27.1～27.2 反比例函数的概念、反比例函数的图象和性质周练 错题巩固与压轴训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

初中数学同步周练　|　人教版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 九年级上册数学周练 第27章　反比例函数（27.1～27.2） 班级______________　　姓名______________　　学号______________　　得分______________ （本卷共 20 题　满分 100 分　建议用时 60 分钟） 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•南岗区校级期中）·【A】下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（　　） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，她制作的小红花朵数与制作时间 2．（2026春•尧都区期末）·【A】对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点（2，﹣3） B．图象位于第一、三象限 C．y随x增大而减小 D．图象与x轴有交点 3．（2026•芜湖模拟）·【B】若xy≠0，x+y≠0，与x+y成反比，则（x+y）2与x2+y2（　　） A．成正比 B．成反比 C．既不成正也不成反比 D．关系不确定 4．（2025•开福区校级三模）·【B】已知长沙市的土地总面积约为11819km2人均占有的土地面积S（单位：km2/人）随全市人口n（单位：人）的变化而变化，则S与n的函数关系式为（　　） A．S＝11819n　　B． C．n＝11819S　　D． 5．（2026•澄迈县模拟）·【B】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴的垂线交反比例函数（x＞0）的图象于点C，直线BD垂直平分线段AC，分别交两反比例函数的图象于点D，B，设点A的横坐标为n．下列关于观点1，2的判断正确的是（　　） 观点1：当n＝4时，线段AC的长为1； 观点2：若四边形ABCD是正方形，则AB的长为． A．只有观点1正确 B．只有观点2正确 C．观点1、2都正确 D．观点1、2都不正确 6．（2026•让胡路区校级模拟）·【B】如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在双曲线上，连接并延长AB交x轴于点C，且AB＝BC；点D在直线l：y＝mx（m≠0），直线l∥AB．若S△ACD＝30，则k的值为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 二．填空题（共6小题） 7．（2025•潮南区校级开学）·【A】已知函数y＝（m+1）是反比例函数，且图象在第一、第三象限内，则m＝　 　 ． 8．（2024秋•同步）·【A】当m　 　 时，函数y是反比例函数． 9．（2024•石峰区一模）·【A】若函数y＝（m+1）xm2﹣4m﹣6是y关于x的反比例函数，则m＝　 　 ． 10．（2026秋•同步）·【A】若反比例函数图象的一支在第三象限，则k的取值范围是　 　 ． 11．（2026秋•同步）·【A】如图，在函数的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连接OA，OB，若△AOB的面积为5，则k的值为　 　 ． 12．（2026•长沙）·【A】在平面直角坐标系中，若反比例函数（k为常数，k≠0）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则k的值为　 　 ．（写出一个符合条件的k值即可） 三．解答题（共8小题） 13．（2026秋•同步）·【A】在下列函数表达式中，x均表示自变量，那么哪些是反比例函数？每一个反比例函数相应的k值是多少？ （1）y； （2）y； （3）y； （4）xy＝2． 14． （2024秋•赫章县期末）·【A】已知y＝（m+1）x|2m|﹣3是反比例函数，求m的值． 15．（2025春•丰城市校级期末）·【A】已知函数． （1）若y是关于x的正比例函数，求m的值； （2）若y是关于x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式． 16．（2026春•同步）·【A】在同一平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图象： （1）y； （2）y． 17．（2024秋•雁塔区校级月考）·【B】已知y＝y1﹣y2，其中y1与x﹣1成反比例，下表给出了自变量x与函数y的一些对应值． （1）求函数y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）补全表格：m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ； （3）若y1≥y2时，直接写出自变量x的取值范围 　 　 ． x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 6 … y m ﹣1 n … 18．（2026•叶县三模）·【B】如图为一次函数y1＝﹣x+1的图象，它与反比例函数的图象交于点A（﹣2，a），B（3，b）． （1）求反比例函数的表达式． （2）在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并直接写出当y1＜y2时，x的取值范围． （3）连接OA，OB，求出△OAB的面积． 19．（2026春•二道区校级期中）·【C】一次函数y1＝kx+b（k＞0）与反比例函数交于A、B两点，点A的横坐标为m（m＞0），点B到x轴的距离等于点A到y轴的距离． （1）求k的值； （2）过点A作y轴的垂线l，把直线l上方反比例函数的图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“G图象”（不包含直线）． ①若m＝1时，求“G图象”与x轴交点坐标； ②过点B作y轴的垂线，与“G图象”交于N，C两点．若BN＝2CN，请直接写出m的值； ③直接写出点A到BC的最短距离． 20．（2026春•乐山期末）·【C】在一堂数学活动课上，刘老师先引导学生探究了函数增减性的证明： 探索函数增减性的证明 我们知道，要比较a、b两个数的大小，可以先求出它们的差a﹣b．若a﹣b＜0，则a＜b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＞0，则a＞b． 根据这一事实，可以证明一次函数y＝kx+b（k≠0）的增减性：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 证明：设一次函数y＝kx+b（k≠0），当自变量x分别取x1、x2，且x1＜x2时，对应的函数值分别为y1＝kx1+b，y2＝kx2+b．它们的差为y1﹣y2＝（kx1+b）﹣（kx2+b）＝k（x1﹣x2）． 由假设x1＜x2可知，x1﹣x2＜0，这样，我们就得到如下结论： ①当k＞0时，k（x1﹣x2）＜0，即y1﹣y2＜0，亦即y1＜y2．即y随x的增大而增大； ②当k＜0时，k（x1﹣x2）＞0，即y1﹣y2＞0，亦即y1＞y2．即y随x的增大而减小． （1） （1）【类比迁移】请仿照上述方法对函数在x＞0范围内y随x的增大而减小给出证明． （2）【问题再探】小乐在证明了函数在x＞0范围内y随x的增大而减小之后，发现：因为分母不为0，即x≠0，所以函数的自变量取值范围分为x＞0和x＜0两个部分．于是又尝试证明在x＜0时的增减性，他的证明过程如下： 证明：当自变量x分别取x1、x2，且x1＜x2＜0时，对应的函数值分别为、． 它们的差为． 由假设x1＜x2＜0可知，x1﹣x2＜0，x1•x2＞0这样，我们就得到， 所以y1﹣y2＜0，亦即y1＜y2．即y随x的增大而增大． 请你判断小乐的证明过程有没有问题？请说明理由． （3）【拓展运用】探究函数的增减性． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C A B A C 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•南岗区校级期中）·【A】下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（　　） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，她制作的小红花朵数与制作时间 【答案】B 【解答】解：A．人的身高和年龄不成反比例关系，故本选项不符合题意； B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高成反比例关系，故本选项符合题意； C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用不成反比例关系，故本选项不符合题意； D．小明每小时可以制作120朵小红花，她制作的小红花朵数与制作时间成正比例关系，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（2026春•尧都区期末）·【A】对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点（2，﹣3） B．图象位于第一、三象限 C．y随x增大而减小 D．图象与x轴有交点 【答案】C 【解答】解：∵y，x＞0，且k＝6＞0， ∴反比例函数图象在第一象限y随x增大而减小，且与x轴无交点， ∵当x＝2时，得y＝3， ∴图象不过点（2，﹣3）； 故选：C． 3．（2026•芜湖模拟）·【B】若xy≠0，x+y≠0，与x+y成反比，则（x+y）2与x2+y2（　　） A．成正比 B．成反比 C．既不成正也不成反比 D．关系不确定 【答案】A 【解答】解：∵与x+y成反比， ∴， ∴， ∴xy， ∵（x+y）2＝x2+y2+2xy， ∴（x+y）2＝x2+y2， 等式两边同除以（x+y）2得：1 ∴ ∴（x+y）2＝（x2+y2）， ∵是常数， ∴（x+y）2与x2+y2成正比例函数． 故选：A． 4．（2025•开福区校级三模）·【B】已知长沙市的土地总面积约为11819km2人均占有的土地面积S（单位：km2/人）随全市人口n（单位：人）的变化而变化，则S与n的函数关系式为（　　） A．S＝11819n　　B． C．n＝11819S　　D． 【答案】B 【解答】解：S与n的函数关系式为S． 故选：B． 5．（2026•澄迈县模拟）·【B】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴的垂线交反比例函数（x＞0）的图象于点C，直线BD垂直平分线段AC，分别交两反比例函数的图象于点D，B，设点A的横坐标为n．下列关于观点1，2的判断正确的是（　　） 观点1：当n＝4时，线段AC的长为1； 观点2：若四边形ABCD是正方形，则AB的长为． A．只有观点1正确 B．只有观点2正确 C．观点1、2都正确 D．观点1、2都不正确 【答案】A 【解答】解：由题意，当n＝4时， ∵点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴的垂线交反比例函数（x＞0）的图象于点C， ∴A（4，），C（4，）． ∴AC1，故观点1正确． 由题意得，A（n，），C（n，）， ∵直线BD垂直平分线段AC， ∴B、D纵坐标（）． 又∵B在反比例函数（x＞0）的图象上，D在反比例函数的图象上， ∴B的横坐标为，D的横坐标为． ∴BD与AC互相平分，BDn． ∵AC， ∴若四边形ABCD是正方形，则AC＝BD， ∴n． ∴n2＝5，则n（负值舍去）． ∴AC＝BD． ∴ABBD，故观点2错误． 故选：A． 6．（2026•让胡路区校级模拟）·【B】如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在双曲线上，连接并延长AB交x轴于点C，且AB＝BC；点D在直线l：y＝mx（m≠0），直线l∥AB．若S△ACD＝30，则k的值为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【解答】解：延长CA交y轴于点E，则AE＝BC，连结OA，过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BG⊥x轴于点G，则AF∥BG， 设A（a，2b），a＞0，b＞0，则AF＝2b，OF＝a， ∴k＝a×2b＝2ab， ∴反比例函数解析式为y． ∵AF∥BG， ∴△BCG∽△ACF， ∴， ∵AB：BC＝1：1， ∴，即BG＝b， ∴当y＝b 时，x＝2a， ∴B（2a，b）， ∴OG＝2a， ∴FG＝OG﹣OF＝2a﹣a＝a， ∴CG＝a， ∴OC＝3a， ∴C（3a，0）， ∵BG∥y轴， ∴△BCG∽△ECO， ∴，即， ∴OE＝3b， ∴E（0，3b）， ∴S△ACD＝S△AOCOC•AF3a×2b＝30． ∴ab＝10． ∴k＝2ab＝20． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 7．（2025•潮南区校级开学）·【A】已知函数y＝（m+1）是反比例函数，且图象在第一、第三象限内，则m＝　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：∵是反比例函数， ∴m2﹣5＝﹣1， 解得m＝±2， ∵图象在第一、第三象限内， ∴m+1＞0， ∴m＞﹣1， ∴m＝2， 故答案为：2． 8．（2024秋•同步）·【A】当m　≠1　 时，函数y是反比例函数． 【答案】≠1． 【解答】解：由题意得：m﹣1≠0， 解得m≠1． 当m≠1时，函数y是反比例函数． 故答案为：≠1． 9．（2024•石峰区一模）·【A】若函数y＝（m+1）xm2﹣4m﹣6是y关于x的反比例函数，则m＝　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：根据反比例函数的定义，得m2﹣4m﹣6＝﹣1，且m+1≠0， 解得m＝5或m＝﹣1（舍去）， ∴m＝5． 故答案为：5． 10．（2026秋•同步）·【A】若反比例函数图象的一支在第三象限，则k的取值范围是k＞4　 ． 【答案】k＞4． 【解答】解：∵函数图象的一支在第三象限， ∴k﹣4＞0， ∴k＞4． 故答案为：k＞4． 11．（2026秋•同步）·【A】如图，在函数的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连接OA，OB，若△AOB的面积为5，则k的值为　﹣8　 ． 【答案】﹣8． 【解答】解：如图， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 又∵S△AOB＝5， ∴S△BOC＝5﹣1＝4， 又∵点B在反比例函数的图象上， ∴，而k＜0， ∴k＝﹣8， 故答案为：﹣8． 12．（2026•长沙）·【A】在平面直角坐标系中，若反比例函数（k为常数，k≠0）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则k的值为　1（答案不唯一）　 ．（写出一个符合条件的k值即可） 【答案】1（答案不唯一）． 【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴k＞0， 只要是大于0的所有实数都可以． 例如：1． 故答案为：1． 三．解答题（共8小题） 13．（2026秋•同步）·【A】在下列函数表达式中，x均表示自变量，那么哪些是反比例函数？每一个反比例函数相应的k值是多少？ （1）y； （2）y； （3）y； （4）xy＝2． 【答案】（1）是反比例函数，k＝5； （2）是反比例函数，k＝0.4； （3）不是反比例函数； （4）是反比例函数，k＝2． （2）根据形如y（k为常数且k≠0）是反比例函数，即可解答； （3）根据形如y（k为常数且k≠0）是反比例函数，即可解答； （4）根据形如y（k为常数且k≠0）是反比例函数，即可解答． 【解答】解：（1）y，是反比例函数，k＝5； （2）y，是反比例函数，k＝0.4； （3）y，是正比例函数，不是反比例函数； （4）xy＝2，即y，是反比例函数，k＝2； 故答案为：（1）是反比例函数，k＝5； （2）是反比例函数，k＝0.4； （3）不是反比例函数； （4）是反比例函数，k＝2． 14．（2024秋•赫章县期末）·【A】已知y＝（m+1）x|2m|﹣3是反比例函数，求m的值． 【答案】1． 【解答】解：∵y＝（m+1）x|2m|﹣3是反比例函数， ∴|2m|﹣3＝﹣1， ∴m＝±1， ∵m+1≠0， ∴m≠﹣1， ∴m＝1． 15．（2025春•丰城市校级期末）·【A】已知函数． （1）若y是关于x的正比例函数，求m的值； （2）若y是关于x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式． 【答案】（1）m＝﹣1； （2）m＝1，y＝﹣x﹣1． （2）根据y（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式． 【解答】解：（1）由y＝（m2﹣2m）是正比例函数，得 m2﹣m﹣1＝1且m2﹣2m≠0， 解得m＝﹣1； （2）由y＝（m2﹣2m）是反比例函数，得 m2﹣m﹣1＝﹣1且m2﹣2m≠0， 解得m＝1． 故y与x的函数关系式y＝﹣x﹣1． 16．（2026春•同步）·【A】在同一平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图象： （1）y； （2）y． 【答案】（1）； （2）． （2）依据题意，根据对称性及反比例函数图象的特征可以作图得解． 【解答】解：（1）由题意，作出y的图象如下； （2）由题意，作出y的图象如下； 17．（2024秋•雁塔区校级月考）·【B】已知y＝y1﹣y2，其中y1与x﹣1成反比例，下表给出了自变量x与函数y的一些对应值． （1）求函数y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）补全表格：m＝ 　　 ，n＝ 　　 ； （3）若y1≥y2时，直接写出自变量x的取值范围 x或1＜x　 ． x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 6 … y m ﹣1 n … 【答案】（1）yx+1（x≠1）；（2）；；（3）x或1＜x． （2）依据题意，由（1）yx+1，从而当x＝﹣2时，y＝m1；当x＝3时，y＝n＝11，进而可以判断得解； （3）依据题意，令y1＝y2，从而x﹣1，故x，从而当y1≥y2时，结合表格数据可得，x或1＜x，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵y1与x﹣1成反比例， ∴可设y1． ∴y＝y1﹣y2x﹣b． 结合表格数据可得， ． ∴k＝2，b＝﹣1． ∴yx+1（x≠1）． （2）由（1）yx+1， ∴当x＝﹣2时，y＝m1； 当x＝3时，y＝n＝11． 故答案为：；． （3）由题意，令y1＝y2， ∴x﹣1． ∴x． ∴当y1≥y2时，结合表格数据可得，x或1＜x． 故答案为：x或1＜x． 18．（2026•叶县三模）·【B】如图为一次函数y1＝﹣x+1的图象，它与反比例函数的图象交于点A（﹣2，a），B（3，b）． （1）求反比例函数的表达式． （2）在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并直接写出当y1＜y2时，x的取值范围． （3）连接OA，OB，求出△OAB的面积． 【答案】（1）； （2）； ﹣2＜x＜0或x＞3； （3）2.5． （2）对反比例函数取对应值列表，在坐标系中描点、平滑连线得到图象；结合两函数交点横坐标，以交点和原点为分界，根据一次函数图象位于反比例函数图象下方即可确定当y1＜y2时x的取值范围； （3）先求出一次函数与x轴的交点坐标，将△OAB拆分为以该交点到原点的线段为公共底的两个三角形，分别以A、B纵坐标的绝对值为高计算面积，求和即可得到△OAB的面积． 【解答】解：（1）把点A（﹣2，a）代入y1＝﹣x+1，得a＝﹣（﹣2）+1＝3， ∴A（﹣2，3）， 把点A（﹣2，3）代入， ∴， ∴k＝﹣6， ∴； （2）由题意，∵， ∴可以列表如下： x ﹣6 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 6 y2 1 2 3 6 ﹣6 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ∴作图如下： ； ∵一次函数与反比例函数的交点为A（﹣2，3）、B（3，﹣2）， ∴当y1＜y2时，﹣2＜x＜0或x＞3； （3）如图，设一次函数与x轴交于点C， 令y1＝0，则﹣x+1＝0， ∴x＝1， ∴C（1，0）， 又∵A（﹣2，3）、B（3，﹣2）， ∴． 19．（2026春•二道区校级期中）·【C】一次函数y1＝kx+b（k＞0）与反比例函数交于A、B两点，点A的横坐标为m（m＞0），点B到x轴的距离等于点A到y轴的距离． （1）求k的值； （2）过点A作y轴的垂线l，把直线l上方反比例函数的图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“G图象”（不包含直线）． ①若m＝1时，求“G图象”与x轴交点坐标； ②过点B作y轴的垂线，与“G图象”交于N，C两点．若BN＝2CN，请直接写出m的值； ③直接写出点A到BC的最短距离． 【答案】（1）k＝1； （2）①；②；③4． （2）①先求出A（1，4），得到一次函数解析式为：y1＝x+3，设“G图象”与x轴交点为（a，0），根据对称性可得（a，0）关于直线y＝4的对称点的坐标为（a，8），再根据（a，8）在反比例函数求解即可； ②先求出，，由对称性可得当0＜x＜m时，“G图象”解析式为，即，即可得到N（0，﹣m），，再根据BN＝2CN列方程求解即可； ③根据，，BC的解析式为y＝﹣m，得到点到BC的距离为，即可求出点A到BC的最短距离为4． 【解答】解：（1）一次函数y1＝kx+b（k＞0）与反比例函数交于A、B两点，点A的横坐标为m（m＞0），点B到x轴的距离等于点A到y轴的距离． 设A（m，n），（m＞0，n＞0）， ∴B（﹣n，﹣m）， 将A（m，n），B（﹣n，﹣m）代入y1＝kx+b（k＞0），得 ， ①﹣②得（m+n）k＝m+n， ∵m＞0，n＞0， ∴m+n≠0， ∴k＝1； （2）①当m＝1时，， ∴A（1，4）， 将A（1，4）代入y1＝x+b，得4＝1+b， 解得：b＝3， ∴一次函数解析式为：y1＝x+3， 设“G图象”与x轴交点为（a，0）， ∵过点A作y轴的垂线l， ∴直线l为y＝4， ∴（a，0）关于直线y＝4的对称点的坐标为（a，8）， ∴（a，8）在反比例函数上， ∴， 解得：， 故“G图象”与x轴的交点坐标为； ②∵一次函数y1＝kx+b（k＞0）与反比例函数交于A、B两点，点A的横坐标为m（m＞0），点B到x轴的距离等于点A到y轴的距离， ∴，， ∵过点A作y轴的垂线l， ∴l的解析式为， ∴任意一点（x，y）关于的对称点坐标为， ∵把直线l上方反比例函数的图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“G图象”（不包含直线）． ∴当0＜x＜m时，“G图象”解析式为，即， ∵过点B作y轴的垂线，与y轴，“G图象”分别交于N，C两点， ∴N（0，﹣m），，解得， ∴，， ∵BN＝2CN， ∴， 解得， ∵m＞0， ∴； ③∵，， ∴BC的解析式为y＝﹣m， ∴点到BC的距离为， ∴当时，点A到BC的最短距离为4． 20．（2026春•乐山期末）·【C】在一堂数学活动课上，刘老师先引导学生探究了函数增减性的证明： 探索函数增减性的证明 我们知道，要比较a、b两个数的大小，可以先求出它们的差a﹣b．若a﹣b＜0，则a＜b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＞0，则a＞b． 根据这一事实，可以证明一次函数y＝kx+b（k≠0）的增减性：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 证明：设一次函数y＝kx+b（k≠0），当自变量x分别取x1、x2，且x1＜x2时，对应的函数值分别为y1＝kx1+b，y2＝kx2+b．它们的差为y1﹣y2＝（kx1+b）﹣（kx2+b）＝k（x1﹣x2）． 由假设x1＜x2可知，x1﹣x2＜0，这样，我们就得到如下结论： ①当k＞0时，k（x1﹣x2）＜0，即y1﹣y2＜0，亦即y1＜y2．即y随x的增大而增大； ②当k＜0时，k（x1﹣x2）＞0，即y1﹣y2＞0，亦即y1＞y2．即y随x的增大而减小． （1）【类比迁移】请仿照上述方法对函数在x＞0范围内y随x的增大而减小给出证明． （2）【问题再探】小乐在证明了函数在x＞0范围内y随x的增大而减小之后，发现：因为分母不为0，即x≠0，所以函数的自变量取值范围分为x＞0和x＜0两个部分．于是又尝试证明在x＜0时的增减性，他的证明过程如下： 证明：当自变量x分别取x1、x2，且x1＜x2＜0时，对应的函数值分别为、． 它们的差为． 由假设x1＜x2＜0可知，x1﹣x2＜0，x1•x2＞0这样，我们就得到， 所以y1﹣y2＜0，亦即y1＜y2．即y随x的增大而增大． 请你判断小乐的证明过程有没有问题？请说明理由． （3）【拓展运用】探究函数的增减性． 【答案】（1）证明：∵反比例函数，且0＜x1＜x2， ∴对应的函数值为，． ， ∵x1x2＞0，x1﹣x2＜0； ∴， 则对函数在x＞0范围内y随x的增大而减小． （2）小乐的证明过程有问题，正确结论为：函数在x＜0时，y随x的增大而减小，理由如下： 当自变量x分别取x1、x2，且x1＜x2＜0时，对应的函数值分别为、． 它们的差为． 由假设x1＜x2＜0可知，x2﹣x1＞0，x1•x2＞0这样，我们就得到， 所以y1﹣y2＞0，亦即y1＞y2．即y随x的增大而减小． （3）函数在区间x＜﹣1，﹣1＜x＜1，1＜x上，y均随x的增大而减小． （2）当自变量x分别取x1、x2，且x1＜x2＜0时，对应的函数值分别为和，则，得到x2﹣x1＞0和x1•x2＞0，则即可判定； （3）当自变量x分别取x1、x2时，对应的函数值分别为和则化简y1﹣y2，结合分式分母不为零解得x≠±1，分x2＜x1＜﹣1、﹣1＜x2＜x1＜1和1＜x2＜x1分别对应求得代数式、、x1x2+1和x2﹣x1与零的关系，得到y1﹣y2即可判定增减性． 【解答】（1）证明：∵反比例函数，且0＜x1＜x2， ∴对应的函数值为，． ， ∵x1x2＞0，x1﹣x2＜0； ∴， 则对函数在x＞0范围内y随x的增大而减小． （2）小乐的证明过程有问题，正确结论为：函数在x＜0时，y随x的增大而减小，理由如下： 当自变量x分别取x1、x2，且x1＜x2＜0时，对应的函数值分别为、． 它们的差为． 由假设x1＜x2＜0可知，x2﹣x1＞0，x1•x2＞0这样，我们就得到， 所以y1﹣y2＞0，亦即y1＞y2．即y随x的增大而减小． （3）当自变量x分别取x1、x2时，对应的函数值分别为、． 则 ， ∵x2﹣1≠0， ∴x≠±1， 当x2＜x1＜﹣1时， 则，，x1x2+1＞0，x2﹣x1＜0， ∴y1﹣y2＜0； 当﹣1＜x2＜x1＜1时， 则，，x1x2+1＞0，x2﹣x1＜0， ∴y1﹣y2＜0； 当1＜x2＜x1时， 则，，x1x2+1＞0，x2﹣x1＜0， ∴y1﹣y2＜0； 综上所述，函数在区间x＜﹣1，﹣1＜x＜1，1＜x上，y均随x的增大而减小． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $