精品解析：河南郑州市管城回族区第六中学2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试卷

九年级第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满30分） 1. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 下面性质中菱形有而矩形没有的是（　　） A. 邻角互补 B. 内角和为360° C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 3. 用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣6）2=﹣4+36 B. （x﹣6）2=4+36 C. （x﹣3）2=﹣4+9 D. （x﹣3）2=4+9 4. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC的长是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5. .以3、4为两边长的三角形的第三边长是方程x2-13x+40=0的根，则这个三角形的周长为（ ） A. 15或12 B. 12 C. 15 D. 以上都不对 6. 四边形中,是对角线的交点,下列条件中能判定此四边形是正方形的是 (　　) ①; ②; ③; ④. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ） A. 10% B. 15% C. 20% D. 25% 8. 在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ） A. 四边形的周长 B. 的大小 C. 四边形的面积 D. 线段的长 9. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 如图，在正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于点．下列结论：；；；；，其中结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 12. 如图，点E、F分别是正方形的边、上的点，且，已知，则图中阴影部分的面积是__________． 13. 已知、是一元二次方程的两根，则________． 14. 如图，在矩形ABCD中，，，P是AD上一个动点，于E，于F，则的值为______． 15. 如图，在菱形中，，，点是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠与重合，折痕为且交于点．若点是的中点，则的长为______． 三、解答题（本大题共8题，满分75分） 16. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 17. 如图，在中，是上一点，平分交于点，平分交于点，求证：四边形是矩形． 18. 已知关于x的方程． （1）求证：不论k取何值，该方程总有两个实数根． （2）若该方程的两个解为、，且，求此时该方程的解； 19. 如图，，是上一点，平分且过的中点，交于点，，交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求四边形的面积． 20. 张掖市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 21. 如图，在正方形中，G、E、F是正方形边上的点，连接、，与交于点M，，． （1）求证：； （2）连接、、、的中点P、Q、R、S，试说明四边形是什么特殊的四边形． 22. 如图，四边形为矩形，，．若点Q从点A出发沿以的速度向终点D运动，点P从点B出发沿以的速度向终点A运动，如果P，Q同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也同时停止，设运动的时间为t秒． （1）_______，_______（用含有t的代数式表示） （2）当t为何值时，的面积为？ （3）是否存在t使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 23. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． （1）在图2中，的度数是 （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度． （3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满30分） 1. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】解：， ， ， 或， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键． 2. 下面性质中菱形有而矩形没有的是（　　） A. 邻角互补 B. 内角和为360° C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】由题意根据菱形对角线互相垂直和矩形对角线相等的性质进行分析解答即可． 【详解】解：A、∵平行四边形的邻角互补， ∴矩形的邻角互补．故矩形和菱形的邻角均互补，故A错，不符合题意； B、平行四边形的内角和为360，矩形内角和为360度．故矩形和菱形的内角和都是360°，故B错，不符合题意； C、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直且平分，故C错，不符合题意； D、菱形对角线互相垂直，矩形的对角线不互相垂直，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查菱形和矩形的性质，注意掌握菱形以及矩形的性质方能解答要对比两者之间的相同点以及不同点． 3. 用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣6）2=﹣4+36 B. （x﹣6）2=4+36 C. （x﹣3）2=﹣4+9 D. （x﹣3）2=4+9 【答案】D 【解析】 【分析】配方时，首先将常数项移到方程的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，据此进行求解即可. 【详解】x2﹣6x﹣4=0， x2﹣6x=4， x2﹣6x+9=4+9， （x﹣3）2=4+9， 故选：D. 4. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC的长是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：在矩形ABCD中，OA=OC， ∵∠AOD=60°， ∴△OAD是等边三角形． ∴OA=AD=2． ∴AC=2OA=2×2=4． 故选B． 5. .以3、4为两边长的三角形的第三边长是方程x2-13x+40=0的根，则这个三角形的周长为（ ） A. 15或12 B. 12 C. 15 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：将方程进行因式分解可得：（x－5）（x－8）=0，解得：x=5或x=8，根据三角形三边关系可得：这个三角形的第三边长为5，则周长为：3+4+5=12． 考点：（1）解一元二次方程；（2）三角形三边关系 6. 四边形中,是对角线的交点,下列条件中能判定此四边形是正方形的是 (　　) ①; ②; ③; ④. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的判定一一判断即可. 【详解】解: ∵,∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形,不一定是正方形，故①不符合题意； 只能判定四边形是平行四边形.故②不符合题意； ;对角线相互平分，邻边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故③不符合题意； ，对角线相互平分且相等，四边形是矩形，又∵，∴四边形是正方形.故④符合题意； 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，解题时一定要把平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定区分开. 7. 某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ） A. 10% B. 15% C. 20% D. 25% 【答案】C 【解析】 【分析】设平均每月的增长率为x，原数为200万元，后来数为288万元，增长了两个月，根据公式“原数×（1+增长百分率）2=后来数”得出方程，解出即可． 【详解】解：设平均每月的增长率为x， 根据题意得：200（1+x）2=288， （1+x）2=1.44， x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去）， 所以，平均每月的增长率为20%． 故选：C． 【点睛】本题是一元二次方程的应用，属于增长率问题；解题的关键是根据题意，找出等量关系. 8. 在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ） A. 四边形的周长 B. 的大小 C. 四边形的面积 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ． 【详解】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， ， 同理，且． ∴四边形是平行四边形， 则与的面积分别为与面积的一半， 四边形的面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误． 选项B：随位置改变，错误． 选项D：长度随、移动改变，错误． 综上，四边形的面积是定值， 故选：． 9. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 10. 如图，在正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于点．下列结论：；；；；，其中结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得：，，根据等边三角形的性质可得：，利用可证，根据全等三角形的性质可证；根据全等三角形对应角相等可以求出，根据直角三角形两锐角互余可以求出；根据正方形的性质可知，根据等边三角形的性质可知；设，，可得：，，可知． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ， 在和中，， ， ， 故正确； 四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故正确； ，， 是的垂直平分线， ， 是正方形的对角线， ， ， 是等边三角形，是边上的高， 平分， ， ， 即， 故错误； 设，，则，， 是等边三角形， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：，(负值，舍去)， ， ， ， 故错误； 设， 则， 由可知， 则， ， ， ， 故正确； 综上所述，结论正确的是． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、特殊三角形的边的关系、三角形中线性质、等边三角形的性质和三角面积公式，熟练掌握并利用相关知识点逐个进行证明是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断有一个根满足． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴，在内有一个解， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 12. 如图，点E、F分别是正方形的边、上的点，且，已知，则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到∠EDO＝∠FCO，AC⊥BD，OD＝BD，OC＝AC，AC＝BD，根据全等三角形的判定定理得到△ODE≌△OCF（ASA），根据正方形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EDO＝∠FCO，AC⊥BD，OD＝BD，OC＝AC，AC＝BD， ∴∠DOC＝90°，OD＝OC， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∴∠DOE＝∠COF， ∴△ODE≌△OCF（ASA）， ∴图中阴影部分的面积＝S△AOD＝S正方形ABCD， ∵AD＝6， ∴图中阴影部分的面积＝×62＝9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证得△ODE≌△OCF是解题的关键． 13. 已知、是一元二次方程的两根，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的根，熟练掌握根与系数关系是解题的关键； 由根与系数的关系结合一元二次方程的根，可得出，，将其代入中，即可得出结果． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ， ， ， 故答案为：5． 14. 如图，在矩形ABCD中，，，P是AD上一个动点，于E，于F，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由矩形的性质得到，，则可求出，利用勾股定理求出，则可得到，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵矩形中， ∴，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，在菱形中，，，点是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠与重合，折痕为且交于点．若点是的中点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明点与点重合，三点在同一条直线上，过点作，交的延长线于点，然后根据直角三角形的性质以及勾股定理解，设，则，再对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：四边形为菱形， ，，， ， 由翻折可得， 点是的中点， ， ，即点与点重合． ， 三点在同一条直线上． 过点作，交的延长线于点． ，， ， ∴， ， ∴ 由翻折可得， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ． 三、解答题（本大题共8题，满分75分） 16. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得． 17. 如图，在中，是上一点，平分交于点，平分交于点，求证：四边形是矩形． 【答案】证明：平分平分， ，， ， 又平分， ， ， ， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】由角平分线的定义和平角的定义可证明，由三线合一定理可证明，再由，即可证明四边形是矩形． 【详解】略 18. 已知关于x的方程． （1）求证：不论k取何值，该方程总有两个实数根． （2）若该方程的两个解为、，且，求此时该方程的解； 【答案】（1） 已知关于x的方程为， ∴， ∴， ∴不论k为何值，该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数的关系及解一元二次方程．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． （1）求出该方程根的判别式为，即得出不论k为何值，该方程总有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，求出k的值，还原方程，利用因式分解法求解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵该方程有两个根为，， ∴， 解得：， 原方程为：，即． 解得：． 19. 如图，，是上一点，平分且过的中点，交于点，，交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）菱形； 证明：∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴． ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得出结论． （2）由菱形的性质得出，证明四边形是平行四边形，得出，，由菱形的性质得出，得出，由勾股定理得，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得四边形是菱形， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 20. 张掖市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】该品牌头盔每个售价应定为元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程是解题关键．设该品牌头盔每个售价应定为元，则销量为件，根据利润单个利润数量，列出方程求解即可． 【详解】解：设该品牌头盔每个售价应定为元，则销量为件， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌头盔每个售价应定为元． 21. 如图，在正方形中，G、E、F是正方形边上的点，连接、，与交于点M，，． （1）求证：； （2）连接、、、的中点P、Q、R、S，试说明四边形是什么特殊的四边形． 【答案】（1） 证明：如图，过点作于点，则， 四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 解：由（1）可知，， ，， ， ， ， ， 如图，连接、、、的中点P、Q、R、S， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键． （1）过点作于点，根据正方形的性质得到，，再结合已知条件得到，即可利用“”证明全等； （2）由（1）可知，，从而得出，，再根据三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，再证明正方形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，四边形为矩形，，．若点Q从点A出发沿以的速度向终点D运动，点P从点B出发沿以的速度向终点A运动，如果P，Q同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也同时停止，设运动的时间为t秒． （1）_______，_______（用含有t的代数式表示） （2）当t为何值时，的面积为？ （3）是否存在t使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 解：不存在使为等腰三角形． 理由：由题意可得，，， ， 为钝角三角形，且为等腰三角形， ， ， ， ， ∴方程无解， ∴不存在使为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）设运动的时间为t秒，根据各自的运动速度，用表示出与； （2）先根据矩形的性质分别表示出与，再列出关于t的方程求解即可； （3）先用t表示出，，，根据为钝角三角形，且为等腰三角形，得到关于t的方程求解，根据方程解的情况作出判断即可． 【小问1详解】 解：设运动的时间为t秒， ∵点Q从点A出发沿以的速度向终点D运动，， ， ∵点P从点B出发沿以的速度向终点A运动，， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 ∵四边形为矩形，，， ，， ， ，解得：或． ∵， ∴不符合题意， ∴当时，的面积为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了列代数式，等腰三角形的性质和判定，用勾股定理解三角形，根据矩形的性质求线段长，与图形有关的问题，一元二次方程的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 23. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． （1）在图2中，的度数是 （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度． （3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）当时，线段有最大值，最大值为． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系、旋转的性质属于综合题． 将绕点顺时针旋转得到，根据正方形的性质可知，因为，可得：； 过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，可证，根据全等三角形的性质可得，可以求出，根据勾股定理可得：，即可求出； 将绕点逆时针旋转得线段，连接、，利用勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可证，当、、三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ； 故答案为：； 解：如下图所示，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到， ，，，， 直角梯形中，（），，， ， 四边形是正方形，，， 点与重合，、、三点共线， ， 由可知， 在和中，， （）， ， ， ， ，， ， 在中，， ， 解得：； 当时，线段有最大值， 如下图所示，将绕点逆时针旋转得线段，连接、， 是等腰直角三角形，， ， ， 四边形是正方形， ，， ，即， 在和中，， ， ， 当有最大值时，有最大值， ，， 当、、三点共线时，有最大值， 最大值为， ， 此时， 当时，线段有最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $