湖北华中科技大学附属中学2026-2027学年高二1班上学期数学周测2

**基本信息** 聚焦解析几何与立体几何核心内容，通过卫星接收天线、阿波罗尼斯圆锥曲线等真实情境，考查空间观念、几何直观与运算推理能力，适配高二周测巩固提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|空间距离、椭圆与双曲线焦点、抛物线应用|第3题卫星天线结合抛物线定义，体现科技情境| |多选题|3题|直三棱柱性质、圆与点位置关系、圆锥曲线截面|第11题以圆锥截面史考查离心率，渗透文化传承| |填空题|3题|圆上点距离、正四面体动点、轨迹问题|第14题轨迹问题综合对称性与范围，培养创新意识| |解答题|5题|圆方程、抛物线与直线、圆锥椭圆截面、三棱锥体积、双曲线综合|第19题双曲线定点证明，考查逻辑推理与数学表达|

高二1班数学周测2 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，已知点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 3．卫星接收天线的曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，信号处理中心位于抛物线的焦点处．已知该卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号处理中心与抛物线顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 4．已知圆与抛物线的交点为，，与的准线的交点为，.若，则（    ） A． B． C．8 D． 5．已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．设双曲线：的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与的实轴切于点，且，则的渐近线方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 7．已知是抛物线上不同的点，点，若，则（ ） A． B． C．60 D．80 8．正方形的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，直三棱柱的所有棱长均为1，，分别为，的中点，则（   ）    A． B． C．在平面上的投影向量的模长为 D．在上的投影向量为 10．已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 11．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲线，如图①．在圆锥中，轴截面是斜边长为的等腰直角三角形，点M是线段的中点．过点M的平面截圆锥，下列图②-图⑤中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分（截面经过点O）、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（     ）． A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为 三、填空题 12．在平面直角坐标系Oxy中，圆上存在点到点的距离为2，则实数的取值范围为______. 13．正四面体的棱长为，在平面内有一动点，满足，若直线与直线所成的角为，则的取值范围为________. 14．在平面直角坐标系中，动点到坐标原点的距离的立方与该点到两坐标轴的距离的乘积相等，记点的轨迹为曲线，以下结论正确的是___________．（填序号）． ①曲线有对称中心                ②曲线有且只有两条对称轴 ③曲线围成的区域面积不超过   ④点到原点的距离的取值范围为 四、解答题 15．已知圆过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过点的圆的切线方程. 16．已知抛物线，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，. (1)求的值； (2)若，且三角形的面积为，求直线的方程. 17．一个轴截面顶角为 的圆锥被某平面所截，得到如图所示的几何体， 为圆锥的顶点，截面为一个椭圆， 是椭圆长轴的两个端点， 是椭圆短轴的两个端点，椭圆的离心率为 ， 为线段 上一动点. (1)证明 平面 ； (2)若 为线段 上靠近 的四分之一点，求二面角 的余弦值. 18．如图，在三棱锥中，平面，平面平面，．为的中点，为的三等分点（靠近点）．    (1)请用表示； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设为的中点，过的平面与射线、分别交于点、，求三棱锥体积的最小值． 19．已知双曲线：（，）的离心率等于2，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线（）与轴交于点，与双曲线的右支交于、两点（在、之间），是双曲线的右焦点，过作的垂线，垂足为. （i）若是中点，求的值； （ii）证明：直线经过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二1班数学周测2 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，已知点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设有，设平面的法向量为， 则，故，取， 而，故点到平面的距离为. 2．已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【详解】由题可知，所以. 3．卫星接收天线的曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，信号处理中心位于抛物线的焦点处．已知该卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号处理中心与抛物线顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以抛物线顶点为原点，对称轴为轴， 设抛物线方程为，焦点，焦点到顶点距离为． 天线口径（直径），深度，故抛物线过点（或）， 将代入：， 焦点到顶点距离为． 4．已知圆与抛物线的交点为，，与的准线的交点为，.若，则（    ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【分析】先由圆截准线的长可得，再将圆与抛物线方程联立可得相交弦长. 【详解】设圆心到的准线的距离为，则，解得， 所以，，，由与联立， 解得，，由圆与抛物线都关于x轴对称，所以. 故选：C. 5．已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理和椭圆定义可得，求出答案 【详解】设． 在中，由三角形内角和得． 由正弦定理得，即． 由椭圆定义得，即，所以． 其中， ， 椭圆离心率，得． 6．设双曲线：的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与的实轴切于点，且，则的渐近线方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】首先求出线段的长度，再利用已知相切关系得到是等腰直角三角形，借助三线合一即可求出答案. 【详解】 因为双曲线的右焦点，渐近线方程是, 令渐近线的方程是, 所以到渐近线的距离, 因为,所以是的中点，又因为内切圆与三角形相切，所以, 又因为,所以是等腰直角三角形，所以, 同理，渐近线的方程是时,, 所以则的渐近线方程是. 7．已知是抛物线上不同的点，点，若，则（ ） A． B． C．60 D．80 【答案】D 【分析】首先确定抛物线参数，然后利用向量条件求出，最后利用焦半径公式求出模长的和. 【详解】 抛物线方程，则， 焦点，即焦点为，准线为， 由焦半径公式可知，抛物线上任意一点， 到焦点的距离， 设，则向量， 已知， 由向量加法的坐标运算得 则，解得， 由焦半径公式， ． 8．正方形的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作底面的平行圆，利用空间向量数量积的运算律求解即得. 【详解】过点作平行于底面的截面圆，过点作平行于底面的截面圆，， 设圆柱的底面圆半径为，则，解得 ，于是， 由，得 ， 所以、两点间的距离为. 故选：C    【点睛】关键点睛：求出空间两点的距离，借助空间向量表示及空间向量数量积是解决问题的关键. 二、多选题 9．如图，直三棱柱的所有棱长均为1，，分别为，的中点，则（   ）    A． B． C．在平面上的投影向量的模长为 D．在上的投影向量为 【答案】AC 【分析】选项A：向量分解法，拆分为基向量（）的组合，结合点的中点关系推导表达式； 选项B：向量点积法，展开，利用直三棱柱侧棱垂直、正三角形夹角性质计算点积； 选项C：平面投影，作向量端点到平面的垂线，用勾股定理算投影向量模长； 选项D：直线投影，作端点到直线的垂线，或用投影公式算投影向量； 【详解】因为直三棱柱所有棱长为1，分别是，中点，所以 选项A：，A正确； 选项B ：因为底面是正三角形，所以与的夹角是，与的夹角是， 所以； ； 又，故， 所以 ，B错误； 选项C ：过作平面，垂足为，易知， 过作平面，垂足为，易知， 即在平面上的投影向量为， 所以.C正确； 选项D ：过作，垂足为，易知，过作，垂足为， 易知，即在上的投影向量为， 因为，则：.D错误.    故选：AC. 10．已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 【答案】ABD 【分析】由点与圆心间的距离与圆的半径比较，确定点与圆的位置关系，判断A；求出圆上的点到定点的距离的最大值为定点到圆心的距离加上圆半径，判断B；设，表示出，得其关系，即可判断C；求得，即可得其最大值，判断D. 【详解】对于A，，所以B在圆O外，故A正确； 对于B，由图知，当且仅当点为圆与轴的左交点时取等，故B正确； 对于C，D，设，则， 故， ， 则，故C错误； 所以由B项可得，，当且仅当时取等，故D正确． 11．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲线，如图①．在圆锥中，轴截面是斜边长为的等腰直角三角形，点M是线段的中点．过点M的平面截圆锥，下列图②-图⑤中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分（截面经过点O）、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（     ）． A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为 【答案】BCD 【分析】建立直角坐标系，利用平面几何知识可判断AB；根据圆锥和截面相交求出抛物线和双曲线的方程可判断CD. 【详解】已知圆锥的轴截面是斜边长的等腰直角三角形， 可得，，是中点，. 以为原点，以方向为轴，以与垂直向内的方向为轴， 以方向为轴建立空间直角坐标系， 得，，，，. 选项A：截口为圆时，截面平行于底面，圆半径， 面积，A错误； 选项B：截面过，椭圆长轴为线段， 可得， 故长轴长为，B正确； 选项C，如图，作出符合题意的图形， 设抛物线与底面圆的交点为，以为原点， 以为轴，在平面建立平面直角坐标系. 由于圆锥底面半径为，则，得，，， 将代入抛物线方程，得， 故抛物线的焦点到准线的距离为1，C正确； 选项D，如图，作出符合题意的图形， 在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上， 则点的坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为， 设双曲线方程为，则， 将代入双曲线方程得，解得， 则离心率，D正确. 三、填空题 12．在平面直角坐标系Oxy中，圆上存在点到点的距离为2，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题意可得的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，两圆有公共点可得，求解即可. 【详解】圆的标准方程为，故圆是以为圆心，1为半径的圆， 的轨迹是以为圆心，2为半径的圆. 依题意，两圆有交点，则， 两边平方得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为. 13．正四面体的棱长为，在平面内有一动点，满足，若直线与直线所成的角为，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】先求出正四面体底面中心到顶点距离与体高，由得到动点在底面的轨迹是半径为1的圆；利用向量分解，消去垂直底面的，把异面直线夹角余弦转化为底面向量与夹角的表达式，结合的取值范围求得的范围. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 设正的中心为，连接， 因为为正四面体，所以平面， 在正中，边长为，外接圆半径为， 在Rt中，正四面体的高为， 在Rt中，因为，，所以， 所以点在平面内的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 因为平面，且平面，所以， 所以， 设在平面内向量与的夹角为， 则， 由异面直线所成角的定义得， 因为，所以，从而. 14．在平面直角坐标系中，动点到坐标原点的距离的立方与该点到两坐标轴的距离的乘积相等，记点的轨迹为曲线，以下结论正确的是___________．（填序号）． ①曲线有对称中心                ②曲线有且只有两条对称轴 ③曲线围成的区域面积不超过   ④点到原点的距离的取值范围为 【答案】①③ 【分析】根据题意建立曲线方程，再通过代入对称点验证对称性判断①②，接着利用基本不等式和分类讨论得到点到原点的距离范围，从而判断③④. 【详解】设点，由题意可得， 对于①，将代入上式，式子依然成立，所以曲线关于原点中心对称，该结论正确； 对于②，将代入，方程不变，所以轴为其对称轴， 同理，将代入，方程不变，所以轴，，也是其对称轴， 故曲线至少有四个对称轴，该结论错误； 对于③，由均值不等式，对任意实数，有​，当且仅当时取等号， 将其代入方程，得：； 当（即为原点）时，方程成立，此时点到原点的距离为， 当时，不等式两边同时除以，得：，​ 两边平方得，故点到原点的距离始终小于等于， 由可知，曲线位于以原点为圆心，为半径的圆内或圆上，该圆的面积为， 故曲线围成的区域面积不超过，由上述推理可知，③正确，④错误. 故答案为：①③ 四、解答题 15．已知圆过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过点的圆的切线方程. 【答案】(1)(2)或； 【分析】（1）根据题意，设圆心为，再由，列出方程，求得，即可求得圆的标准方程； （2）当过点的直线斜率不存在，则直线方程为，符合题意；②当过点的直线斜率存在，设直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求得 的值，即可求解. 【详解】（1）解：因为圆心在直线上，设圆心为， 因为点在圆上，可得， 所以，即， 解得，所以圆心，且半径， 所以圆的标准方程为：. （2）解：由（1）知：圆，且圆心，半径， 因为，则点在圆外， ①当过点的直线斜率不存在，则直线方程为， 圆心到直线的距离为2，故直线为圆的切线； ②当过点的直线斜率存在，可设直线方程，即，圆心到该直线的距离， 由直线与圆相切，则，即， 整理得，解得， 此时，直线方程为，即； 综上可得，切线的方程为或. 16．已知抛物线，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，. (1)求的值； (2)若，且三角形的面积为，求直线的方程. 【答案】(1)2(2)或 【分析】（1）联立直线与抛物线解析式，消元得根与系数关系，根据，求出参数的值， （2）由两点之间距离公式及点到直线距离公式表示出面积，化简求得的值. 【详解】（1）（1）将直线代入消去可得 恒成立 设，则有 又，则有， 所以； （2）由（1）可知， 到直线的距离为， 故， 解得，所以， 所以直线的方程为或. 17．一个轴截面顶角为 的圆锥被某平面所截，得到如图所示的几何体， 为圆锥的顶点，截面为一个椭圆， 是椭圆长轴的两个端点， 是椭圆短轴的两个端点，椭圆的离心率为 ， 为线段 上一动点. (1)证明 平面 ； (2)若 为线段 上靠近 的四分之一点，求二面角 的余弦值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由余弦定理证明，再由勾股定理证明，由线面垂直的判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值即可. 【详解】（1）(1) 由题意， ，又 ， ， ， ， 又由题意设椭圆中心点为 ，离心率为 ， 即 ， 可得: ， ，， 又 平面 ， 平面 （2）如图，建立以 为原点， ， ，过 垂直于平面 的直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系 . 则 ， ， . 设平面 的法向量为 ，则 ， 则令 为平面 的一个法向量. 同理设平面 的法向量为 ， 则 ，令 ， 为平面 的一个法向量. 由为线段 上靠近 的四分之一点，二面角 显然为钝角， 设二面角 为 ， 则 . 18．如图，在三棱锥中，平面，平面平面，．为的中点，为的三等分点（靠近点）．    (1)请用表示； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设为的中点，过的平面与射线、分别交于点、，求三棱锥体积的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用空间向量基本定理线性表示出向量即可； （2）利用面面垂直的性质定理，余弦定理以及线面角的定义结合已知条件求解即可； （3）根据题意建立空间直角坐标系，写出相应的点坐标和求出相应向量坐标，利用点共面的性质、锥体体积公式以及基本不等式分析求解即可. 【详解】（1）由题意，连接，如图所示，    由为的中点，为的三等分点（靠近点）， 则 . （2）因为平面，平面，所以， 过点作，垂足为，如图所示， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，面，面，则平面， 因为平面，所以， 过作，垂足为，由平面， 所以，所以平面，则为直线与平面所成角， 由题意可知， 根据余弦定理得：， 所以，, 设直线与平面所成角为， 在直角三角形中有： 所以直线与平面所成角的正弦值为．    （3）由（2）知，，，， 以为原点，以所在直线分别为轴， 在平面内，以与垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 设， 则， 由于四点共面，则存在实数，使得， 即，解得， 而，故，解得， 当且仅当，即时等号成立， 而到平面的距离为， 所以， 当且仅当时等号成立. 19．已知双曲线：（，）的离心率等于2，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线（）与轴交于点，与双曲线的右支交于、两点（在、之间），是双曲线的右焦点，过作的垂线，垂足为. （i）若是中点，求的值； （ii）证明：直线经过定点. 【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）直线HN恒过定点. 【分析】（1）由双曲线上的点和离心率，求出得双曲线的方程； （2）直线与曲线联立方程组，根据判别式可得，由韦达定理可得，（ⅰ）由题意可得，联立方程组计算求解即可；（ⅱ）由题意可得点，点，根据直线点斜式方程及韦达定理，令，化简即可求证. 【详解】（1）由题意，，则. 双曲线方程可写为，即. 将点代入方程得. 所以.故双曲线的标准方程为. （2）由（1）可知，双曲线右焦点为. 因为，所以直线PF的方程为（垂直于轴）. 由直线方程，令得. 设，联立直线与双曲线方程. 整理得. 判别式. 由韦达定理得. （ⅰ）因为，且是QN的中点，所以在轴方向上有. 代入韦达定理得 从而. 两边同乘得. 因为，所以. 此时，满足，两交点均在右支. （ⅱ）（ⅱ）由题意得直线PF的方程为， 如图，过作PF的垂线，垂足为，点坐标为. 当时，直线的方程为. 由韦达定理可知. 直线令，得. 将代入右边式子， 得. 因为，所以两边同除以，得. 因此无论为何值，直线HN恒过定点. 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $