25.6 相似三角形的性质 题型专练 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

冀教版（2024）九年级上册 25.6 相似三角形的性质 题型专练 【题型1】相似三角形对应线段的比等于相似比 【典例】△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶16 【举一反三1】已知两个相似三角形对应角平分线的比为，且这两个三角形的一对对应高之差为，则这两个三角形对应高的长分别为 __________． 【举一反三2】如图，在中，，点是边的中点，过点作的垂线，交的延长线于点.若，，则__________ ，线段的长为__________ . 【举一反三3】如图，已知点，在线段上，，，，求证：． 【举一反三4】已知中，，，，点为的中点，在线段上取点，使与相似，求线段的长． 【题型2】相似三角形的面积比等于相似比的平方 【典例】已知△ABC∽△DEF，△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，则△ABC与△DEF的周长之比为(　　) A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1 【举一反三1】若△ABC∽△DEF，相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的面积比为 （      ） A．1∶9 B．1∶3 C．1∶2 D．1∶ 【举一反三2】如图，在△ABC中，DE∥BC，若∶=1∶2，=2，则=__________.  【举一反三3】如图，△ABC∽△ADE，S△ABC∶S四边形BDEC=4∶5，其中CB=2，DE=__________.  【举一反三4】已知：△ABC∽△A′B′C′，它们的周长之差为20，面积比为4：1，求△ABC和△A′B′C′的周长． 【题型3】相似三角形的性质与判定的综合（移题） 【典例】如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（  ） A．18 B． C． D． 【举一反三1】如图，AD＝DF＝FB，DE∥FG∥BC，则SⅠ：SⅡ：SⅢ＝ __________ ． 【举一反三2】如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝的图象上．若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 __________ ． 【举一反三3】如图，AD，BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，FD交BE于点M，FD，AC的延长线交于点N. (1)求证：△BFM∽△NFA； (2)求证：DF2=FM·FN； (3)若AC=BC，DN=12，ME∶EN=1∶2，求线段AC的长. 【举一反三4】如图，在▱ABCD中，AD＝4，AB＝5，延长AD到点E，连接EC．过点B作BF∥CE交AD于点F，交CD的延长线于点G． （1）求证：四边形BCEF是平行四边形； （2）当四边形BCEF是正方形时，DF＝  ，说明理由； （3）当＝    时，四边形BCEF是菱形，说明理由． 【题型4】相似三角形与动点问题 【典例】如图，在钝角△ABC中，AB=6 cm，AC=12 cm，动点D从点A出发到点B停止.动点E从点C出发到点A停止.点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是(　　) A．3 s或4.8 s B．3 s C．4.5 s D．4.5 s或4.8 s 【举一反三1】如图，，是斜边上的高，点是边上的动点，连结，作交于点，连结，当点在上运动时，下列比值会变化的是（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，在10×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．点E是格点四边形ABCD的AB边上一动点，连接ED，EC，若格点△DAE与△EBC相似，则DE+EC的长为（　　） A． B． C．3或5 D．或 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过点C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC=__________.  【举一反三4】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在线段AB上运动，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若△CDE与△BDE相似，则线段DE的长为 __________． 【举一反三5】如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q. (1)求证：△APQ∽△CDQ； (2)点P从点A出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向点B移动，移动时间为t秒.当t为何值时，DP⊥AC？ 【举一反三6】如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后△PBQ和△ABC相似？ 冀教版（2024）九年级上册 25.6 相似三角形的性质 题型专练（参考答案） 【题型1】相似三角形对应线段的比等于相似比 【典例】△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶16 【答案】C 【解析】∵△ABC与△DEF的相似比为1∶4，∴△ABC与△DEF的周长比为1∶4；故选C. 【举一反三1】已知两个相似三角形对应角平分线的比为，且这两个三角形的一对对应高之差为，则这两个三角形对应高的长分别为 __________． 【解析】 【举一反三2】如图，在中，，点是边的中点，过点作的垂线，交的延长线于点.若，，则__________ ，线段的长为__________ . 【答案】. ； . 【解析】过点作， ， 是的中点， ， 在中， ， \therefore S_{\triangle A B C} = \dfrac{1}{2} B C \mathrm{} A D = 6 0， 过点作， ， ， ， 又是边的中点， ， ， ， ， ， ， ，即， . 故答案为：，. 【举一反三3】如图，已知点，在线段上，，，，求证：． 【答案】解：∵， ∴． 又，，∴． ∵，，∴． ∴．∴． ∴． 【举一反三4】已知中，，，，点为的中点，在线段上取点，使与相似，求线段的长． 【解析】解：情况一，如图所示， 【题型2】相似三角形的面积比等于相似比的平方 【典例】已知△ABC∽△DEF，△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，则△ABC与△DEF的周长之比为(　　) A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1 【答案】A 【解析】∵△ABC∽△DEF，∴△ABC的面积：△DEF的面积＝△ABC与△DEF的周长之比的平方，而△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，∴△ABC与△DEF的周长之比＝1∶2.故选A. 【举一反三1】若△ABC∽△DEF，相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的面积比为 （      ） A．1∶9 B．1∶3 C．1∶2 D．1∶ 【答案】A 【举一反三2】如图，在△ABC中，DE∥BC，若∶=1∶2，=2，则=__________.  【答案】18 【解析】∵S△ADE∶S△BDE=1∶2，△ADE和△BDE的高相等， ∴=， ∴=， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴==， ∵S△ADE=2， ∴S△ABC=9S△ADE=18. 【举一反三3】如图，△ABC∽△ADE，S△ABC∶S四边形BDEC=4∶5，其中CB=2，DE=__________.  【答案】3 【解析】∵S△ABC∶S四边形BDEC=4∶5， ∴S△ABC∶S△ADE=4∶9， ∵△ABC∽△ADE， ∴S△ABC∶S△ADE==4∶9， 解得DE=3. 【举一反三4】已知：△ABC∽△A′B′C′，它们的周长之差为20，面积比为4：1，求△ABC和△A′B′C′的周长． 【答案】解：∵△ABC∽△A′B′C′，面积比为4：1， ∴相似比为2：1，周长比为2：1． ∵周长比相差1，而周长之差为20， ∴每份周长为20， ∴△ABC的周长是2×20＝40，△A′B′C′的周长是1×20＝20． 【题型3】相似三角形的性质与判定的综合（移题） 【典例】如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（  ） A．18 B． C． D． 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是正方形，AB＝12，BM＝5， ∴MC＝12﹣5＝7． ∵ME⊥AM， ∴∠AME＝90°， ∴∠AMB+∠CMG＝90°． ∵∠AMB+∠BAM＝90°， ∴∠BAM＝∠CMG，∠B＝∠C＝90°， ∴△ABM∽△MCG， ∴＝，即＝，解得CG＝， ∴DG＝12﹣＝． ∵AE∥BC， ∴∠E＝CMG，∠EDG＝∠C， ∴△MCG∽△EDG， ∴＝，即＝，解得DE＝． 故选：C． 【举一反三1】如图，AD＝DF＝FB，DE∥FG∥BC，则SⅠ：SⅡ：SⅢ＝ __________ ． 【答案】1：3：5 【解析】∵DE∥FG∥BC， ∴△ADE∽△AFG∽△ABC， ∵AD＝DF＝FB， ∴AD：AF：AB＝1：2：3， ∴S△ADE：S△AFG：S△ABC＝1：4：9， ∴SⅠ：SⅡ：SⅢ＝1：3：5． 【举一反三2】如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝的图象上．若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 __________ ． 【答案】-8 【解析】过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D． 设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m． ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝90°． ∵∠DBO+∠BOD＝90°， ∴∠DBO＝∠AOC． ∵∠BDO＝∠ACO＝90°， ∴△BDO∽△OCA． ∴， ∵OB＝2OA， ∴BD＝2m，OD＝2n． 因为点A在反比例函数y＝的图象上， ∴mn＝2． ∵点B在反比例函数y＝的图象上， ∴B点的坐标是（﹣2n，2m）． ∴k＝﹣2n•2m＝﹣4mn＝﹣8． 【举一反三3】如图，AD，BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，FD交BE于点M，FD，AC的延长线交于点N. (1)求证：△BFM∽△NFA； (2)求证：DF2=FM·FN； (3)若AC=BC，DN=12，ME∶EN=1∶2，求线段AC的长. 【答案】(1)证明 ∵DF⊥AB，AD，BE是△ABC的高， ∴∠BFD=∠AFD=∠AEB=∠ADB=90°， ∴∠FBM=90°-∠BAC，∠N=90°-∠BAC， ∴∠FBM=∠N， 又∵∠BFD=∠AFD， ∴△BFM∽△NFA. (2)证明 ∵△BFM∽△NFA， ∴=， ∴FM·FN=FB·FA， ∵∠FBD+∠FDB=90°，∠FBD+∠FAD=90°， ∴∠FDB=∠FAD， ∵∠BFD=∠AFD， ∴△BFD∽△DFA， ∴=， ∴DF2=FB·FA=FM·FN. (3)解 ∵AC=BC， ∴∠BAC=∠ABC， ∵∠ABC+∠FDB=∠BAC+∠N=90°， ∴∠FDB=∠N=∠FBM， ∴△ENM∽△FBM∽△FDB， ∴===， ∴FB=2FM，FD=2FB=4FM， ∵DF2=FM·FN， ∴(4FM)2=FM·(4FM+12)， 解得FM=1或0(舍去)， ∴FB=2，FD=4，FN=FD+DN=16， ∵△BFM∽△NFA， ∴==， ∴AF=8，AB=AF+BF=10， 在Rt△BFD中， BD==2， 在Rt△ADB与Rt△ADC中， AD2=AB2-BD2=AC2-CD2， ∴AC2-(AC-2)2=102-(2)2， 解得AC=5. 【举一反三4】如图，在▱ABCD中，AD＝4，AB＝5，延长AD到点E，连接EC．过点B作BF∥CE交AD于点F，交CD的延长线于点G． （1）求证：四边形BCEF是平行四边形； （2）当四边形BCEF是正方形时，DF＝  ，说明理由； （3）当＝    时，四边形BCEF是菱形，说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴EF∥BC． ∵BF∥CE， ∴四边形BCEF是平行四边形． （2）解：当四边形BCEF是正方形时，DF＝1． 理由如下：当四边形BCEF是正方形时，BF＝BC＝4，∠FBC＝∠AFB＝90°． ∴AF＝ ＝＝3． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝4．∴DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1． ∴当四边形BCEF是正方形时，DF＝1． 故答案为：1． （3）解：当＝时，四边形BCEF是菱形． 理由如下：当四边形BCEF是菱形时，BF＝BC＝4． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB． ∴＝，即＝＝． ∴当＝时，四边形BCEF是菱形． 【题型4】相似三角形与动点问题 【典例】如图，在钝角△ABC中，AB=6 cm，AC=12 cm，动点D从点A出发到点B停止.动点E从点C出发到点A停止.点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是(　　) A．3 s或4.8 s B．3 s C．4.5 s D．4.5 s或4.8 s 【答案】A 【解析】如果两点同时运动，设运动t s时，以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似， 则AD=t，CE=2t，AE=AC-CE=12-2t. ①当点D与点B对应时，有△ADE∽△ABC. ∴AD∶AB=AE∶AC， ∴t∶6=(12-2t)∶12， ∴t=3； ②当点D与点C对应时，有△ADE∽△ACB. ∴AD∶AC=AE∶AB， ∴t∶12=(12-2t)∶6， ∴t=4.8. ∴当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3 s或4.8 s. 【举一反三1】如图，，是斜边上的高，点是边上的动点，连结，作交于点，连结，当点在上运动时，下列比值会变化的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵为定值， ∴，为定值，故选项A，C，D不符合题意； ∵是变值， ∴是变化的，故选项B符合题意． 故选：B． 【举一反三2】如图，在10×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．点E是格点四边形ABCD的AB边上一动点，连接ED，EC，若格点△DAE与△EBC相似，则DE+EC的长为（　　） A． B． C．3或5 D．或 【答案】C 【解析】设AE＝x，则EB＝8﹣x， 根据勾股定理可得，DE， EC． 若格点△DAE与△EBC相似，分两种情况： ①如果△DAE∽△EBC，那么， 即， 解得x1＝2，x2＝6． 当x＝2时，DE，EC2， ∴DE+EC23； 当x＝6时，DE3，EC2， ∴DE+EC＝325； ②如果△DAE∽△CBE，那么， 即， 解得x． 当x时，DE，EC， ∴DE+EC（不合题意舍去）． 综上所述，DE+EC的长为3或5． 故选：C． 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过点C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC=__________.  【答案】6.4或10 【解析】∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6， ∴AB==10， 当△ABC∽△CPA时，则 AB∶CP=AC∶CA， 即10∶CP=8∶8， 解得CP=10； 当△ABC∽△CAP时，则 AB∶CA=AC∶CP， 即10∶8=8∶CP， 解得CP=6.4. 综上可知，若△ABC与△PAC相似，则PC=6.4或10. 【举一反三4】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在线段AB上运动，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若△CDE与△BDE相似，则线段DE的长为 __________． 【答案】1.5或1.92． 【解析】∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°． ∴∠ACB＝∠DEB． ∴DE∥AC． ∴△ACB∽△DEB． ∵△CDE与△BDE相似， （一）当∠B＝∠DCB时，∵DE⊥BC， ∴点E是CB的中点． ∴DE是△ABC的中位线． ∴DEAC＝1.5． （二）当∠B＝∠EDC时， ∴． 由△ACB∽△DEB得． ∴． ∴CEDE，BEDE． ∵CE+BE＝BC＝4， ∴DEDE＝4． ∴DE1.92． 故答案为：1.5或1.92． 【举一反三5】如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q. (1)求证：△APQ∽△CDQ； (2)点P从点A出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向点B移动，移动时间为t秒.当t为何值时，DP⊥AC？ 【答案】(1)证明 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∴△APQ∽△CDQ. (2)解 当DP⊥AC时，∠ACD＋∠PDC＝90°， ∵∠ADP＋∠PDC＝90°，∴∠DCA＝∠ADP， 又∵∠ADC＝∠DAP＝90°， ∴△ADC∽△PAD，∴，∴， 解得PA＝5，∴t＝5. 【举一反三6】如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后△PBQ和△ABC相似？ 【答案】解：设经过x秒后△PBQ和△ABC相似． 则AP＝2x cm，BQ＝4x cm， ∵AB＝8cm，BC＝16cm， ∴BP＝（8﹣2x）cm， ①BP与BC边是对应边，则， 即， 解得x＝0.8， ②BP与AB边是对应边，则， 即， 解得x＝2． 综上所述，经过0.8秒或2秒后△PBQ和△ABC相似． 学科网（北京）股份有限公司 $