专题07 解直角三角形（期中真题汇编，上海专用）九年级数学上学期

专题07 解直角三角形 6大高频考点概览 考点01 解直角三角形的相关计算 考点02 解非直角三角形 考点03 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 考点04 仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 考点05 方位角问题(解直角三角形的应用) 考点06坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 地 城 考点01 解直角三角形的相关计算 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）在中，，用含与m的式子表示．下列四种表示方法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）已知中，，，，那么的长为______． 3．（25-26九年级上·上海崇明·期末）在中，（是锐角），，那么的长为__________． 4．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）已知点P是内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫的费马点，已经证明：在三个内角均小于的中，当时，P就是的费马点，若点P是边长为6的等边三角形的费马点，则________． 5．（25-26九年级上·上海静安·期末）在中，，，（如图），将绕点旋转后，点落在斜边上的点，点落在点，与边相交于点，那么的值为______． 6．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，．将绕着点顺时针旋转后，点恰好落在直线上的点处，点落在点处，射线与直线相交于点，那么______． 7．（2024九年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，各顶点的坐标分别是．    (1)求的余切值； (2)若点在轴的正半轴，且与相似，请直接写出点的坐标； (3)已知点在轴上，如果，求点的坐标． 8．（24-25九年级上·上海·期中）在中，，绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在斜边上的点D，设点A旋转后与点E重合，连接，过点E作直线与射线垂直，交点为M． (1)若点M与点B重合如图1，求的值； (2)若点M在边上如图2，设边长，点M与点B不重合，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若，求斜边的长． 9．（2025·上海闵行·期中）已知中，，、是的两条高，直线与直线交于点． (1)如图，当为锐角时， ⅰ）求证：；ⅱ）如果，求的正切值； (2)如果，，下列求的面积的算式_________； ①； ②； A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都是错的 (3)根据（1）、（2）小题，提出一个问题并解答（可以增加已知条件）． 10．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为1．求： (1)k的值； (2)利用图象求出时x的取值范围； (3)如图2，将直线沿y轴向下平移6个单位，与函数的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数的图象沿平移，使点A、D分别平移到C、F处，求图中阴影部分的面积． 地 城 考点02 解非直角三角形 11．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 12．（24-25九年级上·上海金山·期中）在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ___． 13．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图,△ABC是等腰三角形,∠ACB=90°,过BC的中点D作DE⊥AB,垂足为E,连结CE,求sin∠ACE的值. 14．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 15．（2025·上海虹口·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 地 城 考点03 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 16．（2025·上海·期中）如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（　　）    A．2sinα B．2cosα C． D． 17．（24-25九年级·上海·期末）如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为cm，则图中阴影部分的面积为__cm2（结果保留根号）． 18．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，，，求的面积． 19．（24-25九年级·上海浦东新·期中）如图，在中，已知，，，求的面积． 20．（24-25九年级上·上海虹口·期末）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，） 地 城 考点04 仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 21．（25-26九年级上·上海嘉定·期中）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为 千米．（    ） A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·上海闵行·期中）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从层直达层，“飞梯”的截面如图，已知的长为米，点处的仰角为，那么高是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 23．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26九年级上·上海崇明·期中）如果某飞机的飞行高度为，从飞机上看地面控制点的俯角为，则飞机与地面控制点之间的距离为________．（用含字母的式子表示） 25．（25-26九年级上·上海·期中）如果某飞机的飞行高度为8千米，从飞机上看到地面控制点的俯角为，那么此时飞机与地面控制点之间的距离为___________千米．（用含的代数式表示） 26．（25-26九年级·上海嘉定·期中）如图，在地面上离旗杆底部8米的A处测得旗杆顶端C的仰角为，那么旗杆的高度约为______米（，精确到米）． 27．（24-25九年级上·上海闵行·期中）“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达．喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．”如图，已知，，是上一点，，在处测得点的俯角为，，，那么___________． 28．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为________米（结果保留根号）．    29．（25-26九年级上·上海闵行·期中）已知甲、乙两幢楼之间的距离CD等于m，现在要测乙楼的高度，所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B处的仰角为α（α是锐角），底部C的俯角为β（β是锐角），请结合示意图求乙楼的高度（结果用含有m、α、β的代数式表示）． 30．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，小明身高（即）为米，通过地面上的一块平面镜（即点C），刚好能看到前方大树（即）的树梢，此时他测得俯角为，然后他直接抬头观察树梢，测得仰角为，求树的高度．（结果保留整数米，，） 31．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱的高为11.2米，灯柱与灯杆的夹角为，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为14.7米，从、两处测得路灯的仰角分别为和，且，求灯杆的长度． 32．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图所示，和表示前后两幢楼，按照有关规定两幢楼问的间距不得小于楼的高度，即图中大于等于．小明想测量一下他家所住楼与前面楼是否符合规定，于是他在间的点M处架了测角仪，测得楼顶D的仰角为，已知米，测角仪距地面米． (1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由； (2)为了知道前面楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得楼顶D的仰角为，如果米，，请你来计算一下楼的高度． 地 城 考点05 方位角问题(解直角三角形的应用) 33．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，一艘船从处向北偏东的方向行驶千米到处，再从处向正西方向行驶千米到处，这时这艘船与的距离（　　） A．千米 B．千米 C．1千米 D．千米 34．（25-26九年级上·上海青浦·期中）在某次海上搜救过程中，A船发现在它的南偏西方向上有一漂浮物，同时在A船的正东方向处的B船发现漂浮物在它的南偏西方向，此时，B船距该漂浮物的距离为___． 35．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，监测点在距离道路的100米处，道路上的货车在监测点的北偏西的方向．道路上的汽车B在监测点的东北方向，此时货车A和汽车B相距___________米（结果保留根号）． 36．（25-26九年级上·上海·期中）如图，一艘船从处向北偏西的方向行驶3海里到处，再从处向正东方向行驶5海里到处，此时这艘船与出发点处相距__________海里. 37．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路上有、两个游船码头，观光岛屿在码头的北偏东方向、在码头的北偏西方向，千米那么码头、之间的距离等于______千米结果保留根号 38．（25-26九年级上·上海崇明·期中）如图，小岛A在港口P的南偏西方向上，一艘船从港口P沿正南方向以每小时12海里的速度航行，1小时30分后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西的方向上．小岛A离港口P有多少海里（精确到0.1海里）？（参考数据：，，） 39．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马．如图，妈妈位于游客中心的正北方向的处，其中．明明位于游客中心的西北方向的处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们在游客中心的北偏西方向的点处相遇． (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从处到处的距离．（参考数据：，，，，，结果保留一位小数） 40．（2024九年级上·上海闵行·期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．    (1)若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？ (2)如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围． 41．（24-25九年级上·上海·期中）如图，A点、B点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B点正东方向的处有一海岸瞭望塔C，又用经纬仪测出：点分别在点的北偏东处、在点的东北方向．（注：，结果精确到） (1)试求出小岛码头A点到海岸线的距离； (2)有一观光客轮从至方向沿直线航行，某瞭望员在处发现，客轮刚好在正北方向的处，当客轮航行至处时，发现点在的北偏东处，请求出点到点的距离； 地 城 考点06 坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 42．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果斜坡的坡比为，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 43．（24-25九年级上·上海·期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（   ）    A．4米 B．米 C．米 D．米 44．（25-26九年级上·上海·期中）沿一斜坡向上走3米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度_________． 45．（25-26九年级上·上海嘉定·期中）某小山坡的坡长为米，山坡的高度为米，那么该山坡的坡度________． 46．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为_________． 47．（25-26九年级上·上海·期中）在消防救援锦标赛攀登冲锋梯项目中，消防员需沿冲锋梯攀爬训练塔．已知冲锋梯所在斜坡的坡度为，消防员沿此冲锋梯攀爬的路程为10米，那么消防员攀爬的垂直上升的高度为___________米 48．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，拦水坝的横断面为梯形，，坝高，背水坡的坡比，迎水坡的坡比，则的长为_______． 49．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如图，水库水坝的坝高为28米，如果迎水坡的坡度为，那么该水库迎水坡的长度为______米． 50．（25-26九年级上·上海·期中）如图，一个高为米的长方体木箱沿坡比为的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，米，则木箱端点E距地面的高度为_____米． 51．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知梯形是一水库拦水坝的横断面示意图，坝顶宽米，坝高18米，迎水坡的坡度，背水坡的坡度，求坝底宽． 52．（24-25九年级上·上海闵行·期中）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为10m，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上、两点间的距离为处到观众区底端处的水平距离为3m，求：顶棚的处离地面的高度．（，结果精确到0.1m） 53．（25-26九年级上·上海闵行·期中）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为（A、B、P、Q四点在同一平面） (1)求路段的长； (2)当下引桥坡度时，如果测速路段限速，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段，那么小汽车是否超速呢？（参考数据：，，，，，，） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 解直角三角形 6大高频考点概览 考点01 解直角三角形的相关计算 考点02 解非直角三角形 考点03 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 考点04 仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 考点05 方位角问题(解直角三角形的应用) 考点06坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 地 城 考点01 解直角三角形的相关计算 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）在中，，用含与m的式子表示．下列四种表示方法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查锐角三角函数，掌握定义是解题关键．根据三角函数定义，sinα等于对边与斜边的比值，由此建立方程求解。 【详解】解： 在Rt△ABC中， , , ． 故选：D． 2．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）已知中，，，，那么的长为______． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，过点作于点，分别解和，求出，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过点作于点， 在中，，， ∴； 在中，，， ∴， ∴； 故答案为： 3．（25-26九年级上·上海崇明·期末）在中，（是锐角），，那么的长为__________． 【答案】4 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，过点C作于点D，根据正弦的定义求出的长，则可用勾股定理求出的长，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点D， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：4． 4．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）已知点P是内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫的费马点，已经证明：在三个内角均小于的中，当时，P就是的费马点，若点P是边长为6的等边三角形的费马点，则________． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形；由于等边三角形的费马点与重心重合，且重心到顶点的距离相等，利用锐角三角函数计算、，然后利用即可算出结果. 【详解】解：如图所示： ∵等边三角形的费马点与重心重合，点P是边长为6的等边的费马点， ∴，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴. 故答案为：. 5．（25-26九年级上·上海静安·期末）在中，，，（如图），将绕点旋转后，点落在斜边上的点，点落在点，与边相交于点，那么的值为______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】过作于，根据勾股定理和正切的定义得到，，根据三角形面积得到，再根据旋转的性质和相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：过作于， ， ， 设，则， 在中，， 解得， ，， 则， 即， 解得， 则， ， 将绕点旋转后，点落在斜边上的点，点落在点， ，， ， ， ∴， ， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，旋转的性质：旋转前后两图形全等，相似三角形的判定与性质；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． 6．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，．将绕着点顺时针旋转后，点恰好落在直线上的点处，点落在点处，射线与直线相交于点，那么______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了旋转的性质及解直角三角形，熟知图形旋转的性质及正切的定义是解题的关键．根据题意画出示意图，对点在延长线和延长线上的情况进行分类，再结合正切的定义进行计算即可解决问题． 【详解】解：当点在延长线上时，如图所示， 过点作的垂线，垂足为， ，， ， ， ． 令 由旋转可知，，， ，． 在中， 解得： 在中， 同理可得， 当点在延长线上时， 综上所述， 故答案为：． 7．（2024九年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，各顶点的坐标分别是．    (1)求的余切值； (2)若点在轴的正半轴，且与相似，请直接写出点的坐标； (3)已知点在轴上，如果，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由两点距离公式可求，，由直角三角形的性质可求的长，即可求解； （2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解； （3）根据题意可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 如图1，过点B作于H，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点P在y轴正半轴上， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述：当点P的坐标为或时，与相似； （3）解：∵，， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， 此时点M的坐标为或．    【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键． 8．（24-25九年级上·上海·期中）在中，，绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在斜边上的点D，设点A旋转后与点E重合，连接，过点E作直线与射线垂直，交点为M． (1)若点M与点B重合如图1，求的值； (2)若点M在边上如图2，设边长，点M与点B不重合，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若，求斜边的长． 【答案】(1) (2) (3)或4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由旋转可知，则有，然后可得，进而根据余切可进行求解； （2）由（1）有，，，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解； （3）由题意可分当点M在上和在外，然后根据相似三角形的性质及三角函数可进行分类求解． 【详解】（1）解：由旋转可知，， ， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ； （2）解：设与边交于G， 由（1）有，，， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ， ， ， ， ， ； （3）解：延长，交于H，如图， 由旋转有，， ， ∵， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（舍）， 当点M在延长线时，如图， ， ， ， ， ， ， ，， ， 即：或4． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数、旋转的性质及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数、旋转的性质及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 9．（2025·上海闵行·期中）已知中，，、是的两条高，直线与直线交于点． (1)如图，当为锐角时， ⅰ）求证：；ⅱ）如果，求的正切值； (2)如果，，下列求的面积的算式_________； ①； ②； A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都是错的 (3)根据（1）、（2）小题，提出一个问题并解答（可以增加已知条件）． 【答案】(1) （1）证明：∵， ∴． ∵，且， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即； （2）2 (2)A (3) 已知中，，是得两条高，交于点Q，若，求的面积． 解：当为锐角时， ∵， ∴． 由（1）可知， 即， 解得， ∴， ∴； 当为钝角时， ∵， ∴． 由（1）可知， 即， 解得， ∴， ∴． 所以的面积是或．（答案不唯一） 【知识点】等边对等角、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】对于（1），根据题意可知，即可得，再证明即可；设，则，根据可得，在中，可得答案； 对于（2），设，说明，表示，再根据，且，结合勾股定理得，然后分为锐角时，根据列出方程，求出解，进而得出，，根据得出结果；当为钝角时，先根据相似三角形的对应边成比例得，再根据，然后依据勾股定理得，求出解，可得，，最后求出面积判断即可； 对于（3），已知中，，是得两条高，交于点Q，若，求的面积．再分两种情况结合求出，可得，则此题可解． 【详解】（1）①略 ②由题意，设，则， ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，； （2）解：设， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，且， 根据勾股定理，得， ∴． 当为锐角时， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴； 当为钝角时， ∵， ∴，且， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴①②都正确． 故选：A． （3）略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，求三角形的面积，注意分情况讨论． 10．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为1．求： (1)k的值； (2)利用图象求出时x的取值范围； (3)如图2，将直线沿y轴向下平移6个单位，与函数的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数的图象沿平移，使点A、D分别平移到C、F处，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)或． (3) 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可； （2）图象法求不等式的解集即可； （3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可． 【详解】（1）解：点在的图像上， 当时，． ∴， 将点代入，得． （2）由（1）知：， 联立， 解得：或， ∴； 由图像可得：时的取值范围为：或． （3）∵， ∴当时，， ∴， ∵将直线沿轴向下平移6个单位， ∴， 直线的解析式为：，设直线与轴交于点H ∴当时，，当时，， ∴，， 如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵，， ． 连接， ∵平移， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴阴影部分面积等于的面积，即． 地 城 考点02 解非直角三角形 11．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、解非直角三角形 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 12．（24-25九年级上·上海金山·期中）在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ___． 【答案】 【知识点】解非直角三角形 【分析】先画出图形（见解析），过点作于点，先利用正弦三角函数求出的长，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，即， 解得， 则的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦三角函数的定义是解题关键． 13．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图,△ABC是等腰三角形,∠ACB=90°,过BC的中点D作DE⊥AB,垂足为E,连结CE,求sin∠ACE的值. 【答案】 【知识点】解非直角三角形 【分析】过E点作EF⊥AC，设在等腰直角三角形DEB中直角边为1，则大直角三角形ABC中直角边和斜边均可求出．另外还可以根据相似求出EF的长，进而求出CE，即可得出答案． 【详解】如图所示，作CF⊥AB于F，AG⊥CE于G． 设DE=1，则CF=AF=2，FE=1， ∴CE=，AC=． 由△ACE的面积，可知·CE·AG=·AE·CF， 即××AG=×3×2， ∴AG==． 于是，在Rt△ACG中， sin∠ACG==÷=． 即sin∠ACE=． 【点睛】本题考查了解直角三角形. 利用辅助线构直角三角形是解题的关键. 14．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、解非直角三角形 【分析】（1）过点作于点，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出； （2）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，在中， ． 【点睛】本题考查解直角三角形．通过作高，构造直角三角形是解题的关键． 15．（2025·上海虹口·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】解非直角三角形 【分析】（1）过点A作AE⊥BC，构造两个直角三角形，分别用特殊角和三角函数求解． （2）过D作DF⊥BC，分别在两个直角三角形中求解． 【详解】解：（1）过A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F， ∵∠BCA＝45°， 在Rt△AEC中，AE＝EC， ∵cotB＝， 在Rt△BEA中，＝， 设BE＝3x，AE＝2x， ∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10， ∴x＝2， ∴BE＝6，EA＝EC＝4， 由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2． 即AB2＝36+16＝52． ∴AB＝． （2）由（1）知AB＝2， 又∵D为AB的中点， ∴BD＝AD＝， ∵DF⊥BC，AE⊥BC， ∴ ∵BD＝AD， ∴BF＝FE＝BE＝3． ∴DF＝AE＝2， ∴FC＝FE+EC＝3+4＝7 ∴tan∠DCB=． 【点睛】本题考查了特殊角度、余切和正切的定义，以及三角形中位线的知识，是常见题型． 地 城 考点03 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 16．（2025·上海·期中）如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（　　）    A．2sinα B．2cosα C． D． 【答案】C 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α， 过A作AE⊥BC于E，则AE＝1， 设BE＝x， ∵∠ABE＝α， ∴AB＝， ∴BC＝AB＝， ∴重叠部分的面积是：×1＝． 故选：C．    【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键． 17．（24-25九年级·上海·期末）如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为cm，则图中阴影部分的面积为__cm2（结果保留根号）． 【答案】（10+12） 【知识点】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【分析】图中阴影部分的面积＝外框大直角三角板的面积−内框小直角三角板的面积，根据等腰直角三角形的性质求出内框直角边长，再根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：如图， EF＝DG＝CH=， ∵含有45°角的直角三角板， ∴BC=，GH＝2， ∴FG＝8--2-=6﹣2， ∴图中阴影部分的面积为： 8×8÷2﹣（6﹣2）×（6﹣2）÷2 ＝32﹣22+12 ＝10+12（cm2） 答：图中阴影部分的面积为（10+12）cm2． 故答案为：（10+12）． 【点睛】考查了等腰直角三角形，平行线之间的距离，关键是求出内框直角边长． 18．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，，，求的面积． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【分析】过点C作于点D，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D． 在中，，， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． 19．（24-25九年级·上海浦东新·期中）如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【知识点】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 20．（24-25九年级上·上海虹口·期末）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，） 【答案】托板顶点A到底座CD所在平面的距离为248mm． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【分析】过点B作，，交CD于点G，过点A作，交BE于点F，由平行线的性质可得，得出，在与中，分别利用锐角三角函数求解得出，，托板顶点A到底座CD所在平面的距离即可得出． 【详解】解：如图所示：过点B作，，交CD于点G，过点A作，交BE于点F， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 答：托板顶点A到底座CD所在平面的距离为． 【点睛】题目主要考查平行线的性质，利用锐角三角函数解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用锐角三角函数是解题关键． 地 城 考点04 仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 21．（25-26九年级上·上海嘉定·期中）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为 千米．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据俯角的定义，构造直角三角形，利用正弦的定义即可求解飞机与目标点的距离． 【详解】解：如图所示，为飞机，飞机离地面高度为，测得目标的俯角为， 则，，， 在中，， ∴ ∴ 飞机与目标的距离为 千米； 故选：A． 22．（25-26九年级上·上海闵行·期中）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从层直达层，“飞梯”的截面如图，已知的长为米，点处的仰角为，那么高是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是锐角三角函数的应用，灵活运用正弦函数的定义是解题的关键．根据正弦函数的定义，结合直角三角形的边长关系，进而求出高的长度． 【详解】解：为仰角，米， 在中，， （米）． 故选：． 23．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解直角三角形分别求出的长，则可求出的长． 【详解】解：由题意得，， 在中，， 在中，， ∴， 故选：C． 24．（25-26九年级上·上海崇明·期中）如果某飞机的飞行高度为，从飞机上看地面控制点的俯角为，则飞机与地面控制点之间的距离为________．（用含字母的式子表示） 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题考查俯角的定义，直角三角形的性质．画出图形，利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，飞机在点处，为水平线，地面控制点为点A，则， 根据题意，得，， ， ， ∴． 故答案为：． 25．（25-26九年级上·上海·期中）如果某飞机的飞行高度为8千米，从飞机上看到地面控制点的俯角为，那么此时飞机与地面控制点之间的距离为___________千米．（用含的代数式表示） 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题考查解直角三角形，解题关键是知道俯角是哪个角，构造直角三角形，利用锐角三角函数表示边长即可． 【详解】解：如图所示，飞机在点处，为水平线，地面控制点为点A，则， 根据题意，得千米， ， ， ， 解得（千米）． 故答案为：． 26．（25-26九年级·上海嘉定·期中）如图，在地面上离旗杆底部8米的A处测得旗杆顶端C的仰角为，那么旗杆的高度约为______米（，精确到米）． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】利用正切进行求解． 【详解】解：∵， ∴（米）． 27．（24-25九年级上·上海闵行·期中）“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达．喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．”如图，已知，，是上一点，，在处测得点的俯角为，，，那么___________． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形仰角俯角问题及勾股定理，根据题意可得，解直角三角形求出，进而得到，再利用勾股定理求出，由即可求解． 【详解】解：根据题意可得， 在中，， ， ， 在中，，则， ， ． 故答案为：． 28．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为________米（结果保留根号）．    【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形．过点E作于，于，先利用正切三角函数可求出的值，在中，求出的值，然后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：如图，过点E作于，于，      则四边形和四边形均为矩形， ， 由题意得：米，米，米，，， 在中，，即， 解得（米）， 米， 在中，，，， 米， （米）， 答：2号楼的高度是米． 故答案为：． 29．（25-26九年级上·上海闵行·期中）已知甲、乙两幢楼之间的距离CD等于m，现在要测乙楼的高度，所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B处的仰角为α（α是锐角），底部C的俯角为β（β是锐角），请结合示意图求乙楼的高度（结果用含有m、α、β的代数式表示）． 【答案】 【知识点】已知正切值求边长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的仰角俯角问题，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数的定义求解线段长度． 通过作辅助线构造和，利用正切函数求出与的长，即可求出乙楼的高度． 【详解】 解∶ 如图过点作于点， ，，， 四边形是矩形， ， 在中，，， 在中，， ， 乙楼的高度为． 30．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，小明身高（即）为米，通过地面上的一块平面镜（即点C），刚好能看到前方大树（即）的树梢，此时他测得俯角为，然后他直接抬头观察树梢，测得仰角为，求树的高度．（结果保留整数米，，） 【答案】米． 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定和性质等知识．作于点F，证明四边形是矩形，设米，由题意可得，，则米，米，则，得到，即可求出树的高度． 【详解】解：作于点F，则， ∴四边形是矩形， 由题意可得，， 则米， 设米，则米， 米， 在中，， ∴， 即 解得， 答：树的高度约为米． 31．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱的高为11.2米，灯柱与灯杆的夹角为，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为14.7米，从、两处测得路灯的仰角分别为和，且，求灯杆的长度． 【答案】灯杆的长度为2.8米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查解直角三角形−仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．过点A作，交于点F，过点B作，交于点G，则．设知、，由求得，据此知，再求得可得． 【详解】解：过点A作，交于点F，过点B作，交于点G，则， 由题意得． 设． ∵， ∴． 在中， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， 答：灯杆的长度为2.8米． 32．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图所示，和表示前后两幢楼，按照有关规定两幢楼问的间距不得小于楼的高度，即图中大于等于．小明想测量一下他家所住楼与前面楼是否符合规定，于是他在间的点M处架了测角仪，测得楼顶D的仰角为，已知米，测角仪距地面米． (1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由； (2)为了知道前面楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得楼顶D的仰角为，如果米，，请你来计算一下楼的高度． 【答案】(1) 过点作于点， 在中， ， ，，米，米， ∴， 两楼的间距符合规定； (2)37.5米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰角的问题，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解． （1）过点作于点，在中，由得到，比较与即可； （2）延长，交于，由，可得，由正切函数可求得，设，则，，列方程可求得结论． 【详解】（1）略 （2）解：延长，交于， 则，（米）， ， ， （米）， 设，则， ， ， 解得，即米， （米， 楼的高度为37.5米． 地 城 考点05 方位角问题(解直角三角形的应用) 33．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，一艘船从处向北偏东的方向行驶千米到处，再从处向正西方向行驶千米到处，这时这艘船与的距离（　　） A．千米 B．千米 C．1千米 D．千米 【答案】B 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】根据直角三角形的三角函数得出，进而得出，利用勾股定理得出即可． 【详解】解：如图： ， ， 千米， 千米，千米， 千米， 千米， 故选B． 【点睛】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出解答． 34．（25-26九年级上·上海青浦·期中）在某次海上搜救过程中，A船发现在它的南偏西方向上有一漂浮物，同时在A船的正东方向处的B船发现漂浮物在它的南偏西方向，此时，B船距该漂浮物的距离为___． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】设漂浮物为点，过点作于点，根据方向角的定义得到各内角的度数，利用等角对等边得到，再结合等腰三角形三线合一与锐角三角函数求解B船到漂浮物的距离． 【详解】解：如图，设漂浮物为点，过点作于点， 由题意得，，， ， ， ， ∵， ∴， 在中，， ． 35．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，监测点在距离道路的100米处，道路上的货车在监测点的北偏西的方向．道路上的汽车B在监测点的东北方向，此时货车A和汽车B相距___________米（结果保留根号）． 【答案】 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，过点作于点，在和中，利用三角函数解得的长度，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，过点作于点， 由题意，可知，（米）， 在中，可得， ∴（米）， 在中，可得， ∴（米）， ∴（米）， ∴此时货车A和汽车B相距米． 故答案为：． 36．（25-26九年级上·上海·期中）如图，一艘船从处向北偏西的方向行驶3海里到处，再从处向正东方向行驶5海里到处，此时这艘船与出发点处相距__________海里. 【答案】 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出，解答． 根据直角三角形的三角函数得出，，进而得出，利用勾股定理得出即可． 【详解】解：如图： ， ， ，海里， 海里，海里， （海里）， （海里）， 故答案为：． 37．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路上有、两个游船码头，观光岛屿在码头的北偏东方向、在码头的北偏西方向，千米那么码头、之间的距离等于______千米结果保留根号 【答案】/ 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用——方向角问题，解题的关键是构造直角三角形．过点作于点，在中根据三角函数求出、的值，再在中求出，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点． 在中，， ，， 在中，， ， ． 码头，之间的距离是． 故答案为：． 38．（25-26九年级上·上海崇明·期中）如图，小岛A在港口P的南偏西方向上，一艘船从港口P沿正南方向以每小时12海里的速度航行，1小时30分后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西的方向上．小岛A离港口P有多少海里（精确到0.1海里）？（参考数据：，，） 【答案】60.2海里 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题﹒过作，垂足为﹒根据题意求出海里，设海里，得到海里．在中，求出海里．列方程，解得， 即可求出海里，从而求出海里﹒ 【详解】解∶如图，过作，垂足为﹒ 由题意得（海里）， 设海里， ， 海里． 在中，∵， 海里． ， ． ， ∴（海里）， （海里）﹒ 答：小岛A离港口P约有60.2海里． 39．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马．如图，妈妈位于游客中心的正北方向的处，其中．明明位于游客中心的西北方向的处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们在游客中心的北偏西方向的点处相遇． (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从处到处的距离．（参考数据：，，，，，结果保留一位小数） 【答案】(1) (2) 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（1）根据正切函数求出的长，即路程，而速度等于路程除以时间，据此代入计算即可； （2）过点C作交延长线于点E，设，过点D作于点F，得矩形，可得，表示出，进而解直角三角形求解即可． 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键。 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴， ， 答：妈妈步行的速度为； （2）解：如图，过点C作交延长线于点E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 过点D作于点F，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：明明从C处到D处的距离约为． 40．（2024九年级上·上海闵行·期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．    (1)若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？ (2)如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围． 【答案】(1)有危险 (2)时，轮船能安全通过这一区域 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（1）过P作于B，则的长是A沿方向距离P点的最短距离，求出最短距离，再比较比较即可； （2）设轮船沿南偏东航向是射线，过点P作于D，利用特殊角的三角函数值确定答案． 【详解】（1）解：过点P作轮船航线于B，则的长是A沿方向距离P点的最短距离， 由题意得，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， 答：若轮船继续向正东方向航行有触礁危险． （2）解：设轮船沿南偏东航向是射线，过点P作于D， 当时，角的度数最大， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴沿南偏东最大角度为方向航行确保安全通过这一海域， 即时，轮船能安全通过这一区域． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是如何构造直角三角形并知道求哪一条线段的长． 41．（24-25九年级上·上海·期中）如图，A点、B点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B点正东方向的处有一海岸瞭望塔C，又用经纬仪测出：点分别在点的北偏东处、在点的东北方向．（注：，结果精确到） (1)试求出小岛码头A点到海岸线的距离； (2)有一观光客轮从至方向沿直线航行，某瞭望员在处发现，客轮刚好在正北方向的处，当客轮航行至处时，发现点在的北偏东处，请求出点到点的距离； 【答案】(1)小岛码头点到海岸线的距离约为 (2)点到点的距离约为 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用； （1）根据题意可得，，，然后由列式计算即可； （2）过C作于N，先求出，再解直角三角形求出，然后根据含直角三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：过A作于M， 由题意得：，，， ∴，， ∴， 解得：， 经经验，是原方程的解，且符合题意， 答：小岛码头点到海岸线的距离约为； （2）解：如图所示，过C作于N， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：点到点的距离约为． 地 城 考点06 坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 42．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果斜坡的坡比为，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了三角函数的应用，掌握特殊角的正切值是解题的关键．坡角的正切值等于坡比，即可求解． 【详解】解：设斜坡的坡角为，依题意， ∴斜坡的坡角等于 故选：A． 43．（24-25九年级上·上海·期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（   ）    A．4米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，解决问题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 【详解】解：过点B作于点C， ∵传送带和地面所成斜坡的坡度为，米 ∴ ， ∴米， 在中，， 由勾股定理得米 ， 故选：D．    44．（25-26九年级上·上海·期中）沿一斜坡向上走3米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度_________． 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了求坡度． 根据坡度的定义，坡度是铅垂高度与水平距离的比，即． 设沿一斜坡向上走3米，水平距离为米，利用勾股定理可求水平距离，再计算坡度． 【详解】解：设沿一斜坡向上走3米，水平距离为米，根据勾股定理： （米） 坡度， 故答案为：． 45．（25-26九年级上·上海嘉定·期中）某小山坡的坡长为米，山坡的高度为米，那么该山坡的坡度________． 【答案】/0.75 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了勾股定理解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握勾股定理．坡度定义为高度与水平距离的比值，已知坡长和高度，利用勾股定理求出水平距离，再计算坡度即可． 【详解】解：设水平距离为米，根据勾股定理得：， ， ， ， 坡度为高度与水平距离的比值：， 故答案为：． 46．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为_________． 【答案】8 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形的应用．过点、分别作，，垂足分别为、，可得四边形是矩形，利用勾股定理求出，进而求出，根据坡度的概念求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点、分别作，，垂足分别为、， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，，， ∴， 由勾股定理得，即， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故答案为：8． 47．（25-26九年级上·上海·期中）在消防救援锦标赛攀登冲锋梯项目中，消防员需沿冲锋梯攀爬训练塔．已知冲锋梯所在斜坡的坡度为，消防员沿此冲锋梯攀爬的路程为10米，那么消防员攀爬的垂直上升的高度为___________米 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用---坡度坡角问题，根据坡角设出直角边的长并利用勾股定理是解题的关键． 根据坡度定义，垂直高度与水平距离的比为，结合勾股定理建立方程求解垂直高度． 【详解】解：如图，设垂直上升的高度为米，水平距离为米． 由坡度比为，得，即． ∵在中，，即 ∴， 解得（舍去负值）． ∴消防员攀爬的垂直上升的高度为5米． 故答案为：5． 48．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，拦水坝的横断面为梯形，，坝高，背水坡的坡比，迎水坡的坡比，则的长为_______． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，可证明四边形是矩形，则可得到，再解直角三角形求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵背水坡的坡比，迎水坡的坡比， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 49．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如图，水库水坝的坝高为28米，如果迎水坡的坡度为，那么该水库迎水坡的长度为______米． 【答案】35 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】过点B作于C，由迎水坡的坡度为，得到，求出米，再利用勾股定理求出答案即可． 此题考查坡度的定义，解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确理解迎水坡的坡度为得到是解题的关键． 【详解】解：过点B作于C， ∵迎水坡的坡度为， ∴， 米， ∴米， ∴ (米)， 故答案为：35． 50．（25-26九年级上·上海·期中）如图，一个高为米的长方体木箱沿坡比为的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，米，则木箱端点E距地面的高度为_____米． 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键．根据锐角三角函数值，求出，进而利用解直角三角形求得、，然后求得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设、交于点， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（米）， ∴（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 故答案为：． 51．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知梯形是一水库拦水坝的横断面示意图，坝顶宽米，坝高18米，迎水坡的坡度，背水坡的坡度，求坝底宽． 【答案】米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】此题考查了坡度坡角问题．分别过点、作，，垂足分别为点、，分别在中，在中根据坡度的定义即可求解．注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键． 【详解】解：分别过点、作，，垂足分别为点、， 根据题意，可知米，， ， 四边形是矩形， 米， 在中，背水坡的坡度， ， 米， 在中，迎水坡的坡度 ， 米， 米， 答：坝底的长度为米． 52．（24-25九年级上·上海闵行·期中）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为10m，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上、两点间的距离为处到观众区底端处的水平距离为3m，求：顶棚的处离地面的高度．（，结果精确到0.1m） 【答案】约 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——俯仰角问题，涉及到了对坡度概念的理解，解题关键是掌握相关概念，正确构造直角三角形利用三角函数值求解． （1）利用坡度的计算公式即可直接求解； （2）按如图所示构造直角三角形，利用三角函数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 如图，过D点作与平行，交于点G， , 四边形是矩形， ∴，, ∵， ∴ ∴， 答：的高度约为． 53．（25-26九年级上·上海闵行·期中）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为（A、B、P、Q四点在同一平面） (1)求路段的长； (2)当下引桥坡度时，如果测速路段限速，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段，那么小汽车是否超速呢？（参考数据：，，，，，，） 【答案】(1)12米 (2)小汽车没有超速 【知识点】解直角三角形的相关计算、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）根据俯角和正切的概念知，进而可以求出的长； （2）过点A作于M，于H，由题意，得，设米，则米，进而表示出，，的长度，然后根据在中，，进而求出a的值，再利用勾股定理求出，并算出速度与比较大小，即可获解． 【详解】（1）解：由题意，得， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点A作于M，于H． 由题意，得， 设米， ∵下引桥坡度， ∴米， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米，米， 在中，， 即， 解得， ∴，， ∴， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴小汽车没有超速. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $