精品解析：陕西榆林市2026-2027学年度第一学期第一次阶段性作业九年级数学（人教版）

2026~2027学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知m是方程的一个根，那么代数式的值等于（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】把x=m代入方程得：，进而问题可求解． 【详解】解：把x=m代入方程得：， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 2. 抛物线的顶点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵抛物线解析式为，可变形为， 又∵抛物线顶点式为， ∴顶点的横坐标为． 3. 一元二次方程可配方成的形式．则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．通过配方法将一元二次方程化为完全平方形式，比较得出m和n的值，再求它们的和，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵一元二次方程可配方成的形式， ∴， ∴ ， 故选：C． 4. 若二次函数在时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键． 先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而减小，由于时，的值随值的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 当时，的值随值的增大而减小， 而时，的值随值的增大而减小， ， 故选A． 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵方程的判别式， 又∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 6. 某班一化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验．若设每人每次都能教会名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】明确初始会实验的人数及每轮新增人数的计算方式，结合总人数列方程． 【详解】解：∵初始有1人会做实验，且1人每次教会名同学， ∴第一节课新增名会做实验的同学，此时会做实验的总人数为名， ∴第二节课新增名会做实验的同学， ∵两节课后共有49人会做实验， ∴列方程为． 7. 如图，已知矩形的顶点、均在抛物线上，点、在轴上方，顶点、均在轴上，且，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 6.3 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由．设，，利用抛物线对称性得到点G坐标，将点代入抛物线解析式求出k，进而求出长． 【详解】解：， 设，． ∵矩形中，，又点D、点G均在抛物线上，且抛物线关于y轴对称， ∴矩形关于y轴对称， 点G的横坐标为k，纵坐标为，即． 把代入， ． 整理得． 解得，（舍去）． ∴． 8. 二次函数（、为常数，）的部分与的对应值如表： 则关于该二次函数的说法不正确的是（ ） A. 其图象开口向下 B. 其图象的对称轴为 C. 函数的最大值为7 D. 当时，的值随值的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】代入表格中两组的对应值求出与，得到二次函数解析式，再结合其图象与性质判断各选项正误． 【详解】解：将，代入，得， 将，代入，得， ， 二次函数解析式为， ，其图象开口向下，A选项说法正确，不符合题意； 由顶点式可知，其图象的对称轴为直线，B选项说法正确，不符合题意； 开口向下，顶点坐标为，函数的最大值为7，C选项说法正确，不符合题意； 开口向下，对称轴为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，D选项说法错误，符合题意． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：关于的方程是一元二次方程 未知数的最高次数为，可得 解得，此时二次项系数为，符合一元二次方程的定义． 10. 若抛物线（为常数）的开口向下，则的值可以是__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】抛物线开口向下时，二次项系数小于0，据此求出的取值范围，在范围内任取一个值即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， 解得， 因此可取，符合要求即可． 11. 关于x的一元二次方程的两根是、，若，则m= _____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得，，则，然后解方程即可． 【详解】根据根与系数的关系得：，， ∴ 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数关系表达式，并会熟练计算． 12. 已知抛物线（为常数，）关于轴对称的抛物线经过点，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出原抛物线关于轴对称的抛物线解析式，再将已知点坐标代入解析式求解的值． 【详解】解：∵关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴将原抛物线中的替换为，得到， 整理得对称后抛物线的解析式为， ∵对称后的抛物线经过点， ∴， 化简得，解得． 13. 某校在初三年级组织了“追光少年，青春飞扬”篮球比赛，在小组赛阶段设置了单循环赛制（即每两支球队之间进行一场比赛），已知小组赛阶段共比赛28场，则参加小组赛的球队有__________支． 【答案】 【解析】 【分析】设球队数量为，根据单循环赛制的场次计算规则列出一元二次方程，舍去负根得到结果． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支． ∵每两支球队之间只进行一场比赛，每支球队要和其余支球队各比赛一场，每场比赛会被重复计算两次， ∴总比赛场次为． 根据题意列方程得， 整理得， 因式分解得， 解得，． ∵球队的数量为正整数， ∴舍去，得到． 即参加小组赛的球队有支． 14. 已知点，在抛物线，若，则1，，的大小关系是________（用“＜”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数基本性质，先计算点A和点B的纵坐标表达式，再根据b的取值范围判断和与1的大小关系，最后比较和的大小． 【详解】解：∵点，在抛物线， ∴，， ∵， ∴，， 又∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】将原方程整理为一元二次方程标准形式，用因式分解法求解． 【详解】解： 移项得， 因式分解得， 可得或， 解得，． 16. 已知函数（为常数）是关于的二次函数，求的值． 【答案】 的值为或. 【解析】 【分析】根据二次函数定义令x的指数等于2，解一元二次方程得到m的值，直接取方程的解即可． 【详解】解：二次项系数， 函数是y关于x的二次函数， ， 整理得， 因式分解得， 解得，． ∴m的值为或． 17. 已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：是关于的一元二次方程，且一个根为， 则，将代入可得： ， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 故． 18. 阅读下列用配方法解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：① ② ③ 或④ ，⑤ （1）该解题过程从第__________步开始出错（填序号）； （2）请你写出正确的解答过程（用配方法）． 【答案】（1）② （2）解：， 整理得， 配方得，即， ， ∴，． 【解析】 【小问1详解】 解：该解题过程从第②步开始出错； 【小问2详解】 略 19. 已知二次函数，若将该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先利用二次函数图像平移规律得到平移后的解析式，再代入已知点计算的值． 【详解】解：已知二次函数解析式为， 将函数图象向右平移3个单位长度，可得平移后的函数解析式为， 因为该函数平移后的图象经过点， 则将代入平移后的解析式，得， 所以的值为． 20. 定义：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】根据新运算定义将原方程转化为一元二次方程的一般形式，结合根的判别式与根的情况的关系列出不等式，即可求解． 【详解】解：由题意得， 整理得， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得， 解得， ∴的取值范围为． 21. 已知二次函数． … 0 … … 0 0 3 … （1）填表：__________、__________，并在图中描点画出该二次函数的图像； （2）若点和都在此函数的图像上，且，结合函数图像，写出的取值范围：__________． 【答案】（1）3，，在图中描点画出该二次函数的图像，如下图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）分别将和代入二次函数解析式，即可求得的值，然后描点，最后连线即可； （2）根据函数图像求解即可． 【小问1详解】 解：对于二次函数， 当时，可得； 当时，可得 即， 在图中描点画出该二次函数的图像略； 【小问2详解】 如下图， 由函数图像可知，当时，． 22. 随着人工智能的迅速发展，某AI企业近两年的总收入逐年递增．该企业2023年缴税40万元，2025年缴税48.4万元．若每年保持相同的增长率，求该企业这两年缴税的年平均增长率． 【答案】 该企业这两年缴税的年平均增长率为 【解析】 【分析】设年平均增长率为x，根据2023年与2025年的缴税额，利用二次增长的等量关系列方程求解． 【详解】解：设该企业这两年缴税的年平均增长率为x， 根据题意，得 解得 ， ∵ 年平均增长率为正数 ∴不符合题意，舍去 答：该企业这两年缴税的年平均增长率为． 23. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ， 方程总有两个实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式进行证明即可； （2）根据韦达定理求出，再由进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可得：， ， ， 解得或． 24. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． （1）求车棚的长；（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）自行车车棚的长为，宽为； （3） 不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 【解析】 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【小问1详解】 解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，车棚面积为：， 解得：或， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意，舍去， 自行车车棚的长为，宽为； 【小问3详解】 解：略． 25. 小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）假设小强在练习实心球时，他的正前方距离原点米的点处放置有一个米高的警示牌（与轴垂直），问实心球是否会砸到警示牌，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为． （2）实心球会砸到警示牌，理由详见解析． 【解析】 【分析】（1）先根据顶点的坐标设抛物线的顶点式，再代入求得抛物线解析式．（2）警示牌在距离原点米的位置，计算对应横坐标时的纵坐标，与米比较后判断实心球是否会砸到警示牌． 【小问1详解】 解：已知抛物线的顶点的坐标为，设抛物线的解析式为，其中， 将代入得 ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ， 实心球会砸到警示牌． 26. 如图，抛物线经过、、三点． （1）求、、的值； （2）在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求点的坐标； （3）点为轴上的动点，轴左侧的抛物线上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1，， （2） （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）首先将点代入抛物线解析式并解得的值，即可确定该抛物线解析式，然后计算，的值； （2）首先确定该抛物线的对称轴为，且点关于直线对称，易得，当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值；设直线的解析式为，利用待定系数法确定直线的解析式，进而确定点坐标即可； （3）分点N在x轴下方和点N在x轴上方两种情况讨论，结合平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， 当时，可得， 解得， ∵，且点在点左侧， ∴，即， 将点代入抛物线， 可得； 【小问2详解】 ∵抛物线的解析式为， ∴其对称轴为直线， 由（1）可知，，，且点为对称轴上一点， 由抛物线的对称性可知，点关于直线对称， ∴， ∴，当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，连接，交对称轴于点，如图所示， 设直线的解析式为， 将点，点代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； 【小问3详解】 存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形， 分两种情况讨论，如图所示， ①当点N在x轴下方时，四点构成平行四边形，如图所示， ∴， ∴， 对于抛物线，当时， 可得，解得， ∵， ∴， ∴； ②当点N在x轴上方时，四点构成平行四边形，如图所示，过点作轴于点D， ∴，， ∴ 在与中， ， ∴， ∴，即点的纵坐标为3， 对于抛物线，当时， 可得，解得， ∵点在轴左侧的抛物线上， ∴， ∴． 综上所述，符合条件的点N的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知m是方程的一个根，那么代数式的值等于（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 2. 抛物线的顶点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程可配方成的形式．则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 4. 若二次函数在时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 6. 某班一化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验．若设每人每次都能教会名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知矩形的顶点、均在抛物线上，点、在轴上方，顶点、均在轴上，且，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 6.3 D. 7 8. 二次函数（、为常数，）的部分与的对应值如表： 则关于该二次函数的说法不正确的是（ ） A. 其图象开口向下 B. 其图象的对称轴为 C. 函数的最大值为7 D. 当时，的值随值的增大而减小 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若关于x的方程是一元二次方程，则______． 10. 若抛物线（为常数）的开口向下，则的值可以是__________．（写出一个即可） 11. 关于x的一元二次方程的两根是、，若，则m= _____． 12. 已知抛物线（为常数，）关于轴对称的抛物线经过点，则的值为__________． 13. 某校在初三年级组织了“追光少年，青春飞扬”篮球比赛，在小组赛阶段设置了单循环赛制（即每两支球队之间进行一场比赛），已知小组赛阶段共比赛28场，则参加小组赛的球队有__________支． 14. 已知点，在抛物线，若，则1，，的大小关系是________（用“＜”连接）． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 已知函数（为常数）是关于的二次函数，求的值． 17. 已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值． 18. 阅读下列用配方法解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：① ② ③ 或④ ，⑤ （1）该解题过程从第__________步开始出错（填序号）； （2）请你写出正确的解答过程（用配方法）． 19. 已知二次函数，若将该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点，求的值． 20. 定义：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 21. 已知二次函数． … 0 … … 0 0 3 … （1）填表：__________、__________，并在图中描点画出该二次函数的图像； （2）若点和都在此函数的图像上，且，结合函数图像，写出的取值范围：__________． 22. 随着人工智能的迅速发展，某AI企业近两年的总收入逐年递增．该企业2023年缴税40万元，2025年缴税48.4万元．若每年保持相同的增长率，求该企业这两年缴税的年平均增长率． 23. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为，，且，求的值． 24. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． （1）求车棚的长；（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 25. 小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）假设小强在练习实心球时，他的正前方距离原点米的点处放置有一个米高的警示牌（与轴垂直），问实心球是否会砸到警示牌，请说明理由． 26. 如图，抛物线经过、、三点． （1）求、、的值； （2）在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求点的坐标； （3）点为轴上的动点，轴左侧的抛物线上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $