互为联根方程，那么a的值为 　﹣2　 ． 【分析】利用因式分解法，可求出关于x的一元二次方程x2﹣（2+a）x+2a＝0的解，结合互为“联根方程”的定义，可得出∴x＝2或x＝a是关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0的根，代入x＝2，可得出关于a的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣7＜0，可得出该方程没有实数根，代入x＝a，可得出关于a的一元二次方程，解之可得出a的值，再结合a﹣1≠0，即可确定a的值． 【解答】解：∵x2﹣（2+a）x+2a＝0， ∴（x﹣2）（x﹣a）＝0， 解得：x1＝2，x2＝a． ∵关于x的两个一元二次方程x2﹣（2+a）x+2a＝0和（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0互为联根方程， ∴x＝2或x＝a关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0的根． 将x＝2代入方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0得：4（a﹣1）﹣2a2﹣a+2＝0， 整理得：2a2﹣3a+2＝0， ∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0， ∴此时该方程无实数根，即x＝2不是关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0的解； 将x＝a代入方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0得：（a﹣1）a2﹣a3﹣a+2＝0， 整理得：a2+a﹣2＝0， 解得：a1＝﹣2，a2＝1， 又∵a﹣1≠0， ∴a＝﹣2， ∴a的值为﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根以及一元二次方程的定义，将关于x的一元二次方程x2﹣（2+a）x+2a＝0的两个实数根分别代入关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0中，找出关于a的一元二次方程是解题的关键． 10．（2025秋•郊区期中）若一元二次方程x2+bx+c＝0无实数根，请写出一个满足条件的一元二次方程：x2+1＝0（答案不唯一）　 ． 【分析】根据一元二次方程无实数根的条件是判别式小于零得到Δ＝b2﹣4c＜0，取b＝0，可得c＞0，可取c＝1，则方程x2+1＝0满足条件． 【解答】解：由题意得，Δ＝b2﹣4×1×c＝b2﹣4c＜0， 当b＝0时，则Δ＝﹣4c＜0， 解得c＞0， 可取c＝1，则方程x2+1＝0满足条件， 故答案为：x2+1＝0（答案不唯一）． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，一元二次方程的解，熟知以上知识是解题的关键． 11．（2025秋•宝山区校级期末）关于x的方程（a﹣1）x2﹣2ax+a﹣1＝0有实数根，那么a的取值范围为　　 ． 【分析】方程可能为一元二次或一元一次方程，需分类讨论；当为一元二次方程时，利用判别式求参数范围． 【解答】解：当a＝1时，方程化为﹣2x＝0， 解得x＝0，有实数根； 当a≠1时，方程为二次方程，有实数根时， 判别式Δ＝（﹣2a）2﹣4（a﹣1）（a﹣1）＝8a﹣4≥0， 解得 ； 综上，时方程有实数根． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点是一元二次方程根的判别式，解题关键是运用分类讨论思想解题． 12．（2025秋•黄浦区校级期末）关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是k≥﹣2且k≠0　 ． 【分析】根据题意得出Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，且k≠0，即可求解． 【解答】解：由条件可知Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，且k≠0， 解得k≥﹣2且k≠0； 故答案为：k≥﹣2且k≠0． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，熟练掌握以上知识点是关键． 13．（2025秋•辉县市期末）已知一元二次方程x2+bx+9＝0． （1）求证：当b＞6时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根，求b的值以及这个等腰三角形的周长． 【分析】（1）需要根据判别式Δ＝b2﹣4ac的性质，当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，计算Δ并分析当b＞6时Δ的取值即可； （2）先根据判别式求出b的值，再求出方程的根，进而计算三角形的周长，同时要注意三角形三边关系的验证即可． 【解答】证明：（1）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），判别式Δ＝b2﹣4ac， ∵在方程x2+bx+9＝0中，a＝1，c＝9， ∴Δ＝b2﹣4×1×9＝b2﹣36， 当b＞6时，b2＞36，则b2﹣36＞0，即Δ＞0， ∴根据判别式的性质，当Δ＞0时，方程总有两个不相等的实数； 解：（2）∵等腰三角形的两条腰长是方程x2+bx+9＝0的两个根， ∴方程有两个相等的实数根，即Δ＝b2﹣36＝0， 解得b＝±6， ∵方程的根是三角形的边长， ∴根的和﹣b＞0， ∴b＜0，b＝﹣6， 将b＝﹣6代入方程，得x2﹣6x+9﹣0， ∴因式分解为（x﹣3）2＝0，解得x1＝x2＝3， ∴等腰三角形的腰长为3，底边长为2，根据三角形周长公式，周长为3+3+2＝8． 【点评】本题考查了一元二次方程的判别式、根与系数的关系，以及等腰三角形性质和三角形三边关系，熟练掌握判别式与根的个数的关联、结合实际情况对参数取舍，是解题的关键． 14．（2026春•苏州期中）已知x＝7是关于x的方程x2﹣（3m+1）x+7m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边．求△ABC的周长． 【分析】把x＝7代入方程x2﹣（3m+1）x+7m＝0得49﹣7（3m+1）+7m＝0，然后解关于m的方程即可求得m的值，从而得到方程x2﹣10x+21＝0，解方程得x1＝3，x2＝7，根据三角形三边的关系得到等腰三角形ABC的腰长为7，底边长为3，然后计算△ABC的周长． 【解答】解：把x＝7代入方程x2﹣（3m+1）x+7m＝0得49﹣7（3m+1）+7m＝0， 解得m＝3； ∴方程为x2﹣10x+21＝0，解得x1＝3，x2＝7， ∵3+3＜7， ∴等腰三角形ABC的腰长为7，底边长为3， ∴△ABC的周长为7+7+3＝17． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，熟知能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 15．（2024春•越城区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0，其中m为常数． （1）若x＝2是方程的一个根，求m的值； （2）当m＝﹣1时，求该方程的根； （3）若方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 【分析】（1）将x＝2代入原方程即可求出m的值； （2）根据因式分解法法即可求出方程的根； （3）先根据根的判别式求解m，再根据公式化求解即可． 【解答】解：（1）∵x＝2是该方程的一个根， ∴22﹣2×2+2m﹣1＝0， 解得：m； （2）当m＝﹣1时，原方程为x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， ∴x﹣3＝0或x+1＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1； （3）∵方程有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4（2m﹣1）≥0， 解得m≤1， ∵m为正整数， ∴m＝1， 原方程为x2﹣2x+1＝0， ∴（x﹣1）2＝0， ∴x1＝x2＝1． 【点评】本题考查根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 16．（2024秋•菏泽期中）（1）用配方法解方程：4x2﹣8x﹣3＝0； （2）用适当方法解方程：4（2x+1）2﹣9（2x﹣1）2＝0； （3）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，求m的范围． 【分析】（1）用公式法解方程即可； （2）先化成[2（2x+1）]2﹣[3（2x﹣1）]2＝0，再根据平方差公式即可求解； （3）根据根的判别式即可求出m的取值范围． 【解答】解：（1）4x2﹣8x﹣3＝0； 配方得：4（x﹣1）2﹣7＝0， （x﹣1）2， x﹣1＝±， x＝1±， ∴x1，x2； （2）4（2x+1）2﹣9（2x﹣1）2＝0； [2（2x+1）]2﹣[3（2x﹣1）]2＝0， （4x+2）2﹣（6x﹣3）2＝0， （4x+2﹣6x+3）（4x+2+6x﹣3）＝0， 解得x1，x2； （3）∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0， ∴4﹣4（m﹣1）＞0， 解得m＜2且m≠1． 【点评】本题考查一元二次方程的解法，根的判别式，解题时要注意二次项系数不为0． 【考点2】根与系数的关系（韦达定理）（第17-36题） · 牢记x1+x2=-，x1x2= · 对称式先用配方法转化为两根和与两根积，再整体代入 · 已知根代入方程求字母，再用韦达定理 · 新定义题（倍根方程、邻根方程）按定义列方程 17．（2026•绥化）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两个根，则x1+x2﹣2x1x2的值为（　　） A．16 B．﹣16 C．20 D．﹣20 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两个根， 则x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣9， 所以x1+x2﹣2x1x2＝﹣2﹣2×（﹣9）＝﹣2+18＝16． 故选：A． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 18．（2026•桂林模拟）设a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2024 D．2027 【分析】先根据一元二次方程的解得到a2+a﹣2026＝0，利用根与系数关系得到a+b＝﹣1，则a2+2a+b＝a2+a+a+b，求解即可． 【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根， ∴a2+a﹣2026＝0，即a2+a＝2026，a+b＝﹣1， ∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2026﹣1＝2025， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 19．（2026•太和县模拟）已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2+4m+2n＝（　　） A．1 B．10 C．﹣1 D．﹣10 【分析】根据一元二次方程的解的定义求得m2+2m﹣5＝0，根据根与系数的关系求得m+n＝﹣2，再整体代入求解即可． 【解答】解：由题知， 因为m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根， 所以m+n＝﹣2，m2+2m﹣5＝0， 则m2+2m＝5， 所以m2+4m+2n＝m2+2m+2（m+n）＝5﹣4＝1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 20．（2026春•顺义区校级期中）如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； ③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程． A．①②③ B．② C．③ D．②③ 【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程， ②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合， ③当p，q满足pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程． 【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2， ∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程； 故①不正确； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2， 因此x2＝1或x2＝4， 当x2＝1时，m+n＝0， 当x2＝4时，4m+n＝0， ∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0， 故②正确； ③∵pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0， ∴x1，x2＝﹣q， ∴x2＝﹣q2x1， 因此是倍根方程， 故③正确； 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 21．（2026•宽城县一模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0中，k＜0．则该方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为﹣6 D．两根之和为1 【分析】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和． 【解答】解：∵Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（﹣6）＝（k+1）2+24＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故A错误，该选项不符合题意； 设x1、x2是一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝k+1，x1•x2＝﹣6， 故C正确，该选项不符合题意；D错误，该选项不符合题意； ∴两根的符号相反， 故B错误，该选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解答本题的关键要明确：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 22．（2026春•安庆期末）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a、b、c均为常数，且a≠0）的解是x1＝﹣1，x2＝2，那么方程a（2x+3）2+b（2x+3）+c＝0的解是（　　） A． B． C． D．∵Δ＜0，∴方程无实数解 【分析】通过变量替换，令t＝2x+3，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于x的方程． 【解答】解：令t＝2x+3，则at2+bt+c＝0， ∴t＝﹣1或t＝2， ∴2x+3＝﹣1或2x+3＝2， 解得x＝﹣2或， ∴新方程的解为x1＝﹣2，， 故选：A． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 23．（2026•淄博模拟）已知m，n是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则2m2+4n+5＝　19　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系，代入求值即可． 【解答】解：∵m，n是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根， ∴m2﹣2m﹣3＝0，即m2＝2m+3；m+n＝2， ∴2m2+4n+5＝2（2m+3）+4n+5＝4m+4n+11＝4（m+n）+11＝19． 故答案为：19． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键，难度不大，仔细计算即可． 24．（2026春•龙泉市期末）设x1，x2分别是一元二次方程ax2+3x+2＝0的两个根，x1+x2＝﹣3，则x1•x2＝　2　 ． 【分析】先根据两根和与一元二次方程系数的关系，求出a，再求出两根的积． 【解答】解：∵x1+x23， ∴a＝1． ∴x1•x22． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握根与系数的关系是解决本题的关键． 25．（2026春•舟山期末）请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是﹣1和1，这个方程可以是x2＝1（答案不唯一）　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算得到方程的系数，即可写出符合要求的方程． 【解答】解：由条件可知两根之和为：x1+x2＝﹣1+1＝0， 两根之积为：x1x2＝（﹣1）×1＝﹣1， 对于一元二次方程x2+bx+c＝0，根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣b，x1x2＝c， 代入得：﹣b＝0，c＝﹣1，即b＝0，c＝﹣1， ∴这个方程可以是：x2﹣1＝0． 故答案为：x2＝1（答案不唯一）． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 26．（2026•巴中）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣x+t＝0的两个实数根，则的最小值是　　 ． 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数t的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于t的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣x+t＝0的两个实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×t≥0， 解得， 由根与系数的关系得：x1+x2＝1，x1x2＝t， ∴， ∵﹣2＜0， ∴随t的增大而减小， ∴当t取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 27．（2026春•宁国市期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．关于x的方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是“邻根方程”，则m的值是　﹣1或﹣3　 ． 【分析】先对关于x的一元二次方程因式分解求解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义，得到两根的差为1，分情况列方程计算m的值即可． 【解答】解：因式分解得：（x﹣m）（x+2）＝0， ∴x﹣m＝0或x+2＝0， 解得：x1＝m，x2＝﹣2， ∵方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0是“邻根方程”， ∴m﹣（﹣2）＝1或﹣2﹣m＝1， 解得：m＝﹣1或m＝﹣3． 故答案为：﹣1或﹣3． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 28．（2025秋•镇江期末）通过学习，我们知道：若关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q，已知a2+3a﹣7＝0，b4﹣3b2﹣7＝0，且a+b2≠0，则代数式的值等于　　 ． 【分析】由方程a2+3a﹣7＝0和b4﹣3b2﹣7＝0，设c＝b2，则c2﹣3c﹣7＝0，令d＝﹣c＝﹣b2，代入得d2+3d﹣7＝0，与第一个方程同解，故a和d＝﹣b2是方程x2+3x﹣7＝0的两个根，根据根与系数的关系，得a+（﹣b2）＝﹣3和a•（﹣b2）＝﹣7，即a﹣b2＝﹣3和ab2＝7．代入代数式，化简后利用a2+3a＝7计算． 【解答】解：设c＝b2，则c2﹣3c﹣7＝0． 令d＝﹣c＝﹣b2，代入得d2+3d﹣7＝0，与a2+3a﹣7＝0形式相同， 故a和﹣b2是方程x2+3x﹣7＝0的两个根． ∴a+（﹣b2）＝﹣3，a•（﹣b2）＝﹣7， 即：a﹣b2＝﹣3，ab2＝7， 代入代数式：， 由a﹣b2＝﹣3得b2＝a+3， 代入分子：（a﹣1）（a+3）﹣4＝a2+2a﹣3﹣4＝a2+2a﹣7， 由a2+3a﹣7＝0得： a2＝﹣3a+7，代入分子：（﹣3a+7）+2a﹣7＝﹣a， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式化简与方程构造的综合应用，解题的关键是通过换元构造出同解方程，从而利用韦达定理建立a与b2的关系，再代入代数式化简求值． 29．（2025秋•呼伦贝尔期末）若一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 　8　 ． 【分析】利用根与系数的关系求解． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根为x1，x2， ∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣5 ∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣（﹣5）＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，则x1+x2，x1x2． 30．（2025•达孜区一模）已知关于x的方程有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1，x2满足，求k的值． 【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣2）xk2﹣2k＝0有两个不相等的实数根，得到Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4（k2﹣2k）＞0，于是得到结论； （2）根据x1+x2＝k﹣2，x1x2k2﹣2k，代入x1x2＝25，解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣2）xk2﹣2k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[﹣（k﹣2）]2﹣4（k2﹣2k）＞0， 解得：k＞﹣1． （2）∵x1+x2＝k﹣2，x1x2k2﹣2k， ∵x1x2＝25， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝25， ∴（k﹣2）2﹣3（k2﹣2k）＝25， 解得：k1＝﹣14，k2＝6， ∵k＞﹣1， ∴k＝6． 【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程是解答此题的关键． 31．（2026春•西湖区期中）已知关于x的方程x2﹣4kx+4k2﹣1＝0． （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两个实数根x1，x2，且满足2x1＝x2（x1＜x2），求k的值． 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得证；（2）根据根与系数的关系，进行求解即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣4k]2﹣4×1×（4k2﹣1）＝16k2﹣16k2+4＝4＞0， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意，x1+x2＝4k，x1x2＝4k2﹣1， ∵2x1＝x2， ∴3x1＝4k， ∴x1k， ∴x2k， ∴x1x2kk＝4k2﹣1， 解得k＝±， 当k时，x12，x2＝2x1＝4，满足x1＜x2， 当k时，x1（﹣）2，x2＝2x1＝﹣4，不满足x1＜x2， ∴k． 【点评】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 32．（2025秋•温江区校级月考）材料1：法国数学家弗朗索瓦•韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac≥0）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则可利用根的定义构造一元二次方程x2﹣x﹣1＝0，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： （1）初步体验：已知实数m，n满足m2+4m﹣2＝0，n2+4n﹣2＝0（m≠n），求m3+n3的值； （2）类比应用：已知实数p，q满足p2＝3p+2，2q2＝1﹣3q，且p•q≠1，求； （3）思维拓展：已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣10、，且c＜10，求c的最大值． 【分析】（1）直接利用根与系数的关系求出m+n＝﹣4，mn＝﹣2，再把m3+n3转化为（m+n）3﹣3mn（m+n），再代入求解； （2）先把2q2＝1﹣3q变形为（）2﹣3（）﹣2＝0，则p、可看作方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，根据p3，p•2，然后把转化为pp•，再整体代入计算即可； （3）根据a+b＝c﹣10、，且c＜10，可以得出a，b是方程x2﹣（c﹣10）x0的两个根，再根据判别式Δ≥0求出c≥7，从而求出c的最大值． 【解答】解：（1）∵实数m，n满足m2+4m﹣2＝0，n2+4n﹣2＝0（m≠n）， ∴m，n是方程x2+4m﹣2＝0的两个不相等的实数根， ∴m+n＝﹣4，mn＝﹣2， ∴m3+n3＝（m+n）3﹣3mn（m+n）＝（﹣4）3﹣3×（﹣2）×（﹣4）＝﹣64﹣24＝﹣88； （2）∵2q2＝1﹣3q， ∴q≠0， ∴（）2﹣3（）﹣2＝0， ∵p2＝3p+2， 即p2﹣3p﹣2＝0， ∴p、可看作方程x2﹣3x﹣2＝0的两根， ∴p3，p•2， ∴ppp•3﹣2＝1； （3）∵a+b＝c﹣10、， ∴a，b是方程x2﹣（c﹣10）x0的两个根， ∴Δ＝（c﹣10）2﹣40， 化简得：（c﹣10）20， ∵c＜10， ∴10﹣c＞0， 令t＝10﹣c，则t＞0，且c＝10﹣t， 代入（c﹣10）20得（﹣t）20， ∴t3﹣27≥0， ∴t≥3， 即10﹣c≥3， ∴c≤7， ∴c的最大值为7． 【点评】本题考查了根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2也考查了非负数的性质和分式的化简求值． 33．（2026•大冶市模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（k+2）x+k＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2﹣x1x2＝6，求k的值． 【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明Δ＞0即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2＝﹣（k+2），x1x2＝k，根据题意，代入x1+x2﹣x1x2＝6，解方程即可得到答案． 【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣4k ＝k2+4k+4﹣4k ＝k2+4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2＝﹣（k+2），x1x2＝k， ∴﹣（k+2）﹣k＝6， 解得：k＝﹣4． 【点评】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． 34．（2023秋•江阳区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣m+2＝0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； （2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长； （3）若x1和x2是原方程的两根，，求m的值． 【分析】（1）先计算出Δ＝（m﹣3）2﹣4（﹣m+2＝（m﹣1）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）依题意方程x2+（m﹣3）x﹣m+2＝0一个根为5，代入方程求得m＝5，再把m代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长； （3）根据根与系数的关系得到关于m的方程，解方程即可求解． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（m﹣3）2﹣4（﹣m+2） ＝（m﹣1）2， ∵无论m取何值，（m﹣1）2≥0， ∴原方程总有两个实数根； （2）解：∵等腰三角形一腰长为5， ∴等腰三角形另一腰长也为5， ∵两边长度为该方程的两根， ∴x＝5是原方程的解， 由x2+（m﹣3）x﹣m+2＝0得：52+（m﹣3）×5﹣m+2＝0， 解得：m＝﹣3， 原方程为x2﹣6x+5＝0， 设x1，x2是原方程的两根，因此x1+x2＝6， 则等腰三角形的周长为6+5＝11； （3）解：∵（x1﹣x2）2+2m﹣1＝0， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2+2m﹣1＝0， ∵x1，x2是原方程的两根， ∴x1+x2＝﹣（m﹣3），x1x2＝﹣m+2， ∴[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m+2）+2m﹣1＝0， m2＝0， ∴m＝0． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：①当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了根与系数的关系，等腰三角形的性质． 35．（2025秋•绥棱县期末）已知关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足，求k的值． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，建立关于k的不等式，求得k的取值范围； （2）先利用根与系数的关系，用含有k的式子表示出x1+x2和x1x2，再代入中得到一个分式方程，解出方程，再结合（1）中k的取值范围，确定k的值． 【解答】解：（1）关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根． ∴k≠0且Δ＞0， ∴Δ＝12﹣4k×（﹣3）＞0解得， ∴k的取值范围为且k≠0； （2）由根与系数的关系得，，， ∴，即4k2+3k﹣1＝0， ∴（4k﹣1）（k+1）＝0解得或k＝﹣1， 经检验，，k＝﹣1都是原分式方程的解， 由（1）可得，且k≠0． ∴． 【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系、根与系数的关系、解分式方程以及解一元二次方程，熟练掌握相关知识进行求解是解题的关键． 36．（2025春•西岗区校级期中）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝1，mn＝﹣1则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　3　 ，x1x2＝　﹣1　 ； （2）初步体验：已知一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值； （3）思维拓展：已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣10，，且c＜10，求c的最大值． 【分析】（1）根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系可得m+n＝3，mn＝﹣1，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； （3）由 a+b＝c﹣10，，将a、b看作是方程的两实数根，然后通过根的判别式即可求解． 【解答】解：（1）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根， ∴利用根与系数的关系得：x1+x2＝3，x1x2＝﹣1， 故答案为：3，﹣1； （2）∵m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根， ∴利用根与系数的关系得：m+n＝3，mn＝﹣1， ∴； （3）∵a+b＝c﹣10，， ∴将a、b看作是方程的两实数根， ∴， ∵c＜10， ∴c﹣10＜0， 则， （c﹣10）3+27≤0， ∴（c﹣10）3≤﹣27， ∴c﹣10≤﹣3， ∴c≤7， ∴c的最大值为7． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2﹣4ac，当方程有两个不相等的实数根则Δ＞0；当方程有两个相等的实数根则Δ＝0；当方程没有实数根则Δ＜0，正确理解熟记：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，． 【考点3】二次三项式的因式分解（第37-42题） · 能在实数范围内因式分解的条件是Δ≥0 · ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) · 先求根再写分解式，注意提取a · 判断不能分解时，计算Δ<0即可 37．（2024秋•长宁区校级期中）下列关于x的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（　　） A．2x2+1 B．x2+x+2 C．3x2+kx﹣1 D．x2﹣x+k 【分析】令关于x的二次三项式等于0得到一元二次方程，然后利用根的判别式的意义判断方程是否有实数解，若有实数解，则能说明二次三项式在实数范围内因式分解． 【解答】解：对于一元二次方程3x2+kx﹣1＝0， ∵Δ＝k2﹣4×3×（﹣1）＝k2+12＞0， ∴方程有两个实数解， ∴3x2+kx﹣1一定能在实数范围内因式分解． 故选：C． 【点评】本题考查了实数范围内分解因式：实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）． 38．（2023秋•普陀区期中）下列多项式中，能在实数范围内因式分解的是（　　） A．x2+2 B．x2+x+2 C．x2+2x+2 D．x2+3x+2 【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可得到答案． 【解答】解：A、x2+2不能在实数范围内因式分解，故本选项不符合题意； B、x2+x+2不能在实数范围内因式分解，故本选项不符合题意； C、x2+2x+2不能在实数范围内因式分解，故本选项不符合题意； D、x2+3x+2＝（x+1）（x+2）能在实数范围内因式分解．故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了因式分解的定义，因式分式的定义为：多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 39．（2023秋•渝中区校级期末）下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是（　　） A．x2﹣y2 B．﹣b2+4b﹣4 C．a3+2a2+a D．m2﹣2mn﹣n 【分析】利用因式分解的方法，分别判断得出即可． 【解答】解：A、原式＝（x+y）（x﹣y），不符合题意； B、原式＝﹣（b﹣2）2，不符合题意； C、原式＝a（a+1）2，不符合题意； D、m2﹣2mn﹣n不能因式分解了，符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了公式法及提公因式法分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题关键． 40．（2025秋•同步）在实数范围内因式分解： （1）2x2+4x+1； （2）x2﹣2ax﹣a2． 【分析】（1）根据配方法化为平方差的形式，进行因式分解，即可求解． （2）根据配方法化为平方差的形式，进行因式分解，即可求解． 【解答】解：（1）2x2+4x+1 ＝2x2+4x+2﹣1 ＝2（x2+2x+1）﹣1 ＝2（x+1）2﹣1 ＝[（x+1）+1][（x+1）﹣1] ＝（x1）（x1）； （2）x2﹣2ax﹣a2 ＝x2﹣2ax+a2﹣2a2 ＝（x﹣a）2﹣2a2 ＝（x﹣a）（x﹣a）． 【点评】本题考查了实数范围内因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键． 41．（2025秋•同步）在实数范围内因式分解： （1）2x2+3x﹣1； （2）﹣a2+5a+2． 【分析】（1）先根据求根公式求出一元二次方程的两个根，再分解因式即可； （2）先根据求根公式求出一元二次方程的两个根，再分解因式即可． 【解答】解：（1）∵方程2x2+3x﹣1＝0的两个根是x1，x， ∴2x2+3x﹣1＝2（x）（x）； （2）∵方程﹣a2+5a+2＝0的两个根是a1，a2， ∴﹣a2+5a+2＝﹣（a）（a）． 【点评】此题主要考查了实数范围内分解因式，正确解方程是解题关键． 42．（2025春•城厢区校级期中）小红发现在实数范围内可以分解因式：x2﹣7； 小红方法如下：； 请你仿照分解因式：x2﹣5． 【分析】根据所给的例子因式分解即可． 【解答】解：x2﹣5＝x2﹣（）2＝（x）（x）． 【点评】本题考查因式分解，特别注意因式分解必须彻底． 💯 课后巩固 复习建议 · 牢记判别式公式Δ=b2-4ac和三种符号对应的根的情况 · 逆用判别式时，不要漏掉二次项系数a≠0这个前提 · 熟练掌握韦达定理的两个公式，注意x1+x2前面有负号 · 对称式求值先配方，转化为两根和与积的整体代入 · 新定义题要仔细阅读材料，按题目给出的定义列方程 【作业 1】（2026•沈丘县一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥1 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m≥0，然后解关于m的不等式即可． 【解答】解：根据题意，得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m≥0， 解得m≤1， 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 【作业 2】（2026•长宁县模拟）已知x1、x2是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3＝0的两个实数根，若，则m等于（　　） A．﹣3 B．﹣5 C．5或﹣3 D．﹣5或3 【分析】先根据一元二次方程有两个实根，要求根的判别式非负，再利用完全平方公式将变形，结合根与系数的关系列方程求解m，最后根据根的判别式范围舍去不符合的解即可． 【解答】解：由条件可知根的判别式Δ≥0， 即Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×（m2+3）＝﹣4m﹣11≥0， 解得：， 由根与系数的关系，得x1+x2＝1﹣2m，， ∵，且， ∴（1﹣2m）2﹣2（m2+3）＝25， 整理得m2﹣2m﹣15＝0， 解得m＝5或m＝﹣3， ∵，，舍去，符合要求， ∴m＝﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 3】（2026•海城区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有两个实数根x1，x2，若x1•x2＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】根据根与系数的关系得到x1•x2＝﹣m，所以﹣m＝1，从而可求出m的值． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1•x2＝﹣m， 而x1•x2＝1， 所以﹣m＝1， 解得m＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 【作业 4】（2025•衡阳县一模）下列各式在实数范围内因式分解正确的是（　　） A．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） B．2a2﹣ab+a＝a（2a﹣b） C．a4﹣2a2+1＝（a2﹣1）2 D．4x2﹣8x﹣1＝4x（x﹣2）﹣1 【分析】根据因式分解的方法，逐一进行因式分解，判断即可． 【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），符合题意； B、2a2﹣ab+a＝a（2a﹣b+1），不符合题意； C、a4﹣2a2+1＝（a+1）2（a﹣1）2，不符合题意； D、4x2﹣8x﹣1＝（2x﹣2）2﹣5＝（2x﹣2）（2x﹣2），不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了实数范围内分解因式，提公因式法与公式法的综合运用，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键． 【作业 5】（2026•英德市二模）当k＝　3　 时，关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣2＝0有两个相等的实数根． 【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣2）＝0，然后解方程即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣2）＝0， 解得k＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 【作业 6】（2025秋•襄城区校级月考）关于x的方程m2x2+（2m﹣1）x+1＝0有实数根，则m的取值范围为m　 ． 【分析】分m＝0和m≠0且Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，两种情况讨论，据此求解即可． 【解答】解：当m＝0时，方程为﹣x+1＝0，解得x＝1，方程有实数根； 当m≠0时，关于x的一元二次方程m2x2+（2m﹣1）x+1＝0有实数根， ∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0， 解得m． 综上，关于x的方程m2x2+（2m﹣1）x+1＝0有实数根，则m的取值范围为m． 故答案为：m． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 【作业 7】（2025秋•合江县校级期末）若一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0两根分别为x1，x2，则　　 ． 【分析】由题意易得x1+x2＝3，x1x2＝﹣5，然后代入进行求解即可． 【解答】解：由题意易得x1+x2＝3，x1x2＝﹣5， ∴； 故答案为：． 【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【作业 8】（2026•相城区二模）设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则　9　 ． 【分析】根据根与系数的关系得x1+x2＝3，根据方程解的定义得3x1+1＝0，即3x1﹣1，代入所求的式子计算即可． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根， ∴x1+x2＝3，3x1+1＝0，x1x2＝1， ∴3x1﹣1， ∴3x2+x1x2 ＝3x1﹣1+3x2+1 ＝3（x1+x2） ＝3×3 ＝9． 故填空答案：9． 【点评】此题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 【作业 9】（2025秋•泉州校级期末）方程x2+4x﹣6＝0的根是x1与x2，则　28　 ． 【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再根据完全平方公式求解． 【解答】解：由条件可知x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣6． ∴． 故答案为：28． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用．熟练掌握以上知识点是关键． 【作业 10】（2025秋•普陀区校级月考）在实数范围内因式分解：﹣3x2+2x+2＝　﹣3（x）（x）　 ． 【分析】将原式变形并配方，然后利用平方差及完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝﹣3（x2x） ＝﹣3（x2x） ＝﹣3[（x）2] ＝﹣3[（x）][（x）] ＝﹣3（x）（x）， 故答案为：﹣3（x）（x）． 【点评】本题考查实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【作业 11】已知0，在实数范围内分解因式：6xa2﹣3y． 【分析】根据算术平方根的非负性，求出x，y的值，再对所给代数式进行因式分解即可． 【解答】解：由题知， 因为0， 所以， 解得， 则6xa2﹣3y＝4a2﹣3＝（）（）． 【点评】本题主要考查了实数范围内分解因式、非负数的性质：算术平方根及解二元一次方程组，熟知算术平方根的非负性及因式分解的步骤是解题的关键． 【作业 12】在实数范围内因式分解：162a4﹣32b4． 【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝2（81a4﹣16b4） ＝2（9a2+4b2）（9a2﹣4b2） ＝2（9a2+4b2）（3a+2b）（3a﹣2b）． 【点评】本题考查实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【作业 13】（2025秋•红河县期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2． （1）求实数m的取值范围； （2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求m的值． 【分析】（1）由一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的两个实数根，根据根的判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac≥0，解关于m的不等式即可； （2）根据根与系数的关系x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1x2＝m2，代入代数式求出m的值即可． 【解答】解：（1）Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2 ＝4m2﹣4m+1﹣4m2 ＝﹣4m+1， ∵Δ≥0， ∴﹣4m+1≥0， ∴m． 故实数m的取值范围为m； （2）由题意可得： x1+x2＝﹣（2m﹣1）＝1﹣2m，x1x2＝m2， 又∵x1+x2＝1﹣x1x2， ∴1﹣2m＝1﹣m2， ∴m2﹣2m＝0， 解得m1＝0，m2＝2， 又∵m， ∴m＝0． 【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 【作业 14】（2025秋•淇滨区校级期末）若x＝k，代数式ax2+bx+c的值也为k，则称k是这个代数式的“x优值”．例如，当x＝0时，代数式x2﹣x的值为0；当x＝2时，代数式x2﹣x的值为2，所以0和2都是x2﹣x的“x优值”． （1）判断代数式x2﹣3x+2是否存在“x优值”，并说明理由； （2）若代数式x2﹣t2+t存在两个“x优值”且差为3，求t的值． 【分析】（1）根据题意，得到x2﹣3x+2＝x，整理得x2﹣4x+2＝0，根据一元二次方程根的判别式判断该方程有解，即代数式x2﹣3x+2存在“x优值”； （2）当x2﹣t2+t＝x时，整理得x2﹣x﹣t2+t＝0，运用公式法求出方程的两个根，结合它们的差为3，求出t值． 【解答】解：（1）代数式x2﹣3x+2存在“x优值”，理由如下： 当x2﹣3x+2＝x时，x2﹣4x+2＝0， ∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0， ∴代数式x2﹣3x+2存在“x优值”； （2）由条件可知x2﹣x﹣t2+t＝0． ∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣t2+t）＝（2t﹣1）2≥0， ∴x1+x2＝1，， ∵， ∴12﹣4（﹣t2+t）＝9， ∴4t2﹣4t﹣8＝0， 解得t1＝2，t2＝﹣1， ∴t＝2或t＝﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，准确地理解题意是解题的关键． 【作业 15】（2026春•怀远县期末）已知关于x的一元二次方程x2+9x+20﹣2k2＝0． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）将x＝1代入原方程可求出k的值，利用一元二次方程根与系数的关系可求出方程的另一个根． 【解答】（1）证明：∵Δ＝92﹣4（20﹣2k2）＝8k2+1≥1＞0， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：将x＝1代入原方程得， 1+9+20﹣2k2＝0， 解得k． 令方程的另一个根为m， 则m+1＝﹣9， 解得m＝﹣10， 所以方程的另一个根为﹣10． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【作业 16】（2026春•长兴县期中）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+1＝0． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）记该方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值； （3）若，N＝2﹣x1x2，比较M与N的大小． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝k2+12，则△＞0，从而根据根的判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝k+4，x1•x2＝2k+1，再利用乘法公式得到（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4，然后利用整体代入的方法计算； （3）先根据根与系数的关系得x1+x2＝k+4x1•x2＝2k+1，再计算M﹣N得到M﹣N＝（x1+x2）2﹣x1x2﹣2，接着利用整体代入的方法得到M﹣N＝（k+4）2﹣（2k+1）﹣2，然后利用配方法得到M﹣N＝（k+3）2+4＞0，从而得到M＞N． 【解答】（1）证明：Δ＝（k+4）2﹣4（2k+1） ＝k2+8k+16﹣8k﹣4 ＝k2+12， ∵k2≥0， ∴k2+12＞0，即△＞0， ∴x2﹣（k+4）x+2k+1＝0总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝k+4，x1•x2＝2k+1， （x1﹣2）（x2﹣2） ＝x1•x2﹣2x1﹣2x2+4 ＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4 ＝2k+1﹣2（k+4）+4 ＝2k+1﹣2k﹣8+4 ＝﹣3； （3）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝k+4x1•x2＝2k+1， ∵M，N＝2﹣x1x2， ∴M﹣N2+x1x2＝（x1+x2）2﹣x1x2﹣2， ∴M﹣N＝（k+4）2﹣（2k+1）﹣2 ＝k2+16+8k﹣2k﹣1﹣2 ＝k2+6k+13 ＝（k+3）2+4＞0， ∴M＞N． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 【作业 17】（2026春•诸暨市期末）根据以下素材，解决问题． 佛朗索瓦•韦达被誉为“代数学之父”，他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系，这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”，也被称为“根与系数的关系”． 素材1 材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果b2﹣4ac≥0，设方程的两个实数根为x1，x2，则与系数a，b，c，有如下关系：x1+x2，x1x2． 素材2 材料2：已知一元二次方程x2+2x﹣4＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：因为b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣4）＝20， 所以m+n＝﹣2，mn＝﹣4， 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝（﹣3）×（﹣4）＝12． 问题解决 问题1 先判断一元二次方程2x2+x+1＝0是否存在实数根；若存在，则设实数根为x1，x2，求x1+x2的值；若不存在，请说明理由． 问题2 已知一元二次方程2x2+2026x﹣4＝0的两个实数根为m，n，求（2m2+2025m﹣6）（2n2+2027n﹣2）的值． 问题3 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0有两个实数根为x1，x2，满足x1x2＝x1+x2，求k的值． 【分析】（1）利用根的判别式进行判断即可； （2）利用根与系数的关系得到m+n，mn，再根据一元二次方程的解的意义求得2m2+2026m，2n2+2026n的值，然后将原式变形后代入数值计算即可； （3）利用根的判别式及根与系数的关系进行计算即可． 【解答】解：（1）一元二次方程2x2+x+1＝0不存在实数根，已知一元二次方程2x2+x+1＝0， ∵Δ＝12﹣4×2×1＝﹣7＜0， ∴该方程没有实数根； （2）已知一元二次方程2x2+2026x﹣4＝0的两个实数根为m，n， 则2m2+2026m﹣4＝0，2n2+2026n﹣4＝0，m+n＝﹣1013，mn＝﹣2， 那么2m2+2026m＝4，2n2+2026n＝4， （2m2+2025m﹣6）（2n2+2027n﹣2） ＝（2m2+2026m﹣m﹣6）（2n2+2026n+n﹣2） ＝（4﹣m﹣6）（4+n﹣2） ＝（﹣m﹣2）（n+2） ＝﹣mn﹣2（m+n）﹣4 ＝2+2026﹣4 ＝2024； （3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0有两个实数根为x1，x2， 则Δ＝（2k+1）2﹣4k2≥0， 即4k+1≥0， 解得：k， ∵x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2，x1x2＝x1+x2， ∴2k+1＝k2， 解得：k1＝1，k2＝1（舍去）， 即k的值为1． 【点评】本题考查根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【作业 18】（2025秋•吉州区期末）阅读材料：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0、n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则可将m、n看作是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a、b满足a+b＝3、ab＝2，则可以将a、b看作是方程x2﹣3x+2＝0的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程x2+5x+1＝0的两根x1，x2，则x1+x2＝　﹣5　 ，x1x2＝　1　 ； （2）已知实数m、n满足3m2﹣m﹣2＝0，3n2﹣n﹣2＝0，求的值． （3）已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣5、，且c＜5，求c的最大值． 【分析】（1）根据根与系数关系、，结合一元二次方程x2+5x+1＝0直接求解即可得到答案； （2）当m≠n时，m、n是方程3x2﹣x﹣2＝0的两根，利用根与系数的关系可求得m+n和mn的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当m＝n时，易得原式＝2； （3）将a、b看作是方程的两实数根；利用根的判别式的意义得到Δ，所以（5﹣c）3⩾64，解得c⩽1，从而得到c的最大值． 【解答】解：（1）由条件可知： ，； 故答案为：﹣5；1； （2）当m≠n时， ∵实数m、n满足3m2﹣m﹣2＝0，3n2﹣n﹣2＝0， ∴m、n可看作方程3x2﹣x﹣2＝0的两根， ∴，， ∴原式， 当m＝n，则原式＝1+1＝2； 综上所述，原式的值为或2； （3）∵a+b＝c﹣5，， ∵Δ，c＜5，即5﹣c＞0， ∴（5﹣c）3⩾64， ∴5﹣c⩾4，即c⩽1， ∴c的最大值为1． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，，也考查了一元二次方程根的判别式，灵活应用根与系数的关系是解决关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $