精品解析：宁夏中卫市第一中学2026-2027学年第一学期9月份学情诊断评价高三数学试题

中卫市第一中学2026-2027学年度第一学期9月份学情诊断评价 高三数学 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先将转化为，然后进行交集运算即可. 【详解】，即，即，因此， 又集合，故. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求解不等式得出的取值范围，再根据充分性和必要性的定义判断两个条件之间的关系. 【详解】不等式可化为，即. 若成立，一定满足，因此充分性成立； 若满足，不一定满足，因此，必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由分段函数定义，因 ，故 ； 又因 ，故 ． 4. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A选项，函数定义域为，且，故函数为奇函数， 当时，，当时，，故不满足单调递增条件； 对于B选项，函数定义域为，，因此函数为奇函数， 对函数求导得，，当时，，因此函数在上单调递增， 故符合条件； 对于C选项，函数定义域为，，因此函数为偶函数，不符合条件； 对于D选项，函数的定义域为，则函数为非奇非偶函数，不符合条件. 5. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数单调性得到求解即可. 【详解】由函数在上的减函数， 可得：，解得：， 故选：C 6. 一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人按先前进步，然后再后退步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向，以步的距离为个单位长度．令表示第秒时机器人所在位置的坐标，且记．则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据每秒为一个周期即可求解． 【详解】依题意可得该机器人的移动规律： 前进步，后退步，即每秒为一个周期，且每一个周期后都前进个单位长度， 对于A，B，由、、、、，故A正确，B正确； 对于C，D，由， ，所以，故C错误，D正确． 7. 已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】补全函数的图象，分、、三种情况解不等式，结合图象可得出关于的不等式，即可得出原不等式的解集. 【详解】因为是定义在区间上的偶函数，补充函数的图象如下图所示： 对于不等式， 若，则，可得或或，解得或或， 此时； 若，则，可得，解得，此时. 显然满足不等式. 综上所述，不等式的解集为. 8. 已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解. 【详解】由题意可得， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 联立，解得， 又因为对于任意的，都有成立， 所以， 所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， （1）若，则对称轴，解得； （2）若，则在单调递增，满足题意； （3）若，则对称轴恒成立； 综上，. 故选：D. 二、多选题（每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知幂函数的图象不过原点，则实数的取值可以为（ ） A. 5 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】BC 【解析】 【分析】由幂函数的系数为，列方程求出实数的值，并检验函数的图象是否过原点，得出答案． 【详解】令，解得或， 当时，图象不过原点，成立； 当时，图象不过原点，成立； 故选：BC 10. 下列几个说法，其中正确的有（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为； B. 已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是； C. 若函数有两个零点，则实数b的取值范围是； D. 若是奇函数，且实数k满足，则k的取值范围是. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用抽象函数的定义域可得函数的定义域；对于B，利用复合函数的单调性以及对数型函数的定义域可得实数a的取值范围；对于C，利用函数零点与图象交点的关系解出实数b的取值范围；对于D，利用函数的奇偶性求出，利用函数的单调性解出k的取值范围． 【详解】对于A，由函数的定义域为，即，得到， 则函数的定义域为，故A错误； 对于B，函数为复合函数， 令，，若满足题意， 只需在上为增函数，且， 所以，∴，B正确； 对于C，函数有两个零点， 即为函数的图象与直线的图象有两个交点， 可得，故C正确； 对于D，由题意，∴，经检验满足题意. ∴单调递减， ∵，， ∴，∴，D正确； 故选：BCD 【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的定义域，考查函数单调性的应用，考查函数的性质解不等式，考查函数与方程思想，考查学生计算能力，函数的零点与方程根的关系如下： 1. 函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零； 2. 根据函数零点定义可知，函数的零点就是方程的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实根，有几个实根； 3. 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 11. 已知函数与的定义域均为，且，，若的图象关于点对称，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题设且，结合判断A；根据已知得、，则，进而得判断B；根据分析得，得，结合奇函数性质判断C；首先确定是周期为4的函数，再求得，利用周期性求值判断D. 【详解】由的定义域为R且图象关于点对称，则，且， 所以，则，A对； 由，知，又， 所以，而，则， 故，即，B对； 由，则，故， 令，则，显然不满足是奇函数，C错； 由B分析有，即，故是周期为4的函数， 其中，，，， 所以，故，D对. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12. 已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【详解】因为且，， 则时，， 函数（，且）的图象恒过定点. 所以点P的坐标为. 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先将指数式化为对数式，再利用对数的运算性质即可求解. 【详解】已知，则有，， 由换底公式可知，， 所以. 14. 对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，令下列说法正确的有_________ ① ②当时， ③ ④不等式的解集为 【答案】①②④ 【解析】 【分析】应用函数的新定义计算判断①，②，计算特殊值判断③，结合一元二次不等式计算求解判断④. 【详解】，故①正确； 时，所以时，，故②正确； 当时，此时，故③错误； 令则化为，解得，所以， 当时，，当时，，所以， 所以不等式的解集为，故④正确. 故答案为：①②④ 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）当为何值时，等式成立？ 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据对数的真数大于零，得出，解出该不等式即可得出函数的定义域； （2）根据对数的运算性质可得出关于的方程，解出即可. 【详解】（1）由，得， 所以，函数定义域为； （2）由，得， 即，可得：， 即，即，或， 由于，得，所以，不合题意， 所以，当时，等式成立. 【点睛】本题考查了对数运算以及简单的对数方程的求解，解题时不要忽略真数大于零这一条件的限制，考查运算求解能力，属于基础题. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. （1）求角A的大小： （2）设的面积为，外接圆的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由余弦定理得, 又，∴. 【小问2详解】 ∵的面积为， 则， 又外接圆的面积为，设外接圆的半径为， 由正弦定理得，即， 则，. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明:底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 可得， 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知和为椭圆：（）上两点． （1）求的方程； （2）过点作直线与相交于，两点，与轴交于点（点在椭圆内部），为坐标原点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆过两点列方程组求解即可. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立（法一：消去；法二，消去），根据韦达定理、点到直线的距离、三角形面积公式及已知条件，结合弦长公式求解即可. 法三：设出直线方程，与椭圆方程联立（消去），根据韦达定理、点到直线的距离、三角形面积公式及已知条件，结合中点坐标公式求解即可. 【小问1详解】 依题意得，，解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 法一： 依题意可知，直线的斜率存在且不为零． 设直线：，，，所以， 联立，整理得，所以， 设原点到的距离为，因为的面积与的面积相等， 所以，得， 所以，得 依题意，与异号，所以，所以，解得， 所以直线的方程为或． 法二： 依题意可知，直线的斜率存在且不为零． 设直线：，，，所以， 联立，得，所以， 因为的面积与的面积相等，所以， 所以，则，即. 依题意，与异号，所以，则，解得， 所以直线的方程为或． 法三： 依题意可知，直线的斜率存在且不为零． 设直线：，，，所以， 联立，得，所以， 设原点到的距离为. 因为的面积与的面积相等，所以，得，所以与的中点重合， 又的中点，的中点，所以， 所以，解得， 所以直线的方程为或． 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （3）若函数在上的最大值为，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）依题意可得在上恒成立，结合二次不等式的解法即可得解； （3）对进行分类讨论，结合在上的最大值为列式求得. 【小问1详解】 因为当时，，所以， 所以，， 所以切线方程为，整理得； 【小问2详解】 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 又的解为或， 所以当在上恒成立时， ， 即实数的取值范围； 【小问3详解】 由（2）可知，， 当和时，单调递增； 当时，单调递减. 当即时，在上单调递增， 则，解得或（舍去）； 当时，在上单调递增，则， 解得或（舍去）.     当时， 若，则，则在上单调递减，在上单调递增， 故， 又，无解； 若，则，则在上单调递减，故，无解； 若，则，则在上单调递增，在上单调递减， 故，解得，无解.     综上可得，实数的值为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中卫市第一中学2026-2027学年度第一学期9月份学情诊断评价 高三数学 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人按先前进步，然后再后退步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向，以步的距离为个单位长度．令表示第秒时机器人所在位置的坐标，且记．则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知幂函数的图象不过原点，则实数的取值可以为（ ） A. 5 B. 1 C. 2 D. 4 10. 下列几个说法，其中正确的有（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为； B. 已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是； C. 若函数有两个零点，则实数b的取值范围是； D. 若是奇函数，且实数k满足，则k的取值范围是. 11. 已知函数与的定义域均为，且，，若的图象关于点对称，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12. 已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 13. 若，则______． 14. 对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，令下列说法正确的有_________ ① ②当时， ③ ④不等式的解集为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）当为何值时，等式成立？ 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. （1）求角A的大小： （2）设的面积为，外接圆的面积为，求. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知和为椭圆：（）上两点． （1）求的方程； （2）过点作直线与相交于，两点，与轴交于点（点在椭圆内部），为坐标原点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （3）若函数在上的最大值为，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $