精品解析：宁夏银川市景博中学2026-2027学年高三上学期第一次检测数学试卷

景博中学2026-2027学年第一学期第一次检索 高三数学试题 班级：______ 姓名：______ 考号：______ 时间：150分钟 分值：150分 （Ⅰ卷） 一、单选题：本题共8小题，每小题题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，函数的图象如图所示，则（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 6. 在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（ ） A. 1 B. 8 C. 2 D. 4 7. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 8. 已知正方体，棱，靠近的三等分点分别为，，平面截正方体得两个几何体，体积分别记为，（），则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题题6分，共18分. 9. 已知向量满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. 与的夹角为 C. D. 10. 下列结论正确的有（ ） A. ， B. “，”是假命题 C. “有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D. “，”的否定是“，” 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点（包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 正方体的外接球球心到平面的距离为 C. 存在点，使得 D. 点到直线的距离的最小值为 （Ⅱ卷） 三、填空题：本题共3小题，每小题题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则=_________. 13. 若正三棱锥的侧棱长为，且，则点到侧面的距离为_______． 14. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点，，直线与所成角的大小为，则四棱锥的体积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或者验算步骤. 15. 如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，分别是棱的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面. 16. 一座金陵城，半部南京史！六朝古都南京，不仅历史文化底蕴深厚，而且红色文化资源密集．基于此，某中学积极响应，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，以及样本的平均数； （2）若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的，试估计获奖分数线(精确到)； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率． 17. 如图在四棱锥中，，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 18. 新疆地区的棉花是世界上最好的棉花之一，新疆长绒棉，世界顶级，做衣被，暖和、透气、舒适，长年供不应求．评价棉花质量的重要指标之一就是棉花的纤维长度，新疆农科所在土壤环境不同的A、B两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从A、B两地的棉花中各随机抽取40根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于300mm的为“长纤维”，其余为“短纤维”）． 纤维长度 A地（根数） 4 9 2 17 8 B地（根数） 2 1 2 20 15 （1）由以上统计数据，填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”（的观测值精确到0.01）． 附： A地 B地 总计 长纤维 短纤维 总计 临界值表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （2）现从抽取的80根棉花纤维中“短纤维”里任意抽取2根做进一步研究，记B地“短纤维”的根数为Y，求Y的分布列和数学期望； （3）根据上述B地关于“长纤维”与“短纤维”的调查，将B地“长纤维”的频率视为概率，现从B地棉花（大量的棉花）中任意抽取3根棉花，记抽取的“长纤维”的根数为X，求X的方差． 19. 如图，在直三棱柱中，，点P在线段上运动（包含端点），点Q为AC的中点，设平面PBQ与平面的交线为l． （1）证明：平面ABC； （2）若直线PQ与平面ABC所成角的余弦值为，求； （3）求平面PBQ截直三棱柱所得的截面面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景博中学2026-2027学年第一学期第一次检索 高三数学试题 班级：______ 姓名：______ 考号：______ 时间：150分钟 分值：150分 （Ⅰ卷） 一、单选题：本题共8小题，每小题题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】由于， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限． 3. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】分析充分性： 若成立， 举反例验证：取，，此时，， 但，，显然不成立，即不成立， 因此充分性不成立. 分析必要性： 若成立， 由绝对值的性质：， 因为，所以，即a为正数， 当时，， 又因为，结合，可得， 即， 因为， 所以， 因此必要性成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 4. 对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共线定理即可求解. 【详解】由题意知. 若与共线，则存在实数使得， 因为向量，不共线， 所以解得，故的值为. 故选：C 5. 已知函数，函数的图象如图所示，则（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由的图象可得， 故. 6. 在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（ ） A. 1 B. 8 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据C，F，B三点共线可得的关系，再利用基本不等式解出. 【详解】因为，且点F在线段BC上， 则，且， 则. 故选：B. 【点睛】本题考查了向量共线定理和基本不等式的性质，注意当三点共线时，若，则必有，属于基础题. 7. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 8. 已知正方体，棱，靠近的三等分点分别为，，平面截正方体得两个几何体，体积分别记为，（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】得到平面截正方体所得图形后，可得截出的两个几何体分别为三棱台与正方体剩余部分，再借助棱台体积公式与正方体体积公式可得，，即可得解. 【详解】连接、、，由、分别为棱，靠近的三等分点， 故，又由正方体性质可得，故， 故四边形即为平面截正方体所得图形， 则所得的两个几何体分别为三棱台与正方体剩余部分， 设该正方体棱长为，则， 故，故. 二、多选题：本题共3小题，每小题题6分，共18分. 9. 已知向量满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. 与的夹角为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律，求出向量与的夹角即可判断A、B，再根据向量模的计算公式及向量垂直的性质判断C、D即可. 【详解】设与的夹角为， 由得， 将代入得，∴， 又，∴，故A正确，B错误; ，故C正确; ，故，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列结论正确的有（ ） A. ， B. “，”是假命题 C. “有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D. “，”的否定是“，” 【答案】AB 【解析】 【分析】由全称量词、存在量词命题的定义及真假逐个判断选项. 【详解】选项A：将不等式变形：，配方得：， 对所有实数恒成立，因此选项A正确； 选项B：由绝对值的非负性，， 因此，不可能小于0，因此选项B正确； 选项C：“有理数的平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”， 是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C错误； 选项D：全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变的取值范围，因此选项D错误. 故选：AB. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点（包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 正方体的外接球球心到平面的距离为 C. 存在点，使得 D. 点到直线的距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面平行判定定理得平面，故上任一点到平面的距离h为定值，根据等体积判断A即可；根据平面平面，得出点到平面的距离为计算判断B；建立空间直角坐标系，由计算判断C；利用点到直线的距离的向量公式列式，再由二次函数求最值即可. 【详解】对于A，在正方体中，因，平面，平面， 故平面，所以上任一点到平面的距离h为定值， 又为定值，故为定值，故A正确； 对于B，连接，，记正方体的外接球球心为， 易知是正方体体对角线的中点，因为平面平面， 且平面和平面与体对角线的交点是的两个三等分点， 又，所以点到平面的距离为，故B正确； 对于C，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立如图所示的空 间直角坐标系， 则，，，，，， 设，， 因为，所以， 又，若，则， 解得，所以这样的点不存在，故C错误； 对于D，， 所以，因为， 所以， 所以点到直线的距离 ， 又，所以当时，，故D正确. （Ⅱ卷） 三、填空题：本题共3小题，每小题题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则=_________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以正态曲线关于对称，且标准差， 因为， 所以， 因此. 13. 若正三棱锥的侧棱长为，且，则点到侧面的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等体积法可求点到侧面的距离. 【详解】设为正三角形的中心，由正弦定理得， 由正三棱锥，可得平面，又平面，， 又，所以， 设点到侧面的距离为， 由，得， 又，， 所以，解得. 14. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点，，直线与所成角的大小为，则四棱锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作辅助线，根据线面垂直的性质定理得到线线垂直，再根据边长之间的关系以及余弦定理求得，再根据棱锥的体积公式可求得结果. 【详解】连接，如图所示： 因为，所以直线与所成角为（或其补角）， 因为平面，所以， 又底面为矩形，所以， 因为，平面，平面，而平面， 所以，所以均为直角三角形， 设，则，即， 因为点E为的中点，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四棱锥的体积. 故答案为：. 【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理、异面直线所成的角、锥体的体积公式，关键点点睛： （1）直线垂直平面，则这条直线垂直平面内任何一条直线； （2）锥体体积底面积高； （3）异面直线所成的角取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或者验算步骤. 15. 如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，分别是棱的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面. 【答案】（1） ∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面. ∵平面，∴平面平面. ∵四边形是菱形，∴. 又平面，平面平面， ∴平面． （2） 取棱的中点，连接. ∵分别是棱的中点， ∴∥，∥. ∵∥，∴∥. ∵平面，平面， ∴∥平面； 同理由∥，得∥平面. ∵平面， ∴平面∥平面； 又平面，∴∥平面. 【解析】 【分析】（1）由平面与平面垂直的性质定理可得平面，再由平面与平面垂直的判定定理得平面平面，最后由平面与平面垂直的性质定理得平面； （2）取棱的中点，连接，由平面与平面平行的判定定理得平面∥平面，进而证得∥平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 一座金陵城，半部南京史！六朝古都南京，不仅历史文化底蕴深厚，而且红色文化资源密集．基于此，某中学积极响应，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，以及样本的平均数； （2）若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的，试估计获奖分数线(精确到)； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率． 【答案】（1），平均数为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质建立方程，求解参数和平均数即可. （2）利用频率分布直方图的性质结合给定条件建立方程，求解获奖分数线即可. （3）利用分层抽样的性质求出总事件数和符合条件的事件数，再结合古典概型概率公式求解即可. 【小问1详解】 因为小长方形面积和为， 所以，解得， 则平均数为. 【小问2详解】 由题意得， 则分数线在内，且设分数线为， 可得， 解得，即获奖分数线为. 【小问3详解】 由题意得两组的频率之比为， 现从两组中用分层抽样的方法抽取6人， 则分别抽取2人，4人，记为， 所有可能的情况为，，，共15种， 其中至少有1人的年龄在的情况有，，共9种， 故所求概率 17. 如图在四棱锥中，，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1）证明：连结，过作，垂足为，于． ，中，，． 中，，，即， 所以，又，,平面,平面， 平面，又因为平面， 平面平面． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，如图所示以为原点，过点与垂直的直线 为轴，，为，轴建立坐标系．由（1）知，， ，，． 所以，．设平面法向量， 由，，，取，得，有， 又，，设平面法向量， 由，，，取，得，有， 设平面与平面的夹角为，则， 所以． 18. 新疆地区的棉花是世界上最好的棉花之一，新疆长绒棉，世界顶级，做衣被，暖和、透气、舒适，长年供不应求．评价棉花质量的重要指标之一就是棉花的纤维长度，新疆农科所在土壤环境不同的A、B两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从A、B两地的棉花中各随机抽取40根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于300mm的为“长纤维”，其余为“短纤维”）． 纤维长度 A地（根数） 4 9 2 17 8 B地（根数） 2 1 2 20 15 （1）由以上统计数据，填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”（的观测值精确到0.01）． 附： A地 B地 总计 长纤维 短纤维 总计 临界值表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （2）现从抽取的80根棉花纤维中“短纤维”里任意抽取2根做进一步研究，记B地“短纤维”的根数为Y，求Y的分布列和数学期望； （3）根据上述B地关于“长纤维”与“短纤维”的调查，将B地“长纤维”的频率视为概率，现从B地棉花（大量的棉花）中任意抽取3根棉花，记抽取的“长纤维”的根数为X，求X的方差． 【答案】（1）列联表： 地 地 总计 长纤维 短纤维 总计 在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系” （2）的分布列如下表所示： 期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，的得出的列联表，求得，结合附表，即可得到结论； （2）根据题意，得到随机变量的可能取值有，，，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解； （3）根据题意，得到随机变量，结合方差的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题中信息可得如下列联表： 地 地 总计 长纤维 短纤维 总计 可得， 因此，在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”. 【小问2详解】 解：由题意，根棉花纤维中“短纤维”共根，其中，地的“短纤维”共根， 所以随机变量的可能取值有，，， 可得， ， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. 【小问3详解】 解：从地棉花（大量的棉花）中任意抽取根是“长纤维”的频率是， 所以随机变量，可得. 19. 如图，在直三棱柱中，，点P在线段上运动（包含端点），点Q为AC的中点，设平面PBQ与平面的交线为l． （1）证明：平面ABC； （2）若直线PQ与平面ABC所成角的余弦值为，求； （3）求平面PBQ截直三棱柱所得的截面面积的最大值． 【答案】（1） 因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，平面，平面，所以平面； （2）1 （3）12 【解析】 【分析】（1）首先根据面面平行的性质可证明，再根据线面平行的判定定理，即可证明； （2）首先根据垂直关系建立空间直角坐标系，再代入线面角的向量公式，即可求解； （3）首先确定截面的形状，再利用向量公式求点到直线的距离，再代入面积公式，利用导数确定函数的单调性，再求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 如图，以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设，，，， 平面的一个法向量为， 设与平面的夹角为， 则， 解得：， 所以； 【小问3详解】 直线与交于点，连接， 所以平面PBQ截直三棱柱所得的截面为梯形， ，根据（2）可知，，， 则点到的距离， 由，且，所以， 所以是等边三角形，则， 所以平面PBQ截直三棱柱所得的截面的面积，， 恒成立， 所以函数在区间上单调递减，所以的最大值为. 所以平面PBQ截直三棱柱所得的截面面积的最大值为12. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $