云南昆明市第一中学2026-2027学年高三上学期第二次月考数学试卷

昆明市第一中学2027届高三第二次月考 数学试题 总分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某次生物实验6个小组的耗材质量（单位：千克）分别为1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，则这组数据的中位数是 A．1.63 B．1.67 C．1.64 D．1.65 2．已知向量，，若，则 A． B． C． D． 3．已知，，若，则的取值范围为 A． B． C． D． 4．曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D． 5．已知双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则的离心率是 A． B． C． D． 6．设函数，若的极小值为，则 A． B． C． D． 7．已知是数列的前项和，，，，记且，则 A．171 B．278 C．351 D．395 8．甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字2，3，5，乙的卡片上分别标有数字4，6，10．两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1分，否则乙得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）．记三轮比赛后甲的总得分为，则 A．1 B． C． D．2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在等差数列中，首项，公差，前项和为，则下列命题中正确的有 A．若，则 B．若，则 C．若，则必有 D．若，则是中的最小项 10．如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是 A．存在点，使平面 B．平面平面 C．三棱锥的体积不是定值 D．若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 11．已知直线：，圆：，其中，则下列说法正确的是 A．若直线过点，则直线的斜率不存在 B．直线与圆不可能相切 C．过直线上一点作圆的切线，切点为，的最小值为 D．圆与坐标轴的交点到直线的距离之和为定值5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上，写出满足条件的一个的值，________． 13．函数的部分图象如图，下列结论正确的序号是________． ①的最小正周期为6； ②； ③的图象的对称中心为； ④的一个单调递减区间为． 14．已知线段，射线以点为端点，且．在射线上依次取点，，…，，…，满足，．记，则________． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在四棱锥中，，，，侧面底面，是的中点． （1）求证：平面； （2）已知，，，求二面角的余弦值． 16．（15分） 在中，内角，，的对边分别是，，，已知． （1）求内角的大小； （2）已知的面积为，，，求线段的长． 17．（15分） 口袋中有2个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同．现有两种游戏方案；游戏一：从袋中有放回地摸球2次，记摸到白球的次数为；游戏二：从袋中无放回地摸球2次，记摸到白球的次数为．两种游戏的结果相互独立． （1）分别求两种游戏中第二次摸到白球的概率； （2）求． 18．（17分） 已知为坐标原点，椭圆：的左焦点为，且经过点，过点的直线与椭圆相交于，两点，且，在轴的同侧． （1）求椭圆的标准方程； （2）为的重心，直线，分别交轴于，两点，记和的面积分别为，，求的取值范围． 19．（17分） 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等人得出“悬链线”方程，为参数，其中我们将称为双曲余弦函数，悬链线在建筑学中有着广泛的应用． （1）证明：； （2）令，请讨论在的单调性； （3）无穷数列满足，；是否存在正实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $