精品解析：宁夏银川市第二中学2026-2027学年第一学期高三年级统练一数学试题

银川二中2026-2027学年第一学期高三年级统练一 数学试题 注意事项： 1．本试卷共19小题，满分150分．考试时间为120分钟． 2．答案写在答题卡上的指定位置．考试结束后，交回答题卡． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】集合，集合. 在中满足的元素只有，所以 2. 命题“，有”的否定是（　　） A. ，有 B. ，使得 C. ，有 D. ，使得 【答案】B 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解. 【详解】命题“，有”的否定是“，使得”， 故选：B 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可判断. 【详解】因为在上单调递增， 所以即； 因为为增函数，故即； 因为为减函数，故即， 综上. 故选：A. 4. 若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可分别计算出正弦值和余弦值进而求解. 【详解】因为，，所以，则， 所以，，. 5. 下表为2018至2024年某手机品牌的年产量y（单位：万台），其中2018至2024年的年份代码x分别为1至7． 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 年产量y/万台 28 32 36 40 a b c 已知y与x具有线性相关关系，由上述7组数据得到经验回归方程，则的值为（ ）． A. 165.4 B. 173.4 C. 182.5 D. 191.8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，又因为点在经验回归直线上，得出即可计算求解. 【详解】由表中数据得， 因为点在经验回归方程直线上，所以， 所以， 故选：B． 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过判断函数的奇偶性排除部分选项，再结合函数的零点个数确定最终选项. 【详解】由题意，函数 的定义域为. 因为 ，所以函数 为偶函数，其图象关于 轴对称，故排除选项 B C； 又因为 等价于 ，解得 ，即函数 只有唯一零点 ， 观察选项 D ，其图象在 轴正半轴上有交点（即存在非零零点），故排除选项 D ； 综上所述，只有选项 A 符合题意. 7. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”.用0，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为（ ）． A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】依次分情况分析即可. 【详解】若十位数字是3，则凸数只有一个230； 若十位数字是4，则凸数个数为个； 若十位数字为5，则凸数个数为个； 所以凸数总个数为. 8. 已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得在上递增，然后将化为，由单调性结合定义域可得答案. 【详解】由条件得，，，在上递增. 由得， 则或． 故选：B． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知事件满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若事件A与事件B相互独立，则它们的对立事件也相互独立 B. 事件A与事件B可能为对立事件 C. 若事件A与事件B相互独立，则 D. 若事件A与事件B互斥，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，利用相互独立事件的定义，即可求解；选项B，利用对立事件的概率和为1，即可求解；选项C，利用相互独立事件的概率公式，即可求解；选项D，利用互斥事件的概率公式，即可求解. 【详解】对于选项A，根据相互独立事件的定义易知选项A正确； 对于选项B，对立事件的概率和为1，但．故选项B错误； 对于选项C，根据相互独立事件的定义，，故选项C正确； 对于选项D，事件A与事件B互斥，则，故选项D正确. 故选：ACD． 10. 已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递减 C. 过点能作两条不同的直线与相切 D. 函数有5个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先根据函数的极值点求参数的值，再利用导数求函数的单调性，判断AB，利用导数的几何意义求过点的切线方程，根据切点的个数，判断切线的条数，判断C，首先根据，利用数形结合确定的范围，再结合图象确定的零点个数，即可判断D. 【详解】对于A中，由函数，可得， 因为是函数的一个极值点，可得， 解得，经检验适合题意，所以A正确： 对于B中，由，令，解得或， 当时，：当时，；当时，， 故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B正确： 对于C中，设过点且与函数相切的切点为， 则该切线方程为， 由于切点满足直线方程，则， 整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C错误： 对于D中，令，则的根有三个，如图所示，， 所以方程有3个不同根，方程和均有1个根， 故有5个零点，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. C. 函数的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据函数的奇偶定义可判定A；对B，利用抽象函数的奇偶性，复合函数求导可判定B；对C，利用抽象函数的对称性可判定C；对D，利用利用抽象函数的递推公式可求得关系式，再求和可判定D. 【详解】对A，因为，所以， 所以函数是偶函数，故A错误； 对B，因为为偶函数，所以，即， 所以，即，令，得， 所以，故B正确； 对C，因为，所以， 即，又，所以， 所以，所以，即， 所以函数的图象关于点对称，故C正确； 对D，因为，令，得， 所以，又，所以， ，…，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数是偶函数，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】令，根据为偶函数，，利用两角和的正弦公式展开，进而求出 【详解】令，由已知得为偶函数，可得， 所以，，，因不恒为0， 所以，又因为，得 故答案为： 13. 的展开式中的系数为________． 【答案】－40 【解析】 【详解】二项式展开式的通项公式为：, 令可得：的系数为：. 故答案为-40. 点睛：在Tr＋1＝ 中，是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负． 14. 已知正实数，满足和，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由得到，计算，令，则，结合得到，令，得到，从而得，构造函数，通过导数法得到的单调性，利用单调性得到，通过计算得到的值. 【详解】因为，所以， ， 令，则， 将代入得 ，解得， 又令 ，， 将代入得，解得， ，在上恒成立， 则在上是单调递增函数， 因为，， 所以，即 ， 因为在上是单调递增函数， 所以， 则，而， 则， 因为，所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 空气质量等级 [0，200] (200，400] (400，600] 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次≤400 人次>400 空气质量好 空气质量不好 附：， P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为、、、的概率分别为、、、；（2）； （3）列联表如下： 人次 人次 空气质量好 空气质量不好 有. 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为、、、的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以可得结果； （3）根据表格中的数据完善列联表，计算出的观测值，再结合临界值表可得结论. 【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为； （2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为 （3）列联表如下： 人次 人次 空气质量好 空气质量不好 ， 因此，有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题. 16. 已知函数， （1）若，求函数的单调区间； （2）若函数，求函数在区间上的最值． 【答案】（1） 函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2） 函数的最小值为，最大值为； 【解析】 【小问1详解】 ，定义域， 求导：， 令：，单调递增区间：， 令，，单调递减区间：. 【小问2详解】 化简：，， 求导：，，，导数符号由决定， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以时，是极小值点，也是区间最小值点， ， 计算区间端点：，， 比较大小：，即. 17. 已知函数. （1）设，求曲线的斜率为2的切线方程； （2）若是的极小值点，求b的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由切线斜率为2，结合导数知识可得切线过点，然后可得切线方程； （2）由是的极小值点，可得，然后据此讨论的单调性，分析得在时的极值情况，从而得解. 【小问1详解】 当时，，其中， 则，令， 化简得，解得（负值舍去）， 又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2， 则切线方程为，即. 【小问2详解】 由题可得定义域为，， 因是的极小值点，则， 则， 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极小值点，满足题意； 综上，是的极小值点时，. 18. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 【答案】（1）1； （2）证明：设， 因为，故， 若，则，故. ， 因为，， 故有两个不同零点，且， 且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数， 若，因为在为增函数且， 而当时，因为在上为减函数，故， 故为的一个最小正实根， 若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根， 综上，若，则. 若，则，故. 此时，， 故有两个不同零点，且， 且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数， 而，故， 又，故在存在一个零点，且. 所以为的一个最小正实根，此时， 故当时，. （3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1. 【解析】 【分析】（1）利用公式计算可得. （2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点. （3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，，关于的不等式恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2）证明：因为，所以， 故要证，需证，即证， 即证（*）， 令，则． 令，则；令，则． 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，即， 令，从而由（*）只需证． 令，则， 所以在上单调递增，故， 所以，从而恒成立． （3） 【解析】 【分析】（1）将问题转化为函数的图像与直线有两个交点，数形结合即可求出； （2）利用同构思想求证即可； （3）令，分、两种情况讨论其单调性求最大值，得出，再构造函数即可求出． 【小问1详解】 的定义域为，令，即， 即，即， 设，则． 当时，，在上单调递增； 当时，，在单调递减，所以． 又，当时，；时，． 画出的大致图象如图所示． 函数有两个零点，等价于函数的图像与直线有两个交点，则需使, 由图象可得，实数a的取值范围为． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 时，恒成立，即恒成立， 也即恒成立． 设函数， （ⅰ）当时，因为函数，在上均为减函数，所以函数在上单调递减． 且当时，，与题意不符； （ⅱ）当时，， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以， 依题意，，即， 所以， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以当时，取得最大值，最大值为． 故， 所以，当，时等号成立． 综上所述，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川二中2026-2027学年第一学期高三年级统练一 数学试题 注意事项： 1．本试卷共19小题，满分150分．考试时间为120分钟． 2．答案写在答题卡上的指定位置．考试结束后，交回答题卡． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 2. 命题“，有”的否定是（　　） A. ，有 B. ，使得 C. ，有 D. ，使得 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 下表为2018至2024年某手机品牌的年产量y（单位：万台），其中2018至2024年的年份代码x分别为1至7． 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 年产量y/万台 28 32 36 40 a b c 已知y与x具有线性相关关系，由上述7组数据得到经验回归方程，则的值为（ ）． A. 165.4 B. 173.4 C. 182.5 D. 191.8 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”.用0，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为（ ）． A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 8. 已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知事件满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若事件A与事件B相互独立，则它们的对立事件也相互独立 B. 事件A与事件B可能为对立事件 C. 若事件A与事件B相互独立，则 D. 若事件A与事件B互斥，则 10. 已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递减 C. 过点能作两条不同的直线与相切 D. 函数有5个零点 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. C. 函数的图象关于点对称 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数是偶函数，则______． 13. 的展开式中的系数为________． 14. 已知正实数，满足和，则的值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 空气质量等级 [0，200] (200，400] (400，600] 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次≤400 人次>400 空气质量好 空气质量不好 附：， P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16. 已知函数， （1）若，求函数的单调区间； （2）若函数，求函数在区间上的最值． 17. 已知函数. （1）设，求曲线的斜率为2的切线方程； （2）若是的极小值点，求b的取值范围. 18. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 19. 已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，，关于的不等式恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $