河北省邯郸市大名县第一中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

高二第一次月考数学 考试时间：120分钟共150分出题人：郭冰审题人：王晓娜 一、单选题（每题5分，共40分) 1.己知点A(-3,1,-4),B(7,1,0),则线段AB的中点M关于平面Oy对称的点的坐标为(). A.（-2,1,-2) B.（2,1,-2) C.（2,-1,-2) D.（2,1,2) 2.已知点P(0,-),Q(2,1),且线段PQ是圆M的直径，则圆M的方程为() A.(x-1)2+y2=2B.(x-1)2+y2=8C.x2+(y-1)2=4D.x2+(y-)2=8 3.已知平面直角坐标系中的三个点A1,V5),B(-1,-√5)，C(4,0),过A点与线段BC有公共点的直 线为1，则直线的斜率可以是() 1 A.0 B.- D.3 3 4.如图所示，已知四棱锥P-ABCD,PE=PC,若AB=a,AD=方， P AP=c,则BE等于() A.-3a+1,3 5-1.5- -a+-b+-c B.- 一b+-C 444 444 313- D. 40-4b-4 一b- 5.下列说法正确的是() A.若直线a2x-y+1=0与直线x-y-2=0互相垂直，则a=-1 B.P(1,1),Q(-2,-3),点P,Q到直线1的距离分别为2和4，则满足条件的直线I条数是2 C.过(x,y),(x,y)两点的所有直线的方程为-=- y2-片x2-x D.经过点(1，)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0 6.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规， “矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的 工具.如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得FP=3cm,FQ=lcm, 其中F为椭圆的左焦点，PQ经过坐标原点O,则该椭圆的短轴长为() A.2cm B.4cm C. cm D.√6cm 2 7.已知圆x2+y2-4y-1=0与x2+y2+4x-1=0相交于A、B两点，则公共弦AB的长为（) A.√5 B.25 C.√23 D.2V23 8.%圆5+云1止一点P与屏圆的两个传点5，乃的连线互相毫五，则AP5的面表为() A.24 B.48 C.12 D.96 二、多选题（每题6分，共18分) 9.己知直线I:x+2my+1=0,圆E:x2+y2=3,则下列说法正确的是() A.直线l必过点(-1,0) B.直线I与圆E必相交 C.圆F:(x-3)2+(y-3V2)2=12与圆E有3条公切线 D.当m=时，直线1被圆E截得的弦长为√4 2 10.下列命题正确的有() A.若向量a,b满足，a.b<0,则向量a,b的夹角是钝角 B.若向量组{ā，b,d是空间的一个基底，则向量a,b,c中不能有向量为零向量 C.若直线l的方向向量为e=(1,0,0),平面a的法向量为i=(1,0,2),则1与平面a所成角的余 弦值为 5 D.已知向量=(L,-1,1),b=(2,l,1),则向量a在向量6上的投影向量是 211 3'33 11.己知椭圆C:亡+广=1的两个焦点分别为R,乃，点P为C上的动点，以下正确的是(） 43 A.椭圆C离心率为2 B.aPFF的周长为6 c.P的最小值为2 D.△PF,面积的最大值为√3 三、填空题（每题5分，共15分) 12.己知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为(-√3,0)，长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标 准方程为 13.若圆x2+y2+2mx-4my-1=0关于直线2x-y+1=0对称，则m= 14.如图所示，二面角a-1-B为60°，A,B是棱1上的两点，AC,BD 分别在半平面，B内，且AC⊥1，BD⊥I,AB=2,AC=3,BD=4, 则CD的长 四、解答题（共77分) 15.(13分)已知空间中三点A(-2,1,3),B(1,-2,0),C(-1,-1,5). (①)求AC: (②)求向量AB在向量AC上的投影向量的坐标： (3)若点P(2,-1,m)在平面ABC内，求m的值. 16.(15分)已知圆C的圆心在直线y=-x+5上，且圆C过点(2,6)，(5,3). (1)求圆C的一般方程； (2)若圆C与圆C关于直线x+2y-2=0对称，求圆C'的标准方程. 7.15分)已知随圆E名+片@>b>0左、右焦点分别为，5，离心率为点2g 椭圆E上. (1)求椭圆E的方程； (2)设过点P(2,1)的直线I与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点恰好为点P,求直线I的方程. 18.(17分)已知圆C:x2+(y+4)2=16. (1)若直线1经过点(4,3)且与圆C,相切，求直线1的方程： (2)若圆C与圆C2:(x-a)2+(y-2a-2)2=1有且只有一条公切线，求实数a的值. 19.(17分)如图，在三棱柱ABC-ABC中，A4⊥平面ABC,D为AC的中点. (1)求证：AB//平面BDC: B B (2)若AB=BC=V5,AC=2,A4=3,求： (i)直线AB与平面BDC所成角的正弦值： (i)点A到平面BDC的距离.高二第一次月考数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D A 0 A B D B A ABC BD ABD 1.D因为点A(-3,1,-4),B(71,0),所以线段AB的中点M(21,-2), 点M关于平面Oxy对称的点的坐标为(2,1,2). 2.A因为P(0,-1),Q(2,1),且线段PQ是圆M的直径， 所以圆心为L,0),半径，-2-0+1--2，则圆M的方程为x-1+y=2. 2 3.D要使过A点的直线I与线段BC有公共点，则直线I的斜率k满足： 4(13) k≥ka或skc,又n=5-55.kc-0-5-5 -1-1 4-13 C4,0)主 B(-1V3) 所以的取点意国为：(。[5+以线角车可以是3. 4✉.A由PE=4PC,得PE=号Pc=PA+B+B)-+丽+BC)a+6-d, 所以压=孤--+压--+6+6-司-a=寻0+ 3 44 5.B对于A,若直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直，则d2+a=0,解得a=0或a=-1, 对于B,因为P1,1),(-2,-3),所以P9=V1+2)2+1+3)2=5,分别以点P,为圆心，2,4 为半径作圆，因为2+4>5>4-2，所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条，所以满足条件的直 线I的条数是2，所以B正确： 对于C,当x≠，且片≠与时，过(x,y),(X,y)两点的直线方程为)业=二，所以C错误： 2-y1x2-x 对于D,当截距为零时，设直线方程为y=c,则k=1,所以直线为y=x,当截距不为零时，设 直线方程为+上=1，则上+1=1，得a=2,所以直线方程为x+y-2=0,综上，经过点，)且 aa 在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0或y=x,所以D错误 6.D根据椭圆的对称性可知PF+QF=2a,故2a=4,得a=2, 又51P,所以PE+los=(2c,得c=o 2 由公=d-c2得b=6,即2b=V6,所以椭圆的短轴长为6cm. 2 7.B由两圆方程相减即得x+y=0,此为公共弦AB所在的直线方程 圆x+y2-4y-1=0的圆心C0,2),半径1=5.C到直线4B的距离为d=10+2-2, √2 故公共弦长AB上2V-d=23. 8.A对于椭圆+上=1，得。d=49,2=24, 4924 因此a=7,c=Va2-b2=49-24=5,故|E=2c=10, 设PF卡m,|PF2=n,根据椭圆的定义，得m+n=2a=14,所以(m+n)}2=m2+n2+2mn=196, 由PF⊥PF,,△PFF为直角三角形，根据勾股定理得m2+nFF,P=100,即196-2mn=100, 72×48=24. 解得mn=48,因此aP5的面积S7mn=x48 9.ABCA:由l:x+2my+1=0,则必过定点(-1,0)，正确： B:将定点(-1,0)代入圆，有(-1)2+02=1<3，故点(-1,0)在圆内，即直线1与圆E必相交，正确： C:由题设E(0,0)且半径为r=V3,而F(3,3√2)且半径为5=2V3, 所以EF=3V3=片+？，即两圆外切，故两圆有3条公切线，正确； D:当m=)时，1：x+y+1=0,则E0,0)到直线I的距离d=互 故直线I被圆E截得的弦长为2√-d=V0,错误. l0.BD对于A,若a,b反向，满足a-b=-d,5<0,但向量a,b的夹角不是钝角，故A错误； 对于B,假设a,b,c中有向量为零向量，则3个向量共面，则{a,b,c不能作为基底，故B正确： 对于G1与“有为，则m0:背码5-51与a所成角的花位为5收C#民 对于D,a在b上的投影向量为 }-品an-g》a 1.AD由恩可知a=2,6=5,则c=G-尔=1，则离心率e=名分放A正确： 由椭圆的定义可知PF+PF=2a=4,FE=2c=2,所以△PFF的周长为PF+PF+FE=6, 由图知，椭圆上一点到焦点的距离最小值为a-c,即Pm=a-c=l,故C错误； 由Sm5×FX小，则当点P在上项点或下顶点时，即，取得最大值5时，△PFB面 积的最大值为√3，故D正确： 12.+y由思知，椭圆的焦点在x轴上，且c=3,义长轴长是短猫长的2倍，故2a=22》 即a=2b,则有d-2=42-公=36=C2=3,解得d=4,B=1,则椭圆的标准方程为兰+y=1. 13.4/025圆2+y2+2mrx-4m+1=0的圆心为(-m,2m. 依题意，点(-m,2m)在直线2x-y+1=0上，即-2m-2m+1=0,解得m= 此时圆父+户+y-10,即e+好产+0-石行合起，所以m号 14.V17因为AC⊥1，BD⊥1，所以AC.AB=0,BDAB=0, 又因为二面角-1-B为60°，ACca,BDcB,且AC⊥1，BD⊥I, 所以向量AC与BD的夹角为60°，则向量CA与BD的夹角为120°.由向量加法法则可得 CD=CA+AB+BD,所以 CD'=(C4+4B+BD)=CA+AB+BD+2C4-AB+2C4-BD+24B-BD=3+22+4+2x3x4x ，即CD-7. 15.(1)3 行号引 (3)m=-7 【详解】(1)由A(-21,3),C(-1,-1,5)可得AC=(1,-2,2),故A=V12+(-2)2+22=3: (2)易得AB=(3,-3,-3),又AC=(,-2,2),且AB.AC=3, 2 则向量AB在向量AC上的投影向量为 cac-号c-c-6号引 (3)因为点P(2,-1,m)在平面ABC上，故存在x,y∈R,使得AP=xAB+yAC, AP=xAB+yAC=(3x+y,-3x-2y,-3x+2y), 4=3x+y x=2 又因AP=(4,-2,m-3),对照可得-2=-3x-2y,解得{y=-2.故m=-7. m-3=-3x+2y m=-7 16.(1)x2+y2-4x-6y+4=0 a(++- 【详解】1)设圆c的方程为2+y广+++F=0(D+R-4F>0,共圆心为C(-?孕， 已知圆C的圆心在直线y=-x+5上，且圆C过点(2,6)，(5,3)， 40+2D+6E+F=0 D=-4 则34+5D+3E+F=0,解得 E=-6,即圆C的方程为x2+y2-4x-6y+4=0: E D F=4 +5 2-2 (2)由(1)得圆C的圆心C(2,3),半径r=3, 设圆C的圆心坐标为C"(x,y),,圆C与圆C关于直线x+2y-2=0对称， -3=2 2 X0= 则有龙~2 22+2×6+3-2=0 七+ ，解得 2 %=-5 国C标准方帮为号引 17.(1)+=1 84 ()1:x+y-3=0【详解】试题分析：(1)由题得二=5 a 2 。云+=1，又a÷=b+2,解出即可得出：(2)设直线的斜率为k,4,X以B,y）,可得 2.3 。+上=L,三+上=1，两式相减再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出。 84 84 武思解折：①由题符。，子+1，又G=+d 解得d=82=4,:椭圆方程为：亡+少=1： 84 (2)设直线的斜率为k,40,B,y),:+父=，点+兰=1， 84 84 两式相减得G+x)+20y+)-业=0，：P是AB中点，+，=4，y+为，=2，-业=k, x1-x2 X1-x2 代入上式得：4+4k=0,解得k=-1,∴直线1：x+y-3=0. 18.(1)x=4或33x-56y+36=0 (日-或号 【详解】(1)若直线1斜率不存在，此时l方程为x=4,满足与圆C相切： 若直线I斜率存在，则直线1的方程可表示为：y-3=k(x-4),即kc-y+(3-4k)=0, 山直线1与回C相期，使国心到直线的距离为d,则有d投=4，解物一器 V1+k2 此时1的方程为：33x-56y+36=0,综上可知1方程为：x=4或33x-56y+36=0. (2)因为圆C:x2+(y+4)2=16,可得圆心C(0,-4),半径5=4. 又因为圆C2:(x-a)2+y-2a-2)2-=1,可得圆心C2（a,2a+2),半径5=1. 所以圆心距CC2=√a2+(2a+2+4)2=V5a2+24a+36,且片-2=3， 因为圆C与圆C2有且只有一条公切线，所以圆C与圆C2内切， 9 所以CC2=1-2,得V5a+24a+36=3,解得a=-3或a=- 故实数a的值为-3或-？ 19.(1)证明：在三棱柱ABC-AB,C中，连接BC,设B,C与BC相交于点O,连接OD, 由四边形BCCB是平行四边形，得点O为BC的中点，又D为AC的中点，则OD1IAB,而ODC 平面BDC,AB,t平面BDC,所以AB,I/平面BDC. (②(i)32:(i)3i0 10: 【详解】(1)略(2)(i)由AB=BC=√5，D为AC的中点，得BD⊥AC,由AA⊥平面ABC, BD,ACc平面ABC,得AA⊥BD,A4⊥AC,取AC,的中点E,连接DE, ZA B 则DEIIAA,DE⊥BD,DE⊥AC,直线DA,DE,DB两两垂直， 、0 以点D为原点，直线DA,DE,DB分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， AD=1,BD=2,则D(0,0,0),B(0,0,2),A1,0,0)C(-1,3,0), DC=(-1,3,0),DB=(0,0,2),AB=(-1,0,2),设平面BDC的法向量为n=(xy,2), :DC+90风y,得n三0，设直我B与平有0G所成角为0， 则 DB=2z=0 血9网店而提，所以有纹0与平面x所度有的正为返 10 (iⅱ)由(1)知A(1,3,0),CA=(2,0,0) 所以点4到平面BDG的距离d=1G4m=6=310 nl105