精品解析：河南平顶山市鲁山县第七教研区2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

2026－2027学年上学期学情调研作业（一） 九年级数学（北师大版） 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.请按要求把答案填写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：选项：方程含有两个未知数，不是一元二次方程； 选项：方程是一元二次方程； 选项：方程未知数最高次数为，不是一元二次方程； 选项：方程不是整式方程，不是一元二次方程． 2. 学习了《第五章特殊平行四边形》后，小明同学用图示说明特殊平行四边形之间的关系，则图中的“”表示（ ） A. 正方形 B. 平行四边形 C. 四边形 D. 以上都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方形的判定定理即可解决问题． 【详解】解：M表示既是矩形又是菱形，从而是正方形． 3. 用公式法解一元二次方程时，先找出a，b，c的值，则a，b，c依次为（ ） A. 1，，3 B. 1，4， C. ，，3 D. 1，4，3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键； 结合一元二次方程的一般形式为（，a、b、c为常数），即可求出a、b、c的值． 【详解】解：方程是一般形式，且的系数为1，的系数为，常数项为3， ，，． 故选：A． 4. 下列说法错误的是（　　） A. 平行四边形的对角相等 B. 正方形的对称轴有四条 C. 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 D. 菱形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵平行四边形的对角相等，∴A选项说法正确，不符合题意； ∵正方形沿对边中点连线、两条对角线对折都能重合，共有条对称轴，∴B选项说法正确，不符合题意； ∵矩形绕对角线交点旋转能与自身重合，沿对边中点连线对折能重合，因此矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，∴C选项说法正确，不符合题意； ∵菱形的对角线互相垂直平分，并不一定相等，∴D选项说法错误，符合题意． 5. 年洛水昌谷•春季风筝节已于年月在宜阳县洛水昌谷景区成功举办．为参加此次风筝节，小明制作了一款菱形风筝，已知这个菱形的两条对角线长分别为，，则它的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意可知，风筝的面积为． 6. 如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，，则长是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先证明是等边三角形，得出，，再根据勾股定理求出结论即可． 【详解】解：在矩形中，， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，． 7. k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 必有实根 B. 有两个不相等的实根 C. 无实根 D. 不能确定根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】计算根的判别式，配方后判断其取值范围，即可确定方程根的情况． 【详解】解：一元二次方程为， ，，， ． 为实数， ，即． 方程必有实根． 8. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（ ） A. 12 B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 9. 元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、均在轴上，点D在轴上，点在第一象限，已知点坐标为，点坐标为，点是直线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先由勾股定理求出菱形边长并确定各顶点坐标，再利用菱形对角线的对称性将转化为，最后根据两点之间线段最短，计算的长度即为的最小值． 【详解】解：∵点坐标为，点坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点的坐标为， 如图，连接，过点作轴于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴点的坐标为， ∵菱形的对角线是其对称轴， ∴点关于直线的对称点是点， ∴对直线上任意一点，都有， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、、三点共线（即点运动到图中位置）时，取得最小值，最小值为线段的长度， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程的一个根是1，请写出一个一元二次方程____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】一元二次方程要求二次项系数不为0，将根代入方程满足等式，即可得到符合要求的方程． 【详解】解：设一元二次方程的一般形式为， ∵是方程的根， ∴将代入方程得：， 任意取满足条件的，例如取，，， 得到一元二次方程， 验证可知是该方程的根，符合要求． 12. 如图，正方形的对角线的长为4，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，则四边形的周长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由四边形是正方形及中点定义得到，，然后即可求出四边形的周长． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形，， ∴ ∵点分别为边的中点， ∴，， ∴四边形的周长为． 13. 如图，在中，，D是的中点．若，则的长为_____________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长，再根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，D是的中点，， ， 根据勾股定理可得． 14. 如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 【答案】 【解析】 【分析】将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，由题意得到空白部分的总面积占矩形地块面积的，设石板小径（阴影部分）的宽度为，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，如图所示： 石板小径的总面积占矩形地块面积的， 空白部分的总面积占矩形地块面积的， 设石板小径（阴影部分）的宽度为，则 ， ， 则， 解得或（，舍去）， 石板小径的宽度为． 15. 如图，在矩形中，，，动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．当线段的长为时，t的值为_____________． 【答案】5或9 【解析】 【分析】先确定运动时间的取值范围，因为两点同时出发且一点到终点即停止，所以根据、的速度和对应边长度计算的最大取值．用含的代数式分别表示、的长度，再结合的长度，推导和在水平方向上的距离表达式．过点P作的垂线，构造以为斜边的直角三角形，因为矩形的边长等于该直角三角形的一条直角边，另一条直角边等于，当斜边时，根据勾股定理列关于的方程．求解方程，结合的取值范围筛选符合条件的解． 【详解】解：点P沿运动，长、速度，到达终点的时间为； 点Q沿运动，长、速度，到达终点的时间为． 因此运动总时长不超过， 即​． 过P作于E， 由矩形性质可知，是直角三角形． 由运动速度得：，， 因此P、Q两点在水平方向的距离差为． 在中，根据勾股定理：， 代入、， ， 整理得， ∴， 解得，， 均满足​； 即两个解均符合运动边界要求． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项，得：， 配方，得： ， 即：， 开平方，得：​， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项，得：， 因式分解，得：， ∴或， 解得：，． 17. 如图，在中，的平分线交边于点E，F是边上一点，．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，接着根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，据此可证明结论． 【详解】略 18. 2026年国际足联世界杯由美国、加拿大和墨西哥三国联合举办，盛况空前．某足球运动员在比赛过程中，把一个足球沿垂直于地面的方向往上踢，后该足球的高度h（m）适用公式． （1）经过多少秒时球的高度为？ （2）在上升过程中，球的高度能否达到？若能，请求出对应的时间；若不能，请说明理由． 【答案】（1）经过或时球的高度为 （2）不能． 理由如下：令． 整理，得． ， ∴一元二次方程没有实数根． ∴球的高度不能达到． 【解析】 【分析】（1）因为要求高度为时的时间，所以将代入公式，得到关于t的一元二次方程，求解该方程即可得到对应时间． （2）首先如果要判断上升过程中能否达到21m，可将代入公式得到一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实数根，若没有实根则说明无法达到该高度． 【小问1详解】 解：当时，． 整理，得． 解得． 答：经过1s或3s时球的高度为15m． 【小问2详解】 略． 19. 已知：如图，在等腰梯形中，，对角线与相交于点O， 点E、F分别在线段上，，．求证： （1）； （2）四边形是矩形． 【答案】（1）证明：∵四边形是等腰梯形，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）证明，得到，则可证明； （2）可证明，得到，由平行线的性质得到，则可证明，推出，进而可证明，据此可证明四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售袋，三、四月份该商品十分畅销，销售量持续增长，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到袋． （1）求该网店三、四两个月销售量的月平均增长率． （2）已知该农产品每袋进价元，原售价为每袋元．该网店五月份降价促销，经调查发现，在四月份销售量的基础上，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元？ 【答案】（1）该网店三、四两个月销售量的月平均增长率为 （2）当农产品每袋降价5元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． （1）设三、四这两个月的月平均增长率为x，利用增长率问题表示出四月的销量，列出方程，进而求出答案； （2）设当每袋降价m元时，表示出销量与每袋的利润，再利用每袋的利润×销量＝总利润列出方程，进而解方程求出答案． 【小问1详解】 解：设该网店三、四两个月销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该网店三、四两个月销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 设当农产品每袋降价m元时，该网店五月份获利3250元， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：当农产品每袋降价5元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元． 21. 【问题情境】 已知四边形为正方形，E为对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接，恰好垂直于． （1）【基础探究】 如图1，求证：矩形是正方形； （2）【拓展迁移】 如图2，已知正方形的边长为，当时，求的长． 【答案】（1）证明：四边形为正方形， ，，． ∵四边形为矩形， ． ． ， 即， ， ． ． ． ∴矩形为正方形． （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形为正方形，得，，．由四边形为矩形，得．进而得，进而推导出，得到，则四边形是正方形，即可解答； （2）作于点，由，得到，，进而推导出是等腰直角三角形，设，得到，，根据勾股定理，求出，得到，求出，再根据勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点． ， 是等腰直角三角形． ． 设， 由（1）可得，． ． ，． ． 解得． ． ． 22. 观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是； 第2个方程：，方程的两个根分别是； 第3个方程：，方程的两个根分别是； 第4个方程：，方程的两个根分别是； …… （1）请按此规律写出两个根分别是的一元二次方程：_____________； （2）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”． ①请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； ②已知关于x的方程是“邻根方程”，求m的值． 【答案】（1） （2）①是“邻根方程”；②或 【解析】 【分析】（1）先根据根与系数的关系，得出方程的一次项系数（两根和的相反数）和常数项（两根之积），再结合已知根写出方程． （2）①先解出方程的两个根，再计算两根的差值，判断是否符合 “邻根方程” 的定义．②根据“邻根方程” 的定义，建立关于的方程求解即可． 【小问1详解】 解：， 两根和为，两根积为， 一元二次方程为； 【小问2详解】 解： ①， 解得． ， 是“邻根方程”． ②， ． ∵关于的方程是“邻根方程”， 或． 解得或． 23. 【问题情境】已知在四边形中，E为边上一点（不与点A、D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点F． （1）【问题解决】如图1，若四边形是正方形，点F落在对角线上，连接并延长交于点G．求的度数； （2）【拓展变式】如图2，若四边形是矩形，点F恰好落在的垂直平分线上，与交于点O． 求证：； （3）如图3，若四边形是平行四边形，，，点F落在线段上，连接，，，与交于点H，与交于点G，求的长度． 【答案】（1） （2）证明：如图，连接， ∵垂直平分线段， ∴，，， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 由折叠的性质可得：． ∵，， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质、折叠的性质、平行线的性质，以及等边对等角，进行解答即可； （2）先连接，再利用线段的垂直平分线的性质、折叠的性质、等边三角形的性质、等角对等边，以及含角的直角三角形的性质，即可得证； （3）先连接，，过点作于点，再利用平行四边形的判定与性质、平行线的性质、线段的垂直平分线的性质、折叠的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，以及二次根式的化简，进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，点F落在对角线上， ∴，，． 由翻折可知：， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ． 如图，连接，，过点作于点， 将沿折叠得到， ∴，，， ， ， ， 四边形为菱形， 与互相垂直平分， ， ． ∵， ∴为等边三角形， ，， ． ，， ，， ． ， ， ． ， 四边形是平行四边形， ． ， ， ， ，， ， ， 为等腰三角形， 又， 为等边三角形， ，． ， ， ， ． ， ， ． ， ，， ， ， ． ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年上学期学情调研作业（一） 九年级数学（北师大版） 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.请按要求把答案填写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 学习了《第五章特殊平行四边形》后，小明同学用图示说明特殊平行四边形之间的关系，则图中的“”表示（ ） A. 正方形 B. 平行四边形 C. 四边形 D. 以上都不正确 3. 用公式法解一元二次方程时，先找出a，b，c的值，则a，b，c依次为（ ） A. 1，，3 B. 1，4， C. ，，3 D. 1，4，3 4. 下列说法错误的是（　　） A. 平行四边形的对角相等 B. 正方形的对称轴有四条 C. 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 D. 菱形的对角线相等且互相平分 5. 年洛水昌谷•春季风筝节已于年月在宜阳县洛水昌谷景区成功举办．为参加此次风筝节，小明制作了一款菱形风筝，已知这个菱形的两条对角线长分别为，，则它的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，，则长是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 7. k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 必有实根 B. 有两个不相等的实根 C. 无实根 D. 不能确定根的情况 8. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（ ） A. 12 B. C. D. 9 9. 元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、均在轴上，点D在轴上，点在第一象限，已知点坐标为，点坐标为，点是直线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程的一个根是1，请写出一个一元二次方程____． 12. 如图，正方形的对角线的长为4，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，则四边形的周长是__________． 13. 如图，在中，，D是的中点．若，则的长为_____________． 14. 如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 15. 如图，在矩形中，，，动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．当线段的长为时，t的值为_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，在中，的平分线交边于点E，F是边上一点，．求证：四边形是菱形． 18. 2026年国际足联世界杯由美国、加拿大和墨西哥三国联合举办，盛况空前．某足球运动员在比赛过程中，把一个足球沿垂直于地面的方向往上踢，后该足球的高度h（m）适用公式． （1）经过多少秒时球的高度为？ （2）在上升过程中，球的高度能否达到？若能，请求出对应的时间；若不能，请说明理由． 19. 已知：如图，在等腰梯形中，，对角线与相交于点O， 点E、F分别在线段上，，．求证： （1）； （2）四边形是矩形． 20. 某网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售袋，三、四月份该商品十分畅销，销售量持续增长，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到袋． （1）求该网店三、四两个月销售量的月平均增长率． （2）已知该农产品每袋进价元，原售价为每袋元．该网店五月份降价促销，经调查发现，在四月份销售量的基础上，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元？ 21. 【问题情境】 已知四边形为正方形，E为对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接，恰好垂直于． （1）【基础探究】 如图1，求证：矩形是正方形； （2）【拓展迁移】 如图2，已知正方形的边长为，当时，求的长． 22. 观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是； 第2个方程：，方程的两个根分别是； 第3个方程：，方程的两个根分别是； 第4个方程：，方程的两个根分别是； …… （1）请按此规律写出两个根分别是的一元二次方程：_____________； （2）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”． ①请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； ②已知关于x的方程是“邻根方程”，求m的值． 23. 【问题情境】已知在四边形中，E为边上一点（不与点A、D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点F． （1）【问题解决】如图1，若四边形是正方形，点F落在对角线上，连接并延长交于点G．求的度数； （2）【拓展变式】如图2，若四边形是矩形，点F恰好落在的垂直平分线上，与交于点O． 求证：； （3）如图3，若四边形是平行四边形，，，点F落在线段上，连接，，，与交于点H，与交于点G，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $