3.☆ 问题解决活动：利用相似三角形测高 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“利用相似三角形测高”核心知识点，涵盖影子法、标杆法、镜面反射法。课堂导入通过“理解问题”回顾直接测量方法，引出工具安全易操作要求，“拟订计划”环节引导学生小组讨论方案可行性，搭建从知识回顾到实际应用的学习支架。 其亮点是以探究活动为主线，结合具体实例培养数学眼光（创新意识）、数学思维（推理能力）、数学语言（模型意识）。如影子法强调同一时刻测影长推导比例式，标杆法通过三点共线构造相似三角形，表格对比方案异同，提升学生解决实际问题能力，为教师提供结构化探究教学资源。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第三章 图形的相似 3.☆ 问题解决活动：利用相似三角形测高 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 北师大版九年级上册数学 问题解决活动：利用相似三角形测高专项练习 核心知识点回顾：利用相似三角形测高是相似知识在生活中的实际应用，无需攀爬测量高大物体，借助可测量短距离、短高度即可求解。教材包含三种经典方法：影子法、标杆法、镜面反射法。三种方法原理一致，均通过构造两组相等角，证明直角三角形相似，依据对应边成比例列式计算。核心结论：同一时刻平行光线下，物体高度与影长成正比；镜面反射满足入射角等于反射角，是解题关键依据。 一、选择题（每题5分，共20分） 1. 阳光下影子测高的核心判定依据是（） A. 三边成比例 B. 两角分别相等 C. 两边成比例且夹角相等 D. 位似性质 2. 同一时刻、同一地点，竖直物体的高度和影长的关系是（） A. 成正比 B. 成反比 C. 无关系 D. 高度恒大于影长 3. 镜面反射测高利用的相等角是（） A. 对顶角相等 B. 反射角等于入射角 C. 同位角相等 D. 内错角相等 4. 标杆测高时三点共线的目的是（） A. 保证图形全等 B. 构造相似直角三角形 C. 简化测量步骤 D. 保证光线平行 二、填空题（每题6分，共24分） 5. 相似三角形测高的三种常用方法：影子法、________、镜面反射法。 6. 镜面测高中，地面与物体、人身高均垂直，可构造两个________三角形相似。 7. 若1.2m竹竿影长2m，同一时刻大树影长15m，则大树高________m。 8. 标杆测高问题中，相似三角形的对应边________，可直接列比例方程求解。 三、解答题（共56分） 9.（18分）影子法测高：身高1.5m的同学影长1.8m，同一时刻教学楼影长21.6m，求教学楼高度。 10.（18分）标杆法测高：标杆高2.2m，人眼高1.6m，人与标杆水平距离1.5m，人与大树水平距离16.5m，人眼、标杆顶端、树顶三点共线，求大树高度。 11.（20分）镜面反射法测高：在树底与人之间放置平面镜，平面镜距大树14m，距站立同学2.5m，同学眼高1.6m，恰好通过镜面看到树顶，求大树的高度。 参考答案与详细解析 1. B 解析：光线平行得一组角相等，物体垂直地面得直角相等，两角对应相等证三角形相似。 2. A 解析：同一时刻太阳光角度固定，物体高度与影长比值恒定，成正比例关系。 3. B 解析：镜面反射原理为入射角等于反射角，结合直角构造相似三角形。 4. B 解析：三点共线可构造两组直角三角形，满足两角相等，形成相似关系，实现间接测高。 5. 标杆测量法 6. 直角 7. 9 解析：设树高x，1.2:2=x:15，解得x=9。 8. 成比例 9. 解：同一时刻光线平行，人和教学楼均垂直地面，两三角形相似。设楼高为x m，列比例：1.5:1.8=x:21.6，解得x=18。答：教学楼高18m。 10. 解：构造相似三角形，水平距离差为15m，标杆高出人眼0.6m。设树高出人眼x m，0.6:1.5=x:15，解得x=6，树高=6+1.6=7.6m。答：大树高7.6m。 11. 解：由反射角等于入射角，两角对应相等证三角形相似。设树高x m，1.6:2.5=x:14，解得x=8.96。答：大树高度为8.96m。 （字数：1234） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 理解问题 (1)你学过哪些测量距离或高度的方法? 直接测量。 知识点1 利用相似三角形测高 (2)本节课的测量活动对测量工具和方法有哪些要求? 测量工具要常见，安全及易操作，测量方法要简洁、直观及误差小。 拟订计划 (1)小组合作，讨论各种测量方案及其可行性。 探究新知 拟订计划 (2)每种测量方案分别需要用到哪些工具?需要测量哪些量?画出测量示意图，写出旗杆高度的表达式。 方案一 利用阳光下的影子测量旗杆的高度(影子法) 知识点1 利用相似三角形测高 测量示意图 测量工具 测量原理 测量数据 注意事项         如图所示，∵AE∥BC， ∴∠AEB = ∠CBD。 又∵∠ABE=∠CDB =90°， ∴△ABE∽△CDB ∴ = ， 即CD = 。 人的身高AB，人的影长BE，旗杆的影长BD。 人的影长和旗杆的影长必须是同一时刻测量得到的，“同一时刻”是利用影子测量 物 体高度的前提条件。 皮尺 探究新知 方案二 利用标杆测量旗杆的高度(标杆法) 知识点1 利用相似三角形测高 测量示意图 测量工具 测量原理 测量数据 注意事项                       观测者的眼睛与地面的距离AB，标杆的高度EF，观测者与标杆之间的距离BF，观测者与旗杆之间的距离BD。 观测者的眼睛 (点A)、标杆的顶端(点E)和旗杆的顶端(点C)必须要“三点共线”，注意标杆与地面要垂直，同时旗杆底部必须可到达。 如图所示，∵EF∥CD， ∴∠1 = ∠2 = 90°。 ∵∠3 = ∠3， △AEM∽△ACN， ∴ = ， 易知AM = BF，AN = BD， EM = EF-MF = EF-AB。∵BF，BD，EF，AB可测， ∴可求得CN的长度， ∴CD=CN+ND = CN+AB。 标杆、 皮尺 探究新知 方案三 利用镜子的反射测量旗杆的高度(镜子反射法) 知识点1 利用相似三角形测高 测量示意图 测量工具 测量原理 测量数据 注意事项 法线 入射角 反射角 入射光线 反射光线 反射角 = 入射角→ ∠1 = ∠2                   提前在镜子上做标记，测量时使旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，被测物体与观测者之间不能有障碍物，且镜子必须水平放置。 观测者的眼睛与地面的距离AB，观测者与镜子上的标记之间的距离BE，镜子上的标记与旗杆底部之间的距离ED。 如图所示， ∵∠1 = ∠2， ∠ABE=∠CDE= 90°， ∴△ABE∽△CDE， ∴ = ， 即CD = 。 镜子、 皮尺 1 2 探究新知 实施计划 (1)各小组到操场进行实地测量，做好数据记录。 (2)梳理测量过程并撰写活动报告。 知识点1 利用相似三角形测高 回顾反思 (1)你们在活动过程中遇到了哪些困难?是如何克服的? 用影子法测量时遇到阴天，无法进行影长的测量。 克服方法为等阳光条件好的时候测量或使用其他方法进行测量。 探究新知 回顾反思 (2)各小组汇报展示活动成果，共同讨论各种测量方案的异同及优缺点。 各种测量方案的异同 知识点1 利用相似三角形测高   相同 不同 影子法        标杆法 镜子反射法 其核心原理都是通过构造相似三角形模型来进行测量。 是由太阳光可以近似看成平行线的特点，构造直角相似三角形。 是由光沿直线传播的特点(“三点一线”)，构造“A型”相似三角形。 是由光的反射的特点，构造直角相似三角形。 探究新知   优点 缺点 影子法  标杆法 镜子反射法   回顾反思 (2)各小组汇报展示活动成果，共同讨论各种测量方案的异同及优缺点。 各种测量方案的优缺点 知识点1 利用相似三角形测高 测量简单易行，计算快捷。 不受太阳光的影响，场地适配性强。 不受太阳光的影响。 需要阳光，阴天不行，被测物体底部必须可到达，否则无法求物体的高。 计算量大，肉眼观测带有技术性，不如直接测量、仪器操作得到的数据准确。 操作过程稍显复杂，不如直接测量、仪器操作得到的数据准确。 探究新知 请你解决下列问题。 1.某单位的摄像系统记录了一犯罪嫌疑人作案的全过程。请你设计一个方案，估计该犯罪嫌疑人的身高。 在拍摄的图片中选择一个参照物(如门框等)，测量图片中犯罪嫌疑人的高度、参照物的高度，以及参照物的实际高度，通过计算图片中参照物的高度与参照物的实际高度之比，便可估计犯罪嫌疑人的身高。 知识点1 利用相似三角形测高 探究新知 请你解决下列问题。 2.选择一幢高楼或一棵大树，测量其高度，并撰写活动报告。 可参照本节测量旗杆的高度的方案，在本题所给的活动报告表中撰写活动报告，答案略。 知识点1 利用相似三角形测高 探究新知 1.为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测 量方法。 （1）如图①，小张在测量时发现，自己在操场上的影长 恰好等于自 己的身高。此时，小组同学测得旗杆的影长为 ，据此 可得旗杆高度为_____ ； 11.3 举一反三 11 （2）如图②，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面 ，并通过镜面 观测到旗杆顶部。小组同学测得小李的眼睛距地面高度 ， 小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离 。求旗杆高度； 举一反三 12 解：由题意得，， ， 根据镜面反射可知 。 ， ， ， ， ，即， 。 答：旗杆高度为 。 举一反三 13 （3）小王所在小组采用图③的方法测量，结果误差较大。在更新测量 工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自 制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度。方法如下：#1.4 举一反三 14 如图④，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管 内水面， 两点始终处于同一水平线上。 如图⑤，在支架上端处，用细线系小重物，标高线 始终垂直于水 平地面。 如图⑥，在江姐故里广场上点处，同学们用注水管确定与雕塑底部 处于同一水平线的，两点，并标记观测视线与标高线交于点 ， 测得标高，。将观测点后移到 处，采 用同样方法，测得， 。求雕塑高度（结果精确 到 ）。#1.4.4 举一反三 解：设 ， 由题意易得 ， ， ， ， 即， ， ， 整理得 ， 举一反三 16 解得 ，经检验符合题意。 。 答：雕塑高度约为 。 返回 举一反三 2.在学习镜面反射后，小明知道了当入射光线与镜面垂直时，反射光线 将与入射光线重合，沿原路返回，他利用此现象设计了一个测量物体高 度的工具。#2 项目 图例 说明 测量工具 横截面图 在中， ， ，，为 的中点， 在点处固定一面平面镜，矩形 为支 架，在支架底部安装轮子，方便移动，支 架的高度（包含轮子的高度） 举一反三 18 项目 图例 说明 测量示 意图 在建筑物的顶端 处安装红外线灯以及 一块白色纸板，纸板大小忽略不计，将测 高工具放置在与建筑物同一平面上，在地 面上移动工具，当红外线灯照射到点 处，且反射光线落在白色纸板上 时，停止移动测高工具 待测数据 的长 续表 举一反三 19 在一次实际测量过程中，小明测得测高工具与建筑物的水平距离 ，请计算建筑物的高度（结果精确到 ，参考数 据： ）。#2.2 解：过点分别作于点,于点,交于点 。 ,,且 , 四边形 为矩形， 。 , , 举一反三 20 。 易知 , , 。 ， ， ， ,, 。 为的中点，， 。 举一反三 ， ， 。 , 。 ， 。 答：建筑物的高度约为 。 返回 举一反三 利用阳光下的影子 (物高与影长成正比) 利用相似三角形测高 利用标杆 利用镜子的反射 (反射角=入射角) 课堂小结 谢谢观看 THANKS $