第26章《二次函数》章节测试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第26章《二次函数》章节测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，二次函数是（　　） A．y＝﹣4x+5 B．y＝x（2x﹣3） C．y＝ax2+bx+c D． 2．对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 3．在同一坐标系中，画函数、、的图象，它们共同特点是（　　） A．开口向上 B．都是关于轴对称的抛物线，且随的增大而增大 C．开口大小相同 D．都关于轴对称的抛物线 4．已知抛物线过原点，你认为c的值应为（    ） A． B．0 C． D． 5．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．若饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 7．若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　 ） A．y3＞y1＞y2 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y2＞y3 8．已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点的坐标为(m，0)，则代数式m2－m＋2019的值为(　  　) A．2015 B．2016 C．2019 D．2020 9．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 10．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像的一部分，给出下列命题：①abc＞0；②b=-a；③9a-3b+c=0；④m（am+b）≥a-b（m为任意实数）；⑤4ac-b2＜0，其中正确的命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知函数，若它是二次函数，则函数解析式为___________． 12．将抛物线C1：y＝x2﹣4x+1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到将抛物线C2，则抛物线C2的解析式为：_______________． 13．如已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为_____________． 14．在平面直角坐标系中，若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是__________． 15．在“弘扬科学家精神，共筑科技强国梦”为主题的物地学科节中，格格同学设计制作了“火箭”升空实验装置，已知该“火箭”的升空高度（米）与飞行时间（秒）满足函数表达式，则“火箭”升空的最大高度为______米． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．已知二次函数． (1)求该函数图象的对称轴、及顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而增大． 17．已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过． (1)求这个二次函数的表达式； (2)判断点是否在这条抛物线的图象上． 18. 某县为促进经济发展从马来西亚引进一种高档水果，某商场经销这种水果，原价每千克50元，为了减少产生水果烂损进行降价促销，连续两次降价后每千克32元，且平均每次下降的百分率相同． (1)求平均每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，经市场调查发现，若每千克每涨价1元，日销售量就减少20千克，那么每千克应涨价多少元该商场每天盈利最多？最多是多少元？ 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台的长约为，球网在球台的中点处（点A是的中点），球网的高度约为，发球点的高度为，当乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，，．设乒乓球距离发球点C的水平距离为，乒乓球距离球台的竖直高度为，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物线． (1)求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网并落在球台上），并说明理由． 20．露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式； 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入该款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，最多可摆放多少张椅子？ 21．如图，已知二次函数的图像经过点、和原点O．P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C． (1)直接写出二次函数的解析式： ；当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值； (2)当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的二倍，那么称该点为“二倍点”．如，，都是“二倍点”． (1)下列函数图象上只有一个“二倍点”的是_____（填序号）； ①；②；③ (2)已知二次函数（m，n均为常数）的图象与直线只有一个交点，且该交点是“二倍点”． ①求二次函数的表达式． ②是否存在一个常数t，使得当时，二次函数的最小值恰好等于？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 23．【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），则关于的函数解析式为：（）；设水池2的边的长为（）（），面积为（），则关于的函数解析式为：（），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 (1)水池2面积的最大值是 ；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ； (2)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)假设水池的边的长度为（），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（）关于（）（）的函数解析式为：（）．若水池3与水池2的面积相等时，（）有唯一值，直接写出的值． 参考答案 一、选择题 1．B A、y＝﹣4x+5是一次函数，故选项A不合题意； B、y＝x（2x﹣3）是二次函数，故选项B符合题意； C、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故选项C不合题意； D、不是二次函数，故选项D不合题意． 故选：B． 2．B 解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 3．D 解：的图像开口向上，对称轴为y轴，在对称轴右侧的抛物线，且随的增大而增大； 的图像开口向下，对称轴为y轴，故A选项错误，不符合题意； 在对称轴右侧的抛物线，且随的增大而减小，故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴三个抛物线开口大小不相同，故C选项错误，不符合题意； 的图像开口向上，对称轴为y轴，故D选项正确，符合题意； 4．B 解：∵抛物线经过点(0，0) ， ∴c=0， 5．A 解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 故选：． 6．D 解：饲养室长为，则宽为， 由题意， 解得， 则占地面积． 故选：D． 7．D ∵在点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）中，它们的横坐标分别为：-2、1、2， ∴这三个点到抛物线的对称轴直线的距离由近到远依次是点A、B、C， 又∵抛物线开口方向向下， ∴. 点睛：在抛物线上的点，当时，点距离对称轴越远其对应的函数值越大；而当时，点距离对称轴越近其对应的函数值越大. 8．D 解：∵抛物线y=x2−x−1与x轴的一个交点为(m,0)， ∴m2−m−1=0， ∴m2−m=1， ∴m2−m+2019=1+2019=2020. 故选D. 9．C 解：， 去括号得：， 移项得：， 即， 由函数图象可知，当时， 二次函数的图象在一次函数的图象上边， 不等式的解集为． 10．C 解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴是x=-=-1， ∴b=2a＞0， ∵抛物线交于y轴的负半轴， ∴c＜0， ∴abc＜0，①说法错误； ∵b=2a，∴②说法错误； ∵抛物线与x轴交于（1，0），对称轴是x=-1， ∴抛物线与x轴的另一个交点是（-3，0）， ∴9a-3b+c=0，③说法正确； ∵抛物线的对称轴是x=-1，且开口向上， ∴函数最小值为a-b+c， ∴am2+bm+c≥a-b+c， ∴m（am+b）≥a-b，④说法正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0， ∴4ac-b2＜0，⑤说法正确； 正确的个数有3个. 故选：C． 二、填空题 11． 解：∵函数是二次函数， ∴且， 当时， 解得：，， 综上：， ∴函数解析式为， 故答案为：． 12．y＝（x+1）2﹣5 解：抛物线C1：y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标为（2，﹣3），把点（2，﹣3）先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后所得对应点的坐标为（-1，﹣5），所以平移后的抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣5， 故答案为y＝（x+1）2﹣5． 13． 解：， 开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大， 当时，有最小值为1， ， 当时，有最大值为， y的取值范围为． 14． 解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴ ，即 ， 解得：． 故答案为： 15．37 解：二次函数， 抛物线开口向下，函数有最大值， 当时，米， 故答案为：37． 三、解答题 16．x增大而减小进行解答即可． 【详解】（1）解：， 该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：， 抛物线的开口向下， 当时，随的增大而增大． 17．（1）解：∵顶点坐标是 ∴可设解析式为 把点代入得， ∴ ∴ （2）解：当时，， ∴点在这条抛物线的图象上． 18．（1）解：设每次下降的百分率为a， 根据题意，得：， 解得：（舍）或， ∴每次下降的百分率为； （2）解：设每千克应涨价x元，每天盈利为W元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W最大，最大为， ∴每千克应涨价元该商场每天盈利最多，最多是6125元 四、解答题 19．（1）解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，点C的坐标为． 设抛物线的函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， 乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式为（或）． （2）乒乓球发球器此次发出的球无效， 由题意可知点A的横坐标为1.4， 当时，， ， 乒乓球越过了球网． 令，则， 解得，． ， 乒乓球没有落在球台上． 综上可得乒乓球发球器此次发出的球无效． 20．解：[建立模型] 以的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示： ∵款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度 ∴ 设抛物线函数关系式为 ∵抛物线经过点 ∴ 解得 即； [运用模型]∵，且椅子高度，宽度 ∴ 解得 则的距离为2； ∵椅子数量为正整数 ∴最多可摆放的椅子数量为张． 21．（1）解∶∵二次函数的图像经过点和原点O． ∴可设二次函数的解析式为y=ax（x-4）， 把点A（3，3）代入，得：3=3a（3-4）， 解得：a=-1， ∴二次函数的解析式为y=- x（x-4）=-x2+4x； 根据题意得：0<m<3，PC=PD -CD， 设直线OA的解析式为， 把点A（3，3）代入，得：3=3k， 解得：k=1， ∴直线OA的解析式为y=x， ∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y=-x2+4x上，C在直线OA上， ∴P（m，-m2+4m），C（m，m）， ∴PD=-m2+4m，CD= m， ∴PC=PD -CD=-m2+4m-m=-m2+3m ， ∴当时，线段PC最大，最大；值为； （2）解：存在，理由如下： ∵C（m，m），P（m，-m2+4m）， ∴OD=m，CD=m，PD=-m2+4m， ，， 当0<m<3时，仅有OC=PC， 由（2）得：PC= PD -CD=-m2+3m， ∴，解得：或0（舍去）， ∴此时； 当m≥3时，点C在点P的上方，此时PC=CD-PD=m2-3m， 当OC=PC时，， 解得：或0（舍去）， ∴此时点； 当OC=OP时，有OC2=OP2， ∴， 解得：m=5或3（舍去）或0（舍去）， ∴此时点P（5，-5）， 当PC=OP时， ， 解得：m=4或0（舍去）， ∴此时点P（4，0）； 综上所述，存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0）． 五、解答题 22．（1）解：①联立， 解得：， 一次函数的图象上的“二倍点”为，故①符合题意； ②联立， 即， 解得：，， 故②不合题意； ③联立，无解 ③不符合题意； 综上所述，只有一个“二倍点”的是① （2）①抛物线与直线只有一个交点， 方程有两个相等的实数根，即． ． ． 联立与，得，． “二倍点”的坐标为． 将代入，得． ． ， 解得． ． 二次函数的表达式为． ②存在，t的值为或． ． ①当，即时，在处y有最小值， ， 即， 解得（舍去），． ②当，即时，y的最小值为， 令，得（舍去）． ③当时，在处y有最小值， ， 解得，（舍去）． 综上所述，t的值为或． 23．（1）解：（）， 的顶点坐标为， ， 的图像开口向下， 当时，水池2面积最大，为； 当（）时，（）， 化简得（）， 因式分解得（）， 解得或， 由图像知，当或时，， 即当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或； （2）解：由（1）得，当时，， 当时，两个水池面积差的最大值为的最大值， （），， 当时，取最大值，为， 两个水池面积差的最大值为，此时； （3）解：当水池3与水池2的面积相等时，， 整理得， （）有唯一值， ，解得． 学科网（北京）股份有限公司 $