重难点专题 二次函数的实际应用（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

重难点专题 二次函数的实际应用 重难点一 销售利润最值问题（高频解答题） 主要方法：根据涨价/降价，销量随之变化，构建二次函数解析式；会表示单件利润、销售量；注意自变量范围：销量不为负数；判断顶点是否可取，再求最大利润.顶点横坐标在自变量取值范围内：顶点处取得最大（小）值；顶点横坐标不在取值范围：函数在区间端点取得最值.利润模型：总利润 = 单件利润 × 销售数量. 建模步骤：审题→设变量→列函数关系式→确定自变量取值范围→利用二次函数性质求最值/求解→检验实际意义→写答案. 特别注意：不能直接套顶点算最值，忽略自变量实际限制，结果不符合现实. 1.中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 2.将进货单价为50元的某种商品按零售价每个60元出售时，每周能卖出100个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少2个，但物价部门规定，最高售价不能高于成本价的，则每周获得的最大利润为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3.某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜，以3元/千克售出，每天可售出200千克，经调查，售价每降元，每天多卖40千克，另外，每天的其它固定成本24元．当定价为 元能获得最大利润，最大利润是 元． 4.超市购进一批单价为40元的生活用品，如果按每件50元出售，那么每天可销售200件，经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件，则超市销售此生活用品每天可获得最大销售利润为 元． 5.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件获利40元，调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．若设每件衬衫降价x元，商场平均每天赢利y元． (1)写出y与x之间的函数关系式，并化成一般式； (2)若商场平均每天赢利要达到1200元，且让顾客得到实惠，则每件衬衫应降价多少元？ 6.昆明西山坐稳了“滇中第一佳境”的名头，也成为云南旅游的一张亮眼名片．“网红打卡地”西山风景区在2025年10月1日国庆节，共接待游客达2万人次，预计到10月3日这3天期间将接待游客万人次． (1)求西山风景区2025年10月1日至2025年10月3日这3天时间内接待游客人次的平均增长率； (2)西山风景区“茶马花街”一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为3元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价13元，则平均每天可销售400杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售100杯，2023年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，店家每天卖此款奶茶的利润最大，最大利润是多少? 7.杭州亚运会举办期间，亚运会吉祥物“琮琮、宸宸和莲莲”套装深受广大人民的喜爱．某特许零售店“琮琮、宸宸和莲莲”套装纪念品的销售8益火爆．该零售店销售该套装纪念品一段时间后，发现该套装纪念品的每天销售量y（单位：套）和每套纪念品的售价x（单位：元）满足一次函数关系的图像如图所示，其中． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若该套装纪念品的进价为每套40元，该特许零售店如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 8.今年中秋节前夕，新世纪超市从某厂家分两次购进蛋黄月饼、甜蜜月饼，两次进货时，两种月饼的进价不变．第一次购进蛋黄月饼60袋和甜蜜月饼袋，总费用为元；第二次购进蛋黄月饼袋和甜安月饼袋，总费用为元． (1)求蛋黄月饼、甜蜜月饼每袋的进价各是多少元？ (2)当蛋黄月饼销售价为每袋70元时；每天可售出20袋，为了促销，新世纪超市决定对蛋黄月饼进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄月饼每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄月饼所获得的利润为元． (3)在（2）的条件下，若蛋黄月饼每天销售价为多少元时，每天售出蛋黄月饼所获得的利润最大．最大利润是多少？ 9.小明投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于进价，而每件的利润不高于成本价的． (1)设小明每月获得利润为（元），求每月获得利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得1500元的利润？ (3)当销售单价定为多少元时，每月可获行最大利润？ 重难点二 几何图形面积最值问题 主要方法：在围栏、篱笆、分割图形等情境中，利用周长条件表示边长，进行求出面积，构建二次函数解析式，进一步根据函数式求面积的最值，或根据面积的最值求边长.特别注意：长度限制下的自变量范围. 1.如图，这是用长度为的篱笆围成的矩形菜地，则所围成矩形的最大面积是( )． A． B． C． D．    2.如图，在中，，，．动点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，动点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动．若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　） A． B． C． D． 3.如图，矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为连接，以为一边作正方形，连接、，则面积最小值为（　　　） A． B． C． D． 4.如图，四边形中的两条对角线，互相垂直，，当长为 时，四边形的面积最大．    5.如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园，其中一边靠墙，其余的三边，，用总长为40米的栅栏围成．设矩形的边米，面积为S平方米．    （1）活动区面积S与之间的关系式为 ； （2）菜园最大面积是 平方米． 6.如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 时，四边形，的面积最小，其最小值是 ． 7.如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动，若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动，图是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象点为图象的最高点，则平行四边形的面积为 ．    8.如图，某养殖户用长的篱笆围成一个长方形养殖园，中间的两条篱笆隔离栏将这个长方形养殖园分割成三个较小的长方形，围成养殖园的最大面积是多少？ 9.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙MN最长可利用26米），现在已备足可以砌50米长的墙的材料，若设米： (1)若矩形花园的面积为，求x． (2)若平行于墙的一边长不小于20米，这个矩形花园有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由． 10.如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t． (1)______，______，______； (2)t为何值时的面积为？ (3)t为何值时的面积最大？ 11.一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行．已知水杯底部AB宽为4cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图2，当倾斜角时，杯中水面CE平行水平桌面AF．求此时水面CE的值是多少cm？ 重难点三 抛物线实物模型（拱桥、隧道、投篮） 主要方法：合理建立平面直角坐标系，挖掘图像上隐藏点坐标，求解析式.由函数解析式根据具体实际情况进行求解. 特别注意：挖掘隐含条件正确建立直角坐标系是关键. 1.如图，从正面看碗的轮廓近似一条抛物线，以顶点为原点建立平面直角坐标系，若，，则此抛物线的解析式为（    ）      A． B． C． D． 2.如图是一座拱桥的轮廓，桥下方的曲线是抛物线的一部分；跨度，抛物线顶点到的距离是，相邻支柱间，则支柱的长度为（    ） A． B． C． D． 3.如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度（单位：m）与运行的水平距离（单位：m）满足关系式，已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．下列判断正确的是（    ） A．球运行的最大高度是 B．球不会过球网 C．球会过球网但不会出界 D．球会过球网但会出界 4.某游乐场的过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，其运行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系（）．如图，该抛物线经过点A、B、C，可以推断，当水平距离x可能为（ ）时，竖直高度y有最小值 A．5 B．6 C．7 D．9 5.某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚如图所示，大棚跨度为6米，最高点C到地面的高度为2.5米，若菜农身高为1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚里左右活动的范围是 米．    6.（2026年甘肃省武威市中考）如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 7.如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降1米时，水面宽度 米． 8.在一次足球训练中，小华从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．    (1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为，请通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 9.如图，某运动员站在点O处练习发排球，将球从O点正上的A点处发出，把球看成点，其运行的路线近似看作是抛物线的一部分．已知球与O点的水平距离为时，达到最高，球场的边界距O点的水平距离为． (1)请确定排球运行的高度与运行的水平距离满足的函数关系式； (2)请判断排球第一次落地是否出界？请通过计算说明理由． 10.鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表： 0 9 12 15 18 21 … 0 5 …     (1)根据表中数据预测足球落地时，______m； (2)求h关于s的函数解析式； (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 11.如图，一小球从斜坡上的点处抛出．球抛出的路线可以用图中的抛物线表示，并建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡所在直线解析式为，若小球到达最高点的坐标为，解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)在斜坡上的点有一个障碍物，点的横坐标为，障碍物的高度为2，小球能否飞过这个障碍物？通过计算说明理由； (3)该高度为2的障碍物放在斜坡上，若使小球能够通过，求出障碍物放置的水平范围． 12.如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形的三边组成，隧道的最大高度为米；米，米， (1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式． (2)若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，问m的取值范围是多少？ 13.一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到） 重难点四 综合实际问题（存在性、方案选择） 主要方法：给定限定条件，判断是否存在对应情况;比较不同方案，选取最优方案. 1.小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（ ）    A． B． C． D． 2.如图，一个边长为的菱形，，过点作直线，将直线沿线段向右平移，直至经过点时停止，在平移的过程中，若菱形在直线左边的部分面积为，则与直线平移的距离之间的函数图象大致为（     ）    A．  B．  C．   D．   3.如图，正方形的边长为2，点在边上运动(不与点重合)，以线段为边在的下方作正方形，取的中点，连接，则的最小值为 ．    4.某商店销售某种商品的进价为每件20元，这种商品在近30天中的日销售价与日销量的相关信息如表： 时间：第x（天）（1≤x≤30，x为整数） 日销售价（元/件） 36 日销售量（件） 设该商品的日销售利润为w元． (1)求出w与x的函数关系式； (2)该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 5.测试某种型号的无人机着陆后的滑行情况，收集相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 滑行距离 0 58.5 114 166.5 216 无人机的滑行速度v与滑行时间t成一次函数关系，滑行距离y与滑行时间t成二次函数关系． (1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不写自变量取值范围)； ____________________________，___________________________； (2)按规定，无人机在障碍物附近的滑行速度必须低于那么无人机在滑行过程中，最多可以在障碍物附近滑行多远？ (3)若无人机着陆的同时打开减速伞(开伞时间忽略不计)，减速伞的制动效果为开伞后每秒减少滑行距离，无人机必须在内滑停，直接写出p的最小值_______________________． 6.(2026年湖南省中考)如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系． (1)请直接写出点的坐标； (2)分别求直线与抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离． 7.某桥梁因交通事故导致拥堵．根据车流量监控统计，：时该桥梁上车辆共计辆，累计驶入车辆数(单位：辆)与累计驶出车辆数(单位：辆)随统计时间(单位：)变化的结果如表所示： 统计时间 累计驶入车辆数辆 累计驶出车辆数辆 在当前时段，我们可以把累计驶入车辆数与之间看作二次函数关系，把累计驶出车辆数与之间看作一次函数关系． (1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)； (2)当桥梁上车辆累计到达辆时，将触发拥堵黄色预警．按照当前车流量计算，第几分钟将触发拥堵黄色预警？ (3)当桥梁上车辆累计到达辆时，将触发拥堵红色预警．从统计开始分钟时(即：时)，交通事故解除，驶出桥梁的车辆每增加辆．试计算拥堵红色预警是否会被触发？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 二次函数的实际应用 重难点一 销售利润最值问题（高频解答题） 主要方法：根据涨价/降价，销量随之变化，构建二次函数解析式；会表示单件利润、销售量；注意自变量范围：销量不为负数；判断顶点是否可取，再求最大利润.顶点横坐标在自变量取值范围内：顶点处取得最大（小）值；顶点横坐标不在取值范围：函数在区间端点取得最值.利润模型：总利润 = 单件利润 × 销售数量. 建模步骤：审题→设变量→列函数关系式→确定自变量取值范围→利用二次函数性质求最值/求解→检验实际意义→写答案. 特别注意：不能直接套顶点算最值，忽略自变量实际限制，结果不符合现实. 1.中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】根据利润（售价进价）销售量列出y关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得， 整理得， ∵ 该二次函数的二次项系数 ， ∴ 函数图象开口向下，有最大值， 配方得， ∴ 当时，取得最大值. 2.将进货单价为50元的某种商品按零售价每个60元出售时，每周能卖出100个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少2个，但物价部门规定，最高售价不能高于成本价的，则每周获得的最大利润为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用题，主要考查了列二次函数解析式，求二次函数的最值．设降价x元，表示出利润y与x的函数关系式，再根据题意求出自变量x的取值范围即可求出最大利润． 【详解】解：设涨价x元，每周获利， ∵最高售价不能高于成本价的， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随x的增大而增大， 故当时，y的最大值为， 故应选：C 3.某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜，以3元/千克售出，每天可售出200千克，经调查，售价每降元，每天多卖40千克，另外，每天的其它固定成本24元．当定价为 元能获得最大利润，最大利润是 元． 【分析】此题重点考查二次函数的应用、二次函数的性质等知识，设每天利润为元，则，可知当时，，所以当每千克西瓜的售价为元时，每天的利润最大，最大利润是201元．正确地用代数式表示每千克西瓜的利润及每天的销售量是解题的关键． 【详解】解：设每千克售价为元，设每天利润为元， 根据题意得， ， 当时，， 答：当每千克西瓜的售价为元能获得最大利润，最大利润是元． 故答案为：，201． 4.超市购进一批单价为40元的生活用品，如果按每件50元出售，那么每天可销售200件，经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件，则超市销售此生活用品每天可获得最大销售利润为 元． 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】设销售单价定为元，每天所获利润 则 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为2250， ∴将销售定价定为55元时，才能使每天所获销售利润最大，最大值为2250． 故答案为：2250． 5.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件获利40元，调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．若设每件衬衫降价x元，商场平均每天赢利y元． (1)写出y与x之间的函数关系式，并化成一般式； (2)若商场平均每天赢利要达到1200元，且让顾客得到实惠，则每件衬衫应降价多少元？ 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每件衬衫降价元，则商场平均每天可销售件，根据总利润每件的利润销售数量列式即可； （2）当时，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； 【详解】（1）解：设每件衬衫降价元，则商场平均每天可销售件， 依题意，得：； （2）解：当时， ， 整理，得：， 解得：，， 让顾客得到实惠， ． 答：每件衬衫应降价20元； 6.昆明西山坐稳了“滇中第一佳境”的名头，也成为云南旅游的一张亮眼名片．“网红打卡地”西山风景区在2025年10月1日国庆节，共接待游客达2万人次，预计到10月3日这3天期间将接待游客万人次． (1)求西山风景区2025年10月1日至2025年10月3日这3天时间内接待游客人次的平均增长率； (2)西山风景区“茶马花街”一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为3元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价13元，则平均每天可销售400杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售100杯，2023年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，店家每天卖此款奶茶的利润最大，最大利润是多少? 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程和函数关系式； （1）设景区2023年10月1日至2023年10月3日这3天时间内接待游客人次的平均增长率是，可得：，即可解得景区2023年10月1日至2023年10月3日这3天时间内接待游客人次的平均增长率是； （2）设每杯售价定为元，利润为元，可得：，由二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设西山风景区2023年10月1日至2023年10月3日这3天时间内接待游客人次的平均增长率是， 根据题意得：， 解得或(舍去)， 答：西山风景区2023年10月1日至2023年10月3日这3天时间内接待游客人次的平均增长率是； （2）设每杯售价定为元，利润为元， 根据题意得： ∴时，取最大值，最大值是4900， 答：当每杯售价定为10元时，利润最大为4900元． 7.杭州亚运会举办期间，亚运会吉祥物“琮琮、宸宸和莲莲”套装深受广大人民的喜爱．某特许零售店“琮琮、宸宸和莲莲”套装纪念品的销售8益火爆．该零售店销售该套装纪念品一段时间后，发现该套装纪念品的每天销售量y（单位：套）和每套纪念品的售价x（单位：元）满足一次函数关系的图像如图所示，其中． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若该套装纪念品的进价为每套40元，该特许零售店如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用； （1）根据待定系数法求解析式即可求解； （2）设每天获得的利润为W元．则，进而根据二次函数的性质，自变量的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为 时，；时， 解得： y与x之间的函数关系式为． （2）解：设每天获得的利润为W元． 则 ， 当时w随着x的增大而增大 当时，W有最大值， W的最大值（元） 答：当售价为每套52元时，每天获得的利润最大，最大利润为2640元． 8.今年中秋节前夕，新世纪超市从某厂家分两次购进蛋黄月饼、甜蜜月饼，两次进货时，两种月饼的进价不变．第一次购进蛋黄月饼60袋和甜蜜月饼袋，总费用为元；第二次购进蛋黄月饼袋和甜安月饼袋，总费用为元． (1)求蛋黄月饼、甜蜜月饼每袋的进价各是多少元？ (2)当蛋黄月饼销售价为每袋70元时；每天可售出20袋，为了促销，新世纪超市决定对蛋黄月饼进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄月饼每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄月饼所获得的利润为元． (3)在（2）的条件下，若蛋黄月饼每天销售价为多少元时，每天售出蛋黄月饼所获得的利润最大．最大利润是多少？ 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设蛋黄月饼的进价是元袋，甜蜜月饼的进价是元袋，根据“第一次购进蛋黄月饼60袋和甜蜜月饼90袋，总费用为4800元；第二次购进蛋黄月饼40袋和甜安月饼80袋，总费用为3600元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设蛋黄月饼的销售价格为元袋，则每袋的销售利润为元，每天可售出袋，利用总利润每袋的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． （3）根据：利润（每台实际售价每台进价）销售量，列函数关系式，配方成二次函数的顶点式可得函数的最大值；． 【详解】（1）解：设蛋黄月饼的进价是元袋，甜蜜月饼的进价是元袋， 根据题意得：， 解得：． 答：蛋黄月饼的进价是50元袋，甜蜜月饼的进价是20元袋； （2）设蛋黄月饼的销售价格为元袋，则每袋的销售利润为元，每天可售出袋， 根据题意得：， 解得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当蛋黄月饼每袋的销售价为52元时，每天售出蛋黄月饼所获得的利润为220元． （3）设蛋黄月饼每袋的降价为元时，每天售出所获得的利润最大，利润为元， 根据题意得，， ， 当销售价降低8元时，每天售出所获得的利润最大，最大利润是480元， 即售价62元时，每天售出所获得的利润最大，最大利润是480元． 9.小明投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于进价，而每件的利润不高于成本价的． (1)设小明每月获得利润为（元），求每月获得利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得1500元的利润？ (3)当销售单价定为多少元时，每月可获行最大利润？ 【分析】此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题； （1）由题意得，根据利润= （定价进价） 销售量，从而列出关系式； （2）令，解方程即可； （3）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可； 【详解】（1）由题意，得：或 ， ， ． （2）解：令，即， 解得：． ， ， 答：当销售单价定为20元时，每月可获得利润1500元； （3）解：， 对称轴直线． ， 抛物线开口向下． 其对称轴为直线， 当时，最大， 答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润． 重难点二 几何图形面积最值问题 主要方法：在围栏、篱笆、分割图形等情境中，利用周长条件表示边长，进行求出面积，构建二次函数解析式，进一步根据函数式求面积的最值，或根据面积的最值求边长.特别注意：长度限制下的自变量范围. 1.如图，这是用长度为的篱笆围成的矩形菜地，则所围成矩形的最大面积是( )． A． B． C． D．    【分析】设矩形的一边为然后求解面积的表达式，利用二次函数的性质最值即可． 【详解】解：设矩形的一边为，则另一边为， ∴矩形的面积为， 所以，当时，y有最大值为． 故选：C． 2.如图，在中，，，．动点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，动点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动．若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据点P和Q的速度表示和的长，设的面积为S，利用直角三角形的面积公式列关于S与t的函数关系式，并求最值即可． 【详解】解：由题意得：，，， 设的面积为S，则， ∴， ∴当时，S有最大值为9， 即当时，的最大面积为， 故选：C． 3.如图，矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为连接，以为一边作正方形，连接、，则面积最小值为（　　　） A． B． C． D． 【分析】设的面积为，根据面积公式求出，根据勾股定理求出，结合得到，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：设的面积为， 由题意得：，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 当为时，的面积最小，且最小值为． 故选：A． 4.如图，四边形中的两条对角线，互相垂直，，当长为 时，四边形的面积最大．    【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知设四边形的面积为S，为x，则，进而得到关系式，求出最值即可，根据已知得到二次函数关系是解答本题的关键． 【详解】解：设，四边形的面积为S，则， 则， ∵， ∴有最大值， 当时，四边形的面积最大， 即当时，四边形的面积最大， 故答案为：3． 5.如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园，其中一边靠墙，其余的三边，，用总长为40米的栅栏围成．设矩形的边米，面积为S平方米．    （1）活动区面积S与之间的关系式为 ； （2）菜园最大面积是 平方米． 【分析】（1）表示出，由矩形面积公式可得函数关系式； （2）把面积S配成顶点式，由二次函数性质可得答案． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴， ∵，解得， ∴活动区面积S与之间的关系式为； 解：（2）由（1）得：活动区面积S与之间的关系式为， ∵， ∴当时，S取最大值200， ∴菜园最大面积是200平方米； 6.如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 时，四边形，的面积最小，其最小值是 ． 【分析】本题主要考查二次函数与实际问题的运用，理解并掌握配方法求二次函数最值的方法是解题的关键．根据题意，设运动时间为，可得，，，可得，根据数量关系列式，可得关于的二次函数的解析式，运用配方法求最值即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵，即关于的二次函数图像开口线上，则有最小值， ∴当时，有最小值，且最小值为， 故答案为：，． 7.如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动，若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动，图是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象点为图象的最高点，则平行四边形的面积为 ．    【分析】由题意可知：：：，设，则，过点作垂直于的延长线于点，过点作垂直于的延长线于点，由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为，得出，则，在中，，得出，进而根据平行四边形的面积公式，即可求解． 【详解】解：由题意可知：：：，设，则， 如图，过点作垂直于的延长线于点，    ，则， ， 在中，， ， 则，化简得：， 由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为， ， ， 为正数， ， ，则， 如图，过点作垂直于的延长线于点， 在中，，则， ， ， ． 故答案为：． 8.如图，某养殖户用长的篱笆围成一个长方形养殖园，中间的两条篱笆隔离栏将这个长方形养殖园分割成三个较小的长方形，围成养殖园的最大面积是多少？ 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的关系式，会求二次函数的最值．根据题意设养殖园的面积为，平行于隔离栏的边长为，根据题意列出函数关系，根据二次函数的性质结合已知条件求的最大值即可． 【详解】解：设养殖园的面积为，平行于隔离栏的边长为，则垂直于隔离栏的边长为， 根据题意，得 ， ∵， ∴开口向下， ∴当时，S最大，最大值为72． 即围成养殖园的最大面积． 9.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙MN最长可利用26米），现在已备足可以砌50米长的墙的材料，若设米： (1)若矩形花园的面积为，求x． (2)若平行于墙的一边长不小于20米，这个矩形花园有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由． 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用， （1）根据题意可以得到相应的一元二次方程，从而可以解答本题； （2）根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后化为顶点式，注意求出的边长要符合题意． 【详解】（1）解：设为，则为， ， 解得，，， 当时（不合题意，舍去）， 当时（符合题意）， 答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300平方米； （2）设为，矩形花园的面积为， 则， ∵平行于墙的一边长不小于20米 ∴ ∴ ∵围墙MN最长可利用26米 ∴ ∴ ∴ 时，此时取得最大值，符合题意，此时， ∴，此时取得最小值 即当砌墙长为25米时，矩形花园的面积最大，最大值为，即当砌墙长为20米时，矩形花园的面积最小，最小值为． 10.如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t． (1)______，______，______； (2)t为何值时的面积为？ (3)t为何值时的面积最大？ 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的几何应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键． （1）由题意可直接利用t表示出，和； （2）由三角形的面积公式可求出，结合题意即得出关于t的方程，解出t即可； （3）由（2）可知，再变形为顶点式，结合二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）根据题意得：，， ∴， （2）， 解得：或4， ∵，， ∴， ∴或4都符合题意， ∴即当秒或4秒时，的面积是； （3）由（2）可知， ∵，， ∴当为3时的面积最大，最大面积是． 11.一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行．已知水杯底部AB宽为4cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图2，当倾斜角时，杯中水面CE平行水平桌面AF．求此时水面CE的值是多少cm？ 【分析】以的中点为原点，直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，得出和杯子中间点的坐标用待定系数法求抛物线的解析式；将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，求出与轴的交点坐标，把点代入求出直线的解析式，再将二次函数和一次函数联立求解，求出点坐标，用两点间的距离公式求出点到点的距离． 【详解】解：设与的中点分别为O、F，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系， ∵在图3中，， ∴． 过点C作，交y轴于点G，则即为图3中倾倒后的． ∵点O是的中点， ∴． ∴， 同理可知：图1液面的右端点是 根据对称性可知：左右轮廓线，所在的抛物线的对称轴为y轴， 设这个抛物线的解析式为：， 则由图1可知，抛物线经过点和点， ∴ 解得：， ∴抛物线的解析式是：． 令， 解得 ∴，， 又∵， ∴， ∴在中，， 解得：， ∴， ∴， 设直线的解析式是：， ∵直线经过点，， ∴ 解得：， ∴直线的解析式是：， 将抛物线与直线的解析式联立得： ， 解得：或， ∴， 又∵， ∴ 重难点三 抛物线实物模型（拱桥、隧道、投篮） 主要方法：合理建立平面直角坐标系，挖掘图像上隐藏点坐标，求解析式.由函数解析式根据具体实际情况进行求解. 特别注意：挖掘隐含条件正确建立直角坐标系是关键. 1.如图，从正面看碗的轮廓近似一条抛物线，以顶点为原点建立平面直角坐标系，若，，则此抛物线的解析式为（    ）      A． B． C． D． 【分析】此题考查了根据实际问题列二次函数解析式，直接根据题意得出点坐标，进而假设出抛物线解析式，进而得出答案，正确得出点坐标是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， 设抛物线解析式为：， 则， 解得：， ∴抛物线的表达式为：， 故选：． 2.如图是一座拱桥的轮廓，桥下方的曲线是抛物线的一部分；跨度，抛物线顶点到的距离是，相邻支柱间，则支柱的长度为（    ） A． B． C． D． 【分析】建立坐标系，有计算即可,正确建立坐标系是解题的关键． 【详解】以的中点为原点，建立坐标系如下， 则，顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点B代入得：， 解得， 抛物线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3.如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度（单位：m）与运行的水平距离（单位：m）满足关系式，已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．下列判断正确的是（    ） A．球运行的最大高度是 B．球不会过球网 C．球会过球网但不会出界 D．球会过球网但会出界 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为，由此即可判断A；求出当时，y的值，再与进行比较即可判断B；求出当时，y的值，再与0比较即可判断C、D． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴球运行的最大高度为，故A说法错误，不符合题意； 在中，当时，， ∴球会过球网，故B说法错误，不符合题意； 在中，当时，则， ∴球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意； 故选D． 4.某游乐场的过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，其运行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系（）．如图，该抛物线经过点A、B、C，可以推断，当水平距离x可能为（ ）时，竖直高度y有最小值 A．5 B．6 C．7 D．9 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出对称轴的取值范围．根据函数图象，可以得到对称轴的取值范围，从而可以得到哪个选项是正确的． 【详解】解：设抛物线的对称轴为直线， 该抛物线经过点、、， ， 解得． 故选：C． 5.某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚如图所示，大棚跨度为6米，最高点C到地面的高度为2.5米，若菜农身高为1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚里左右活动的范围是 米．    【分析】本题考查了建立平面直角坐标系，二次函数解析式，二次函数的应用．正确的建立坐标系，求解二次函数解析式是解题的关键． 建立如图平面直角坐标系，则，，，设抛物线的解析式为，待定系数法求得，将代入得，，解得，或，根据他在不弯腰的情况下在大棚里左右活动的范围是，计算求解即可． 【详解】解：建立如图平面直角坐标系，    ∴，，， 设抛物线的解析式为， 将代入得，，解得，， ∴， 将代入得，，解得，或， ∴他在不弯腰的情况下在大棚里左右活动的范围是米， 故答案为：3.6． 6.（2026年甘肃省武威市中考）如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【分析】要判断水流能否击中昆虫，只需验证点是否在抛物线上，即将代入函数解析式计算y的值，并与昆虫的高度进行比较． 【详解】解：当时，， ∵，即当水平距离为时，水流的高度为，低于昆虫所在的高度， ∴不在抛物线上， ∴这次射出的水流不能击中昆虫． 7.如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降1米时，水面宽度 米． 【分析】本题考查的是二次函数的应用，建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，再将代入抛物线解析式求解是解决问题的关键． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图： 则抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式，将点坐标代入， 可得：，解得：， 故抛物线解析式为， 当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 将代入抛物线解析式得出：， 解得：， 所以水面宽度为米， 故答案为：． 8.在一次足球训练中，小华从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．    (1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为，请通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，准确求出二次函数解析式是解此题的关键． （1）以为原点，为轴建立平面直角坐标系，则，，抛物线经过，顶点为，设抛物线的解析式为，将代入计算出的值即可； （2）当时，求出的值与进行比较即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，则，，抛物线经过，顶点为， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过， ， 解得， ，即； （2）解：当时，， 所以球不能射进球门． 9.如图，某运动员站在点O处练习发排球，将球从O点正上的A点处发出，把球看成点，其运行的路线近似看作是抛物线的一部分．已知球与O点的水平距离为时，达到最高，球场的边界距O点的水平距离为． (1)请确定排球运行的高度与运行的水平距离满足的函数关系式； (2)请判断排球第一次落地是否出界？请通过计算说明理由． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先根据图象得出该抛物线顶点为，设，代入即可作答； （2）设第一次落地点为B，令，则，解方程即可求解． 【详解】（1）由题意可知：该抛物线顶点为， ∴， 把的坐标代入解析式，得， 解得， ∴函数关系式为； （2）没有出界，理由如下： 设第一次落地点为B，令，则， 解之得：（舍），， ∵， ∴排球第一次落地没出界． 10.鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表： 0 9 12 15 18 21 … 0 5 …     (1)根据表中数据预测足球落地时，______m； (2)求h关于s的函数解析式； (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键． （1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论； （2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入可求出参数，由此可解答； （3）把代入二次函数解析式求出，再与最大防守高度比较即可． 【详解】（1）解：由表格可知，时和时，相等，时，时，相等， 抛物线关于对称， 当时，， 时，； （2）由（1）知，抛物线关于对称，设， 把代入上述解析式， ，解得， （3）当， ∴， ∴守门员不能成功防守． 11.如图，一小球从斜坡上的点处抛出．球抛出的路线可以用图中的抛物线表示，并建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡所在直线解析式为，若小球到达最高点的坐标为，解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)在斜坡上的点有一个障碍物，点的横坐标为，障碍物的高度为2，小球能否飞过这个障碍物？通过计算说明理由； (3)该高度为2的障碍物放在斜坡上，若使小球能够通过，求出障碍物放置的水平范围． 【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，待定系数法求次函数的解析式，难度适中，利用数形结合与方程思想是解题的关键； （1）设抛物线的表达式为 ，把代入即可得到答案； （2）把分别代入和，即可得到答案； （3）根据求出x，二次函数的性质即可得到结论； 【详解】（1）解， 设， 将代入得， ． （2）将代入， 得，，， 将代入， 得， ， 小球不能飞过这个障碍物； （3）， ， ， 解得：，． ， 若使小球能够通过，障碍物放置的水平范围是：． 12.如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形的三边组成，隧道的最大高度为米；米，米， (1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式． (2)若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，问m的取值范围是多少？ 【分析】本题主要考查二次函数的应用，包括待定系数法求解析式等知识； （1）设抛物线解析式为，根据题意解出、，抛物线顶点坐标为且过点，设抛物线的解析式为，可求出的值，确定表达式． （2）由（1）得抛物线解析式，若汽车的右侧离开隧道右壁不至于碰到隧道的顶部，则令，解得，然后根据题意得解； 灵活运用二次函数性质解决实际问题是解题的关键． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 由题意知，隧道的最大高度为米；米，米， 由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点， 则有， ，， 抛物线的解析式为， （2）由题意得， 当时，， ，． 当或8时，集装箱刚好碰到隧道的顶部，此时， 当时，此时刚好违反交通规则， 汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则， 的取值范围是． 13.一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到） 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． （1）建立的坐标系要便于计算，因此以正常水面所在直线为x轴，拱桥的最高点在y轴上，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解； （2）水位上涨了2米时，则，求出对应的x的值即可； （3）货船安全通过拱桥，当水面宽与货船宽相等时，水位上升的高度取最大值，结合函数解析式求解． 【详解】（1）解：如图，为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以的中点为平面直角坐标系的原点O，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如下： 则，， 抛物线的顶点坐标为，， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，则， 解得：， ， ∴水面上升2米后的水面宽度为米， （3）解：如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到处，    ∵货船的高为米，宽为米， ∴米，， 设米，则米， ∴点的坐标为， 将代入，得： 解得， ∴要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升米． 重难点四 综合实际问题（存在性、方案选择） 主要方法：给定限定条件，判断是否存在对应情况;比较不同方案，选取最优方案. 1.小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（ ）    A． B． C． D． 【分析】该题主要考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，解题的关键是根据题意得到点的坐标； 设解析式为由题意得到顶点坐标及与轴交点的坐标，代入求解即可得到抛物线解析式；令，代入求解即可得到答案； 【详解】选择图2中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式， 由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线对应的函数关系式为6， 将点代入，得，解得， ∴抛物线对应的函数关系式为， 当时，， ∴点的纵坐标为； 则的高度是， 故选：B． 2.如图，一个边长为的菱形，，过点作直线，将直线沿线段向右平移，直至经过点时停止，在平移的过程中，若菱形在直线左边的部分面积为，则与直线平移的距离之间的函数图象大致为（     ）    A．  B．  C．   D．   【分析】利用面积公式，分别计算出三个距离段的面积对应的解析式，根据相应图象即可解答． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， ①当时，如图，    ， ，图象开口向上的抛物线的一部分； ②当时，如图，    ，图象是线段； ③当时，如图，    ，图象开口向下的抛物线的一部分； 故选：． 3.如图，正方形的边长为2，点在边上运动(不与点重合)，以线段为边在的下方作正方形，取的中点，连接，则的最小值为 ．    【分析】过点作交于点，设，先证是的中位线，求出的长，继而求出的长，的长，利用勾股定理求出，利用二次函数的性质即可求出的最小值． 【详解】解： 过点作交于点，设，    四边形是正方形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点 是的中位线，是的中点， ， ， ， 在中，由勾股定理，得， 有最小值， 当 时，最小，最小值是：， 的最小值是， 故答案为：． 4.某商店销售某种商品的进价为每件20元，这种商品在近30天中的日销售价与日销量的相关信息如表： 时间：第x（天）（1≤x≤30，x为整数） 日销售价（元/件） 36 日销售量（件） 设该商品的日销售利润为w元． (1)求出w与x的函数关系式； (2)该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，列出函数表达式是解题的关键． （1）分和两种情况利用“利润=每件的利润×销售量”列出函数关系式； （2）根据（1）解析式，由函数的性质分别求出的函数最大值和的函数最大值，比较得出结果． 【详解】（1）当时， ， 当时， ， ∴w与x的函数关系式， 故答案为：； （2）当时， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为1216； 当时，， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∵， ∴该商品在第22天的日销售利润最大，最大日销售利润是1216元． 5.测试某种型号的无人机着陆后的滑行情况，收集相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 滑行距离 0 58.5 114 166.5 216 无人机的滑行速度v与滑行时间t成一次函数关系，滑行距离y与滑行时间t成二次函数关系． (1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不写自变量取值范围)； ____________________________，___________________________； (2)按规定，无人机在障碍物附近的滑行速度必须低于那么无人机在滑行过程中，最多可以在障碍物附近滑行多远？ (3)若无人机着陆的同时打开减速伞(开伞时间忽略不计)，减速伞的制动效果为开伞后每秒减少滑行距离，无人机必须在内滑停，直接写出p的最小值_______________________． 【分析】本题考查待定系数法确定函数解析式，求函数值、求自变量值；理解函数与方程的联系是解题的关键． （1）分别设v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式，然后根据待定系数法求解即可 （2）先根据速度求出t的取值范围，然后把配方成顶点式即可求解； （3）先根据求出，代入得出，再结合“开伞后每秒减少滑行距离”得出，则，化简得，令，根据二次函数的性质得到，即可求解． 【详解】（1）解：分别设v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式， 根据题意，得，， 解得，， ∴v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 解得， ∵， ∴当时，y有最大值为600， ∴在障碍物附近最多滑行； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵开伞后每秒减少滑行距离， ∴ ， 又无人机必须在内滑停，即， ∴， ∴， 令， ∵，， ∴，即， ∴， ∴或， ∴， ∴p的最小值为30． 6.(2026年湖南省中考)如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系． (1)请直接写出点的坐标； (2)分别求直线与抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离． 【分析】（1）由确定，利用勾股定理由、求点的横坐标． （2）用待定系数法分别求直线和抛物线的解析式． （3）先由总造价与单价求出栅栏总长为，即；设，利用抛物线解析式写出，利用直线解析式写出；由把用表示，再得到关于的一元二次方程，结合取根，即可得到栅栏到铁路（轴）的距离． 【详解】（1）解：为原点，为轴，， ， 点到的距离，， ∴， ∴， ． （2）解：设直线的函数表达式为：， 将、代入得：， 解得， 直线的函数表达式为：． 顶点到的距离为，到的距离为， ， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得：， ， 抛物线的函数表达式为：． （3）解：∵建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元， ∴栅栏总长为， ， 设点的坐标为，且， 点到铁路的距离小于， ， 点在抛物线上， ， ， 设点的坐标为，且， 点在直线上， ， ， ， ， 整理得：， 又， ， 将代入，整理得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 栅栏到铁路的距离为． 7.某桥梁因交通事故导致拥堵．根据车流量监控统计，：时该桥梁上车辆共计辆，累计驶入车辆数(单位：辆)与累计驶出车辆数(单位：辆)随统计时间(单位：)变化的结果如表所示： 统计时间 累计驶入车辆数辆 累计驶出车辆数辆 在当前时段，我们可以把累计驶入车辆数与之间看作二次函数关系，把累计驶出车辆数与之间看作一次函数关系． (1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)； (2)当桥梁上车辆累计到达辆时，将触发拥堵黄色预警．按照当前车流量计算，第几分钟将触发拥堵黄色预警？ (3)当桥梁上车辆累计到达辆时，将触发拥堵红色预警．从统计开始分钟时(即：时)，交通事故解除，驶出桥梁的车辆每增加辆．试计算拥堵红色预警是否会被触发？ 【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用 （1）分别设出关于的函数解析式和关于的函数解析式，然后用待定系数法求解析式即可； （2）根据桥梁上累计车流量数累计驶入车辆数累计驶出车辆数，列出方程，解方程即可； （3）当，根据桥梁上累计车流量数累计驶入车辆数累计驶出车辆数列出函数解析式，由函数性质求最大值，再与比较即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把，，代入解析式得： ， 解得， 关于的函数解析式为； 设关于的函数解析式为， 把，代入解析式得：， 解得， 关于的函数解析式为； （2）当时， 即， 解得 从第分钟将触发拥堵黄色预警； （3）设桥梁上车辆累计辆， 当时，， ， ， 当时，有最大值，最大值为， ， 不会触发拥堵红色预警． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $