第26章《二次函数》单元提升检测卷2026-2027学年人教版九年级上册数学

人教版九年级上册数学第26章《二次函数》单元提升检测卷 姓名：___________班级：___________得分： 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．若函数是二次函数，则“”可以是（    ）． A． B． C． D． 2．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．顶点坐标是 C．与y轴交点是 D．当时，y随x增大而增大 3．将抛物线向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 4．已知点，，都在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 5．将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线是（    ） A． B． C． D． 6．已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．函数，下列结论中正确的是（    ） A．若，函数图象过点 B．若，函数图象与轴没有交点 C．若，则当时，随的增大而减小 D．若，则当时，随的增大而增大 8．若二次函数与一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．已知，，是二次函数图象上的点，则（     ） A． B． C． D． 10．如图是二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 11．二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（     ） A． B． C． D． 12．如图是抛物线图象的一部分，其顶点坐标为，与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④不等式的解集为；⑤方程有两个相等的实数根；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．已知抛物线，该函数有最______值为______． 14．二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是____________． 15．已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则下列结论中：①；②；③；④．正确的是______（填序号）． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点O和点A，则关于x的不等式的解集为______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为．小球的飞行高度能否达到？如果能，需要多长时间？ 18．（10分）如图，在一道长为的墙一侧，用长为的篱笆，围成一个一边靠墙、中间隔有一道篱笆的矩形花圃．当，各为多少时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 19．（10分）2024年巴黎奥运会开幕，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“弗里吉”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“弗里吉”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“弗里吉”每天的销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)每个毛绒玩具“弗里吉”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？ (3)当毛绒玩具“弗里吉”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 20．（10分）一次足球训练中，小华从球门正前方的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若防守队员小明正在抛物线对称轴的左侧加强防守，他的最大起跳高度是，小明需要站在离球门距离多远的地方才可能防守住这次射门？ (3)在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动__________． ①；②；③．（填序号即可，2.5922）． 21．（10分）一座抛物线形拱桥如图所 示，当拱顶离水面时，水面宽，在突降暴雨致水位上升后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示．这艘船宽，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 22．（12分）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 23．（12分）如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 24．（12分）如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为S．求S关于的函数关系式；当取何值时，S有最大值，求出S的最大值； (3)若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以，M，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（12分）如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数单元提升卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B A C D D C C 题号 11 12 答案 C C 1．C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 一般地，形如（为常数，）的函数是二次函数，据此可得答案． 【详解】解：根据二次函数的定义，“”可以是． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数顶点式，分析a的符号判断开口方向，顶点坐标，与y轴交点求时的y值，以及对称轴两侧的增减性． 【详解】解：∵二次函数为， ∴，开口向上，故A错误； 顶点坐标为，故B错误； 当时，，与y轴交点为，故C错误； ∵对称轴为，且， ∴当时，y随x增大而增大，故D正确， 故选：D． 3．A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移变换，抛物线平移时，向下平移改变y值，向左平移改变x值，先求原顶点坐标，再根据平移方向计算新顶点，最后写出新解析式． 【详解】解：∵ 原抛物线 的顶点为 ， ∴ 向下平移4个单位后，顶点变为 ， ∴ 再向左平移3个单位后，顶点变为 ， ∴ 新抛物线的解析式为 ， 故选A． 4．B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．由二次函数的解析式可得，开口向上，对称轴为，利用二次函数的性质，求解即可． 【详解】解：二次函数， 则，开口向上，对称轴为直线， 则函数图象上的点，离对称轴越远函数值越大， 点，，到对称轴的距离分别为：3、4、， ∴， 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握左加下减，左右平移，实施在x上，上下平移，对于y实施是解题的关键．根据左加下减的平移原则计算即可． 【详解】解：根据题意，得抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线是． 故选：A． 6．C 【分析】二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；越大，图象的开口越小． 【详解】解：函数的图象开口向上，函数和的图象开口向下，且函数的开口更大， ，，，， ． 7．D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质依次判断求解即可． 【详解】解：A、当时，函数解析式为， 当时，， 当时，函数图象经过点，选项不符合题意； B、当时，函数解析式为， 令，则， 当时，函数图象与轴有两个不同的交点，选项不符合题意； C、， 二次函数图象的顶点坐标为， ∵， ∴开口向上， ∴当时，随的增大而减小，选项不符合题意； D、， 二次函数图象的对称轴为． 若，则开口向下， 当时，随的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，选项符合题意． 故选：D． 8．D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，抛物线与轴的交点问题等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．根据抛物线开口方向、对称轴和与轴的交点，确定的符号进行判断即可． 【详解】解：抛物线开口向上，故， 由一次函数图像可知，，， ， ；故A错误； 当时，二次函数，一次函数， 从图象上看，，即；故B错误； 当时，二次函数，一次函数， 从图象上看， 故， ， 的值不能确定正负，故C错误； 当时，由函数图象可知， ， ， 即，解得， ，， ，即， ，故D正确． 9．C 【分析】先求出二次函数的对称轴，结合开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 10．C 【分析】根据二次函数图象判定，的符号，利用对称轴公式确定，关系，结合特殊点坐标判断代数式符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， 又∵抛物线与 轴交于正半轴 ， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，故选项正确； ∵， ∴， ∴，故选项错误； ∵抛物线与 轴有两个交点， ∴，故选项错误 ； 由图象可知，当 时，， ∴，故选项错误； 故选． 11．C 【分析】利用二次函数对称轴公式求出对称轴，结合图象读出较小根的范围，利用两根关于对称轴对称的性质求出较大根的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 设的两个根分别为，，且， 根据函数图象有：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．C 【分析】由题意，，，可判断错误；观察对称轴即可判断正确；根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点是可判断④错误；抛物线 图象与直线只有一个交点，方程有两个相等的实数根，故⑤正确． 【详解】∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∵对称轴在轴右边， ∴， ∴， ∴，故错误， ∵顶点坐标为， ∴， ∴，故②正确； ∵，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点是，故错误， 由题意：图象与直线交于，两点， ∴当时，即不等式的解集为，故④正确， ∵抛物线 图象与直线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根，故⑤正确， 故选C． 【点睛】此题考查了二次函数的性质、二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题． 13． 最小 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当，即时，函数有最小值，最小值为， 故答案为：最小；． 14．或 【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可得抛物线对称轴为直线，抛物线与轴一个交点为， ∴抛物线与轴另一个交点为， ∴当时，x的取值范围是或． 15．①②③ 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的图象判断式子符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键．运用数形结合思想得图象开口向上，图象与轴的交点坐标为，则，，因为抛物线关于对称，则，整理得，结合对称性得抛物线与轴的另一个交点坐标为，把代入，得，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，开口向上， ∴， 故①符合题意； 观察函数图象得抛物线与轴的交点坐标为， ∴， 故②符合题意； ∵抛物线关于对称， ∴ ∴ ∴ 故③符合题意； 观察函数图象得抛物线与轴的一个交点坐标为， ∵抛物线关于对称， ∴ 即抛物线与轴的另一个交点坐标为， 把代入，得， 即 故④不符合题意； 故答案为：①②③ 16．或 【分析】本题考查二次函数和不等式的关系，解题关键是通过数形结合求解；通过抛物线与直线的交点即可求解． 【详解】解：∵抛物线和直线交于点和点， ∴或时，抛物线在直线的上方， ∴不等式的解集为：或， 故答案为：或． 17．小球的飞行高度能达到，需要的时间是 理由如下：当时，代入函数关系得：， 整理得， 解得， ∴当时，小球的飞行高度达到． 【分析】把代入函数关系式可得方程，解方程即可得到结论． 【详解】略 18．当时，花圃的面积最大，最大面积是 【分析】设的长为，花圃的面积为，则，易得，花圃的面积为，再利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：设的长为，花圃的面积为，则， ∵在一道长为的墙一侧， ∴．即，解得：， ∴花圃的面积， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，S随x的增大而减小， ∵， ∴当时，花圃的面积S最大，此时，． 答：当时，花圃的面积最大，最大面积是． 19．(1)， (2)每个吉祥物“弗里吉”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元 (3)当吉祥物“弗里吉”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元 【分析】本题考查了一次函数及二次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数解析式及方程是解决本题的关键． （1）设，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，再根据销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，即可求得x的取值范围； （2）根据题意即可列出一元二次方程，解方程即可求解； （3）设每天获得的利润为w元，根据题意即可求得二次函数，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设， 把点，分别代入解析式，得 ， 解得：， ∴， ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍， ∴自变量x的取值范围是：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去， 答：每个吉祥物“弗里吉”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元； （3）解：设每天获得的利润为w元，根据题意得： ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为，销售单价不得高于72元， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为， 答：当毛绒玩具“弗里吉”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元． 20．(1) (2) (3)② 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，灵活运用二次函数的图象与性质是解答的关键． （1）先由题意得到抛物线的顶点，故设顶点式求函数解析式即可； （2）将代入（1）中解析式中求解x值即可； （3）设小华向球门方向移动，则平移后的抛物线解析式为，根据题意将点代入求解b值即可． 【详解】（1）解：由题意，该抛物线的顶点坐标为，， 故设抛物线的函数解析式为， 将代入，得，则， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，由得，， ∵防守队员小明正在抛物线对称轴的左侧加强防守， ∴， 即小明需要站在离球门距离的地方才可能防守住这次射门； （3）解：设小华向球门方向移动，则平移后的抛物线解析式为， 将代入，得， 解得或（不符题意，舍去）， 即他最多可以向球门移动约， 故答案为：②． 21．这艘船能从这座拱桥下通过 【分析】以拱顶为原点，以经过拱顶的铅垂线为轴，建立平面直角坐标系，设该抛物线解析式为，结合题意，利用待定系数法解得该抛物线解析式，进一步分析这艘船是否能从这座拱桥下通过即可． 【详解】解：如下图，以拱顶为原点，以经过拱顶的铅垂线为轴，建立平面直角坐标系， 根据题意，可得， 设该抛物线解析式为，将点代入， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， 当水位上升后，水面所在直线为， ∵船宽， ∴当船在拱桥正中心行驶时，船边缘的横坐标为， 当时，可得， 此时拱桥高出水面的高度为米， ∵物资顶部距水面，且， ∴这艘船能从这座拱桥下通过． 22．(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 23．(1)；； (2)1秒后 (3)解：不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理，得， ∴， ∴方程没有实数根， 故的面积不能等于； (4)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； （4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：∵，，， ∴的面积， 解得或， 当时，（不符合题意，舍去）； ∴， 答：1秒后，的面积等于； （3）略 （4）解：当点运动到点时，秒； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大为； 故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 24．(1) (2)，当时，S有最大值，最大值为 (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可． （2）求出直线的函数解析式，用含t的式子表示出点H、N的坐标，得出，再根据求出S关于t的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可； （3）求出点B坐标，得到的长，再分、M在点A的左侧且，和当M点在点A的右侧，时三种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：将和代入得 , 解得, ∴该抛物线的解析式为； （2）解：设直线的函数解析式为，把和代入得 ， 解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点的横坐标为，轴，交于点， ∴，, ∴， ∴, ∵, ∴当时，S有最大值，最大值为; （3）解：存在，理由如下： 把代入得， 解得，， ∴， ∴， 如图，当时，四边形为平行四边形， ∴， 把代入得， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点M在点A的左侧，时，四边形是平行四边形， 过点Q作轴于D，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点Q的纵坐标为， 把代入得， 解得，（不符合，舍去）， ∴点M的横坐标为， ∴； 如图，当M点在点A的右侧，时，四边形是平行四边形， 过点Q作轴于E，则， 同理可得． 25．(1) (2) (3)S存在最小值为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）求出抛物线的对称轴为直线，得，，当三点共线时，值最小，求出直线的解析式，代入即可求解； （3）由，分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像与轴交于，， ∴设， ∵在抛物线上， ∴ ∴， 则抛物线的表达式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，值最小， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴； （3）解：存在， ∵的横坐标为， ∴； ∵的横坐标为， ∴ ， ∴ 设直线交x轴于点H，直线的表达式为， 把点P、Q的坐标代入得： ∴ ∴直线的表达式为：， ①当时，， 此时，, ∴点关于对称轴对称，且轴， 此时； ②当时，令y＝0， 则， 则， ∵， 、当，即时，， 则 ； Ⅱ、当，即时，， 则 ． 综上，S存在最小值为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $