第7讲 二次函数的概念和及图象性质 课后练习（学生版+教师版）2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学二次函数新授课基础作业，以"概念理解-技能应用-综合拓展"分层设计，通过梯度化题型强化抽象能力与运算能力，构建从单一知识点到综合应用的巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|二次函数概念、对称轴、顶点坐标|单选题直接考查定义与图像基本性质，如第3题顶点坐标判断，培养几何直观| |技能应用|一元二次方程根的判别式、根与系数关系|解答题分步训练运算能力，如第11题方程根的情况分析，强化推理意识| |综合拓展|图像平移、解析式确定|填空题结合图像变换与待定系数法，如第9题平移后点的坐标比较，发展模型意识|

二次函数概念与图像性质 一、单选题 1．已知二次函数与一次函数的图象有交点，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 2．若抛物线与轴有交点，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 二、填空题 3．已知抛物线与x轴负半轴交于点A，且经过，． （1）n的值为 ． （2）若P为第一象限内抛物线上的一点，且，则点P的坐标为 三、解答题 4．若二次函数的开口向下，求的值． 5．已知关于的函数． (1)当为何值时，此函数是二次函数？ (2)当为何值时，此函数是一次函数？ 6．已知关于的函数为二次函数． (1)求的值； (2)求二次函数的表达式． 7．如图，抛物线经过点，与坐标轴分别交于B，C，D三点． (1)求B，C，D三点的坐标； (2)当时，则函数y的取值范围是_________； (3)平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到点D的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式． 8．如图，抛物线与y轴交于点． (1)的值为______； (2)求当满足什么条件时，抛物线在轴上方； (3)求当时，的取值范围． 9．（1）解方程：． （2）已知是关于x的二次函数，试判断其图象的开口方向． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数概念与图像性质》参考答案 题号 1 2 答案 B A 1．B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题、二次函数的定义，学会联立函数解析式是解题的关键．根据二次函数定义可知，再将二次函数和一次函数联立方程组，再利用即可得出答案． 【详解】解：二次函数， ， 联立， 整理得：， 二次函数与一次函数的图象有交点， ， 解得：， k的取值范围是且． 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的定义，掌握二次函数与轴的交点的横坐标即为时对应一元二次方程的解是解题关键．根据抛物线与x轴有交点，即求令的一元二次方程有实数根，利用根的判别式求解，再结合二次函数的定义，即可确定的取值范围． 【详解】解：抛物线与轴有交点， 关于的方程有实数根，且， ，且， 解得：且， 故选：A． 3． 4 或 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）把把代入求出抛物线解析式为，然后把代入得； （2）先求出．再根据①当时，，根据直线与抛物线解析式求出交点坐标，或 ②当直线经过的中点M时，，求出直线 抛物线解析式求出交点坐标． 【详解】解：（1）把代入得， ∴抛物线解析式为，把代入得； （2）令，得，解得，． ∵点A位于x负半轴上，∴． 由，得直线． ①当时，， 设，，得，即， 由得，， 把代入得，∴． ②当直线经过的中点M时，， 由，得， 由，，得直线 由解得，， 把代入得 ∴ 故答案为：（1）4；（2）或. 4． 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可知且，求得m的值即可． 【详解】解：∵二次函数的开口向下， ∴， 解得． 5．(1)且 (2) 【分析】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如的函数关系称为一次函数；形如的函数关系称为二次函数是解题的关键． （1）根据二次函数的定义即可求解； （2）根据一次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：由二次函数的概念可得 解得且； （2）解：由一次函数的概念可得 ， 解得：或，且， ∴． 6．(1) (2) 【分析】（1）由二次函数定义得到，且，解一元二次方程并结合验证即可得到答案； （2）由（1）知，将代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：关于的函数为二次函数， ，且， 解得或， ， ； （2）解：由（1）知， 将代入得到， 即二次函数的表达式为． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数定义、解一元二次方程、不等式及求二次函数表达式等知识，熟记二次函数定义，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 7．(1)B，C， (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再把、代入函数解析即可求出三点的坐标； （2）求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的性质结合图象解答即可求解； （3）由坐标得出抛物线的平移方式，结合抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴B，C， 当时，， ∴ （2）解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当，时， y的最小值出现在顶点处，即， y的最大值出现在处，即． 故答案为：； （3）∵，， ∴把A点平移后落到D点的位置，抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线， ∴平移后的抛物线的解析式为，即． 8．(1)4 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，对称轴，与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，注意进行数形结合． （1）把点代入抛物线的关系式，求出m的值即可； （2）先求出抛物线与x轴的两个交点，结合函数图象即可得出答案； （3）结合函数图象可知，当时，函数图象在直线的下方（包括交点），求解当时，，，再结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：把点代入抛物线的关系式， 得：； （2）解：根据解析（1）可知，抛物线的关系式为：， 把代入得：， 解得：，， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：，， ∴结合函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方； （3）解：结合函数图像可知，当时， ∴ 函数图象在直线的下方（包括交点）， ∴当时， 解得：，． ∴当时，或． 9．（1），；（2）开口向上． 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，二次函数的定义和性质，注意二次项系数不能为0． （1）观察方程发现用因式分解法解方程比较简单，按照因式分解的步骤解方程即可． （2）根据二次函数的定义和性质解题即可． 【详解】解：（1）， 移项整理得， 因式分解得， ∴，， 解得，； （2）∵是关于x的二次函数， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． ∴函数解析式为， ∵， ∴其图象的开口向上． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数概念与图像性质-基础 一、单选题 1.已知、n是方程x2-3x-2020=0的两个实数根，则n2-2n+m的值为() A.2020 B.2022 C.2023 D.2019 2.下列抛物线中，对称轴是直线x=-1的是() A. y=x+4x B.y=(x-12 y=2x2+4x D. y=-2x2+4x 3.抛物线y=-4x+3的顶点坐标是() A.3,0 B.0,3 c.-3,0 D.0,-3 4.关于二次函数y=-X-2P的图象，下列说法正确的是（） A.图象经过原点 B.开口向上 C.对称轴是直线X=-2 D.最高点是2,0 5.若二次函数y=ax2+bx+c的顶点为2,3，且过点1,0，则a的值为() A.-1 B.1 C.-3 D.3 二、填空题 6.已知方程×2.2X-5=0的两根分别为x'X,则x,+1x,+1)的值为 7.已知两个不相等的实数x'x,分别满足方程x+3X,=5和X+3X,=5:则代数式 名x,+xx,2的值为 8.已知二次函数图象与x轴的一个交点坐标为4,0，项点坐标为1,1，则该二次函数的解 析式为 9.已知二次函数y=x-2x+3的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得 到抛物线CM-3,y”N2,y在抛物线C上.则y一与（顿“”“<”或“= ”)· 试卷第1页，共4页 10.抛物 y=(x-1尸+2的对称轴是直线 三、解答题 11.已知关于x的一元二次方程x2-4x+3m-5=0. (1)若方程有两个相等的实数根，求m的值： (2)若方程有一个根是-1，求另一个根. 12.已知关于×的一元二次方程mX-2m+1x+2=0 (1)判断此方程根的情况，并说明理由 (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数m的值的和. 3)若此方程的两个实数根分别为x1,X,'求代数式mx+x}-2m+1(x+x+2x+x 的值。 13.已知关于x的一元二次方程x2-2ax+a-1=0. (1)请问该方程是否存在两个相等的实数根？请说明理由： 试卷第2页，共4页 (2)若该方程的两个实数根为X1和X2,且满足X1·X2=3,求X1+X2的值. 14.若关于x的一元二次方程x+8x+m=0有两个不相等的实数根X1、x2,且 X1+X2-2X1X2<0,求m的取值范围. 15.已知关于x的一元二次方程X2-k-4x-4k=0 (1)求证：无论k为何值，该方程都有实数根； (2)当k=-2时，已知a,B是关于x的一元二次方程X-k-4X-4k=0的两个根，不解方程 求aB+aB的值. 试卷第3页，共4页 16.已知关于x的一元=次方程X-2k+1x+k2+2k=0的两个实数根为x,'为 (1)求k的取值范围， (②)是否存在实数k:使得x+X-XX≤0成立？若存在，请求出k值，若不存在，请说明 理由， 17.已知二次函数y=ax-6的图象经过点-1,1. (1)求二次函数的解析式； (2)写出此函数的开口方向、对称轴. 试卷第4页，共4页 答案第1页，共1页 二次函数概念与图像性质-基础 一、单选题 1．已知m、n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．下列抛物线中，对称轴是直线的是（　　） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 4．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 5．若二次函数的顶点为，且过点，则a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 二、填空题 6．已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 7．已知两个不相等的实数，分别满足方程和，则代数式的值为 ． 8．已知二次函数图象与轴的一个交点坐标为，顶点坐标为，则该二次函数的解析式为 ． 9．已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 10．抛物线的对称轴是直线 ． 三、解答题 11．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值； (2)若方程有一个根是，求另一个根． 12．已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 13．已知关于的一元二次方程． (1)请问该方程是否存在两个相等的实数根？请说明理由； (2)若该方程的两个实数根为和，且满足，求的值． 14．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，求m的取值范围． 15．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程都有实数根； (2)当时，已知是关于的一元二次方程的两个根，不解方程求的值． 16．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求的取值范围． (2)是否存在实数，使得成立？若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 17．已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)写出此函数的开口方向、对称轴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数概念与图像性质-基础》参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 C C B D C 1．C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 先根据n方程的实数根得出，结合根与系数的关系求出，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m、n是方程的两个实数根， ∴，即， ∴， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了二次函数的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据对称轴公式以及顶点坐标公式进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：选项A：，属于一般式．对称轴公式为，代入，，得，对称轴为，不符合条件． 选项B：，属于顶点式．顶点坐标为，对称轴为，不符合条件． 选项C：，属于一般式．代入，，得，对称轴为，符合条件． 选项D：，代入，，得，对称轴为，不符合条件． 综上，正确答案为C． 故选C． 3．B 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数顶点式的性质，形如的抛物线的顶点坐标为，直接代入题目中的常数项即可确定顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 4．D 【分析】本题主要考查了的图象和性质．根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标及是否经过原点，即可． 【详解】解：当时，，则图象经过，故A选项错误，不符合题意； 因为，则抛物线开口向下，故B选项错误，不符合题意； C、对称轴是直线，故C选项错误，不符合题意； D、顶点坐标为，即最高点是，故D选项正确，符合题意； 故选：D 5．C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，顶点坐标的运用，掌握二次函数图象顶点坐标的计算是解题的关键．根据题意，结合二次函数图象的顶点坐标可设顶点式为，再将点代入解析式求解即可． 【详解】解：已知二次函数顶点为， 可设顶点式为，将点代入顶点式： ， 解得：． 故选：C． 6． 【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． 7． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据两个不相等的实数，分别满足方程和，可知、是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数关系可得：，，计算可得． 【详解】解：两个不相等的实数，分别满足方程和， 、是一元二次方程的两个实数根， 整理， 可得：， ，， ． 故答案为：． 8． 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，求二次函数解析式时,要根据条件选择简单的形式求解．①已知三点时，设一般式：（）；②已知顶点和一点时，设顶点式：（），其中顶点为，a为待定系数；③已知与x轴的两交点时，设交点式：（），其中分别为两交点的横坐标，a为待定系数． 已知顶点，一般应该设抛物线解析式的顶点式，只需要求待定系数a的值即可确定解析式． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点为， ∴， 又由二次函数图象与轴的一个交点坐标为， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 9． 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为，再利用二次函数图象的性质可得出答案． 【详解】解：， ∵二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵关于轴对称的点为 ∵， ∴， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，对称轴是直线，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据顶点式的对称轴是直线，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 11．(1) (2)另一个根为5 【分析】本题主要考查了一元二次方程判别式的意义、一元二次方程根与系数的关系． （1）先计算根的判别式，得关于m的方程，求解即可； （2）先设出方程的另一个根，根据根与系数的关系可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：设方程的两个根为，，其中 由题意得：， ∴， 即方程的另一个根为5 12．(1)此方程总有两个实数根，见解析 (2)0 (3)0 【分析】本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，． （1）由根的判别式即可知； （2）根据韦达定理知，，由方程的两个实数根都是整数可得答案； （3）根据方程的解得定义得、，继而知，，两式相加可得． 【详解】（1）解：此方程总有两个实数根． 理由：， 不论为何值，， 此方程总有两个实数根． （2）解：设方程的两个根为， 则，． 此方程的两个实数根都是整数， 的值为， 符合条件的整数的值的和为0． （3）解：是方程的两个实数根， ，， ，， 以上两式相加，可得， 即． 13．(1)该方程不存在两个相等的实数根，见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）直接根据一元二次方程根的判别式判断即可； （2）由根与系数的关系可知，求出，由根与系数的关系得到，进而可知的值． 【详解】（1）解：由题可知 该方程不存在两个相等的实数根； （2）由根与系数的关系可知 又 14． 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式，熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解题关键． 根据一元二次方程有两个不相等实数根可得，可得关于m的不等式，求得，利用根与系数的关系可得，再整体代入，解得，即可求得． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式及根与系数的关系． （1）证明根的判别式，可得结论； （2）将代入方程，根据根与系数的关系得到，再代入代数式求值． 【详解】（1）， 无论k为何值，，即， 关于x的一元二次方程都有实数根； （2）当时，原方程为，则， ． 16．(1)； (2)不存在这样的实数k．理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点． （1）根据一元二次方程的根的判别式即可得； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入化简可得，据此求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：方程的根的判别式， 解得； （2）解：不存在，理由如下， 由一元二次方程根与系数的关系得：，， 则， ， ， ， ∵， ∴， ∴． ∵（不符题意，舍去）， 故不存在这样的实数k． 17．(1) (2)开口向上，对称轴为y轴 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质： （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数函数解析式的知识进行分析即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为， （2）解：由（1）得：二次函数的解析式为， ∵， ∴此函数的开口向上，对称轴为y轴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数概念与图像性质 一、单选题 1．已知二次函数与一次函数的图象有交点，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 2．若抛物线与轴有交点，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 二、填空题 3．已知抛物线与x轴负半轴交于点A，且经过，． （1）n的值为 ． （2）若P为第一象限内抛物线上的一点，且，则点P的坐标为 三、解答题 4．若二次函数的开口向下，求的值． 5．已知关于的函数． (1)当为何值时，此函数是二次函数？ (2)当为何值时，此函数是一次函数？ 6．已知关于的函数为二次函数． (1)求的值； (2)求二次函数的表达式． 7．如图，抛物线经过点，与坐标轴分别交于B，C，D三点． (1)求B，C，D三点的坐标； (2)当时，则函数y的取值范围是_________； (3)平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到点D的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式． 8．如图，抛物线与y轴交于点． (1)的值为______； (2)求当满足什么条件时，抛物线在轴上方； (3)求当时，的取值范围． 9．（1）解方程：． （2）已知是关于x的二次函数，试判断其图象的开口方向． 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 答案第6页，共6页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $