精品解析：广西壮族自治区柳州地区民族高级中学2025-2026学年高三上学期综合测试（三）数学试题

2026届高三上学期数学综合测试（三） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合） 1. 设集合，则集合中所含整数的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集，即可求解. 【详解】，其中所含的整数有，，，，共个. 故选：C. 2. 已知单位向量，满足，则向量与夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据向量垂直的性质得到数量积等式，再结合单位向量的模长，利用向量夹角公式求解夹角大小. 【详解】已知单位向量和 满足， 则它们的点积为零,， 解得，由于和是单位向量，设夹角为， 则：， 在范围内，. 故选：D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】化简可得，然后根据与的推出关系判断即可. 【详解】由及指数函数的单调性可得，此时成立， 反之不成立，例如，显然不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 4. 已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的周期性和偶函数的性质，结合对数的运算性质、代入法进行求解即可. 【详解】因为函数是周期为2的偶函数，且当时，， 所以． 故选：C 5. 已知函数的最小正周期为T，且，函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦型最小正周期公式，结合奇函数的性质进行求解即可. 【详解】由， 因为函数为奇函数， 所以有，则， 所以， 故选：B 6. 设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为原点），则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线的性质，结合双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】如图所示： 由得，所以， 故选：A 7. 1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A，B两点的坐标分别为，，点C的坐标为，则当最大时，c的值为（ ） A. 64 B. 32 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角差的正切公式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】由题意得知是锐角，且，而， ， 所以， 而， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，，此时最大， 故选：D 8. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数得出，进而得出，可得出，令，，其中，则，结合导数求解即可. 【详解】令，，其中， 则，， 当时，，， 当时，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故，即， ，即， 故当时，，则， 因为不等式对任意恒成立，则， 令，，其中，则， ，， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，，所以， 因此实数的取值范围是. 故选：C. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的面积为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合两角和的正弦公式、余弦定理逐一判断即可. 【详解】对于A，由及正弦定理得， 又， ，故A正确； 对于B，由可得， ， 又由正弦定理可得，故B正确； 对于C，由余弦定理知，即， 代入A中结论得，故C错误； 对于D，由已知得， 由A可知：， 因为，所以该三角形是直角三角形， 所以的面积，故D正确． 故选：ABD 10. 已知抛物线的焦点为F，点F关于原点O的对称点为E，第一象限内的点A，B在C上，且，则（ ） A. 点E的坐标为 B. C. 直线的斜率为 D. 直线关于x轴对称 【答案】BD 【解析】 【分析】据抛物线焦点坐标公式，结合抛物线定义、直线斜率公式逐一判断即可. 【详解】对于A，由抛物线的标准方程可知：，所以点E的坐标为，故A错误； 对于B，由，可得点A为线段的中点，点E为C的准线与x轴的交点，所以点A到准线的距离是点B到准线的距离的，由抛物线定义可得B正确； 对于C，设，由点A为的中点， 可得，，所以，又， 联立解得，所以，， 所以，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：BD 11. 在棱长为1的正方体中，点P是线段（含端点）上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若点M在正方形内（含边界），且，则点M的轨迹长为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 存在点P，使得异面直线与所成的角为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正方体的性质、线面垂直的性质，结合球的定义、三棱锥的体积公式、异面直线所成角的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，在正方体中，有平面平面，所以，选项A正确； 对于B，，则点M在以点D为球心，半径的球上，又点M在正方形内（含边界），所以点M在球与正方形的交线上，即点M在以点为圆心，半径的圆周上，点M的轨迹长为，选项B正确； 对于C，，点到平面的距离是定值，定值为，三棱锥的体积取最大值，即三棱锥的体积取最大值，即底面的面积取最大值，即点P与点重合，，选项C错误； 对于D，异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，即，所以，又，所以选项D错误． 故答案为：AB 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为上的奇函数，当时，，则的图象在处的切线方程为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合导数的几何意义进行求解即可. 【详解】设，则，又为上的奇函数， 所以， 即当时，，当时，， 所以的图象在处的切线方程为，即． 故答案为： 13. 已知各项均不为零的数列满足：．若，则数列的前n项和_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的定义、通项公式、前n项和公式进行求解即可. 【详解】， 所以数列是公比为2的等比数列， 所以， 所以数列是公比为的等比数列，所以． 故答案为： 14. 如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据分类和分步计数原理，计算相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况，再结合古典概型概率公式，即可求解. 【详解】先计算相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数. 第一步：停红色汽车，第一辆红色汽车在第一行选一个位置有四个位置可选，第二辆红色汽车在第二行有三个位置可选，由于两辆红色汽车可以互换，故有种； 第二步：停黑色汽车，分成两种情况：若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车同列，则另一辆黑色汽车有3种停法，若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车不同列有2种停法，此时另一辆黑色汽车有2种停法，由于两辆黑色汽车可以互换，故有种. 因此，相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数共有24×14种， 8个车位停入4辆车的试验共有种情况， 所以相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤） 15. 设正项数列的前n项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据和之间的关系，结合等差数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行求解即可. 【小问1详解】 由得，可知， 两式相减得， 即， ， ∵当时，， 则是首项为1，公差的等差数列， 的通项公式为； 【小问2详解】 ， ， . 16. 某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球． （1）若每次都是不放回地摸球，连续摸两次，求在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率； （2）若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸得红球记1分，摸得绿球记0分，设四次摸球总得分为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望是. 【解析】 【分析】（1）解法一，利用条件概率公式及全概率公式即可求解； （2）由题意可得，根据二项分布的特征即可求解分布列及数学期望. 【小问1详解】 记第一次摸到红球为事件A，第二次摸到红球为事件B. . 所以. 故在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率为. 【小问2详解】 由题可知，每次摸球，摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为. 记四次摸球活动中，摸到红球的次数为，则. 因为四次摸球总得分为，所以.所以. 所以， ， ， ， . 所以的分布列为 0 1 2 3 4 所以的数学期望是. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，且为正三角形，E，F分别为的中点，． （1）证明：平面． （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）设的中点为K，连接． 因为，所以． 又因为G为的重心，所以，所以，所以． 又因为平面平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形重心的性质，结合线段成比例性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据面面垂直的性质定理、三棱锥的体积公式，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为， ，所以 以E为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则平面的一个法向量为 ， 则． 设平面的法向量为， 即令， 则， ． 设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为 【点睛】 18. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程． （2）若有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）设是的极小值点，证明：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）根据（i）可知，当或时，，单调递增，当时，单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点，即． 又， 所以． 设，由可知． 令，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，，即． 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义和点斜式方程求解； （2）（i）求导，根据有两个极值点得到对应方程有两个根，根据根的判别式和韦达定理建立不等式，求出取值范围； （ii）根据（i）求出函数的极小值点，根据韦达定理进行变形得到，令，，构造函数，利用导数判断单调性，得出结论. 【小问1详解】 若，则， 所以， 故所求的切线方程为． 【小问2详解】 （i）． 设为的两个极值点，则是方程的两个实数根，即方程的两个正实数根． 所以解得， 即的取值范围是． （ii）略 19. 已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点． （1）求椭圆C的标准方程． （2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，直线交线段于点Q，且，证明：直线l过定点． （3）在（2）的条件下，求的最大值． 【答案】（1） （2）证明： 因为， 所以，所以， 显然直线l的斜率存在且不为0．设直线l的方程为， 且． 由得， 所以，① 所以， 整理得， 将①式代入得，化简得， 所以直线l的方程为，直线l过定点 （3） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标，结合代入法、三者之间的关系进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合一元二次方程根与系数关系、直线的斜率公式进行求解即可； （3）根据三角形面积公式，结合二次函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 由题可知，，所以，又点在C上， 所以，解得． 所以椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得， 由，解得， 且，② 所以， 代入②式得，令， 所以， 所以当，即时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三上学期数学综合测试（三） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合） 1. 设集合，则集合中所含整数的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知单位向量，满足，则向量与夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知函数的最小正周期为T，且，函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为原点），则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A，B两点的坐标分别为，，点C的坐标为，则当最大时，c的值为（ ） A. 64 B. 32 C. D. 8. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的面积为4 10. 已知抛物线的焦点为F，点F关于原点O的对称点为E，第一象限内的点A，B在C上，且，则（ ） A. 点E的坐标为 B. C. 直线的斜率为 D. 直线关于x轴对称 11. 在棱长为1的正方体中，点P是线段（含端点）上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若点M在正方形内（含边界），且，则点M的轨迹长为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 存在点P，使得异面直线与所成的角为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为上的奇函数，当时，，则的图象在处的切线方程为_____________． 13. 已知各项均不为零的数列满足：．若，则数列的前n项和_____________． 14. 如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤） 15. 设正项数列的前n项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球． （1）若每次都是不放回地摸球，连续摸两次，求在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率； （2）若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸得红球记1分，摸得绿球记0分，设四次摸球总得分为，求的分布列与数学期望． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，且为正三角形，E，F分别为的中点，． （1）证明：平面． （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 18. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程． （2）若有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）设是的极小值点，证明：． 19. 已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点． （1）求椭圆C的标准方程． （2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，直线交线段于点Q，且，证明：直线l过定点． （3）在（2）的条件下，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $