湖北华中科技大学附属中学2026-2027学年上学期高二1班数学周测1

**基本信息** 高二数学周测试卷聚焦解析几何核心内容，通过基础概念辨析、综合问题解决与创新情境设计，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，适配周测巩固提升需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|抛物线焦点距离、椭圆定义、圆与直线位置关系等|基础概念辨析，如第1题直接考查抛物线定义应用| |多选题|3|直线过定点、两圆位置关系、抛物线内接三角形性质|多维度辨析，如第10题综合两圆位置与距离范围| |填空题|3|圆与抛物线准线相切、椭圆与双曲线离心率关系、曲线性质判断|跨知识点融合，如第13题结合椭圆双曲线焦点与几何图形| |解答题|5|双曲线方程求解、直线与圆位置关系、椭圆中定值证明等|综合性问题设计，如第17题通过垂直直线探究椭圆中线段关系，考查逻辑推理与数学表达|

高二1班数学周测1 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．点到抛物线的焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一动点，下列等式不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 3．已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，点为坐标原点，若双曲线的离心率为2，则三角形的面积（    ） A． B． C． D． 5．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 6．已知、是双曲线的左、右焦点，点在上，与的一条渐近线垂直，且，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 7．设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线，直线，则（   ） A．恒过定点 B．时， C．时，与的距离 D．与相交于点，过且与两直线所成角相等的直线有两条 10．已知点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两圆只有一个公共点 B．圆与轴相切 C．的取值范围为 D．面积的最大值为5 11．已知的顶点均在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点．若，则（    ） A． B．的周长小于36 C．的三个顶点到轴的距离之和为9 D．上一动点到直线的距离的最小值为 三、填空题 12．若圆与抛物线：（）的准线相切，则抛物线的方程为_________． 13．已知椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的焦点，，以线段为边作正，若椭圆与双曲线的一个交点恰好是的中点，设椭圆和双曲线的离心率分别为和，则______. 14．对于曲线，给出下列四个命题： ①曲线与坐标轴没有公共点； ②曲线关于坐标原点对称； ③曲线上任意一点到坐标原点的距离不小于； ④曲线与曲线恰有四个不同的公共点． 其中，所有正确结论的序号为_________． 四、解答题 15．已知抛物线C：的焦点是双曲线的一个焦点，且双曲线过点. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线仅有1个公共点，求直线的斜率. 16．已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)求证：为定值． 17．已知椭圆：上任意一点到它两焦点的距离之和为，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，求证：为定值，并求出此定值． 18．已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 19．在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，且的离心率为． (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，设关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，记直线为． （ⅰ）若的斜率为，的面积为，求的方程； （ⅱ）若经过点，试判断与单位圆的位置关系，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二1班数学周测1答案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．点到抛物线的焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得抛物线的焦点为， 由两点间距离公式得距离为，故B正确. 2．已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一动点，下列等式不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合椭圆的定义可判断A；利用三角形的三边关系可判断B；结合椭圆的定义及焦半径的范围可判断CD. 【详解】由题意可得，结合椭圆定义可得， ， 对于A：，则，， 且，故可能成立，故A错误； 对于B：，故不可能成立，故B正确； 对于C：当为椭圆短轴端点时，， 当为椭圆长轴端点时，， 所以的范围是， 只要且可满足条件， 由可得，所以可能成立，故C错误； 对于D：，即， 代入椭圆定义可得，， 只要，由，解得，又， 所以当时，成立，故D错误. 3．已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将圆配方得， 因此圆心为，半径； 若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离需满足； 当时，圆上恰好有3个点到直线距离为1； 当时，圆上有4个点到直线距离为1，均满足要求； 由此可得圆心到直线的距离 ， 解得，即. 4．已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，点为坐标原点，若双曲线的离心率为2，则三角形的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为双曲线的离心率为，可得， 则双曲线的渐近线为， 又因为抛物线的准线为， 可知直线与渐近线的交点为，， 所以三角形的面积. 5．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义，将d转化为，再由数形结合求解. 【详解】抛物线的焦点是,准线是直线， 当时，，得， 因为，所以点在抛物线外，如图所示， 过P作准线，垂足为,交轴于,则,, 所以. 6．已知、是双曲线的左、右焦点，点在上，与的一条渐近线垂直，且，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点到双曲线的渐近线的距离，结合可得出与的等量关系，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可设与的一条渐近线垂直时，垂足为点，不妨设点在第一象限内. 点到双曲线的一条渐近线的距离为， 所以，即，即，故， 所以的渐近线方程为. 7．设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点弦问题，结合点差法可得，即可求离心率. 【详解】 如图，取的中点为，连接， 则由题意可得，， 所以相似，所以, 因为直线PQ，PF的斜率之积为， 所以, 设， 则有，两式相减可得， 即，即， 即，所以椭圆的离心率为， 故选:B. 8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件得到圆的方程以及渐近线方程，联立求出点的坐标，根据勾股定理和，建立关于的方程，进而求出离心率． 【详解】如图所示，以为直径的圆的方程为（其中）， 不妨设圆和渐近线的交点在第一象限， 联立，解得. 由直径所对圆周角为直角，可知，故是直角三角形. 由，可得， 即， 整理得， 所以，解得.    二、多选题 9．已知直线，直线，则（   ） A．恒过定点 B．时， C．时，与的距离 D．与相交于点，过且与两直线所成角相等的直线有两条 【答案】AD 【分析】对于A，直接代入可得定点坐标；对于B，根据两直线垂直列出方程即可求出；对于C，先根据两直线平行求出，再利用两平行线间的距离公式即可求解；对于D，根据满足条件的直线是两条角平分线即可判断． 【详解】对于A，将代入的方程，解得， 所以恒过定点，故A正确； 对于B，由得，解得，故B错误； 对于C，由得，解得，此时 所以与的距离，故C错误； 对于D，如图所示，设分别是直线上的一点， 则满足条件的直线为或其补角的角平分线，共2条，故D正确． 10．已知点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两圆只有一个公共点 B．圆与轴相切 C．的取值范围为 D．面积的最大值为5 【答案】BD 【分析】由方程可知各圆圆心和半径，对于A：求得，即可判断两圆位置关系；对于B：可得圆心到x轴的距离，可知圆与x轴相切；对于C：根据圆的性质分析判断；对于D：可得点到直线的距离最大值为，即可得面积最值． 【详解】由题知圆的圆心，半径， 圆可化为16，故圆的圆心，半径， 则，所以两圆相交，故A错误； 因为圆心到x轴的距离，所以圆与x轴相切，故B正确； 由圆的性质可得，且， 所以的取值范围为，故C错误； 由圆的性质可知点到直线的距离最大值为， 所以面积的最大值为，故D正确； 11．已知的顶点均在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点．若，则（    ） A． B．的周长小于36 C．的三个顶点到轴的距离之和为9 D．上一动点到直线的距离的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据抛物线的定义性质，重心坐标公式，平行线间的距离公式逐项求解即可. 【详解】 抛物线的焦点， 设,由抛物线定义可知：,已知， 即， 又因为的重心为抛物线的焦点，即代入 得或，因为所以，故A对 抛物线. 因为的重心为抛物线的焦点，所以(三角形两边之和大于第三边)， 即的周长，故B对. 的三个顶点到轴的距离之和，故C对. 设与直线平行，与抛物线相切的直线方程为， 联立得，， 所以直线，两条平行线间的距离：， 即动点到直线的距离的最小值为，故D错. 三、填空题 12．若圆与抛物线：（）的准线相切，则抛物线的方程为_________． 【答案】或 【分析】求出抛物线的准线方程，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质列方程求解参数，即可得到抛物线方程. 【详解】圆的圆心为，半径. 抛物线（）的准线方程为. 由题意知，圆心到抛物线准线的距离等于圆的半径，即，化简得， 解得或. 所以抛物线的方程为或. 13．已知椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的焦点，，以线段为边作正，若椭圆与双曲线的一个交点恰好是的中点，设椭圆和双曲线的离心率分别为和，则______. 【答案】2 【分析】利用正三角形与中点条件得到焦点三角形两边长度，结合椭圆、双曲线定义分别求出离心率，再借助平方差公式化简乘积求值. 【详解】由题意，，则在椭圆中，则； 双曲线中，则； 所以. 14．对于曲线，给出下列四个命题： ①曲线与坐标轴没有公共点； ②曲线关于坐标原点对称； ③曲线上任意一点到坐标原点的距离不小于； ④曲线与曲线恰有四个不同的公共点． 其中，所有正确结论的序号为_________． 【答案】①②③ 【分析】根据曲线定义域判断①，根据对称性定义判断②，利用基本不等式判断③，结合对称性分析第一象限交点个数判断④. 【详解】命题①：曲线的方程可化为，要使方程有意义，需满足且， 因此曲线与轴、轴均无公共点，故①正确； 命题②：将曲线中的换成，将换成，方程不变， 所以曲线关于原点对称，并且关于轴和轴对称，②正确； 命题③：设曲线上任一点为， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，曲线上任意一点到坐标原点的距离不小于，故③正确； 命题④：将曲线中的换成，将换成，方程不变， 所以曲线关于原点对称，并且关于轴和轴对称， 并且将换成，将换成，方程不变，所以曲线关于直线对称. 曲线中，且， 将曲线中的换成，将换成，方程不变， 所以曲线也关于直线对称. 当，时，联立，得， 当，时，曲线可化为， 当时，函数单调递减， 因为，所以点在直线的下方， 如图，曲线与曲线在第一象限有个交点， 根据两个曲线的对称性可知，其他象限也是个交点，则共有个交点，故④错误. 四、解答题 15．已知抛物线C：的焦点是双曲线的一个焦点，且双曲线过点. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线仅有1个公共点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先根据抛物线的标准方程求出其焦点坐标，即得双曲线的焦点坐标，再利用双曲线的定义求出，进而，即可解答； （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，当时，直线与渐近线平行，与与双曲线仅有1个交点符合题意，当时，利用判别式法列方程求解，即可解答. 【详解】（1）抛物线C：的焦点坐标为， 设双曲线：， 则的焦点坐标为，， 则，则， 而，故， 故双曲线的方程为. （2）显然直线的斜率存在，否则直线与双曲线无交点； 设直线的方程为， 联立则， 故， 若，解得，此时直线与双曲线仅有1个交点； 若，则，解得. 综上所述，直线的斜率为或. 16．已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)求证：为定值． 【答案】(1)(2)7 【分析】（1）根据直线的方向向量和过点坐标，得到直线方程，因为直线与圆相交，故圆心到直线的距离小于半径，可列出不等式得到斜率的取值范围； （2）过圆外一点作圆的切线，则切线长为定值，根据切割线定理即可证明结论； 【详解】（1）∵直线l过点且方向向量， ∴直线l的方程为，则，整理得， 即，得． (2)证明：设过A点的圆C的一条切线为，T为切点， 则． ， 为定值． 17．已知椭圆：上任意一点到它两焦点的距离之和为，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，求证：为定值，并求出此定值． 【答案】(1) (2)①当直线，的斜率一个为0，一个不存在时， ， 将代入，得， 又，所以，因此， 此时，． ②当直线，的斜率都存在且不为0时，椭圆的左焦点， 不妨设的方程为， 联立椭圆的方程得， 其中恒成立， 设，，则，， 于是． 由，用代替m的位置可得， 此时，． 综上所述，为定值，且该定值为． 【分析】（1）根据椭圆的定义得，结合离心率求出，再利用算出，即可得解； （2）分两类讨论：一是两直线一条水平一条竖直的特殊情形，直接求焦点弦长计算倒数和；二是两直线斜率均存在，设联立椭圆，用韦达和弦长公式求，利用垂直关系将替换为得到，化简倒数和消去参数证得定值，两种情形结果一致完成证明． 【详解】（1）由题意得，则，，所以， 从而椭圆C的方程为． （2）略 18．已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)易得，设：，，． 由得， 则，，且，， 所以，． 则 ． 因为，所以，解得（舍去）或， 所以：，故直线过定点． 【分析】（1）利用右顶点处的垂线与两条渐近线的交点距离，直接得到的值，再结合离心率公式求出 即可； （2）设直线的方程，与双曲线联立后用韦达定理表示交点坐标关系，利用两条直线垂直的向量条件（点积为零）建立方程，解得 ，从而确定直线过定点． 【详解】（1）的渐近线方程为和， 将分别代入渐近线方程，得，所以． 又，所以． 又的离心率，得， 故的方程为． （2）略． 19．在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，且的离心率为． (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，设关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，记直线为． （ⅰ）若的斜率为，的面积为，求的方程； （ⅱ）若经过点，试判断与单位圆的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ）直线与圆相切，理由如下： 设直线：，代入，整理得. 则，. 所以. 所以直线的斜率. 直线方程为：， 整理得：. 所以原点到直线的距离：. 因为， . 所以. 故直线与圆相切. 【分析】（1）根据双曲线的离心率，双曲线上的点，结合双曲线中，，的关系列式，可求，，的值，得到双曲线的方程. （2）（ⅰ）设直线的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理，得到，，结合的斜率为，可求的值，再利用的面积，可求的值. （ⅱ）直线：，与双曲线方程联立，结合韦达定理，得到，，利用两点式写出直线的方程，利用点到直线距离公式，求原点到直线的距离，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，. 所以双曲线的方程为：，即. （2）（ⅰ）如图， 设直线方程为，代入， 得，整理得：. 由，整理得：. 设，， 则，. 所以. 又，，由直线的斜率为， 所以或. 因为，所以不合题意，舍去.故. 此时，， 所以. 由点到直线的距离为， 由. 所以直线的方程为. （ⅱ）略 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $