2026-2027学年九年级上册沪教版五四制期中自编测试（2）（上海专用）

2026-2027学年九年级上册沪教版五四制期中自编测试（2） （上海专用）原卷版 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）第27-28章 1.下列各组图形中不一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 2．二次函数的图像大致是（   ）A．  B．   C．D．   3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果，AD＝9，那么BC的长是（　　） A．4 B．6 C．2 D．3 4．已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，连接AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（　　） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 如果，那么的值为__________． 8. 已知函数，那么______． 9. 如图，在中，点分别在边上， ，如果和四边形的面积相等，，那么 的长是 _____ ． 10．如图，在中，，，点在边上，连接并延长，与的延长线相交于点，如果，那么 ． 11．如图，在中，，点、分别在边、上，，， 与交于点，如果，那么的长等于 ． 12．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．如果AB＝AE＝5，BC＝3，那么CF的长是　　 ． 13．如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离 米时落到地面． 14.如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 15. 如图，在中，，，中线与高交于点，如果，那么______． 16. 秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，AD⊥AB，AD=0.4，过点D作DEAB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF=______． 17.如图，四边形ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10：7．上底AB与下底CD的长度之比为　　 ． 18. 如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，，，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于_________． 三、解答题：（本大题共7题，19,20,21，22题每题10分，23，24题每题12分，25题14分，满分78分） 19．如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 20.如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且．    (1)求证：． (2)若，求的长． 21.如图，是等边三角形，点分别在边上，， (1)求证：； (2)若，，则的长． 22.学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米． （1）小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边AB平行于地面MN（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB距离地面的高度EF为1.5米，小丽与古树的距离AF为16米，求古树的高度DE； （2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为A′、B′、C′（如图②），使直角边B′C′（较短直角边）平行于地面MN（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边B′A′的延长线上，且测得此时边B′C′距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 23.如图，在平行四边形ABCD中，已知平分，点E在边上，联结交于点F，且． (1)求证：点F在边的垂直平分线上； (2)求证：． 24.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，抛物线经过A，C两点，连接． (1)请直接写出b，c的值； (2)若动点在边（不与O，A两点重合）上，过点E作x轴的垂线l交于点F，交于点M，交抛物线于点P，连接． ①设线段的长为h，求h与m的函数关系式； ②当点P在下方的抛物线上时，以P，C，F为顶点的三角形与是否相似？若相似，请求出此时点E的坐标；若不相似，请说明理由． 25. （1）问题引入：如图1，，点D、E分别在边上，． 如图1，将绕点旋转任意角度（且），仅就图2位置． ①求证：； ②在第一问图2中，作直线交于点F，与的数量关系是什么？并说明理由． （2）如图3所示，已知，，，，，求线段的长． （3）如图4，在中，已知，，．以为斜边作等腰（点A、D在直线同侧），连接，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册沪教版五四制期中自编测试（2） （上海专用）原卷版 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）第27-28章 1.下列各组图形中不一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 2．二次函数的图像大致是（   ）A．  B．   C．D．   3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果，AD＝9，那么BC的长是（　　） A．4 B．6 C．2 D．3 4．已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，连接AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（　　） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 如果，那么的值为__________． 8. 已知函数，那么______． 9. 如图，在中，点分别在边上， ，如果和四边形的面积相等，，那么 的长是 _____ ． 10．如图，在中，，，点在边上，连接并延长，与的延长线相交于点，如果，那么 ． 11．如图，在中，，点、分别在边、上，，， 与交于点，如果，那么的长等于 ． 12．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．如果AB＝AE＝5，BC＝3，那么CF的长是　　 ． 13．如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离 米时落到地面． 14.如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 15. 如图，在中，，，中线与高交于点，如果，那么______． 16. 秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，AD⊥AB，AD=0.4，过点D作DEAB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF=______． 17.如图，四边形ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10：7．上底AB与下底CD的长度之比为　　 ． 18. 如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，，，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于_________． 三、解答题：（本大题共7题，19,20,21，22题每题10分，23，24题每题12分，25题14分，满分78分） 19．如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 20.如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且．    (1)求证：． (2)若，求的长． 21.如图，是等边三角形，点分别在边上，， (1)求证：； (2)若，，则的长． 22.学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米． （1）小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边AB平行于地面MN（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB距离地面的高度EF为1.5米，小丽与古树的距离AF为16米，求古树的高度DE； （2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为A′、B′、C′（如图②），使直角边B′C′（较短直角边）平行于地面MN（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边B′A′的延长线上，且测得此时边B′C′距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 23.如图，在平行四边形ABCD中，已知平分，点E在边上，联结交于点F，且． (1)求证：点F在边的垂直平分线上； (2)求证：． 24.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，抛物线经过A，C两点，连接． (1)请直接写出b，c的值； (2)若动点在边（不与O，A两点重合）上，过点E作x轴的垂线l交于点F，交于点M，交抛物线于点P，连接． ①设线段的长为h，求h与m的函数关系式； ②当点P在下方的抛物线上时，以P，C，F为顶点的三角形与是否相似？若相似，请求出此时点E的坐标；若不相似，请说明理由． 25. （1）问题引入：如图1，，点D、E分别在边上，． 如图1，将绕点旋转任意角度（且），仅就图2位置． ①求证：； ②在第一问图2中，作直线交于点F，与的数量关系是什么？并说明理由． （2）如图3所示，已知，，，，，求线段的长． （3）如图4，在中，已知，，．以为斜边作等腰（点A、D在直线同侧），连接，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册沪教版五四制期中自编测试（2） （上海专用）解析版 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）第27-28章 1.下列各组图形中不一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形，相似图形需对应角相等且对应边成比例．A、B、C中的图形因角度固定且边长比例确定，故一定相似；D中的直角三角形角度和边长比例可能不同，故不一定相似，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、两个等腰直角三角形，两个锐角都是度，故两个等腰直角三角形是相似图形，故该选项不符合题意； B、两个等边三角形，每个内角都是，故两个等边三角形是相似图形，故该选项不符合题意； C、两个正方形，每个正方形的四条边都相等，每个内角都是度，故两个正方形是相似图形，故该选项不符合题意； D、两个直角三角形的一个内角是，但其他两个内角不一定相等且三边不一定成比例，故两个直角三角形不一定是相似图形，故该选项符合题意； 故选：D． 2．二次函数的图像大致是（   ）A．  B．   C．D．   【详解】解：二次函数的顶点式为， ，顶点坐标为， 二次函数图像是开口向上，以顶点坐标为的抛物线， 故选：D． 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果，AD＝9，那么BC的长是（　　） A．4 B．6 C．2 D．3 【答案】C 【分析】证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB， ∴△ADC∽△CDB， ∴，， ∴，即， 解得，CD＝6， ∴， 解得，BD＝4， ∴BC2， 故选：C． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4．已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：y=x2−2x−3=(x-1)2-4， ∴对称轴为直线x=1， 令y=0，则(x-1)2-4=0， 解得x=-1或3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)， 二次函数y=x2−2x−3的图象如图： 由图象知． 故选：B． 5.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得出CD∥AB，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【解答】解：A．∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC， ∵CD∥AB， ∴， ∵AB＝CD， ∴，正确； B．∵AE∥BC， ∴， ∵AD＝BC， ∴，正确； C．∵AE∥BC， ∴， 即， ∵AB＝CD， ∴， ∴，错误． D．∵AE∥BC， ∴，正确； 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，连接AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（　　） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得，由∽，可得相似比为，从而得到面积比为，进而求出答案． 【详解】∵∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠B＝90°， 又∵DF⊥AB， ∴∠ADF＝90°， ∴∠BAC+∠F＝90°， ∴∠B＝∠F， 又∵∠ECF＝∠ACB＝90°， ∴△ECF∽△ACB， ∴＝tan∠EAC＝， ∴， 又∵S△ECF＝1， ∴S△ABC＝9， 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的意义，相似三角形的性质和判断，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 如果，那么的值为__________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，可通过设参数的方法代入求解，也可利用比例变形直接计算． 【详解】解：∵， ∴设，，则， ∴； 故答案为：． 8. 已知函数，那么______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了求函数值，熟练掌握函数的相关知识是解题的关键． 将直接代入函数解析式求值即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 9. 如图，在中，点分别在边上， ，如果和四边形的面积相等，，那么 的长是 _____ ． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意可得△ADE∽△ABC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】∵， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 又∵和四边形的面积相等， ∴， ∴，即：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 10．如图，在中，，，点在边上，连接并延长，与的延长线相交于点，如果，那么 ． 【答案】 【分析】此题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证明是解答本题的关键． 由平行四边形的性质得，则，所以，而，，，则，所以，即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ， 点在边上，连接并延长，与的延长线相交于点， ， ， ，，， ， ， 故答案为：． 11．如图，在中，，点、分别在边、上，，， 与交于点，如果，那么的长等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质定理．连接，根据已知条件得到是的中位线，根据三角形中位线的性质得到，，推出，由相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，为的中点， ∵， ∴为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 12．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．如果AB＝AE＝5，BC＝3，那么CF的长是　　 ． 【答案】． 【分析】根据矩形的性质结合勾股定理求出DE长，证明△EFC∽△AFB，则，据此求解即可． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝AE＝5，BC＝3， ∴∠D＝∠B＝∠ECF＝90°，AD＝BC＝3，AB＝DC＝5， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：， ∴EC＝DC﹣DE＝5﹣4＝1， ∵∠ECF＝∠B＝90°，∠EFC＝∠AFB， ∴△EFC∽△AFB， ∴，即， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 13．如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离 米时落到地面． 【答案】10 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，铅球落地时，，故由题意可得关于x的方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去）， ∴铅球运行水平距离为10米时落到地面． 故答案为：10． 14.如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 15. 如图，在中，，，中线与高交于点，如果，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线及三角形中位线定义，熟知等腰三角形的性质及三角形中位线定理是解题的关键．先根据等腰三角形的性质及为的中线，得出为的中位线，进而可求出的长，进一步可求出的长，再过点作的垂线，构造出直角三角形，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：由题知， ，且为高线，， ． 又是的中线， 是的中位线． ， ． 在中， ． 过点作的垂线，垂足为， ， ， ． 又为中点， ． 在中， ． 故答案为：． 16. 秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，AD⊥AB，AD=0.4，过点D作DEAB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF=______． 【答案】 【解析】 【分析】分别过点C、B作CH⊥AB，BG⊥EF，垂足分别为点H、G，先根据勾股定理得到AB=13，进而可求得CH= ，再证明FBE∽ACB，根据相似三角形的性质可得，由此计算即可． 【详解】解：如图，分别过点C、B作CH⊥AB，BG⊥EF，垂足分别为点H、G， ∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5， ∴AB=， ∵CH⊥AB， ∴CH=， ∵DEAB，BG⊥DE，AD⊥AB，AD=0.4， ∴BG=AD=0.4，∠FEB=∠ABC， ∵BF⊥CE，∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠FBE=90°， ∵∠FEB=∠ABC，∠ACB=∠FBE=90°， ∴FBE∽ACB， 又∵CH⊥AB，BG⊥EF， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，根据题意得到是解决本题的关键． 17.如图，四边形ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10：7．上底AB与下底CD的长度之比为　3：14　 ． 【答案】3：14． 【分析】连接AC，根据三角形中线的性质得出△ACE与△DCE面积相等，设出面积参数，分别表示出△ABC与△ACD的面积，利用等高三角形面积比等于底边比即可求解． 【解答】解：四边形ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，如图，连接AC， 由题意得，设S△DCE＝7x，S四边形ABCE＝10x， ∵点E是AD的中点， ∴S△ACE＝S△DCE＝7x， ∴S△ACD＝S△ACE+S△DCE＝14x， ∴S△ABC＝S四边形ABCE﹣S△ACE ＝10x﹣7x ＝3x， ∵四边形ABCD是梯形， ∴AB∥CD， ∴△ABC与△ACD的AB，DC边上的高相等， ∴AB：CD ＝S△ABC：S△ACD ＝3x：14x ＝3：14． 故答案为：3：14． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，正确进行计算是解题关键． 18. 如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，，，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定及性质可得BC，，继而可证，根据等腰三角形三线合一性质可得CF＝BF＝＝1，，∠AFC＝∠FAE＝90°，继而在Rt△AFC中，根据勾股定理可得AF，继而在Rt△AEF中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∵ ∴， ∵，， ∴ 又， ∴， ∵AB＝AC 又点E、点F分别是边AD，边BC上的中点． ∴AF⊥BC，AF⊥AD，CF＝BF＝＝1，， 即∠AFC＝∠FAE＝90°， 在Rt△AFC中，由勾股定理，得： ， ∴在Rt△AEF中，由勾股定理，得： ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是求出综合利用所学知识求得BC，AF的长度． 三、解答题：（本大题共7题，19,20,21，22题每题10分，23，24题每题12分，25题14分，满分78分） 19．如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得，， ∴； （2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ∴． 20.如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且．    (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例． （1）根据平行线的性质得出，，进而得出，即可求证； （2）先得出四边形为平行四边形，则，根据相似三角形的性质得出，求出，即可解答； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 21.如图，是等边三角形，点分别在边上，， (1)求证：； (2)若，，则的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质： （1）等边三角形的性质，得到，三角形的外角，推出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22.学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米． （1）小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边AB平行于地面MN（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB距离地面的高度EF为1.5米，小丽与古树的距离AF为16米，求古树的高度DE； （2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为A′、B′、C′（如图②），使直角边B′C′（较短直角边）平行于地面MN（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边B′A′的延长线上，且测得此时边B′C′距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【答案】（1）13.5米； （2）7米． 【分析】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC，再利用Rt△ABC和Rt△ADF相似求得DF的长，加上EF，即可求得树高DE； （2）利用Rt△A′B′C′和Rt△D′B′F相似求得B′F的长，即可求得小丽向前移动了多少米． 【解答】解：（1）∵∠DFA＝∠ACB＝90°，∠DAF＝∠CAB， ∴△DFA∽△BCA， ∴， 在Rt△ABC中， ∵AB＝0.5m，BC＝0.3m， 由勾股定理得AC0.4（m）， ∵AF＝16m， ∴， ∴DF＝12（m）， ∴DE＝DF+EF＝12+1.5＝13.5（m）， 答：古树的高度DE为13.5米； （2）∵∠D′FB′＝∠A′C′B′＝90°，∠D′B′F＝∠A′B′C′， ∴△D′FB′∽△A′C′B′， ∴， ∴， ∴B′F＝9（m）， ∴16﹣9＝7（m）， 答：小丽向前移动了7米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用，解题的关键是证得△DFA∽△BCA和△D′FB′∽△A′C′B′． 23.如图，在平行四边形ABCD中，已知平分，点E在边上，联结交于点F，且． (1)求证：点F在边的垂直平分线上； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）找到相似三角形，得到等角，再由平行及角平分线得到，得到，最后垂直平分线的性质得到点F在边的垂直平分线上； （2）通过证明，，得到边长比例，再换边进行计算即可． 【详解】（1）， ， 又， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 又平分， ， 又， ， ， 点F在边的垂直平分线上； （2） ， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ． 24.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，抛物线经过A，C两点，连接． (1)请直接写出b，c的值； (2)若动点在边（不与O，A两点重合）上，过点E作x轴的垂线l交于点F，交于点M，交抛物线于点P，连接． ①设线段的长为h，求h与m的函数关系式； ②当点P在下方的抛物线上时，以P，C，F为顶点的三角形与是否相似？若相似，请求出此时点E的坐标；若不相似，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①，②相似，或 【分析】（1）根据矩形的性质求出，再代入，即可求解； （2）①先求出直线的表达式为，可得点M的坐标为，点P的坐标为，从而得到的长，即可求解；②由题意，得：，，，从而得到的长，再结合相似三角形的性质分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形的边，， ∴， ∴， 把点代入得： ，解得：； （2）解：①设直线的表达式为， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 又抛物线的表达式为， ∴由题意得：点M的坐标为，点P的坐标为， ∴， ∴h与m的函数关系式为，其中． ②由题意，得：，，， ， ∵， ∴若以P，C，F为顶点的三角形与相似，需分两种情况： 如图1，若，则， ∴， ∵，， ∴， 此时点E的坐标为； 如图2，若，则， ∴， ∵，， ∴， 此时点E的坐标为． 综上所述：当以P，C，F为顶点的三角形与相似时，点E的坐标为或 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，坐标与图形，相似三角形的性质，利用分类讨论思想和数形结合思想解答是解题的关键． 25. （1）问题引入：如图1，，点D、E分别在边上，． 如图1，将绕点旋转任意角度（且），仅就图2位置． ①求证：； ②在第一问图2中，作直线交于点F，与的数量关系是什么？并说明理由． （2）如图3所示，已知，，，，，求线段的长． （3）如图4，在中，已知，，．以为斜边作等腰（点A、D在直线同侧），连接，求线段的长． 【答案】 （1）①证明：∵图1中， ∴， ∴， 即， ∵将绕点A旋转任意角度α， ∴， ∴． ②，理由如下： 如图2，作直线交于点F，设交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）；（3） 【解析】 【分析】本题属于相似形综合题，主要考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及四点共圆的应用， （1）①由平行线的性质得出，由相似三角形的性质得出，由旋转的性质得出，即可得出； ②由相似三角形的性质得出，再由对顶角相等得出，最后由三角形内角和定理得出； （2）连接，先得出，由勾股定理求出，再证明，最后根据全等三角形的性质求解即可； （3）延长至点F，使得，连接，根据直角三角形得，，，进一步证明，以及点B、点A、点D和点C四点共圆，即可证明，有，可得． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 又， ∴， ∴； （3）解：延长至点F，使得，连接，如图4， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 则， ∵， ∴点B、点A、点D和点C四点共圆， 则， ∵， ∴， ∴， 则， 则， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $