25.1 比例线段 题型专练 2026-2027学年冀教版九年级数学上册

冀教版（2024）九年级上册 25.1 比例线段 题型专练 【题型1】已知线段长度判断是否成比例 【典例】下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm，d＝6cm B．a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，d＝4cm C．a＝1cm，b＝2cm，c＝3cm，d＝4cm D．a＝3cm，b＝2cm，c＝5cm，d＝4cm 【举一反三1】下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、2、 【举一反三2】下列四组线段中，是成比例线段的共有　　　　组. ①1.5，4，1.2，5；②2，4，6，8；③5，6，15，18；④0.5，3，2，10. 【举一反三3】填空： (1)设线段AB=2 cm，AC=4 cm，两条线段的比是__________ ； (2)设线段AB=200 cm，AC=4 m，两条线段的比是__________ . 【举一反三4】若a＝0.3m，b＝18cm，c＝0.4m，d＝24cm，判断这四条线段是否是成比例线段． 【题型2】黄金分割 【典例】一条线段的黄金分割点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【举一反三1】已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列比例式能成立的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三2】2021年3月20日起，我国陆续公布了三星堆遗址考古最新发掘成果．地球表面纬度范围是0～90°，对其进行黄金分割，黄金分割点间地区特别适宜人类生活，产生了包括三星堆在内的世界古文明，也囊括了大多发达国家．那么黄金地带纬度的范围是__________．（黄金比为0.618） 【举一反三3】作为节目主持人，小明站在舞台线段AB的黄金分割点C处得体大方．如图，若舞台AB长为20米，且AC＞CB，则AC＝__________米．（参考数据：，结果精确到0.1米） 【举一反三4】两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点(AP>BP)，若满足=，则称点P是AB的黄金分割点.现设AB的长为1. (1)求AP的长； (2)若令AP=a，=b，记S1=+，S2=+，…，S100=+，求S1+S2+…+S100的值. 【举一反三5】综合与实践： a.背景阅读： 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙等. b.实践操作： 下面我们折叠出一个黄金矩形（如图所示）： 第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用如图①所示的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形和，再把纸片展平； 第三步：折出矩形的对角线，并沿折叠纸片，使点落在延长线上的点处，如图③所示； 第四步：展平纸片，过点折出，使和垂直，得到矩形，如图④，矩形就是黄金矩形. c.问题解决： （1）图③中，______（保留根号），四边形的形状是______； （2）请证明图④中的四边形是黄金矩形； （3）请在图④中再找出一个黄金矩形，这个黄金矩形是______（黄金矩形除外，直接写出答案，不需证明，参考数值） 【题型3】运用比例的基本性质计算比值 【典例】已知3a-b=0，则的值是(　　) A．3 B．-3 C． D．- 【举一反三1】若3a=2b，则的值为__________.  【举一反三2】已知，求的值． 【举一反三3】根据下列各式，求x∶y. (1)3x-4y=0；(2)2∶x=3∶y；(3)3∶5=y∶x；(4)a∶y=b∶x. 【题型4】求比例中项 【典例】如果，且b是a和c的比例中项，那么等于（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】若x是5和8的比例中项，则x的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．±10 【举一反三2】已知a＝2，b＝8，c为a，b的比例中项，则c为（　　） A．16 B．±4 C．4 D．2 【举一反三3】如果8是x和9的比例中项，那么x＝　　． 【举一反三4】已知线段a，b，c满足a∶b∶c=1∶3∶5，且a-b+c=6. (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长. 【举一反三5】已知三条线段a，b，c满足==，且a+b+c=18. (1)求a，b，c的值； (2)若线段d是线段a和b的比例中项，求d的值. 【题型5】运用比例的基本性质计算地图的比例尺 【典例】在比例尺是1：8000的地图上，中山路的长度约为25cm，该路段实际长度约为（　　） A．3200m B．3000m C．2400m D．2000m 【举一反三1】在比例尺是1：1000的图纸上，一个正方形的面积为64平方厘米，那么它的实际面积是（　　）平方米． A．64 B．640 C．6400 D．64000 【举一反三2】在比例尺为1∶36 000的某市旅游地图上，某条道路的长为5 cm，则这条道路的实际长度为__________km.  【举一反三3】在比例尺为1：1000000的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是__________千米． 【举一反三4】原来比例尺为1：40000的一幅地图，现在改为用1：100000的比例尺重新绘制，原地图中5.8cm的距离，在新地图中应该画多少厘米？ 冀教版（2024）九年级上册 25.1 比例线段 题型专练（参考答案） 【题型1】已知线段长度判断是否成比例 【典例】下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm，d＝6cm B．a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，d＝4cm C．a＝1cm，b＝2cm，c＝3cm，d＝4cm D．a＝3cm，b＝2cm，c＝5cm，d＝4cm 【答案】B 【解析】A.3×6≠4×5，这四条线段不成比例，故不符合题意； B.3×4＝2×6，这四条线段成比例；符合题意； C.1×4≠2×3，这四条线段不成比例，故不符合题意； D.2×5≠3×4，这四条线段不成比例，故不符合题意； 故选：B． 【举一反三1】下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、2、 【答案】B 【解析】A．，能成比例； B．，不能成比例； C．能成比例； D．，能成比例． 故选B 【举一反三2】下列四组线段中，是成比例线段的共有　　　　组. ①1.5，4，1.2，5；②2，4，6，8；③5，6，15，18；④0.5，3，2，10. 【答案】2 【解析】①1.5×4=1.2×5，故1.5，4，1.2，5是成比例线段； ②2×8≠4×6，故2，4，6，8不是成比例线段； ③5×18=6×15，故5，6，15，18是成比例线段； ④0.5×10≠3×2，故0.5，3，2，10不是成比例线段. 综上可知共有2组成比例线段. 【举一反三3】填空： (1)设线段AB=2 cm，AC=4 cm，两条线段的比是__________ ； (2)设线段AB=200 cm，AC=4 m，两条线段的比是__________ . 【答案】1∶2或　； 1∶2或 【举一反三4】若a＝0.3m，b＝18cm，c＝0.4m，d＝24cm，判断这四条线段是否是成比例线段． 【答案】解：∵四条线段a＝0.3m，b＝18cm，c＝0.4m，d＝24cm， 0.3×24＝7.2， 0.4×18＝7.2， ∴四条线段是成比例线段． 【题型2】黄金分割 【典例】一条线段的黄金分割点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【解析】一条线段的黄金分割点有2个． 故选：B． 【举一反三1】已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列比例式能成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据黄金分割定义可知： AP是AB和BP的比例中项， 即AP2＝AB•BP， ∴． 故选：A． 【举一反三2】2021年3月20日起，我国陆续公布了三星堆遗址考古最新发掘成果．地球表面纬度范围是0～90°，对其进行黄金分割，黄金分割点间地区特别适宜人类生活，产生了包括三星堆在内的世界古文明，也囊括了大多发达国家．那么黄金地带纬度的范围是__________．（黄金比为0.618） 【答案】34.38°～55.62°． 【解析】90°×0.618＝55.62°， 90°﹣55.62°＝34.38°， ∴黄金地带纬度的范围是：34.38°～55.62°． 故答案为：34.38°～55.62° 【举一反三3】作为节目主持人，小明站在舞台线段AB的黄金分割点C处得体大方．如图，若舞台AB长为20米，且AC＞CB，则AC＝__________米．（参考数据：，结果精确到0.1米） 【答案】12.4． 【解析】∵点C是AB的黄金分割点，舞台AB长为20米，且AC＞CB， ∴0.618， ∴AC≈0.618AB＝12.36≈12.4（米）， 故答案为：12.4． 【举一反三4】两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点(AP>BP)，若满足=，则称点P是AB的黄金分割点.现设AB的长为1. (1)求AP的长； (2)若令AP=a，=b，记S1=+，S2=+，…，S100=+，求S1+S2+…+S100的值. 【答案】解　(1)设BP=x， ∵=， ∴=， ∴x2-3x+1=0， 解得x=(舍去)或， ∴BP=， ∴AP=1-=. (2)∵AP=a=1-=， ∴=b==， ∴ab=×=1， ∵S1=+===1， S2=+==2， …， S100=+==100， ∴S1+S2+…+S100=1+2+…+100=5 050. 【举一反三5】综合与实践： a.背景阅读： 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙等. b.实践操作： 下面我们折叠出一个黄金矩形（如图所示）： 第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用如图①所示的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形和，再把纸片展平； 第三步：折出矩形的对角线，并沿折叠纸片，使点落在延长线上的点处，如图③所示； 第四步：展平纸片，过点折出，使和垂直，得到矩形，如图④，矩形就是黄金矩形. c.问题解决： （1）图③中，______（保留根号），四边形的形状是______； （2）请证明图④中的四边形是黄金矩形； （3）请在图④中再找出一个黄金矩形，这个黄金矩形是______（黄金矩形除外，直接写出答案，不需证明，参考数值） 【答案】解：（1）根据折叠得：AC=1，BC=2， 由图③可得， 在Rt∆ABC中， ； 如图③， ∵四边形ACBF是矩形， ∴BQ∥AD， ∵AB∥DQ， ∴四边形ABQD是平行四边形， 由翻折可知：AB=AD， ∴四边形ABQD是菱形； 故答案为：；菱形； （2）证明：∵，AN=AC=1，CD=AD-AC=， 又∵BC=2， ∴， ∴矩形BCDE为黄金矩形； （3）矩形MNDE为黄金矩形，理由如下： 由图可得：DN=，MN=2， ∴， ∴矩形MNDE为黄金矩形， 故答案为：MNDE. 【题型3】运用比例的基本性质计算比值 【典例】已知3a-b=0，则的值是(　　) A．3 B．-3 C． D．- 【答案】C 【解析】∵3a-b=0， ∴b=3a， ∴==. 【举一反三1】若3a=2b，则的值为__________.  【答案】 【解析】∵3a=2b， ∴=. 【举一反三2】已知，求的值． 【答案】解：设k， ∴a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∴3． 【举一反三3】根据下列各式，求x∶y. (1)3x-4y=0；(2)2∶x=3∶y；(3)3∶5=y∶x；(4)a∶y=b∶x. 【答案】解　(1)3x-4y=0，x∶y=4∶3. (2)2∶x=3∶y，x∶y=2∶3. (3)3∶5=y∶x，x∶y=5∶3. (4)a∶y=b∶x，x∶y=b∶a. 【题型4】求比例中项 【典例】如果，且b是a和c的比例中项，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，b是a和c的比例中项， 即a：b＝b：c， ∴． 故选：D． 【举一反三1】若x是5和8的比例中项，则x的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．±10 【答案】C 【解析】∵x是5和8的比例中项， ∴x2＝5×8＝40， 解得x＝±2． 故选：C． 【举一反三2】已知a＝2，b＝8，c为a，b的比例中项，则c为（　　） A．16 B．±4 C．4 D．2 【答案】B 【解析】∵c为a，b的比例中项，a＝2，b＝8， ∴c2＝ab＝16， 解得：c＝±4， 故选：B． 【举一反三3】如果8是x和9的比例中项，那么x＝　　． 【答案】． 【解析】∵8是x和9的比例中项， ∴9x＝8×8， 9x＝64， x． 故答案为：． 【举一反三4】已知线段a，b，c满足a∶b∶c=1∶3∶5，且a-b+c=6. (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长. 【答案】解　(1)设a=k，b=3k，c=5k， ∵a-b+c=6，即k-3k+5k=6， ∴k=2， ∴a=2，b=6，c=10. (2)由(1)知a=2，b=6，又∵m是a，b的比例中项， ∴m2=ab，即m2=12， ∴m=±2， ∵m>0， ∴m=2. 【举一反三5】已知三条线段a，b，c满足==，且a+b+c=18. (1)求a，b，c的值； (2)若线段d是线段a和b的比例中项，求d的值. 【答案】解　(1)设===k，则a=3k，b=2k，c=4k， ∵a+b+c=18， ∴3k+2k+4k=18， 即9k=18， 解得k=2， ∴a=6，b=4，c=8. (2)∵线段d是线段a和b的比例中项， ∴d2=ab， ∵a=6，b=4， ∴d===2. 【题型5】运用比例的基本性质计算地图的比例尺 【典例】在比例尺是1：8000的地图上，中山路的长度约为25cm，该路段实际长度约为（　　） A．3200m B．3000m C．2400m D．2000m 【答案】D 【解析】设它的实际长度为xcm， 根据题意得：1：8000＝25：x， 解得：x＝200000， ∵200000cm＝2000m， ∴该路段实际长度约为2000m． 故选：D． 【举一反三1】在比例尺是1：1000的图纸上，一个正方形的面积为64平方厘米，那么它的实际面积是（　　）平方米． A．64 B．640 C．6400 D．64000 【答案】C 【解析】设它的实际面积是x cm2，由题意得： 64：x＝（1：1000）2， 解得x＝64000000， 64000000cm2＝6400m2， 故选：C． 【举一反三2】在比例尺为1∶36 000的某市旅游地图上，某条道路的长为5 cm，则这条道路的实际长度为__________km.  【答案】1.8 【解析】根据题意得 5÷=180 000(cm)， 180 000 cm=1.8 km. 【举一反三3】在比例尺为1：1000000的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是__________千米． 【答案】50 【解析】∵在比例尺为1：1000000的地图上甲地到乙地的距离是5厘米， ∴甲乙两地的实际距离是：55000000厘米＝50千米． 故答案为50． 【举一反三4】原来比例尺为1：40000的一幅地图，现在改为用1：100000的比例尺重新绘制，原地图中5.8cm的距离，在新地图中应该画多少厘米？ 【答案】解；∵实际距离＝图上距离除以比例尺， ∴实际距离5.8232000（cm）， ∴图上距离2320002.32（cm） 学科网（北京）股份有限公司 $