27.2 反比例函数的图象和性质 同步练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

27.2 反比例函数的图象和性质 同步练习2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．在下列函数中：①；②；③；④．随的增大而减小的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象的两支分别位于（　　） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 5．双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，，则的面积为（     ） A．1 B．2 C．1.5 D．0.5 6．反比例函数与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 7．已知反比例函数经过平移后可以得到函数，关于新函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．该函数的图象与y轴有交点 C．该函数图象与x轴的交点为（1，0） D．当时，y的取值范围是 8．若点在反比例函数（）的图象上，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．如图，点为反比例函数（）图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数（）的图象交于点，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 10．如图，直线分别交x、y轴于点C、D，P为反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交直线于点A、B，且．下列结论：①与相似；②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，若，是该反比例函数图象任意两点，且满足，则________（填“”，“”或“”）． 12．已知正比例函数与反比例函数的图象没有交点，写出一个符合条件的k的值为______________． 13．在－1、3、－2这三个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数的图象在第二、四象限的概率是_____． 14．如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为A，B为中点．若，则该反比例函数的表达式为____． 15．研究发现：近视眼镜的度数y（度）与近视眼焦距x（cm）的关系如表： 焦距x（cm） …… 10 20 25 50 …… 度数y（度） …… 1000 500 400 200 …… 已知y与x的函数关系是我们学过的一次函数、反比例函数或二次函数中的一种，则y与x的函数关系式是_____． 三、解答题 16．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点. (1)求的值，并在图中画出函数的图象； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点是点关于原点的对称点，连接、，求的面积. 17．杆秤体现了古代劳动人民的智慧，它的制作原理就是根据：杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂阻力阻力臂，即．跨学科小组的同学，想制作一个简易杆秤（如图所示），他们利用一根长的均匀木杆，在木杆的中点并系上细绳将木杆吊起．在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量（即）．在点的右侧挂上一个弹簧秤，竖直向下拉弹簧秤，使木杆处于水平静止状态．设此时弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．求关于的函数关系式． 18．如图，已知反比例函数与正比例函数的图像交于，两点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)已知点C在x轴的正半轴上，且的面积为3，求点C的坐标． 19．在直角坐标系内，反比例函数的图象过点． (1)若，求证：． (2)若，，，求该函数的表达式． 20．（综合与探究）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象过点，点的纵坐标为4，直线与轴，轴分别交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)若点是直角边上的一个动点，当时，求点的坐标； (3)已知点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为为轴上的动点．问直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D A C C A A D 1．【答案】B 【知识点】判断（画）反比例函数图象、正比例函数的图象 【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两种情况分类讨论得出答案． 【详解】解：，分两种情况： ①当时，正比例函数的图象过第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； ②当时，正比例函数的图象过第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合． 2．【答案】A 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数的比例系数，图象在第一、三象限，，图象在第二、四象限．根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：反比例函数的图象分别位于第一、三象限， ， ， 故选：A． 3．【答案】C 【知识点】判断一次函数的增减性、判断反比例函数的增减性 【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质进行判断． 【详解】解：①，，则随的增大而增大； ②，，则随的增大而减小； ③，，则随的增大而减小； ④，，则在自变量范围内，随的增大而减小； ∴随的增大而减小的共有②③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．也考查了一次函数的性质． 4．【答案】D 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】根据时，反比例函数的图象的两支分别位于二、四象限解答即可. 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象的两支分别位于第二、第四象限； 故选：D. 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟知时，反比例函数的图象的两支分别位于一、三象限，时，反比例函数的图象的两支分别位于二、四象限是解题的关键. 5．【答案】A 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即． 如果设直线与x轴交于点C，那么的面积的面积的面积．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，知的面积为2，的面积为1，从而求出结果． 【详解】解：设直线与轴交于点． ∵轴， ∴轴，轴． ∵点在双曲线的图象上， ∴的面积． 点在双曲线的图象上， ∴的面积． ∴的面积的面积的面积． 故选：A． 6．【答案】C 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查二次函数图象与反比例函数图象的综合判定，根据二次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：A、由二次函数图象开口向上，可得，由二次函数图象与y轴交点位于y轴的负半轴，可得，两者矛盾，故此选项错误； B、由二次函数图象开口向下 ，可得，由反比例函数图象位于第一、三象限，可得，两者矛盾，故此选项错误； C、由二次函数图象开口向上，可得，由二次函数图象与y轴交点位于y轴的正半轴，可得，由反比例函数图象位于第一、三象限，可得，符合要求，故此选项正确； D、由二次函数图象开口向下 ，可得，由二次函数图象与y轴交点位于y轴的正半轴，可得，两者矛盾，故此选项错误； 故选C． 7．【答案】C 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数的增减性 【分析】函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度后得到的，根据两个函数的图像，可排除A，B，C选项，将y=0代入函数可得到函数与x轴交点坐标为（1,0），故C选项正确． 【详解】解：函数与函数的图象如下图所示： 函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度后得到的， A、由图象可知函数，当时，y随x的增大而减小，选项说法错误，与题意不符； B、函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位后得到的，所以函数与y轴无交点，选项说法错误，与题意不符； C、将y=0代入函数中得，，解得，故函数与x轴交点坐标为（1,0），选项说法正确，与题意相符； D、当时， ，有图像可知当时，y的取值范围是，故选项说法错误，与题意不符； 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象，以及函数图象的平移，函数与数轴的交点求法，能够画出图象，并掌握数形结合的方法是解决本题的关键． 8．【答案】A 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知当时，在第三象限内，y随x的增大而减小，由，可得，解得，由第三象限内的点坐标特点可知，即，，可求，进而可得a的取值范围． 【详解】解：∵， ∴当时，在第三象限内，y随x的增大而减小． ∵， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， ∴a的取值范围是． 故选：A. 9．【答案】A 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定是解题的关键．分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，由题意易得，根据反比例函数k的几何意义可知：，，然后可得，进而可得，则问题可求解． 【详解】解：如图所示，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D， ∴， ∵点A为反比例函数图象上的一点，点B为反比例函数图象上的一点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10．【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、一次函数与反比例函数的其他综合应用、根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明与都是等腰直角三角形，证明、可证明，由此判断①；由与都是等腰直角三角形，得到，继而得到，，从而得到可判断②；由可得，可判断③；设，则，，由结论③可得，即，可判断④． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 一次函数中， 令，得， 令，得， ， ， ∴， 与都是等腰直角三角形， ， 同理可得， ； 故①正确； 与都是等腰直角三角形， 故②正确； 故③正确； 设， 则，， 由结论③可得：， ∴， ∴， 故④正确； 故正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一次函数与反比例函数综合等知识，理解题意，结合图象，综合运用各个知识点是解题关键． 11．【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意得出，反比例函数图象在第一，三象限，随的增大而减小，进而根据即可求解． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴ ∴反比例函数图象在第一，三象限，随的增大而减小， ∵ ∴，在第三象限， ∴ 故答案为：． 12．【答案】（答案不唯一，即可） 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】根据题意得到正比例函数的图象分布在第二，四象限，得到，写出一个符合范围的值即可． 【详解】解：∵对于反比例函数，比例系数， ∴反比例函数的图象分布在第一，三象限， ∵正比例函数与反比例函数的图象没有交点， ∴正比例函数的图象分布在第二，四象限， ∴， ∴符合条件的可以为（答案不唯一）． 13．【答案】 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与任选两个数的积作为k的值使反比例函数的图象在第二、四象限的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数的图象在第二、四象限的有4种情况，即（-1，3），（3，-1），（3，-2），（-2，3）， ∴任选两个数的积作为k的值，使反比例函数的图象在第二、四象限的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，熟知概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 14．【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，解题的关键是正确的运用面积求的值． 由点为的中点，可以求得的面积，根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，图象在第二象限， ∴，，， ∵轴， ∴， ∴， 为中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ， 故该反比例函数的表达式为． 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】先探究函数的关系式，分别计算横纵坐标的积，发现积是个常数，从而可得函数为反比例函数，再利用待定系数法求解函数关系式即可. 【详解】解： 是的反比例函数， 设 所以反比例函数解析式为： 故答案为： 【点睛】本题考查的是函数关系的探究以及利用待定系数法求解函数的解析式，掌握“探究反比例函数关系式的方法：反比例函数图象上点的横纵坐标的积是个常数”是解本题的关键. 16．【答案】(1)，图见解析 (2)或 (3) 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）将点代入一次函数得出点的坐标为，代入反比例函数求得反比例函数解析式； （2）根据函数图象以及交点的横坐标即可求解． （3）根据题意求得点的坐标，根据反比例函数图象的性质求得点的坐标，进而即可求解． 【详解】（1）解：将点代入一次函数得， ∴ ∴点的坐标为. 把点代入反比例函数得，解得. ∴反比例函数的解析式为 ∴反比例函数的图象如下图， （2）由，，根据函数图象可得： 不等式的解集为：或 （3）将点代入反比例函数得，； ∵点C是点B关于原点的对称点， ∴点C的坐标为； ∴的面积 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，掌握一次函数与反比例函数图象的性质是解题的关键． 17．【答案】关于的函数关系式为 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查反比例函数的实际应用，掌握待定系数法求解反比例函数是解题的关键． 首先设，结合题意将，代入即可求解关于的函数关系式． 【详解】解：由题意可设， ∵在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量， ∴将，代入，得：， ∴关于的函数关系式为． 18．【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数综合，待定系数法求函数解析式等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先把点的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点的坐标，再根据题意得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴， （2）解方程组得：或， ∴， 设点C的坐标为， 则， 解得：， ∴点C的坐标为． 19．【答案】(1)0 (2) 【知识点】求反比例函数解析式、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． （1）根据题意得出，，然后由，即可证得． （2）由，，则，根据图象上点的坐标特征得出，，即可得到，，根据，得出，，即可得出，，进而求得，，代入即可求得的值． 【详解】（1）证明：反比例函数的图象过点． ，， ， ． （2）解：，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 该函数的表达式为． 20．【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）由点先求反比例函数的解析式，然后求出点的坐标即可求解； （2）分类讨论在上和点在上，即可求解； （3）分类讨论作为平行四边形的边和对角线，画出对应图形即可求解． 【详解】（1）解：将点代入中，得， ；                                 令，解得， .                                  设直线的函数表达式为， 将代入得： 解得 . （2）解：在中， 令，得， 令，得， ， .                      ①当点在上时，设， 则， ， 即， 解得：， .                      ②当点在上时，设， 则， ， 即， 解得：， . （3）解：∵点是点关于轴的对称点，是点关于轴的对称点 ∴ 设点， ①当作为平行四边形的一边时 如图所示：   ，解得 故点为   ，解得 故点为 ②当作为平行四边形的对角线时 如图所示：   ，解得 故点为 综上：. 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合问题．掌握“分类讨论”的数学思想是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $