第13讲 直角三角形的性质 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

第13讲 直角三角形的性质 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 掌握直角三角形的性质与判定方法 · · 熟练运用角平分线的性质与定理 · · 掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边一半 · · 理解并能应用勾股定理及其逆定理 · · 会用勾股定理解决实际测量问题 📚 知识梳理 ☆ 1.直角三角形的性质与判定 直角三角形两锐角互余 有两个角互余的三角形是直角三角形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 判定：∠A+∠B=∠C或三角比1:2:3均为直角三角形 概念辨析例题：△ABC中∠A=50°,∠B=40°,判断三角形形状 解析：∠C=180°-50°-40°=90°，故为直角三角形 ☆ 2.角平分线 角平分线上的点到角两边距离相等 到角两边距离相等的点在角平分线上 三角形三条角平分线交于一点（内心） 外角平分线交点到三边所在直线距离相等 概念辨析例题：AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,DE=3,求DF 解析：角平分线上的点到角两边距离相等 ☆ 3.直角三角形斜边上的中线 性质：Rt△斜边中线等于斜边一半 应用：见斜边中点连中线，得等腰三角形 双直角三角形共斜边：中点到四顶点等距 常用于求角度、线段长度、证明等腰 概念辨析例题：Rt△ABC中∠C=90°,AB=10,D为AB中点,求CD 解析：CD=AB=5 ☆ 4.勾股定理及其逆定理 勾股定理：a2+b2=c2（c为斜边） 逆定理：a2+b2=c2则△为直角三角形 常见勾股数：3,4,5；6,8,10；5,12,13；8,15,17 实际应用：测量距离、折叠问题、最短路径 概念辨析例题：Rt△两直角边6,8,求斜边 解析：c==00=10 📋 知识总结表 核心概念 性质/公式 注意事项 直角三角形两锐角 互余 和为90° 斜边中线 CD=AB D为斜边中点 角平分线性质 线上点到两边等距 辅助线作垂线 角平分线判定 等距则在线上 可证点在角平分线上 勾股定理 a2+b2=c2 c为斜边 勾股逆定理 三边满足则直角 用于判定垂直 常见勾股数 3,4,5；5,12,13 扩大倍数仍成立 双直角共斜边 中点到四顶点等距 四边形中两对角为直角 ⚠️ 核心考点 【考点1】直角三角形的性质与判定（第1-11题） · · 两锐角互余是基础 · · 判定看角是否为90° · · 见高+中点想斜边中线 · · 双直角共斜边连中点 1．（2024春•金水区期中）下列说法正确的个数是（　　） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ②等角的补角相等； ③两直线平行，同旁内角相等； ④平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤相等的角是对顶角； ⑥钝角三角形三条高线所在的直线交于三角形外部一点； ⑦直角三角形只有一条高线． A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据平行线的性质，对顶角、邻补角，三角形的角平分线、中线和高，余角和补角，同位角、内错角、同旁内角的相关知识解答即可． 【解答】解：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误； ②等角的补角相等，说法正确； ③两直线平行，同旁内角互补，原说法错误； ④平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确； ⑤相等的角不一定是对顶角，原说法错误； ⑥钝角三角形三条高线所在的直线交于三角形外部一点，说法正确； ⑦直角三角形有三条高线，原说法错误； 正确的为②④⑥，共3个， 故选：B． 【点评】本题考查平行线的性质，对顶角、邻补角，三角形的角平分线、中线和高，余角和补角，同位角、内错角、同旁内角，掌握相关定理和性质是解题的关键． 2．（2025•青海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点．若∠B＝50°，则∠OCB的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得OC＝OBAB，然后利用等腰三角形的性质可得∠OCB＝∠B＝50°，即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点， ∴OC＝OBAB， ∴∠OCB＝∠B＝50°， 故选：B． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 3．（2024秋•临猗县期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝130°，点E为对角线AC的中点，连接DE，BE，BD，则∠DBE的度数为（　　） A．50° B．40° C．30° D．25° 【分析】先求出∠BCD＝50°，再由直角三角形的性质可得，由等边对等角可得∠EBC＝∠ECB，∠EDC＝∠ECD，∠EBD＝∠EDB，再由三角形外角的定义及性质可得∠BED＝100°，最后再由三角形内角和定理计算即可得解． 【解答】解：由四边形的内角和是360°，可知，∠BCD＝360°﹣∠ABC﹣∠ADC﹣∠BAD＝50°， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为对角线AC的中点， ∴， ∴∠EBC＝∠ECB，∠EDC＝∠ECD，∠EBD＝∠EDB， ∴∠BED＝∠BEA+∠DEA＝∠EBC+∠ECB+∠EDC+∠ECD＝2（∠ECB+∠ECD）＝100°， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了等边对等角、直角三角形的性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，关键是根据直角三角形的性质解答． 4．（2025秋•嵩县期末）下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝∠C，④∠A＝90°﹣∠B能确定△ABC是直角三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 【分析】根据三角形的内角和定理逐一计算判断即得答案． 【解答】解：①若∠A+∠B＝∠C，因为∠A+∠B+∠C＝180°， 所以2∠C＝180°，即∠C＝90°， 所以△ABC是直角三角形，符合题意； ②若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则， 所以△ABC是直角三角形，符合题意； ③若∠A＝∠B＝∠C，则∠A＝∠B＝∠C＝60°， 所以△ABC不是直角三角形，不符合题意； ④若∠A＝90°﹣∠B，则∠A+∠B＝90°，所以∠C＝90°， 所以△ABC是直角三角形，符合题意， 综上，能确定△ABC是直角三角形的有①②④． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的内角和和直角三角形的定义，熟练掌握三角形的内角和是180°是关键． 5．（2025秋•洪山区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D在△ABC外，∠BCD＝135°，且BD平分∠ABC．下列结论：①CD平分△ABC的外角∠ACE；②∠BAC＝2∠BDC；③AC平分∠BAD；④∠BDA＝45°；其中正确的结论是 　①②④　 （填写序号）． 【分析】①根据∠BCA＝90°得∠ACE＝90°，再根据∠BCD＝135°得∠ACD＝45°，进而得∠ACE＝∠ECD＝45°，然后根据角平分线的定义可对该结论进行判断； ②由BD平分∠ABC设∠ABD＝∠CBD＝α，的∠ABC＝2α，则∠BAC＝90°﹣2α，根据三角形外角性质得∠ECD＝∠CBD+∠BDC，则∠BDC＝45°﹣α，据此可对该结论进行判断； ③过点D作DH⊥BE于点H，DF⊥AC于点F，DK⊥BA，交BA的延长线于点K，设BD与AC相交于点E，根据角平分线性质得DK＝DH＝DF，由此得DA是∠KAC的平分线，再由∠BAC＝90°﹣2α得∠KAC＝90°+2α，则∠CAD∠KAC＝45°+α，据此可对该结论进行判断； ④根据直角三角形性质得∠AED＝∠BEC＝90°﹣α，在△AED中，由三角形内角和定理得∠BDA＝180°﹣（∠CAD+∠AED）＝45°，据此可对该结论进行判断；综上所述即可得出答案． 【解答】解：①在Rt△ABC中，∠BCA＝90°， ∴∠ACE＝180°﹣∠BCA＝90°， ∵∠BCD＝135°， ∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝45°， ∴∠ECD＝∠ACE﹣∠ACD＝90°﹣45°＝45°， ∴∠ACE＝∠ECD＝45°， ∴CD平分∠ACE， 即CD平分△ABC的外角∠ACE， 故结论①正确； ②∵BD平分∠ABC， ∴设∠ABD＝∠CBD＝α， ∴∠ABC＝2α， 在Rt△ABC中，∠BCA＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣2α， ∵∠ECD＝45°，∠ECD是△CBD的外角， ∴∠ECD＝∠CBD+∠BDC， ∴45°＝α+∠BDC， ∴∠BDC＝45°﹣α， ∴∠BAC＝2∠BDC， 故结论②正确； ③过点D作DH⊥BE于点H，DF⊥AC于点F，DK⊥BA，交BA的延长线于点K，设BD与AC相交于点P，如图所示： ∵BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE， ∴DK＝DH，DH＝DF， ∴DK＝DF， 又∵点D在KAC的内部， ∴DA是∠KAC的平分线， ∵∠BAC＝90°﹣2α， ∴∠KAC＝180°﹣∠BAC＝90°+2α， ∴∠CAD∠KAC＝45°+α， ∴∠BAC≠∠CAD， ∴AC不是∠BAD的平分线， 故结论③不正确； ④在Rt△BCF中，∠BPC＝90°﹣∠CBD＝90°﹣α， ∴∠APD＝∠BPC＝90°﹣α， ∠BDA＝180°﹣（∠CAD+∠APD）＝180°﹣（45°+α+90°﹣α）＝45°， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 【点评】此题主要考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，理解角平分线的定义和性质，熟练掌握直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 6．（2026•水磨沟区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接DE．若CD⊥DE，CE＝4，则AC的长是 　2　 ． 【分析】根据BE＝BC，CD⊥DE得BD是RtCDE斜边CE上的中线，进而得BD＝BC＝BECE＝2，则AD＝BD＝2，AB＝4，然后再由勾股定理即可求出AC的长． 【解答】解：∵BE＝BC，CD⊥DE，CE＝4， ∴BD是Rt△CDE斜边CE上的中线， ∴BD＝BC＝BECE＝2， ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴AD＝BD＝2， ∴AB＝AD+BD＝4， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，理解直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 7．（2025秋•吴兴区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，CD＝AE． （1）求证：CD＝DE； （2）若∠BAD＝40°，求∠DCE的度数． 【分析】（1）由CE是AB斜边上的中线，得到DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，从而得到，又有CD＝AE，即可证明CD＝DE； （2）根据AD是BC边上的高线，∠BAD＝40°，可求得∠B＝50°，由DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，得到∠B＝∠BDE＝50°，再根据CD＝DE，得到∠DCE＝∠DEC，最后根据∠BDE＝∠DCE+∠DEC，即可求解． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵CE是AB的中线，CD＝AE， ∴点E是AB的中点， ∴DE是Rt△ABD斜边AB上的中线， ∴， ∵CD＝AE， ∴CD＝DE； （2）解：∵AD⊥BC，∠BAD＝40°， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°＝50°， 由（1）知，DE是Rt△ABD斜边AB上的中线， ∴， ∴∠B＝∠BDE＝50°， 又∵CD＝DE， ∴∠DCE＝∠DEC， ∵∠BDE是△CDE的外角， ∴∠BDE＝∠DCE+∠DEC＝2∠DCE， ∴， ∴∠DCE的度数为25°． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质与判定及三角形的高线与中线，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．（2025秋•鄞州区期中）如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB的中点． （1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形． （2）如图2，CD与AB交于点F，若AC＝BC，若CE＝4，BF＝1，求CD的长． 【分析】（1）根据△ABC和△ABD是直角三角形，点E是AB的中点DECE＝1/2AB，DE＝1/2AB，由此可得出结论； （2）过点E作EG⊥CD于G，由（1）的结论得CG＝DG，证明△ABC是等腰直角三角形，得CE＝AE＝BE＝4，AE⊥AB，则BF＝1，EF＝3，CE＝5，再由三角形面积公式求出EG＝2.4，进而得CG＝3.2，由此可得CD的长． 【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥DB， ∴△ABC和△ABD是直角三角形， ∵点E是AB的中点， ∴CEAB，DEAB， ∴CE＝DE， ∴△CDE是△ECD是等腰三角形； （2）解：过点E作EG⊥CD于G，如图所示： ∵CE＝DE， ∴CG＝DG， ∵AC⊥BC，AC＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵E为AB的中点， ∴CE＝AE＝BE＝4，CE⊥AB， ∵BF＝1， ∴EF＝BE﹣BF＝3， 由勾股定理得：CF5， 由三角形的面积公式得：S△CEFCF•EGCE•EF， ∴EG2.4， 在Rt△CEG中，由勾股定理得：CG3.2， ∴CG＝DG＝3.2， ∴CD＝CG+DG＝6.4． 【点评】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 9．（2023秋•海陵区校级月考）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点． （1）若BC＝10，EF＝4，求△MEF的周长； （2）若△MEF是等边三角形，求∠EBF的度数． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出EM、FM，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解； （2）根据平角等于180°，求得∠FMB+∠EMC＝120°，根据直角三角形斜边上的中线求得MF＝ME＝MB＝MC，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC+∠ACB＝120°，再求得∠A＝60°，据此求解即可． 【解答】解：（1）∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点， ∴，， ∴△MEF的周长＝EF+EM+FM＝4+5+5＝14； （2）∵△MEF是等边三角形， ∴∠FME＝60°， ∴∠FMB+∠EMC＝120°， 由（1）得， ∴∠FBM＝∠BFM，∠MEC＝∠MCE， ∴2∠ABC+∠FMB+2∠ACB+EMC＝360°， ∴∠ABC+∠ACB＝120°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°， ∵BE⊥AC， ∴∠EBF＝90°﹣60°＝30°． 【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．（2024秋•宝应县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，F是AC的中点，连接DF、EF． （1）求证：DF＝EF； （2）连接DE，若AC＝8，DE＝4．判断△DEF的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据垂直定义可得：∠AEC＝∠ADC＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得：EFAC，DFAC，从而利用等量代换即可解答； （2）利用（1）的结论可得：EF＝DFAC＝4，然后利用等量代换可得DE＝EF＝DF＝4，即可解答． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠AEC＝∠ADC＝90°， ∵F是AC的中点， ∴EFAC，DFAC， ∴DF＝EF； （2）解：△DEF是等边三角形， 理由：如图： 由（1）可得：EFAC，DFAC， ∵AC＝8， ∴EF＝DF＝4， ∵DE＝4， ∴DE＝EF＝DF＝4， ∴△DEF是等边三角形． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等边三角形的判定，熟练掌握直角三角形斜边上的中线以及等边三角形的判定是解题的关键． 11．（2025秋•栖霞区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，F为CE中点，连接DF．CD＝AE． （1）已知∠BAD＝50°，求∠EDB的度数； （2）求证：DF⊥CE． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质得AE＝BE＝DE，再根据∠BAD＝50°，得∠B＝40°，即可得出答案； （2）根据CD＝AE，AE＝DE，得CD＝DE，根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论． 【解答】（1）解：∵AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线， ∴∠ADB＝90°，AE＝BE， ∴DE是Rt△ABD的中线， ∴AE＝BE＝DE， ∵∠BAD＝50°， ∴∠B＝40°， ∴∠EDB＝∠B＝40°； （2）证明：∵CD＝AE，AE＝DE， ∴CD＝DE， ∵F为CE中点， ∴DF⊥CE． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【考点2】角平分线（第12-23题） · · 见角平分作两边垂线 · · 面积法：S=·周长×r · · 内外角平分线夹角=90° · · 外角平分线交点到三边等距 12．（2025秋•宁波期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若S△ABC＝18，DE＝3，AC＝5，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】由角平分线的性质可得，DF＝DE＝3，由题意知，计算求解即可． 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝3， ∴DF＝DE＝3， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝18， ∴， ∴， 整理得，AB， 解得AB＝7． 则AB的长为7， 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 13．（2025秋•运河区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC与∠CBE的平分线相交于P，E为AB延长线上一点，BE＝BC，连接PC，CE．下列结论中，正确的有（　　） ①∠ACB＝2∠APB； ②S△PAC：S△PAB＝AC：AB； ③BP垂直平分CE． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】结合角平分线定义和三角形外角性质可证①正确；由角平分线的性质得PM＝PN＝PS，再由角平分线判定可知CP平分∠BCD，则可证S△PAC：S△PAB＝AC：AB②正确；由三线合一定理可证③正确． 【解答】解：∵AP平分∠CAB，BP平分∠CBE， ∴，， ∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，∠PBE＝∠PAB+∠APB， 即∠ACB＝∠CBE﹣∠CAB，， ∴∠ACB＝2∠APB， 故①正确，符合题意； 如图，过点P作PM⊥AE于点M，PN⊥AD于点N，PS⊥BC于点S， ∵AP平分∠CAB，BP平分∠CBE， ∴PM＝PN＝PS， ∴CP平分∠BCD， ∵， 故②正确，符合题意； ∵BE＝BC，BP平分∠CBE， ∴BP垂直平分CE， 故③正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查角平分线定义，三角形的外角性质，角平分线的性质，三角形的面积，掌握以上知识点是解题的关键． 14．（2023秋•开州区期末）如图，点D是∠ABC平分线BD上的一点，过点D作DE⊥BC，垂足为E，过点D作DF∥BC交AB于点F，∠ABC＝30°，BF＝6，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】过点D作DM⊥AB于点M，根据平行线的性质证得∠FBD＝∠FDB，进而得出BF＝DF＝6，根据直角三角形的性质求出DM，再根据角平分线的性质解答即可． 【解答】解：过点D作DM⊥AB于点M， ∵DE⊥BC，BD平分∠ABC， ∴DM＝DE，∠FBD＝∠DBC， ∵DF∥BC， ∴∠FDB＝∠DBC，∠AFD＝∠ABC， ∴∠FBD＝∠FDB， ∴BF＝DF， ∵BF＝6， ∴DF＝6， ∵∠ABC＝30°， ∴∠AFD＝30°， ∴DM＝DE＝3． 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用． 15．（2026春•丰泽区校级期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，△ABC的面积为28，DE＝4，BC＝9，则AC的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】过点D作DF⊥AC于点F，利用角平分线的性质得出DF＝DE＝4，再根据S△ABC＝S△ACD+S△BCD即可求解． 【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F， ∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DE＝4， ∴DF＝DE＝4（角平分线的性质）， ∴， ∵S△ABC＝28，BC＝9， ∴28＝2AC+18， 解得AC＝5， 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 16．（2025秋•无锡校级月考）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边上的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，则：①S△ABE＝S△BCE；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．以上说法正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①③ 【分析】根据与三角形中线有关的面积计算，角平分线的定义与性质，三角形外角性质，等腰三角形性质和判定，逐个分析判断，即可解题． 【解答】解：∵BE是AC边上的中线， ∴S△ABE＝S△BCE， 所以结论①正确； ∵CF是∠ACB的角平分线， ∴∠FCA＝∠FCB（角平分线的性质）， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ACB+∠DAC＝90°，∠FAG＝90°﹣∠DAC＝∠ACB≠∠FCB ∴∠ABC＝∠DAC， ∵∠AFG＝∠ABC+∠FCB，∠AGF＝∠DAC+∠FAG， ∴∠AFG＝∠AGF， ∴△AFG为等腰三角形， ∴AF＝AG， 所以结论②错误，结论③正确； 取特殊值，∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴△ABC为等腰三角形， ∴AB＝AC（等腰三角形的性质）， ∵CF是∠ACB的角平分线， ∴∠FCA＝∠FCB＝22.5°（角平分线的性质）， 过点F作FM⊥BC于点M， ∴AF＝FM≠FB， ∵BE是AC边上的中线， ∴AE＝CE≠AF， ∴∠FCA≠∠ABE， ∴∠ABC﹣∠ABE≠∠ACB﹣∠FCA， ∴∠FCB≠∠ECB， ∴BH≠CH， 所以结论④错误； 综上所述，说法正确的有①③，所以只有选项D正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，关键掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 17．（2025秋•朝阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，E是BD的中点，若BC＝4，AD＝1，则S△DEC＝ 　1　 ． 【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线性质得DF＝AD＝1，进而得S△BCDBC•DF＝2，再根据点E是BD的中点得DE＝BE，由此得S△BEC＝S△DEC＝1/2S△BCD＝1，据此可得出答案． 【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，如图所示： ∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，AD＝1， ∴DF＝AD＝1， 又∵BC＝4， ∴S△BCDBC•DF4×1＝2， ∵点E是BD的中点， ∴DE＝BE， ∵△DEC的边DE上的高和△BEC的边BE上的高相同， ∴S△BEC＝S△DECS△BCD＝1． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，理解等底（或同底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键． 18．（2025秋•南关区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D．若BC＝6，△BCD的面积为9，则点D到边AB的距离为　3　 ． 【分析】作DE⊥AB于点E，由BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于点E，DC⊥BC于点C，得DE＝DC，由S△BCDBC•DC6DC＝9，求得DE＝DC＝3，于是得到问题的答案． 【解答】解：作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D， ∴DC⊥BC， ∴DE＝DC， ∵S△BCDBC•DC，且S△BCD＝9，BC＝6， ∴6DC＝9， ∴DE＝DC＝3， ∴点D到边AB的距离为3， 故答案为：3． 【点评】此题重点考查角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 19．（2026春•七里河区期末）如图在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD＝4，△CDE周长为12，则AC的长是 　8　 ． 【分析】先根据CD＝4，△CDE周长为12得CE+DE＝8，再根据角平分线性质得AE＝DE，由此根据AC＝CE+AE＝CE+DE即可得出答案． 【解答】解：∵CD＝4，△CDE周长为12， ∴CD+CE+DE＝12， ∴CE+DE＝12﹣CD＝8， ∵BE是△ABC的角平分线，∠A＝90°，ED⊥BC于点D， ∴AE＝DE， ∴CE+AE＝CE+DE＝8， ∴AC＝CE+AE＝8． 即AC的长为8． 故答案为：8． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角两边的距离相等是解决问题的关键． 20．（2026春•武侯区校级期中）如图，△ABC的外角∠CBD，∠BCH的平分线BP，CP相交于点F．PE⊥AD于点E，PF⊥AH于点F． （1）求证：PE＝PF； （2）连接AP，若∠PAH＝18°，求∠BPC的度数． 【分析】（1）作PM⊥BC于点M，由角平分线的性质得PE＝PM，PF＝PM，则PE＝PF． （2）连接AP，由PE⊥AD于点E，PF⊥AH于点F，且PE＝PF，证明AP平分∠DAH，则∠PAD＝∠PAH＝18°，求得∠BAC＝36°，则∠ABC+∠ACB＝144°，由∠CBD+∠ABC+∠ACB+∠BCH＝360°，求得∠CBD+∠BCH＝216°，则∠PBC+∠PCB（∠CBD+∠BCH）＝108°，所以∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝72°． 【解答】（1）证明：作PM⊥BC于点M， ∵△ABC的外角∠CBD，∠BCH的平分线BP，CP相交于点F，PE⊥AD于点E，PF⊥AH于点F， ∴PE＝PM，PF＝PM， ∴PE＝PF． （2）解：连接AP， ∵点P在∠DAH的内部，PE⊥AD于点E，PF⊥AH于点F，且PE＝PF， ∴点P在∠DAH的平分线上， ∴AP平分∠DAH， ∴∠PAD＝∠PAH＝18°， ∴∠BAC＝2∠PAH＝36°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝144°， ∵∠CBD+∠ABC+∠ACB+∠BCH＝2×180°＝360°， ∴∠CBD+∠BCH＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝216°， ∵∠PBC∠CBD，∠PCB∠BCH， ∴∠PBC+∠PCB（∠CBD+∠BCH）＝108°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝72°， ∴∠BPC的度数是72°． 【点评】此题重点考查角平分线的性质、三角形内角和定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 21．（2025秋•兴城市月考）如图，在△ABC中，点O为△ABC三条角平分线的交点，延长BC至点D，使BD＝AB，∠D＝∠COD，∠ABC＝36°，求∠BAC的度数． 【分析】先求解∠AOC＝180°﹣（∠CAO+∠ACO）＝108°，可得∠AOB+∠BOC＝360°﹣108°＝252°，证明△AOB≌△DOB，再结合全等三角形的性质进一步求解即可． 【解答】解：∵在△ABC中，点O为△ABC三条角平分线的交点， ∴，∠BCO＝∠ACO，∠BAO＝∠CAO， ∴， ∴∠AOB+∠BOC＝360°﹣108°＝252°， 在△AOB和△DOB中， ， ∴△AOB≌△DOB（SAS）， ∴∠BAO＝∠BDO， ∵∠D＝∠COD， ∴∠BAO＝∠BDO＝∠COD，设∠BAO＝∠BDO＝∠COD＝α， ∴∠BCO＝2α， ∴∠AOB＝180°﹣18°﹣α＝162°﹣α，∠BOC＝180°﹣18°﹣2α＝162°﹣2α， ∴162°﹣α+162°﹣2α＝252°， 解得α＝24°， ∴∠BAC＝2∠BAO＝2α＝48°． 故答案为：48°． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 22．（2023秋•凉州区校级期中）如图，△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E． （1）若∠B＝40°，∠C＝76°，求∠EDA的度数． （2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求△ABC的面积． 【分析】（1）先利用三角形内角和定理可得∠BAC＝64°，然后利用角平分线的定义可得∠DAB＝32°，再根据垂直定义可得∠DEA＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）过点D作DF⊥AC，垂足为F，先利用角平分线的性质可得DE＝DF＝6，然后根据△ABC的面积＝△ACD的面积+△ADB的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝76°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAB∠BAC＝32°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEA＝90°， ∴∠ADE＝90°﹣∠DAB＝58°， ∴∠EDA的度数为58°； （2）过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝6， ∵AB＝20，AC＝16， ∴△ABC的面积＝△ACD的面积+△ADB的面积 AC•DFAB•DE 16×620×6 ＝48+60 ＝108， ∴△ABC的面积为108． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23．（2025春•河源校级月考）如图，△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACN的平分线交于点D，过点D作DE⊥BN于E． （1）如图（1），若∠BAC＝68°，求∠BDC的度数； （2）如图（2），连接AD，求证：AD平分∠CAM； （3）如图（2），若△ABC周长为20，求BE的长． 【分析】（1）根据角平分线定义设∠ABD＝∠CBD＝α，∠ACD＝∠NCD＝β，则∠ABC＝2α，∠ACN＝2β，根据三角形外角性质得∠ACN＝∠ABC+∠BAC，∠NCD＝∠CBD+∠BDC，即2β＝68°+2α，β＝α+∠BDC，由此即可得出∠BDC＝β﹣α＝34°的度数； （2）过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AM于点H，根据角平分线性质得DH＝DE，DF＝DH，进而得DH＝DF，再根据角平分线性质即可得出结论； （3）先依据“HL”判定Rt△BDH和Rt△BDE全等得BH＝BE，同理可判定Rt△CDF和Rt△CDE全等，Rt△ADF和Rt△ADH全等得CF＝CE，AF＝AH，则AC＝CE+AH，再根据△ABC的周长为20得AB+BC+AC＝20，进而得AB+BC+CE+AH＝20，即BE+BH＝20，据此即可得出BE的长． 【解答】（1）解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACN， ∴设∠ABD＝∠CBD＝α，∠ACD＝∠NCD＝β， ∴∠ABC＝2α，∠ACN＝2β， ∵∠ACN是△ABC的外角， ∴∠ACN＝∠ABC+∠BAC， ∵∠BAC＝68°， ∴2β＝68°+2α， ∴β﹣α＝34°， ∵∠NCD是△BCD的外角， ∴∠NCD＝∠CBD+∠BDC， ∴β＝α+∠BDC， ∴∠BDC＝β﹣α＝34°； （2）证明：过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AM于点H，如图2所示： ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACN，DE⊥BN于E， ∴DH＝DE，DF＝DH， ∴DH＝DF， ∴点D在∠CAM的平分线上， ∴AD平分∠CAM； （3）解：过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AM于点H，如图3所示： 在Rt△BDH和Rt△BDE中， ， ∴△BDH≌Rt△BDE（HL）， ∴BH＝BE， 同理：Rt△CDF≌Rt△CDE（HL），Rt△ADF≌Rt△ADH（HL）， ∴CF＝CE，AF＝AH， ∴CF+AF＝CE+AH， 即AC＝CE+AH， ∵△ABC的周长为20， ∴AB+BC+AC＝20， ∴AB+BC+CE+AH＝20， ∴BE+BH＝20， ∵BH＝BE， ∴BE＝BH＝10． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【考点3】直角三角形斜边上的中线（第24-33题） · · 见斜边中点立即连中线 · · 得等腰三角形后用等边对等角 · · 双直角共斜边构造等腰△CDE · · 求角度用内角和+外角定理 24．（2024春•东西湖区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠BAD＝35°，E是斜边BC的中点，则∠DAE的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】根据垂直定义可得∠ADB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠B＝55°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得AE＝BE，从而可得∠B＝∠BAE＝55°，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝35°， ∴∠B＝90°﹣∠BAD＝55°， ∵∠BAC＝90°，E是斜边BC的中点， ∴AE＝BEBC， ∴∠B＝∠BAE＝55°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝20°， 故选：B． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 25．（2026•长治一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（　　） A．25° B．30° C．45° D．60° 【分析】根据直角三角形的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴AD＝CD， ∵DC＝AC， ∴AD＝CD＝AC， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴∠B＝180°﹣90°﹣60°＝30°， 故选：B． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定和性质，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 26．（2025春•东川区期末）如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC＝90°，则AD的长为（　　） A．2cm B．3cm C．4.5cm D．5cm 【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案． 【解答】解：点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC＝90°， ∴BC＝8﹣2＝6（cm）， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键要明确：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 27．（2026•乌鲁木齐模拟）如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　） A．BD的垂直平分线过点E B．当AE＝AD时，△ABC是等边三角形 C．∠BDC＝3∠ABD D．当E为AB中点时， 【分析】连接DE，由直角三角形斜边中线的性质推出DE＝CD，得到DE＝BE，推出BD的垂直平分线经过点E，判定△AED是等边三角形，得到∠AED＝∠ADE，判定DE是△ABC的中位线，推出ED∥BC，得到∠ABC＝∠AED＝60°，∠ADE＝∠ACB＝60°，判定△ABC是等边三角形，由等腰三角形的性质，三角形的外角性质得到∠BDC＝∠A+∠ABD＝3∠ABD，由三角形中位线定理推出DE∥BC，DEBC，判定△DOE∽△BOC，得到OE：OC＝DE：BC＝1：2，得到△BOC的面积：△BCE的面积＝2：3，得到△BOC的面积：△BCE的面积＝2：3． 【解答】解：连接DE， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∵D是AC的中点， ∴DEAC， ∴DE＝CD， ∵BE＝CD， ∴DE＝BE， ∴BD的垂直平分线经过点E， 故A不符合题意； ∵∠AEC＝90°，D是AC的中点， ∴EDAC， ∴ED＝AD， ∵AE＝AD， ∴△AED是等边三角形， ∴∠AED＝∠ADE＝60°， ∵BE＝CD，AE＝CD， ∴AE＝BE， ∵D是AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴ED∥BC， ∴∠ABC＝∠AED＝60°，∠ADE＝∠ACB＝60°， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴△ABC是等边三角形， 故B不符合题意； ∵AD＝ED，DE＝BE， ∴∠A＝∠AED，∠ABD＝∠BDE， ∵∠AED＝∠ABD+∠BDE＝2∠ABD， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3∠ABD， 故C不符合题意； ∵E是AB的中点，D是AC的中点， ∴ED是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC， ∴△DOE∽△BOC， ∴OE：OC＝DE：BC＝1：2， ∴△BOC的面积：△BCE的面积＝2：3， ∵E是AB的中点， ∴△AEC的面积＝△BCE的面积， ∴△BOC的面积：△BCE的面积＝2：3， 故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，关键是掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质． 28．（2025秋•正定县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD＝20°，E是斜边AB的中点，则∠DCE的度数为　50°　 ． 【分析】由题意得，推出∠ECB＝∠B即可求解． 【解答】解：∵CD⊥AB，∠BCD＝20°， ∴∠B＝70°， ∵E是斜边AB的中点， ∴， ∴∠ECB＝∠B＝70°， ∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝50°， 故答案为：50°． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 29．（2026•阳城县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，点E在BC上，且∠CEA＝∠CDA，AE与CD交于点F，则线段CF的长为 　．　 ． 【分析】先求出AB＝10，根据直角三角形斜边中线的性质得CD＝AD＝BD＝5，证明△BEA和△BDC相似得，则BE，进而得CE，则AE，再证明△DFE和△AFD相似得，由，设CF＝7a，AF＝20a，则FD＝5﹣7a，FE，再由，得由此解出，进而可得出线段CF的长． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， 由勾股定理得：AB10， ∴点D是AB的中点， ∴CD＝AD＝BDAB＝5， ∵∠CEA＝∠CDA， ∴∠BEA＝∠BDC， 又∵∠B＝∠B， ∴△BEA∽△BDC， ∴， ∴BE， ∴CE＝BC﹣BE， 在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE， ∵∠CEA＝∠CDA，∠CFE＝∠AFD， ∴△DFE∽△AFD， ∴， 由，设CF＝7a，AF＝20a， ∴FD＝CD﹣CF＝5﹣7a，FE＝AE﹣AF， 由，得：7•FD＝20•FE， ∴， 解得：a， ∴CF＝7a． ∴线段CF的长为.． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，理解直角三角形斜边中线等于斜边的一半，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 30．（2026•高唐县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，D为斜边的中点，且BD＝4，点P，Q分别在AB和BC上，且DP＝CQ，则线段PQ的最小值为　2　 ． 【分析】过点D作DR∥PQ，并使DR＝PQ作直线CR，易得四边形PDRQ是平行四边形，分析，根据中点性质即可求得PQ的最小值． 【解答】解： 过点D作DR∥PQ，并使DR＝PQ作直线CR， 易得四边形PDRQ是平行四边形， ∴∠BQR＝∠B＝20°，PD＝QR， ∵CQ＝PD， ∴CQ＝QR， ∴∠QCR＝∠QRC＝10°， ∵PQ分别在AB、BC上活动， 点R在CR上运动，当DR⊥CR时，DR的值最小，即PQ的值最小，即PQ的值最小， ∵D是AB的中点， ∴CD＝BD＝4， ∴∠DCB＝∠B＝20°， ∴∠DCR＝30° ∴DRCD＝2， ∴PQ＝DR＝2， 即PQ的最小值为2． 【点评】本题考查斜边中线定理+垂线段最短；找准PQ等价于定点到定直线垂距是核心． 31．（2025秋•工业园区期中）如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝6，BC＝8，则△EFM的周长是 　14　 ． 【分析】由BE、CF分别是△ABC的高，证明∠BEC＝∠BFC＝90°，而EF＝6，BC＝8，且M为BC的中点，所以EM＝FMBC＝4，则EF+EM+FM＝14，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵BE、CF分别是△ABC的高， ∴BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠BEC＝∠BFC＝90°， ∵M为BC的中点，BC＝8， ∴EMBC＝4，FMBC＝4， ∵EF＝6， ∴EF+EM+FM＝6+4+4＝14， ∴△EFM的周长是14， 故答案为：14． 【点评】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推导出EMBC＝4，FMBC＝4是解题的关键． 32．（2024春•西岗区校级月考）如图：在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC边的中点，EF平分∠BED．求证：EF⊥BD． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BEAC，DEAC，从而得到BE＝DE，再根据等腰三角形三线合一的性质证明． 【解答】证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC边的中点， ∴BEAC，DEAC， ∴BE＝DE， ∵EF平分∠BED， ∴EF⊥BD． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质是解题的关键． 33．（2025秋•南京校级月考）如图，在△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于点F，点M为BC边的中点． （1）求证：MF＝ME； （2）若∠A＝70°，求∠FME的度数． 【分析】（1）依题意得△BFC和△BEC都是直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得MF＝MB＝MCBC，ME＝MB＝MCBC，由此即可得出结论； （2）在△ABC中，利用三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB＝110°，根据MF＝MB，ME＝MC得∠ABC＝∠MFB，∠ACB＝∠MEC，进而由三角形内角和定理得∠BMF＝180°﹣2∠ABC，∠EMC＝180°﹣2∠ACB，则∠BMF+∠EMC＝140°，然后根据邻补角的定义即可得出∠FME的度数． 【解答】（1）证明：∵CF⊥AB于点F，BE⊥AC于E， ∴∠BFC＝∠BEC＝90°， ∴△BFC和△BEC都是直角三角形， ∵M为BC的中点， ∴MF是Rt△BFC的斜边BC上的中线，ME是Rt△BEC斜边BC上的中线， ∴MF＝MB＝MCBC，ME＝MB＝MCBC， ∴MF＝ME； （2）解：在△ABC中，∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°， ∵MF＝MB，ME＝MC， ∴∠ABC＝∠MFB，∠ACB＝∠MEC， 在△MBF中，∠BMF＝180°﹣（∠ABC+∠MFB）＝180°﹣2∠ABC， 在△MCE中，∠EMC＝180°﹣（∠ACB+∠MEC）＝180°﹣2∠ACB， ∴∠BMF+∠EMC＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝140°， ∴∠FME＝180°﹣（∠BMF+∠CME）＝40°． 【点评】此题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 【考点4】勾股定理（第34-48题） · · 先找直角边和斜边 · · 折叠问题用方程思想 · · 逆定理先算三边平方 · · 实际问题画直角三角形建模 34．（2026春•闽清县期中）如图，数轴上点B所表示的数为0，点C所表示的数为2，DC垂直于该数轴，且DC＝1，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C． D．﹣1 【分析】根据勾股定理求得BD的长度，再根据实数与数轴的关系即可确定a的值． 【解答】解：由勾股定理得：BD， ∴BA， ∴a的值为． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 35．（2026春•路北区期末）如图，A、C两地的距离为8km，B、C两地的距离为6km，∠C＝90°，则A、B两地的距离为（　　） A． B．12km C．10km D．100km 【分析】根据勾股定理即可求解． 【解答】解：由题意得，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°， ∴， ∴A、B两地的距离为10km． 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 36．（2026春•越秀区校级期中）勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅毂成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在如图的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在△ABC中∠ACB＝90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，连接ID，若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和7，则直角边AC的长为（　　） A． B． C． D．2 【分析】证明△ABC和△DBI全等得S△ABC＝S△DBI，由此得S正方形ABDE＝S△ABC+S△DEJ+S四边形ABIJ，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，进而得S正方形ABDE＝S正方形ACFG+S正方形BCHI，再根据S正方形BCHI＝S△ABC+S四边形ABIJ+S△DEJ得S正方形ACFG＝S△DEJ﹣S△DEJ，然后根据△DEJ的面积分别为2和7得S正方形ACFG＝5，据此可得直角边AC的长． 【解答】解：∵四边形ABDE，四边形BCHI均为正方形， ∴AB＝DB，∠ABD＝90°，BC＝BI，∠CBI＝90°， ∴∠CBI＝∠ABD＝90°， ∴∠CBI﹣∠ABI＝∠ABD﹣∠ABI， ∴∠ABC＝∠DBI， 在△ABC和△DBI中， ， ∴△ABC≌△DBI（SAS）， ∴S△ABC＝S△DBI， ∴S正方形ABDE＝S△DBI+S△DEJ+S四边形ABIJ＝S△ABC+S△DEJ+S四边形ABIJ， 在△ABC中，∠ACB＝90°， 由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2， ∴四边形ABDE，四边形ACFG，四边形BCHI均为正方形， ∴S正方形ABDE＝AB2，S正方形ACFG＝AC2，S正方形BCHI＝BC2， ∴S正方形ABDE＝S正方形ACFG+S正方形BCHI， 又∵S正方形BCHI＝S△ABC+S四边形ABIJ+S△DEJ， ∴S△ABC+S△DEJ+S四边形ABIJ＝S正方形ACFG+S△ABC+S四边形ABIJ+S△DEJ， ∴S△DEJ＝S正方形ACFG+S△DEJ， ∴S正方形ACFG＝S△DEJ﹣S△DEJ， ∵△AHJ，△DEJ的面积分别为2和7， ∴S正方形ACFG＝7﹣2＝5， ∴AC2＝5， 由算术平方根得：AC， ∴直角边AC的长为． 故选：C． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握勾股定理，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 37．（2026春•渝中区校级期中）小蜀同学在学习了勾股定理之后回家查阅“勾股树”资料，发现图中正方形的个数按照一定规律出现，已知第一代勾股树中有3个正方形，第二代勾股树中有7个正方形，第三代勾股树中有15个正方形，则第六代勾股树中正方形的个数是（　　） A．15 B．31 C．63 D．127 【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数． 【解答】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个）， 第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个）， 第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个）， .....． ∴第六代勾股树中正方形的个数是1+2+22+23+24+25+26＝127（个）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了勾股定理，正确找出规律是解题的关键． 38．（2025秋•成华区期末）如图，在3×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点E，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据半径相等，得出AE＝AB＝3，再根据勾股定理即可求出DE的长，即可得出CE的长． 【解答】解：由题可知AE＝AB＝3， 在Rt△ADE中，AD＝2，AE＝3， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了在格点图中勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 39．（2026春•徐闻县期中）有一个水油，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为 　12　 尺． 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理列方程可解答． 【解答】解：水面是一个边长为10尺的正方形，芦苇高出水面1尺，如图， 则AB＝5尺， 设水深AC为x尺，则芦苇长BC为（x+1）尺， 由勾股定理得：52+x2＝（x+1）2， 解得：x＝12， ∴水的深度是12尺， 故答案为：12． 【点评】本题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理解决实际问题是解答本题的关键． 40．（2025秋•上城区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，BD是∠ABC的角平分线，则CD＝ 　3cm ． 【分析】过点D作DE⊥AB，则BC＝BE＝6，由勾股定理求出AB＝10，AE＝4，在Rt△ADE中再用勾股定理即可解答． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm， ∴AB＝10cm， 过点D作DE⊥AB， ∴∠BED＝90°， ∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠CBD＝∠EBD，CD＝DE， ∴△BCD≌△BED（AAS）， ∴BC＝BE＝6cm， ∴AE＝4cm， 在Rt△ADE中，DE2+AE2＝AD2， 即CD2+42＝（8﹣CD）2， 解得CD＝3． 故答案为：3cm． 【点评】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用勾股定理构造方程是解题关键． 41．（2026•金凤区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是边BC上的中线和高，若AE＝2，S△ABD，则AD的长为　　 ． 【分析】根据三角形面积公式求出BD，进而求出BC，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出AD． 【解答】解：∵S△ABD，AE是边BC上的高，AE＝2， ∴BD×2， ∴BD， ∵AD是边BC上的中线， ∴BC＝2， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线， 则ADBC， 故答案为：． 【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的面积计算，熟记在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 42．（2024•运城一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为AC边的中点，点E为BC边上一动点，连接ED并延长，交BA的延长线于点F，当点A恰好为BF的中点时，DE的长为 　　 ． 【分析】先取EF的中点H，连接AH，过A作AP⊥BC于点P，过点D作DQ⊥BC于点Q，得出，然后证明△ADH≌△CDE（ASA），结合勾股定理列式计算，得出，证明△DQC∽△APC，运用相似三角形的性质得出，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【解答】解：取EF的中点H，连接AH，过A作AP⊥BC于点P，过点D作DQ⊥BC于点Q， ∵A，H分别为BF、EF的中点， ∴AH为△BEF的中位线， ∴， 设AH＝a，则BE＝2a， ∴∠HAC＝∠C， ∵点D为AC边的中点， ∴AD＝CD， 又∠ADH＝∠CDE， ∴△ADH≌△CDE（ASA）， ∴CE＝AH＝a，BC＝3a， ∵BC＝6， ∴3a＝6，a＝2，CE＝2， 在Rt△APC中，AC＝5，PC＝3， ∴， ∵AP⊥BC，DQ⊥BC， ∴∠DQC＝∠APC＝90°， ∵∠C＝∠C， ∴△DQC∽△APC， 即， ∴， 则， ∴， 在Rt△DEQ中，， 即DE的长为． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识内容，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 43．（2025秋•如皋市期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为1，（m+n）2＝9，则大正方形面积为　5　 ． 【分析】由题意可知，中间小正方形的边长为m﹣n，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为m2+n2． 【解答】解：根据题意可知，中间小正方形的边长为m﹣n， ∴（m﹣n）2＝1，即m2+n2﹣2mn＝1①， ∵（m+n）2＝9， ∴m2+n2+2mn＝9②， ①+②得，2（m2+n2）＝10， ∴m2+n2＝10÷2＝5，即大正方形的面积为5， 故答案为：5． 【点评】本题考查勾股定理的证明，关键是勾股定理的熟练掌握． 44．（2025秋•渠县校级期中）如果三角形的两个内角α和β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，点D是BC上一点，连接AD，若△ABD是准互余三角形，则AD的长为 　6或15　 ． 【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AB＝20，然后分两种情况：当∠B+2∠BAD＝90°时；当2∠B+∠BAD＝90°时；分别进行计算即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16， ∴AB20， ∵△ABD是准互余三角形， ∴∠B+2∠BAD＝90°或2∠B+∠BAD＝90°； 分两种情况： 当∠B+2∠BAD＝90°时，如图： 过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAD+∠DAC＝90°， ∵∠B+2∠BAD＝90°， ∴∠DAC＝∠BAD， ∴AD平分∠BAC， ∵DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DC＝DE， ∵△ABD的面积BD•ACAB•DE， ∴12（16﹣DC）＝20DC， 解得：DC＝6， ∴AD6； 当2∠B+∠BAD＝90°时，如图： ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAD+∠DAC＝90°， ∵2∠B+∠BAD＝90°， ∴∠DAC＝∠B， ∵∠C＝∠C， ∴△CAD∽△CBA， ∵， ∴， ∴CD＝9， ∴AD15； 综上所述：AD的长为6或15， 故答案为：6或15． 【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键． 45．（2026春•于都县期末）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），A，B两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得A，B间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点C，使点C能直接到达点A和点B，在AB的延长线上取一点D，使得BD＝12米．经测量AC＝34米，CD＝16米，CB＝20米． （1）求证：∠BDC＝90°； （2）请你计算点A，B之间的距离． 【分析】（1）利用勾股定理逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【解答】（1）证明：∵BD＝12米，CD＝16米，CB＝20米， ∴BD2+CD2＝122+162＝144+256＝400，CB2＝202＝400， ∴BD2+CD2＝CB2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°； （2）解：由（1）得△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°， 又∵AC＝34米， ∴米， ∴AB＝AD﹣BD＝18米， 答：点A、B之间的距离为18米． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握该知识点是关键． 46．（2026春•苍梧县期中）在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝4，DA＝3，求这个四边形的面积． 【分析】根据勾股定理得到AC2＝52，证明△ACD是直角三角形，求出Rt△ABC和Rt△ACD的面积，相加即可． 【解答】解：∵AC⊥BC，即∠ACB＝90°， ∴在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2＝132﹣122＝52， 在△ACD中，∵CD2+AD2＝42+32＝52＝AC2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°， ∵Rt△ABC的面积为：，Rt△ACD的面积为：， ∴四边形ABCD的面积为30+6＝36． 【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 47．（2026春•顺城区校级期末）.某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形状，经过同学共同努力，测得AB＝4m，AD＝3m，BC＝12m，CD＝13m，∠A＝90°． （1）求B、D之间的距离； （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由勾股定理得，即可求解； （2）可得BD2+BC2＝CD2，由勾股定理的逆定理得△BCD是直角三角形，求四边形的面积，即可求解； 【解答】解：（1）连接BD， ∵∠A＝90°， ∴ ＝5（m）， 故B、D之间的距离为5m； （2）∵52+122＝132， ∴BD2+BC2＝CD2， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠CBD＝90°， ∴四边形ABCD的面积AB•ADBC•BD 4×312×5 ＝36（m2）． 【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 48．（2025秋•三水区期中）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，则a2+b2＝c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得△ABC，求AB边上的高？ 【应用拓展】 （3）如图4，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC；由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.4千米，求新路CH比原路CA短多少千米？ 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）计算出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式，即可求得AB边上的高； （3）设CA＝x千米，则AH＝（x﹣0.4）千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果． 【解答】（1）证明：梯形ABCD的面积为， 也可以表示为， ∴， 即a2+b2＝c2； （2）解：设AB边上的高为h， 则，AB2， ∴S△ABC6， ∴h， 即AB边上的高是； （3）解：设CA＝AB＝x， ∵BH＝0.4， ∴AH＝x﹣0.4， 在Rt△ACH中，CA2＝CH^{2}+AH^{2}$， 即x2＝0.82+（x﹣0.4）2， 解得x＝1， 即CA＝1， ∴CA﹣CH＝1﹣0.8＝0.2（千米）， 答：新路CH比原路CA短0.2千米． 【点评】本题主要考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握勾股定理的证明与应用是关键． 💯 课后巩固 复习建议 · · 直角三角形两锐角互余是所有角度计算的基础 · · 见斜边中点必连中线，立刻得到等腰三角形 · · 角平分线题一律向两边作垂线，用距离相等 · · 勾股定理先判斜边，未知边设x列方程 · · 双直角共斜边是常见模型，连中点得等腰 【作业 1】（2023秋•桐柏县期末）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝3，则AC的长是（　　） A．3． B．4 C．5 D．6 【分析】连接AF．由AB＝AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得EFAC，即AC＝2EF＝4． 【解答】解：如图，连接AF． ∵AB＝AD，F是BD的中点， ∴AF⊥BD． 在Rt△ACF中， ∵∠AFC＝90°，E是AC的中点，EF＝3， ∴AC＝2EF＝6． 故选：D． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD是解题的关键． 【作业 2】（2026春•文登区期末）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．两条直角边分别相等 B．斜边和一个锐角分别相等 C．两个锐角分别相等 D．斜边和一条直角边分别相等 【分析】根据全等三角形的判定定理SAS，AAS，HL，ASA逐项分析即可求解． 【解答】解：A、两条直角边分别相等的两个直角三角形，根据SAS可证明这两个直角三角形是全等三角形，故A选项不符合题意； B、斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形，根据AAS可证明这两个直角三角形是全等三角形，故B选项不符合题意； C、两个锐角分别相等的两个直角三角形，不能得出这两个直角三角形是全等三角形，故C选项符合题意； D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形，根据HL可证明这两个直角三角形是全等三角形，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定定理解答． 【作业 3】（2026•德州一模）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝13，BD＝10，CD＝11，E，F分别是AC，BD的中点，则EF的长为（　　） A．12 B．10 C．13 D．11.5 【分析】连接AF，根据等腰三角形的性质得到∠AFD＝90°，根据勾股定理求得AF，AC，进而根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到答案． 【解答】解：连接AF， ∵AB＝AD＝13，F是BD中点，BD＝10， ∴∠AFD＝90°，BF＝FD＝5， ∴AF， ∵FC＝FD+CD，CD＝11， ∴FC＝5+11＝16， ∴AC20， ∵E是AC中点， ∴在RtAFC中，EFAC＝10． 故选：B． 【点评】本题考查等腰三角形的性质及直角三角形斜边上的中线，解题关键是作辅助线． 【作业 4】（2026春•鲤城区校级期末）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为3km，则M，C两点间的距离为 　　 km． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得． 【解答】解：∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， 又∵M为AB的中点， ∴． 故答案为：． 【点评】此题考查直角三角形的性质，解题关键点是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键． 【作业 5】（2025秋•长宁区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD是边BC上的中线．点E在线段CD上，AB＝EB，如果∠B＝40°，那么∠DAE的度数为　30°　 ． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到ADBC＝DB，根据等腰三角形的性质求出∠DAB，再根据三角形内角和定理求出∠BAE，计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD是边BC上的中线， 则ADBC＝DB， ∴∠DAB＝∠B＝40°， ∵AB＝EB，∠B＝40°， ∴∠BAE＝∠BEA（180°﹣40°）＝70°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠DAB＝70°﹣40°＝30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 【作业 6】（2026•天宁区校级一模）如图，等腰直角△ABC的两个内角角平分线AP、BP交于点P，则∠APB＝　135　 度． 【分析】由直角三角形的性质得到∠BAC+∠ABC＝90°，由角平分线的定义求出∠BAP+∠ABP＝45°，由三角形内角和定理即可求出∠APB的度数． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∠BAC+∠ABC＝90°， ∵AP和BP分别平分∠BAC和∠ABC， ∴∠BAP∠BAC，∠ABP∠ABC， ∴∠BAP+∠ABP（∠BAC+∠ABC）＝45°， ∴∠APB＝180°﹣（∠BAP+∠ABP）＝135°． 故答案为：135． 【点评】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，关键是掌握直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和是180度． 【作业 7】（2025春•崇明区期末）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，，若∠B＝35°，则∠EPF的度数为 　110°　 ． 【分析】利用三角形外角性质求出∠EAF＝∠B+∠AFB＝125°，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到PE＝AP＝PC＝PF，证得∠AEP＝∠EAP，∠AFP＝∠FAP，求出∠AEP+∠EAF+∠AFP＝250°，利用四边形内角和求出∠EPF的度数． 【解答】解：由条件可知∠AFB＝∠AFC＝90°， ∵∠B＝35°， ∴∠EAF＝∠B+∠AFB＝125°， 由条件可知∠AEC＝∠AFC＝90°， 由条件可知P为AC的中点， ∴PE＝AP＝PC＝PF， ∴∠AEP＝∠EAP，∠AFP＝∠FAP， ∴∠AEP+∠EAF+∠AFP＝250°， ∴∠EPF＝360°﹣250°＝110°， 故答案为：110°． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，直角三角形斜边中线的性质．熟练掌握以上知识点是关键． 【作业 8】（2025秋•上城区校级期中）如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB的中点． （1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形； （2）如图2，CD与AB交于点F，若AC＝BC，CE＝8，BF＝2，求CD的长． 【分析】（1）依题意得△ABC和△ABD都是直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得CEAB，DEAB，据此即可得出结论； （2）过点E作EH⊥CD于点H，依题意得△ABC是等腰直角三角形，进而得CE＝AE＝BE＝8，AE⊥AB，EF＝6，在Rt△EFC中，由勾股定理得CF＝10，由三角形的面积公式得EH，在Rt△ECH中，由勾股定理得CH，由（1）可知△ECD是等腰三角形，则DH＝CH，据此即可得出CD的长． 【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥DB， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴△ABC和△ABD都是直角三角形， ∵点E为AB的中点， ∴CE是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CEAB， 又∵DE是Rt△ABD的斜边AB上的中线， ∴DEAB， ∴CE＝DE， ∴△ECD是等腰三角形； （2）解：过点E作EH⊥CD于点H，如图所示： ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴AC＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵点E为AB的中点，且CE＝8， ∴CE＝AE＝BE＝8，AE⊥AB， ∴∠CEB＝90°， ∵CD与AB交于点F，且BF＝2， ∴EF＝BE﹣BF＝6， 在Rt△EFC中，由勾股定理得：CF10， ∵EH⊥CD于点H， ∴由三角形的面积公式得：S△EFCCF•EHCE•EF， ∴EH， 在Rt△ECH中，由勾股定理得：CH， 由（1）可知：△ECD是等腰三角形， ∴DH＝CH， ∴CD＝DH+CH， ∴CD的长为． 【点评】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定与性质，灵活利用三角形的面积公式及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 【作业 9】（2026春•渠县校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F． （1）若∠CAD＝40°，求∠AEF的度数； （2）求证：∠AEF＝∠AFE． 【分析】（1）求出∠BAD的度数，再由垂线的定义和三角形内角和定理求出∠ABD的度数，接着根据角平分线的定义求出∠ABE的度数即可得到答案； （2）由角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，由直角三角形两锐角互余得到∠CBE+∠BFD＝90°，∠ABE+∠AEF＝90°，则可证明∠AEF＝∠BFD，再由∠AFE＝∠BFD，即可证明∠AEF＝∠AFE． 【解答】解：（1）解：∵∠BAC＝90°，∠CAD＝40°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝90°﹣40°＝50°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝40°， ∵BE平分∠ABC， ∴， ∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝70°，即∠AEF＝70°； （2）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠CBE+∠BFD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABE+∠AEF＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠AEF＝∠AFE． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟知直角三角形的两个锐角互补是解题的关键． 【作业 10】（2025秋•昌邑区期中）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝62°，CE平分∠ACB． （1）求∠ACE的度数； （2）若CD⊥AB于点D，∠CDF＝74°，证明：△CFD是直角三角形． 【分析】（1）先在△ABC中利用三角形内角和定理求出∠ACB＝88°，再根据角平分线的定义即可得出∠ACE的度数； （2）根据CD⊥AB于点D得∠CDB＝90°，进而得∠BCD＝28°，再根据∠BCE＝44°得∠DCF＝16°，在△CFD中，由三角形内角和定理可求出∠CFD＝90°，然后根据直角三角形的定义即可得出结论． 【解答】（1）解：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝62°， ∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（30°+62°）＝88°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE∠ACB＝44°； （2）证明：∵CD⊥AB于点D， ∴∠CDB＝90°， 在Rt△BCD中，∠B＝62°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣62°＝28°， 由（1）可知：∠BCE＝44°， ∴∠DCF＝∠BCE﹣∠BCD＝44°﹣28°＝16°， 在△CFD中，∠CDF＝74°， ∴∠CFD＝180°﹣（∠DCF+∠DCF）＝180°﹣（16°+74°）＝90°， ∴△CFD是直角三角形． 【点评】此题主要考查了角平分线的定义，直角三角形的定义和性质，理解平分线的定义，直角三角形的定义，熟练掌握直角三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 【作业 11】如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，CD与AB交点为F． （1）求证：△ECD是等腰三角形； （2）若AD＝BD，EF＝3，DE＝4，求CD的长． 【分析】（1）连接EC，根据直角三角形斜边上中线的性质得ECAB，EDAB，则EC＝ED，由此即可得出结论； （2）过点E作EH⊥CD于点H，根据等腰三角形的性质得DE⊥AB，在Rt△DEF中，由勾股定理可求出DF＝5，进而再EH，则DH，再根据（1）的结论得CH＝DH，由此可得CD的长． 【解答】（1）证明：连接EC，如图1所示： ∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴△ACB和△ADB均为直角三角形， ∵点E为AB的中点， ∴ECAB，EDAB， ∴EC＝ED， ∴△ECD是等腰三角形； （2）解：过点E作EH⊥CD于点H，如图2所示， ∵AD＝BD，点E为AB的中点， ∴DE⊥AB， 在Rt△DEF中，EF＝3，DE＝4， 由勾股定理得：DF5， 根据三角形的面积公式得：S△DEFDF•EHDE•EF， ∴EH， 在Rt△BEH中，由勾股定理得：DH， 由（1）可知：△ECD是等腰三角形， 又∵EH⊥CD， ∴CH＝DH， ∴CD＝CH+DH． 【点评】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【作业 12】（2024秋•江阴市期中）如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE． （2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想． （3）当∠BAC变为钝角时，如图②，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）连接DM，ME，根据直角三角形的性质得到DMBC，MEBC，得到DM＝ME，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论； （2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可得到结论； （3）仿照（2）的计算过程解答即可得到结论． 【解答】（1）证明：如图（1），连接DM，ME， ∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点， ∴DMBC，MEBC， ∴DM＝ME， 又∵N为DE中点， ∴MN⊥DE； （2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB） ＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB） ＝360°﹣2（180°﹣∠A） ＝2∠A， ∴∠DME＝180°﹣2∠A； （3）结论（1）成立，结论（2）不成立， 理由如下：连接DM，ME， 在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC， ∵DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC ＝2（180°﹣∠BAC） ＝360°﹣2∠BAC， ∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC） ＝2∠BAC﹣180°． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 直角三角形的性质 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 掌握直角三角形的性质与判定方法 · · 熟练运用角平分线的性质与定理 · · 掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边一半 · · 理解并能应用勾股定理及其逆定理 · · 会用勾股定理解决实际测量问题 📚 知识梳理 ☆ 1.直角三角形的性质与判定 直角三角形两锐角互余 有两个角互余的三角形是直角三角形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 判定：∠A+∠B=∠C或三角比1:2:3均为直角三角形 概念辨析例题：△ABC中∠A=50°,∠B=40°,判断三角形形状 解析：∠C=180°-50°-40°=90°，故为直角三角形 ☆ 2.角平分线 角平分线上的点到角两边距离相等 到角两边距离相等的点在角平分线上 三角形三条角平分线交于一点（内心） 外角平分线交点到三边所在直线距离相等 概念辨析例题：AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,DE=3,求DF 解析：角平分线上的点到角两边距离相等 ☆ 3.直角三角形斜边上的中线 性质：Rt△斜边中线等于斜边一半 应用：见斜边中点连中线，得等腰三角形 双直角三角形共斜边：中点到四顶点等距 常用于求角度、线段长度、证明等腰 概念辨析例题：Rt△ABC中∠C=90°,AB=10,D为AB中点,求CD 解析：CD=AB=5 ☆ 4.勾股定理及其逆定理 勾股定理：a2+b2=c2（c为斜边） 逆定理：a2+b2=c2则△为直角三角形 常见勾股数：3,4,5；6,8,10；5,12,13；8,15,17 实际应用：测量距离、折叠问题、最短路径 概念辨析例题：Rt△两直角边6,8,求斜边 解析：c==00=10 📋 知识总结表 核心概念 性质/公式 注意事项 直角三角形两锐角 互余 和为90° 斜边中线 CD=AB D为斜边中点 角平分线性质 线上点到两边等距 辅助线作垂线 角平分线判定 等距则在线上 可证点在角平分线上 勾股定理 a2+b2=c2 c为斜边 勾股逆定理 三边满足则直角 用于判定垂直 常见勾股数 3,4,5；5,12,13 扩大倍数仍成立 双直角共斜边 中点到四顶点等距 四边形中两对角为直角 ⚠️ 核心考点 【考点1】直角三角形的性质与判定（第1-11题） · · 两锐角互余是基础 · · 判定看角是否为90° · · 见高+中点想斜边中线 · · 双直角共斜边连中点 1．（2024春•金水区期中）下列说法正确的个数是（　　） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ②等角的补角相等； ③两直线平行，同旁内角相等； ④平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤相等的角是对顶角； ⑥钝角三角形三条高线所在的直线交于三角形外部一点； ⑦直角三角形只有一条高线． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025•青海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点．若∠B＝50°，则∠OCB的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 3．（2024秋•临猗县期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝130°，点E为对角线AC的中点，连接DE，BE，BD，则∠DBE的度数为（　　） A．50° B．40° C．30° D．25° 4．（2025秋•嵩县期末）下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝∠C，④∠A＝90°﹣∠B能确定△ABC是直角三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 5．（2025秋•洪山区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D在△ABC外，∠BCD＝135°，且BD平分∠ABC．下列结论：①CD平分△ABC的外角∠ACE；②∠BAC＝2∠BDC；③AC平分∠BAD；④∠BDA＝45°；其中正确的结论是 ________ （填写序号）． 6．（2026•水磨沟区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接DE．若CD⊥DE，CE＝4，则AC的长是 ________________ ． 7．（2025秋•吴兴区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，CD＝AE． （1）求证：CD＝DE； （2）若∠BAD＝40°，求∠DCE的度数． 8．（2025秋•鄞州区期中）如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB的中点． （1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形． （2）如图2，CD与AB交于点F，若AC＝BC，若CE＝4，BF＝1，求CD的长． 9．（2023秋•海陵区校级月考）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点． （1）若BC＝10，EF＝4，求△MEF的周长； （2）若△MEF是等边三角形，求∠EBF的度数． 10．（2024秋•宝应县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，F是AC的中点，连接DF、EF． （1）求证：DF＝EF； （2）连接DE，若AC＝8，DE＝4．判断△DEF的形状，并说明理由． 11．（2025秋•栖霞区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，F为CE中点，连接DF．CD＝AE． （1）已知∠BAD＝50°，求∠EDB的度数； （2）求证：DF⊥CE． 【考点2】角平分线（第12-23题） · · 见角平分作两边垂线 · · 面积法：S=·周长×r · · 内外角平分线夹角=90° · · 外角平分线交点到三边等距 12．（2025秋•宁波期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若S△ABC＝18，DE＝3，AC＝5，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 13．（2025秋•运河区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC与∠CBE的平分线相交于P，E为AB延长线上一点，BE＝BC，连接PC，CE．下列结论中，正确的有（　　） ①∠ACB＝2∠APB； ②S△PAC：S△PAB＝AC：AB； ③BP垂直平分CE． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．（2023秋•开州区期末）如图，点D是∠ABC平分线BD上的一点，过点D作DE⊥BC，垂足为E，过点D作DF∥BC交AB于点F，∠ABC＝30°，BF＝6，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 15．（2026春•丰泽区校级期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，△ABC的面积为28，DE＝4，BC＝9，则AC的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 16．（2025秋•无锡校级月考）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边上的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，则：①S△ABE＝S△BCE；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．以上说法正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①③ 17．（2025秋•朝阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，E是BD的中点，若BC＝4，AD＝1，则S△DEC＝ _____ ． 18．（2025秋•南关区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D．若BC＝6，△BCD的面积为9，则点D到边AB的距离为_____ ． 19．（2026春•七里河区期末）如图在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD＝4，△CDE周长为12，则AC的长是 _____ ． 20．（2026春•武侯区校级期中）如图，△ABC的外角∠CBD，∠BCH的平分线BP，CP相交于点F．PE⊥AD于点E，PF⊥AH于点F． （1）求证：PE＝PF； （2）连接AP，若∠PAH＝18°，求∠BPC的度数． 21．（2025秋•兴城市月考）如图，在△ABC中，点O为△ABC三条角平分线的交点，延长BC至点D，使BD＝AB，∠D＝∠COD，∠ABC＝36°，求∠BAC的度数． 22．（2023秋•凉州区校级期中）如图，△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E． （1）若∠B＝40°，∠C＝76°，求∠EDA的度数． （2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求△ABC的面积． 23．（2025春•河源校级月考）如图，△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACN的平分线交于点D，过点D作DE⊥BN于E． （1）如图（1），若∠BAC＝68°，求∠BDC的度数； （2）如图（2），连接AD，求证：AD平分∠CAM； （3）如图（2），若△ABC周长为20，求BE的长． 【考点3】直角三角形斜边上的中线（第24-33题） · · 见斜边中点立即连中线 · · 得等腰三角形后用等边对等角 · · 双直角共斜边构造等腰△CDE · · 求角度用内角和+外角定理 24．（2024春•东西湖区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠BAD＝35°，E是斜边BC的中点，则∠DAE的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 25．（2026•长治一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（　　） A．25° B．30° C．45° D．60° 26．（2025春•东川区期末）如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC＝90°，则AD的长为（　　） A．2cm B．3cm C．4.5cm D．5cm 27．（2026•乌鲁木齐模拟）如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　） A．BD的垂直平分线过点E B．当AE＝AD时，△ABC是等边三角形 C．∠BDC＝3∠ABD D．当E为AB中点时， 28．（2025秋•正定县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD＝20°，E是斜边AB的中点，则∠DCE的度数为________ ． 29．（2026•阳城县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，点E在BC上，且∠CEA＝∠CDA，AE与CD交于点F，则线段CF的长为 ____________________ ． 30．（2026•高唐县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，D为斜边的中点，且BD＝4，点P，Q分别在AB和BC上，且DP＝CQ，则线段PQ的最小值为_____ ． 31．（2025秋•工业园区期中）如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝6，BC＝8，则△EFM的周长是 _______ ． 32．（2024春•西岗区校级月考）如图：在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC边的中点，EF平分∠BED．求证：EF⊥BD． 33．（2025秋•南京校级月考）如图，在△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于点F，点M为BC边的中点． （1）求证：MF＝ME； （2）若∠A＝70°，求∠FME的度数． 【考点4】勾股定理（第34-48题） · · 先找直角边和斜边 · · 折叠问题用方程思想 · · 逆定理先算三边平方 · · 实际问题画直角三角形建模 34．（2026春•闽清县期中）如图，数轴上点B所表示的数为0，点C所表示的数为2，DC垂直于该数轴，且DC＝1，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C． D．﹣1 35．（2026春•路北区期末）如图，A、C两地的距离为8km，B、C两地的距离为6km，∠C＝90°，则A、B两地的距离为（　　） A． B．12km C．10km D．100km 36．（2026春•越秀区校级期中）勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅毂成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在如图的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在△ABC中∠ACB＝90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，连接ID，若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和7，则直角边AC的长为（　　） A． B． C． D．2 37．（2026春•渝中区校级期中）小蜀同学在学习了勾股定理之后回家查阅“勾股树”资料，发现图中正方形的个数按照一定规律出现，已知第一代勾股树中有3个正方形，第二代勾股树中有7个正方形，第三代勾股树中有15个正方形，则第六代勾股树中正方形的个数是（　　） A．15 B．31 C．63 D．127 38．（2025秋•成华区期末）如图，在3×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点E，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 39．（2026春•徐闻县期中）有一个水油，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为 _______ 尺． 40．（2025秋•上城区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，BD是∠ABC的角平分线，则CD＝ ________ ． 41．（2026•金凤区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是边BC上的中线和高，若AE＝2，S△ABD，则AD的长为_______________ ． 42．（2024•运城一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为AC边的中点，点E为BC边上一动点，连接ED并延长，交BA的延长线于点F，当点A恰好为BF的中点时，DE的长为 ____________________ ． 43．（2025秋•如皋市期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为1，（m+n）2＝9，则大正方形面积为_____ ． 44．（2025秋•渠县校级期中）如果三角形的两个内角α和β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，点D是BC上一点，连接AD，若△ABD是准互余三角形，则AD的长为 ___________________ ． 45．（2026春•于都县期末）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），A，B两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得A，B间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点C，使点C能直接到达点A和点B，在AB的延长线上取一点D，使得BD＝12米．经测量AC＝34米，CD＝16米，CB＝20米． （1）求证：∠BDC＝90°； （2）请你计算点A，B之间的距离． 46．（2026春•苍梧县期中）在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝4，DA＝3，求这个四边形的面积． 47．（2026春•顺城区校级期末）.某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形状，经过同学共同努力，测得AB＝4m，AD＝3m，BC＝12m，CD＝13m，∠A＝90°． （1）求B、D之间的距离； （2）求四边形ABCD的面积． 48．（2025秋•三水区期中）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，则a2+b2＝c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得△ABC，求AB边上的高？ 【应用拓展】 （3）如图4，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC；由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.4千米，求新路CH比原路CA短多少千米？ 💯 课后巩固 复习建议 · · 直角三角形两锐角互余是所有角度计算的基础 · · 见斜边中点必连中线，立刻得到等腰三角形 · · 角平分线题一律向两边作垂线，用距离相等 · · 勾股定理先判斜边，未知边设x列方程 · · 双直角共斜边是常见模型，连中点得等腰 【作业 1】（2023秋•桐柏县期末）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝3，则AC的长是（　　） A．3． B．4 C．5 D．6 【作业 2】（2026春•文登区期末）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．两条直角边分别相等 B．斜边和一个锐角分别相等 C．两个锐角分别相等 D．斜边和一条直角边分别相等 【作业 3】（2026•德州一模）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝13，BD＝10，CD＝11，E，F分别是AC，BD的中点，则EF的长为（　　） A．12 B．10 C．13 D．11.5 【作业 4】（2026春•鲤城区校级期末）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为3km，则M，C两点间的距离为 __________________ km． 【作业 5】（2025秋•长宁区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD是边BC上的中线．点E在线段CD上，AB＝EB，如果∠B＝40°，那么∠DAE的度数为________ ． 【作业 6】（2026•天宁区校级一模）如图，等腰直角△ABC的两个内角角平分线AP、BP交于点P，则∠APB＝________ 度． 【作业 7】（2025春•崇明区期末）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，，若∠B＝35°，则∠EPF的度数为 _________ ． 【作业 8】（2025秋•上城区校级期中）如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB的中点． （1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形； （2）如图2，CD与AB交于点F，若AC＝BC，CE＝8，BF＝2，求CD的长． 【作业 9】（2026春•渠县校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F． （1）若∠CAD＝40°，求∠AEF的度数； （2）求证：∠AEF＝∠AFE． 【作业 10】（2025秋•昌邑区期中）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝62°，CE平分∠ACB． （1）求∠ACE的度数； （2）若CD⊥AB于点D，∠CDF＝74°，证明：△CFD是直角三角形． 【作业 11】如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，CD与AB交点为F． （1）求证：△ECD是等腰三角形； （2）若AD＝BD，EF＝3，DE＝4，求CD的长． 【作业 12】（2024秋•江阴市期中）如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE． （2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想． （3）当∠BAC变为钝角时，如图②，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $