河北省邯郸市大名县第一中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

高二第一次月考 数学 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D A D A B D B A ABC BD ABD 1．D 因为点，，所以线段AB的中点， 点M关于平面Oxy对称的点的坐标为． 2．A 因为，，且线段PQ是圆M的直径， 所以圆心为，半径，则圆M的方程为． 3．D 要使过A点的直线l与线段BC有公共点，则直线l的斜率k满足： 或，又，， 所以k的取值范围为：，所以直线l的斜率可以是3． 4．A 由，得， 所以 5．B 对于A，若直线与直线互相垂直，则，解得或； 对于B，因为，，所以，分别以点P，Q为圆心，2，4为半径作圆，因为，所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条，所以满足条件的直线l的条数是2，所以B正确； 对于C，当且时，过，两点的直线方程为，所以C错误； 对于D，当截距为零时，设直线方程为，则，所以直线为，当截距不为零时，设直线方程为，则，得，所以直线方程为，综上，经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或，所以D错误． 6．D 根据椭圆的对称性可知，故，得， 又，所以，得， 由 得，即，所以椭圆的短轴长为． 7．B 由两圆方程相减即得，此为公共弦所在的直线方程． 圆的圆心，半径．到直线的距离为， 故公共弦长． 8．A 对于椭圆，得，， 因此，，故 ， 设，，根据椭圆的定义，得，所以 ，由，为直角三角形，根据勾股定理得，即，解得，因此的面积 ． 9．ABC A：由 ：，则必过定点 ，正确； B：将定点 代入圆，有 ，故点 在圆内，即直线 与圆 必相交，正确； C：由题设 且半径为 ，而 且半径为 ， 所以，即两圆外切，故两圆有3条公切线，正确； D：当 时，，则 到直线的距离 ， 故直线被圆截得的弦长为 ，错误． 10．BD 对于A，若，反向，满足，但向量，的夹角不是钝角，故A错误； 对于B，假设，，中有向量为零向量，则3个向量共面，则不能作为基底，故B正确； 对于C，设与角为，则，即与所成角的正弦值为，故C错误； 对于D，在上的投影向量为，故D正确． 11．ABD 由题可知，，则，则离心率，故A正确； 由椭圆的定义可知，，所以的周长为， 由图知，椭圆上一点到焦点的距离最小值为，即，故C错误； 由，则当点在上顶点或下顶点时，即取得最大值时，面积的最大值为，故D正确． 12． 由题知，椭圆的焦点在轴上，且，又长轴长是短轴长的2倍，故，即，则有，解得，，则椭圆的标准方程为． 13． 圆的圆心为， 依题意，点在直线上，即，解得， 此时圆，即，符合题意，所以． 14． 因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为．由向量加法法则可得 ，所以 ，即． 15．（1）3 （2） （3） 【详解】（1）由，可得，故； （2）易得，又，且， 则向量 在向量 上的投影向量为 ； （3）因为点 在平面 上，故存在 ，使得 ， 即 ， 又因 ，对照可得 ，解得 ． 故 ． 16．（1） （2） 【详解】（1）设圆 的方程为 ，，其圆心为 ， 已知圆 的圆心在直线 上，且圆 过点 ，， 则 ，解得 ，即圆 的方程为 ； （2）由（1）得圆 的圆心 ，半径 ， 设圆 的圆心坐标为 ， 圆 与圆 关于直线 对称， 则有 ，解得 ，即 ． 圆 的标准方程为 ． 17． （1） （2） 【详解】试题分析：（1）由题得，，又，解出即可得出； （2）设直线的斜率为，，，可得，，两式相减再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出． 试题解析：（1）由题得，，又， 解得，，∴椭圆方程为：； （2）设直线的斜率为，， ，∴， ， 两式相减得，∵是中点，∴，， ， 代入上式得： ， 解得 ，∴直线 ． 18．（1） 或 （2） 或 【详解】（1）若直线斜率不存在，此时方程为，满足与圆相切； 若直线斜率存在，则直线的方程可表示为：，即， 由直线与圆相切，设圆心到直线的距离为，则有，解得， 此时的方程为：，综上可知方程为：或． （2）因为圆，可得圆心，半径． 又因为圆，可得圆心，半径． 所以圆心距，且， 因为圆与圆有且只有一条公切线，所以圆与圆内切， 所以，得，解得或． 故实数的值为或． 19．（1）证明：在三棱柱中，连接，设与相交于点，连接， 由四边形 是平行四边形，得点 为 的中点，又 为 的中点，则 ，而 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． （2）（i）； （ii）． 【详解】（1）略（2）（i）由，为的中点，得，由平面 ， ， 平面 ，得 ，，取 的中点 ，连接 ， 则，，，直线，， 两两垂直， 以点为原点，直线，， 分别为 ，， 轴建立空间直角坐标系， ，，则 ，，，， ，，，设平面 的法向量为 ， 则 ，取 ，得 ，设直线 与平面 所成角为 ，则 ，，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ． （ii）由（i）知 ，， 所以点 到平面 的距离 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二第一次月考 数学 考试时间：120分钟 共150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ）． A． B． C． D． 2．已知点，，且线段是圆的直径，则圆的方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知平面直角坐标系中的三个点，，，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（ ） A．0 B． C． D．3 4．如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（ ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（ ） A．若直线与直线互相垂直，则 B．，，点，到直线的距离分别为2和4，则满足条件的直线条数是2 C．过，两点的所有直线的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 6．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆的左焦点，经过坐标原点，则该椭圆的短轴长为（ ） A．2 cm B．4 cm C． D． 7．已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（ ） A． B． C． D． 8．椭圆上一点与椭圆的两个焦点，的连线互相垂直，则的面积为（ ） A．24 B．48 C．12 D．96 二、多选题（每题6分，共18分） 9．已知直线：，圆：，则下列说法正确的是（ ） A．直线必过点 B．直线与圆必相交 C．圆：与圆有3条公切线 D．当时，直线被圆截得的弦长为 10．下列命题正确的有（ ） A．若向量，满足，，则向量，的夹角是钝角 B．若向量组是空间的一个基底，则向量，，中不能有向量为零向量 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平面所成角的余弦值为 D．已知向量，，则向量在向量上的投影向量是 11．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（ ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标准方程为                        ． 13．若圆关于直线对称，则                        ． 14．如图所示，二面角为60°，A，B是棱上的两点，AC，BD分别在半平面，内，且，，，，，则的长                        ． 四、解答题（共77分） 15．（13分）已知空间中三点，，． （1）求； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若点在平面内，求的值． 16．（15分）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，． （1）求圆的一般方程； （2）若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程． 17．（15分）已知椭圆左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆E上． （1）求椭圆E的方程； （2）设过点的直线与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点恰好为点P，求直线的方程． 18．（17分）已知圆． （1）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； （2）若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 19．（17分）如图，在三棱柱中，平面，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，，，求： （i）直线与平面所成角的正弦值； （ii）点到平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $