精品解析：河南省平顶山市鲁山县第七教研区2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷

2025－2026学年度第一次阶段性检测卷 九年级数学（BS） 测试范围：1.1－2.6 考试时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列性质中，菱形不一定具有的性质是（ ） A. 四边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角相等 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质，正确理解平行四边形的性质定理及菱形的性质定理是解题的关键．由菱形的性质可知，菱形的四边相等、对角线互相垂直、对角相等，但菱形的对角线不一定相等，即可得出答案． 【详解】解：根据菱形的性质可知，菱形的四边相等、对角线互相垂直、对角相等，但菱形的对角线不一定相等， 故A不符合题意，B不符合题意，D不符合题意，C符合题意， 故选：C． 3. 已知关于的方程的一个根为2，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握基础知识是解题关键．将代入方程即可求出的值． 【详解】解：已知是的一个根， ∴， 解得：． 故选：B． 4. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．先求出的长度，根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形为矩形， ． 故选：C． 5. 规定：对于任意实数m、n满足，等式右边是常规乘法与减法运算，如．若关于x的方程的解的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，本题的关键在于理解新定义运算，将其转化为常规的一元二次方程，然后利用根的判别式判断根的情况． 先根据新定义运算将方程转化为常规的一元二次方程形式，然后通过计算根的判别式的值来判断方程根的情况． 【详解】解：∵， ， 在中，， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 6. 在菱形中，对角线与相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查菱形的性质和正方形的判定，熟记判定定理才可正确解答． 根据有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，不能判定是正方形，故本选项符合题意； B、，根据菱形的对角线互相平分，，对角线相等的菱形是正方形可得菱形是正方形，故本选项不符合题意； C、，根据对角线相等的菱形是正方形，故本选项不符合题意； D、，则，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得菱形是正方形，故本选项不符合题意． 故选：A． 7. “少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设共有x个队参赛，根据首轮需要安排28场比赛列方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键． 【详解】解：设共有x个队参赛， 根据题意，得． 故选：D． 8. 关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（ ） A. 14 B. 10 C. 14或10 D. 10或12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义；由方程的解求出，解方程求出另一个根，由等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 设另一根为， ， 解得：， 当为腰时， 此种情况不符合； 当为腰时， ， 符合题意， 的周长为：， 故选：A． 9. 对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．参照已知方法，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，求出大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长为，小正方形的边长的面积是4，求出，即可得到的值． 【详解】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和， ∵，小正方形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∵小正方形的边长为，即， ∵， 即， 故， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】过作，过作于，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形，故①正确；根据正方形性质得，推出，得到，，由此推出平分，故③正确；进而求得，故②错误；当时，点与点重合，得到不一定等于，故④错误；故选A． 【详解】过作，过作于，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，故①正确； ∴， ∵四边形是正方形 ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴， ∵ ∴平分，故③正确； ∴，故②错误； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故④错误． 故选：A 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 如图，在菱形中，，则____________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据菱形的每一条对角线平分每一组对角结合平行线的性质可求得答案 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案． 本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式的性质，从而完成求解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， ， 由①得：， ， ， 由②得：， 且． 故答案为：且． 13. 如图，在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，点B在y轴上，且坐标为，点C在x轴上，则点D的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，证明，解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，坐标的意义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 因为四边形为正方形， 所以， 而， 所以， 所以． 在与中， 所以， 所以． 由题意，得， 而， 所以， 所以点的坐标为． 故答案为． 14. 已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根据＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，据此求解即可． 【详解】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0， ∴x12＝2x1﹣k+1， ∵＝x12+2x2﹣1， ∴＝2（x1+x2）﹣k， ∴＝4﹣k， 解得k＝2或k＝5， 当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意； 当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意； ∴k＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，是边上一点，，是直线上一动点，将沿直线折叠，点A的对应点为，当点、、三点在一条直线上时，的长度为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线，证明为等腰三角形是解题的关键． 利用翻折的性质和平行线的性质证明，再利用勾股定理求出的长；当点F在延长线上时，利用翻折的性质和对顶角相等推出，再利用平行线的性质和等边对等角推出，由求解，综合可得结果． 【详解】如图，由翻折可知，， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； 当点F在延长线上时，记为， 由翻折知，， ， 又， ， ， ， ， ， ； 综上可知，的长度为或． 故答案为：或． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 如图，在四边形中，点E在上，，，若平分．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握相关的判定定理是解题的关键． 先根据，得到四边形是平行四边形，再根据平行线的性质与角平分线的定义证明，得到，即可得证结论． 【详解】略 17. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）无解 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用公式法求解； （2）利用因式分解法求解； （3）利用公式法求解． 【小问1详解】 解：， ， 原方程无实数根，即原方程无解． 【小问2详解】 解：原方程化为，即， 或， ． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ． 18. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，垂足为E，，求的度数． 【答案】＝28°． 【解析】 【分析】四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得到，又，由等腰三角形性质得到∠OBA＝62°，由得∠AEB＝90°，直角三角形两锐角互余得到的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴，，， ∴． ∴△AOB是等腰三角形， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 19. 如果方程的两个根是，，则，，请根据以上结论，解决下列问题： （1）若，，求方程的两根． （2）已知实数a、b满足，，求的值； 【答案】（1）， （2）或2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． （1）根据，，得出方程，再求解即可； （2）根据、满足，，得出，是的解，求出和的值，即可求出的值． 【小问1详解】 解：当，，则方程为， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：、满足，， 、是的解， 当时，，， ； 当时，原式． 综上，的值为或2． 20. 如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求矩形的周长． 【答案】（1）四边形是正方形，理由如下： ∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴平行四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形； （2）14 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质. （1）首先根据题意证明出四边形是矩形，然后由得到四边形是正方形； （2）根据矩形和正方形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴矩形的周长． 21. 新课改下中考体育改革与创新的目的是促进素质教育全面发展，体育课作为一门重要课程，对促进学生身心健康起着尤为重要的作用．某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为． （1）求安全区域的宽度； （2）某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】（1）安全区域的宽度为1米 （2）每次降价的百分率为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设安全区域的宽度为x米，根据篮球场及安全区域的总面积为，列出方程，解方程即可； （2）设每次降价的百分率为a，根据原价为45万元，连续两次降价后为万元，列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设安全区域的宽度为x米，由题意得： ， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）． 答：安全区域的宽度为1米； 【小问2详解】 解：设每次降价的百分率为a，由题意得： ， 解得（舍去），， 答：每次降价的百分率为． 22. 在正方形中，点E是边上一动点（不含端点B、C）． （1）如图1，，，连接． ①求证：； ②求证：． （2）如图2，N为的中点，连接，求证：； （3）如图3，若，直接写出的最小值． 【答案】（1） ①证明：在正方形中，，． ∵， ∴． ∴． ∴．即：， ②证明：在上取点G，使，连接， ∵，，． ∴，． ∴． 又∵， ∴ ∴． （2） 证明：延长到，使．连接． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∴． 在四边形中，． ∴． ∴ 由（1）知，． ∴． ∴，． ∴， ∴ ∵，． ∴，． ∴，． （3） 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质，结合同角的余角相等，即可得证；②在上取点G，使，连接，证明，即可得出结论； （2）延长到，使．连接，证明，得到，进而得到，得到，证明，推出为等腰直角三角形，三线合一，推出，，即可得证； （3）作，交的延长线于点，过E作于，则，得到当D、E、K三点共线时，的值最小，垂线段最短，得到当时，的值最小，此时的值最小，进行求解即可． 【小问1详解】 证明：①略 ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 作，交的延长线于点，过E作于，则． ∴． ∴当D、E、K三点共线时，的值最小， ∵在上， ∴当时，的值最小，此时的值最小， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，两点之间线段最短以及垂线段最短，熟练掌握正方形的性质，合理添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 23. 我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． （1）关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． （2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； （3）若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 【答案】（1）；或； （2），该方程的“幸运数”为 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“幸运方程”的定义，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系； （1）把代入方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解； 根据“幸运数”的定义可得方程，解方程可求得的值； （2）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“幸运数”定义求解即可； （3）根据是“幸运方程”得出的两个根为整数，设方程的两个分别为，根据根与系数的关系得出，进而根据为整数，得出的值为或，求得，根据与互为“开心数”得出方程，进而分或，分别代入，解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，代入得，， ∴，即， 故答案为：； 依题意，， 整理得，， 解得，， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“幸运方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， 当时，方程化为， ∴； ∴方程的“幸运数”为； 【小问3详解】 解：∵是“幸运方程” ∴的两个根为整数， 设方程的两个根分别为， ∴ ∴ ∴， ∴ ∵为整数， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 综上所述，的值为或； 方程的“幸运数”为， 当时， 当时， ∴ 方程的“幸运数”为 ∵与互为“开心数”， ∴，即 当时，方程为： 解得：或（舍去，不是整数） 当时，方程为： 解得： 综上所述，或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一次阶段性检测卷 九年级数学（BS） 测试范围：1.1－2.6 考试时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列性质中，菱形不一定具有的性质是（ ） A. 四边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角相等 3. 已知关于的方程的一个根为2，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 4. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 规定：对于任意实数m、n满足，等式右边是常规乘法与减法运算，如．若关于x的方程的解的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 6. 在菱形中，对角线与相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 7. “少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（ ） A. 14 B. 10 C. 14或10 D. 10或12 9. 对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 如图，在菱形中，，则____________． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_______． 13. 如图，在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，点B在y轴上，且坐标为，点C在x轴上，则点D的坐标为______． 14. 已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____． 15. 如图，在矩形中，，，是边上一点，，是直线上一动点，将沿直线折叠，点A的对应点为，当点、、三点在一条直线上时，的长度为____________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 如图，在四边形中，点E在上，，，若平分．求证：四边形是菱形． 17. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 18. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，垂足为E，，求的度数． 19. 如果方程的两个根是，，则，，请根据以上结论，解决下列问题： （1）若，，求方程的两根． （2）已知实数a、b满足，，求的值； 20. 如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求矩形的周长． 21. 新课改下中考体育改革与创新的目的是促进素质教育全面发展，体育课作为一门重要课程，对促进学生身心健康起着尤为重要的作用．某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为． （1）求安全区域的宽度； （2）某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 22. 在正方形中，点E是边上一动点（不含端点B、C）． （1）如图1，，，连接． ①求证：； ②求证：． （2）如图2，N为的中点，连接，求证：； （3）如图3，若，直接写出的最小值． 23. 我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． （1）关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． （2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； （3）若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $