25.4 相似三角形 题型专练 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

冀教版（2024）九年级上册 25.4 相似三角形 题型专练 【题型1】相似三角形的定义 【典例】如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，BE与CD相交于F，则图中所有的相似三角形共有（　　） A．6对 B．7对 C．8对 D．9对 【举一反三1】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC＝OD：OB，则下列结论中一定正确的是（　　） A．只有①与③相似 B．只有②与④相似 C．①与③相似且②与④相似 D．没有相似三角形 【举一反三2】全等三角形是相似三角形． 　　（判断对错） 【举一反三3】由教科书知道，相似三角形的定义：如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似；由教科书中实践操作可得基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． （1）请依据上面定义和事实，完成下列问题： ①已知，如图甲，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC．问：△ADE与△ABC相似吗？试证明． ②你得到的结论是：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形 　   　． （2）依据（1）中②的结论完成下列问题： 已知，如图乙，在△ABC和△A'B'C'中，，∠A＝∠A'． 问：△A'B'C'与△ABC相似吗？试证明． 【题型2】根据相似三角形性质求线段长 【典例】已知△A1B1C1∽△A2B2C2∽△A3B3C3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2∶1，△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为3∶1，那么△A3B3C3与△A2B2C2的相似比为 A．1∶6 B．2∶3 C．3∶2 D．6∶1 【举一反三1】△ABC∽△DEF，且点A与D，B与E是对应顶点，如果∠A＝48°，∠B＝62°，那么∠F＝　　°． 【举一反三2】如图，△AEF∽△ABC. ①若AE=3，AB=5，EF=2.4，求BC的长； ②求证：EF∥BC. 【举一反三3】如图，△ABC∽△ACD. ①若CD平分∠ACB，∠ACD=40°，求∠ADC的度数； ②若AD=2，BD=3，求AC的长. 【题型3】平行线中相似三角形的判定 【典例】如图，在▱ABCD中，F是AD的延长线上一点，连接BF交DC于点E，则图中的相似三角形共有 （      ）  A．3对 B．2对 C．1对 D．0对 【举一反三1】如图，在△ABC中，DE∥BC，GF∥AC，下列式子错误的是 （      ）  A． B． C． D． 【举一反三2】如图，在中，，以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别与，交于点M，N，再分别点M，N为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，过点D作，交于点E.若，则的长为__________ . 【举一反三3】如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，G为AC边上一点，∠1＝∠2.求证：△AFG∽△ABC. 冀教版（2024）九年级上册 25.4 相似三角形 题型专练（参考答案） 【题型1】相似三角形的定义 【典例】如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，BE与CD相交于F，则图中所有的相似三角形共有（　　） A．6对 B．7对 C．8对 D．9对 【答案】C 【解析】∵在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠ADB＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°， ∴∠A+∠ACD＝∠A+∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝∠ACD， ∵∠DFB与∠CFE为对顶角，∠DFE与∠BFC为对顶角， ∴∠DFB＝∠CFE，∠DFE＝∠BFC， ∴△ABE∽△ACD，△ABE∽△FBD，△ABE∽△FCE，△FBD∽△FCE，△FBD∽△ACD，△FCE∽△ACD， ∵△FBD∽△FCE， ∴， 即， ∵∠DFE＝∠BFC， ∴△DEF∽△BCF， ∵△ABE∽△ACD， ∴， 即， ∵∠DAE＝∠CAB， ∴△ADE∽△ACB； 综上分析可知，共有8对相似三角形， 故选：C． 【举一反三1】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC＝OD：OB，则下列结论中一定正确的是（　　） A．只有①与③相似 B．只有②与④相似 C．①与③相似且②与④相似 D．没有相似三角形 【答案】A 【解析】在△AOB与△COD中， ∵OA：OC＝OD：OB，∠AOD＝∠COB， ∴△AOD∽△COB， ∴①与③相似，故A选项正确， 又由于①与②，①与④，②与④均不满足相似的判定条件，故D，C，B选项均不正确， 故选：A． 【举一反三2】全等三角形是相似三角形． 　　（判断对错） 【答案】对． 【解析】全等三角形是相似比为1的相似三角形． 故答案为：对． 【举一反三3】由教科书知道，相似三角形的定义：如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似；由教科书中实践操作可得基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． （1）请依据上面定义和事实，完成下列问题： ①已知，如图甲，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC．问：△ADE与△ABC相似吗？试证明． ②你得到的结论是：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形 　   　． （2）依据（1）中②的结论完成下列问题： 已知，如图乙，在△ABC和△A'B'C'中，，∠A＝∠A'． 问：△A'B'C'与△ABC相似吗？试证明． 【答案】解：（1）①相似，证明如下： 过点D作DF∥AC交BC于点F， 则四边形DECF是平行四边形，即DE＝FC， ∵DE∥BC， ∴，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， 又∵DF∥AC， ∴， ∴， ∴由相似三角形定义得：△ADE∽△ABC； ②由①可知平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似， 故答案为：相似； （2）①相似，理由如下： 在AB上取一点D，使AD＝A'B'，过点D作DE∥BC交AC于点E， ∵，，AD＝A'B'， ∴AE＝A'C'， ∴△ADE≌△A'B'C'（SAS）， 又∵△ADE∽△ABC， ∴△ABC∽△A'B'C'； 【题型2】根据相似三角形性质求线段长 【典例】已知△A1B1C1∽△A2B2C2∽△A3B3C3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2∶1，△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为3∶1，那么△A3B3C3与△A2B2C2的相似比为 A．1∶6 B．2∶3 C．3∶2 D．6∶1 【答案】B 【解析】∵△A1B1C1∽△A2B2C2∽△A3B3C3，△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为3∶1， ∴设A3B3=x， ∴A1B1=3x， ∵△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2∶1， ∴A2B2=x， ∴A3B3∶A2B2=x∶x=2∶3， ∴△A3B3C3与△A2B2C2的相似比为2∶3. 【举一反三1】△ABC∽△DEF，且点A与D，B与E是对应顶点，如果∠A＝48°，∠B＝62°，那么∠F＝　　°． 【答案】70． 【解析】∵△ABC与△DEF相似，且点A与点D是对应点，点B与点E是对应点， ∴∠A＝∠D，∠B＝∠E， ∴∠C＝∠F， ∵∠A＝48°，∠B＝62°， ∴∠C＝∠F＝180°﹣48°﹣62°＝70°， 故答案为：70． 【举一反三2】如图，△AEF∽△ABC. ①若AE=3，AB=5，EF=2.4，求BC的长； ②求证：EF∥BC. 【答案】①解　∵△AEF∽△ABC， ∴=， 又∵AE=3，AB=5，EF=2.4， ∴BC===4. ②证明　∵△AEF∽△ABC， ∴∠AEF=∠B. ∴EF∥BC. 【举一反三3】如图，△ABC∽△ACD. ①若CD平分∠ACB，∠ACD=40°，求∠ADC的度数； ②若AD=2，BD=3，求AC的长. 【答案】解　①∵△ABC∽△ACD， ∴∠B=∠ACD=40°， 又∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ACD=40°， ∴∠ADC=∠B+∠BCD=80°. ②∵△ABC∽△ACD， ∴=， ∴=， ∴=， ∴AC=(负值舍去). 【题型3】平行线中相似三角形的判定 【典例】如图，在▱ABCD中，F是AD的延长线上一点，连接BF交DC于点E，则图中的相似三角形共有 （      ）  A．3对 B．2对 C．1对 D．0对 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，DC∥AB，∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF， ∴△ABF∽△CEB，∴相似三角形共有3对. 【举一反三1】如图，在△ABC中，DE∥BC，GF∥AC，下列式子错误的是 （      ）  A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵DE∥BC，GF∥AC， ∴，，， 且四边形MECF是平行四边形， ∴ME＝FC，∴， ∴A，B，D项均正确；C项错误. 【举一反三2】如图，在中，，以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别与，交于点M，N，再分别点M，N为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，过点D作，交于点E.若，则的长为__________ . 【答案】4 【解析】由题意得：平分， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4. 【举一反三3】如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，G为AC边上一点，∠1＝∠2.求证：△AFG∽△ABC. 【答案】证明 如图， ∵CF⊥AB，ED⊥AB，∴ED∥CF， ∴∠1＝∠3. 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∴FG∥BC， ∴△AFG∽△ABC. 学科网（北京）股份有限公司 $