专题06 锐角的正弦、余弦与正切（期中真题汇编，上海专用）九年级数学上学期

专题06 锐角的正弦、余弦与正切 8大高频考点概览 考点01 直角三角形中，直接利用定义求三角函数值 考点02特殊角三角函数值的计算（计算题） 考点03 根据特殊角三角函数值求角的度数（填空高频） 考点04 三角函数增减性（选择） 考点05 利用同角三角函数关系求值 考点06已知三角函数值，求线段长 考点07相似 + 锐角三角函数综合 考点08 翻折背景下求锐角三角函数（期中压轴高频） 地 城 考点01 直角三角形中，直接利用定义求三角函数值 1．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海松江·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为(2，3)，那么直线OA与x轴夹角的正切值是__． 3．（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知a，b，c分别是中，，的对边，且a，b，c满足，若，则的值为________． 4．（25-26九年级上·上海宝山·期末）在中，，将该三角形绕点B旋转，使得点A落在点，点C落在延长线上的点，延长交线段于点D．若的面积是的3倍，则______． 5．（25-26九年级上·上海·期末）如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是，小正方形的面积为，则_______ 6．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在中，，点是的重心，连结，如果，那么的正切值为___________． 7．（2024·上海·期中）对于一个不大于的角，从顶点出发在角的内部有一条线把这个角分成两个角，我们把这两个角的正弦值的比叫做“分角正弦比”．（如图的“分角正弦比”为）．在矩形中，，被分的“分角正弦比”为，则矩形的面积为___________ 地 城 考点02 特殊角三角函数值的计算（计算题） 8．（24-25九年级上·上海崇明·期中）计算：_______． 9．（24-25九年级上·上海宝山·期末）计算： _________． 10．（25-26九年级上·上海普陀·期中）计算：． 11．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）计算： 12．（24-25九年级上·上海宝山·期中）计算： 地 城 考点03 根据特殊角三角函数值求角的度数（填空高频） 13．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果，那么锐角______度． 14．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如果，那么锐角的度数是_______ 15．（24-25九年级上·上海静安·期中）如果是锐角，，那么______． 16．（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知为锐角，，那么_______度． 17．（2024九年级·全国·竞赛）如果直线和直线所夹的锐角为，那么的值为_________． 地 城 考点04 三角函数增减性（选择/填空） 18．（24-25九年级上·上海静安·期中）如果锐角的正切值是，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 19．（24-25九年级上·上海静安·期末）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·上海浦东·期中）已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（2025九年级上·上海·期中）比较大小：________． 22．（2024九年级下·上海杨浦·期中）____（选填“”或“”或“”） 23．（24-25九年级上·上海虹口·期末）比较、、和的大小，并由小到大排列：_______________． 24．（24-25九年级上·上海·期中）是锐角三角形的一个内角，已知关于的函数图像与轴没有交点，则的取值范围是______． 地 城 考点05 利用同角三角函数关系求值 25．（24-25九年级上·上海·期中）的边长扩大两倍，那么的值（    ） A．变大原来的两倍； B．小为原来的一半； C．不变； D．不能确定． 26．（2024·上海·中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD=，AB=5，那么CD的长是_____ 27．（2024·上海浦东·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 28．（2024·上海·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 地 城 考点06 已知三角函数值，求线段长 29．（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）如图，在中，，那么边的长是（    ） A． B．1 C．2 D． 30．（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，，，，那么______． 31．（24-25九年级上·上海·期中）在中，，，，那么的长是_____． 32．（25-26九年级上·上海·期中）在中，，的余弦值是，，那么的长为______． 33．（24-25九年级上·上海静安·期中）如果是边长为10的菱形的一个锐角，，那么这个菱形的面积是______． 34．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在中，，，，是边上的高，那么的长是______． 35．（25-26九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，是边上的高，，，那么的长是_______． 36．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，已知在四边形中，与相交于点，，．若，，则______． 地 城 考点07 相似 + 锐角三角函数综合 37．（2024九年级上·上海·期中）已知：如图，在中，，点D是中点，E在边上，且，如果．    (1)求边的长； (2)求的值． 38．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，为边上的中线，点是的边上的一点，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的余弦值． 39．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，已知点、分别在中的边、的延长线上，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，，过点作，垂足为点，求的长． 40．（2024九年级上·上海长宁·期中）如图，在△ABC中，sin∠BAC＝，AB＝13，AC＝7.2，BD⊥AC，垂足为点D，点E是BD的中点，AE与BC交于点F． （1）求：∠CBD的正切； （2）求的值． 41．（24-25九年级上·上海长宁·期中）已知在中，，点D在的平分线上，联结并延长，交边于点E． (1)点F在延长线上，， ①如图1，若平分，，求的值； ②如图2，若E是的中点，，求的值； (2)如图3，若，，，求的长． 42．（24-25九年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中（如图），一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，点是该反比例函数图像上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．    (1)求一次函数解析式及的面积； (2)当时，求点C到x轴的距离； (3)当与x轴夹角与相等时，求m的值． 43．（2024·上海嘉定·二模）在菱形中，，点在射线上，连接、． (1)如图，当点是边的中点，求的正切值； (2)如图，当点在线段的延长线上，连接与边交于点，如果，的面积等于，求的长； (3)当点在边上，与交于点，连接并延长与的延长线交于点，如果，与以点、、所组成的三角形相似，求的长． 44．（2024九年级上·上海宝山·期中）如图，在直角坐标平面内，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B，将该直线向上平移，使点A落在点P处，平移后所得直线与x轴交于点C．    (1)求的正切值； (2)如果四边形是等腰梯形，求平移后的直线表达式； (3)如果与相似，求这时四边形的面积． 45．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图1，已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝，tan∠ABC＝3，BF⊥AC，垂足为F．点D是边AB上一点（不与A，B重合）． （1）求边BC的长； （2）如图2，联结DF，DF恰好经过△ABC的重心，求线段AD的长； （3）过点D作DE⊥BC，垂足为E，DE交BF于点Q．联结DF，如果△DQF和△ABC相似，求线段BD的长． 46．（24-25九年级上·上海·期中）已知在正方形ABCD中，，点P在边CD上，，点Q是射线AP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线BC于点M，点R在直线BC上，使RQ始终与射线AP垂直． (1)如图1，当点R与点C重合时，求PQ的长； (2)如图2，试探索：的值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明理由并求出变化规律；若没有变化，请求出它的比值； (3)如图3，当点Q在线段AP上，设，请用含x的式子表示RM． 地 城 考点08 翻折背景下求锐角三角函数（期中压轴高频） 47．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图所示，中，，，，且D为上一点，将沿翻折，C落在，边与边交于F，若，则_______．    48．（2024·上海·中考真题）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则__________． 49．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，．点为中点，点为边上的动点，过作交边于点．将沿着翻折，点的对应点为点，连接，直线交直线于点，若与相似，则的长为_______． 50．（2025·上海·期末）中，，．点D在边上，取射线上一点P，将沿直线翻折至的位置，延长交边于点F，射线交边于点E．若，且点C在边上，则线段与线段长度的比值为_________． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 锐角的正弦、余弦与正切 8大高频考点概览 考点01 直角三角形中，直接利用定义求三角函数值 考点02特殊角三角函数值的计算（计算题） 考点03 根据特殊角三角函数值求角的度数（填空高频） 考点04 三角函数增减性（选择） 考点05 利用同角三角函数关系求值 考点06已知三角函数值，求线段长 考点07相似 + 锐角三角函数综合 考点08 翻折背景下求锐角三角函数（期中压轴高频） 地 城 考点01 直角三角形中，直接利用定义求三角函数值 1．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】根据勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可； 【详解】，，， ， ． 2．（24-25九年级上·上海松江·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为(2，3)，那么直线OA与x轴夹角的正切值是__． 【答案】 【知识点】求角的正切值 【分析】过点A作轴交于点B，由得，，根据即可得出答案． 【详解】 如图，过点A作轴交于点B， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角函数得正切值，掌握正切的比值是解题的关键． 3．（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知a，b，c分别是中，，的对边，且a，b，c满足，若，则的值为________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、求角的正弦值、求角的余弦值 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、正弦、余弦的定义等知识点，掌握正弦、余弦的定义成为解题的关键． 化简可得，即是直角三角形，且为直角；再由可得，设，则，由勾股定理可得，最后根据三角形函数的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴是直角三角形，且为直角， ∵， ∴，即， 设，则， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·上海宝山·期末）在中，，将该三角形绕点B旋转，使得点A落在点，点C落在延长线上的点，延长交线段于点D．若的面积是的3倍，则______． 【答案】/ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、求角的余弦值、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的知识，求出与的关系是本题的关键． 过作，设，根据角可证为等腰三角形，进而得到为的中位线，得到，再由勾股定理求出，进而求即可． 【详解】解：如图，过作，设， 由旋转可知，，， ， 又， ， ， ， 则， 为等腰三角形， 为的中点， 的面积是的3倍， ， ，， ， ∴，即， 为的中位线， ，则， ， ． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·上海·期末）如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是，小正方形的面积为，则_______ 【答案】 【知识点】以弦图为背景的计算题、求角的正弦值、求角的余弦值 【分析】本题主要考查了三角函数、勾股定理、正方形的性质，根据正方形的性质求出大正方形和小正方形的边长，利用勾股定理求出的长度，根据正弦和余弦的定义分别求出和，即可得到结果． 【详解】解：如下图所示， 小正方形面积为，大正方形面积为， 小正方形的边长是，大正方形的边长是， 在中，， 即， 整理得，， 解得：，（舍去）， ， ，， ． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在中，，点是的重心，连结，如果，那么的正切值为___________． 【答案】 【知识点】求角的正切值、用勾股定理解三角形、重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，过G作于G，延长交于点，证明，结合G为的重心，可得，根据，得，进而根据勾股定理求出，最后根据正切的定义即可求解． 【详解】解：过G作于G，延长交于点，如图： ∵ ， ∴ ，， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ G为的重心， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 则在直角三角形中，， 故答案为：． 7．（2024·上海·期中）对于一个不大于的角，从顶点出发在角的内部有一条线把这个角分成两个角，我们把这两个角的正弦值的比叫做“分角正弦比”．（如图的“分角正弦比”为）．在矩形中，，被分的“分角正弦比”为，则矩形的面积为___________ 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】根据锐角三角函数的定义和题目中提到的“分角正弦比”的定义，计算长方形的长宽之比，根据勾股定理计算长方形的长和宽，最后根据长方形的面积公式计算面积即可． 【详解】解：由题意得， ，即， 设，则， 在中，，即， 解得，或（舍去） ， ． 地 城 考点02 特殊角三角函数值的计算（计算题） 8．（24-25九年级上·上海崇明·期中）计算：_______． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了求特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数代入，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·上海宝山·期末）计算： _________． 【答案】/ 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】把特殊角的三角函数值代入后计算即可； 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 10．（25-26九年级上·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算．把特殊角的三角函数值代入，利用二次根式的运算法则计算即可． 【详解】 11．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）计算： 【答案】 【知识点】分母有理化、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把特殊角的三角函数值代入算式计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 12．（24-25九年级上·上海宝山·期中）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数的混合运算，二次根式的混合运算．将特殊角的三角函数值正确代入后，利用二次根式的性质化简运算即可． 【详解】解：原式 ． 地 城 考点03 根据特殊角三角函数值求角的度数（填空高频） 13．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果，那么锐角______度． 【答案】60 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据特殊角的三角函数值，即可解答． 【详解】解：∵ ∴锐角度， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如果，那么锐角的度数是_______ 【答案】/60度 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．利用特殊角的三角函数值计算即可得到锐角的度数． 【详解】解：∵，， ∴锐角的度数为． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·上海静安·期中）如果是锐角，，那么______． 【答案】 【知识点】求角的余弦值、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，先求出，再代入即可求出答案． 【详解】解：∵是锐角，， ∴， ∴， 故答案为： 16．（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知为锐角，，那么_______度． 【答案】20 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了特殊角的三角形函数值．根据特殊角的三角函数值，即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：20． 17．（2024九年级·全国·竞赛）如果直线和直线所夹的锐角为，那么的值为_________． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、特殊角三角函数值的混合运算、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查的是一次函数的应用，锐角三角函数的应用，熟练的构建图形是解本题的关键，先画图求解，再利用特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：如图，直线与两函数的交点分别为，，与轴的交点为， ∴，， ∴，， ∴，即， ． 故答案为： 地 城 考点04 三角函数增减性（选择/填空） 18．（24-25九年级上·上海静安·期中）如果锐角的正切值是，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据三角函数值判断锐角的取值范围 【分析】利用30度角和45度角的正切值与角的正切值比较，即可得到答案． 【详解】解：∵，，，，，， 而， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查各角的正切值，实数的平方运算，实数的大小比较，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 19．（24-25九年级上·上海静安·期末）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知角度比较三角函数值的大小 【分析】根据“正弦值随着角度的增大而增大”解答即可． 【详解】解：∵0°＜25°＜30° ∴ ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°~90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 20．（24-25九年级上·上海浦东·期中）已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角函数值判断锐角的取值范围 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可． 【详解】 解：，，， 又∵解：，，， 又∵，余弦函数随角增大而减小， ∴ ． 故选：B． 21．（2025九年级上·上海·期中）比较大小：________． 【答案】 【知识点】已知角度比较三角函数值的大小 【分析】首先将转化成，然后通过比较两个正切值即可得出答案． 【详解】， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查比较函数值的大小，将余切转化成正切是解题的关键． 22．（2024九年级下·上海杨浦·期中）____（选填“”或“”或“”） 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数、已知角度比较三角函数值的大小 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数大小比较，数字规律探索，根据特殊角的三角函数的正弦与余弦值可得到互余的两角余弦值与正弦值相等，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小，从而得出，再进行比较即可． 【详解】解：，，，，，， ，，，， 由此可得，互余的两角余弦值与正弦值相等，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小， ， ， ， 故答案为：． 23．（24-25九年级上·上海虹口·期末）比较、、和的大小，并由小到大排列：_______________． 【答案】 【知识点】已知角度比较三角函数值的大小 【分析】把余弦化成正弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值随着角度的增大而增大，相同角的正切值大于正弦值即可解答 【详解】，正弦值随着角度的增大而增大 故答案为： 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，在一个单调区间内，正弦函数值随着角度的增大而增大，相同角的正切值大于正弦值． 24．（24-25九年级上·上海·期中）是锐角三角形的一个内角，已知关于的函数图像与轴没有交点，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据三角函数值判断锐角的取值范围、利用同角三角函数关系求值 【分析】本题考查三角函数，二次函数的图象与轴的交点问题，解利用二次函数解二次不等式，熟练掌握三角函数的性质和应用、二次函数的图象与轴的交点个数是解题的关键．先利用是锐角三角形的一个内角，确定，再利用函数图像与轴没有交点，结合，得关于的不等式，求解即可． 【详解】解：∵是锐角三角形的一个内角， ∴， ∴， ∵函数图像与轴没有交点， ∴， ∵， ∴， 即， 对于，看作关于的二次函数， ∵， ∴的图象开口向上， 又时， 解得：或， 利用二次函数与不等式的关系， 得的解为：或（舍）， ∴， 则的取值范围是， 故答案为：． 地 城 考点05 利用同角三角函数关系求值 25．（24-25九年级上·上海·期中）的边长扩大两倍，那么的值（    ） A．变大原来的两倍； B．小为原来的一半； C．不变； D．不能确定． 【答案】C 【知识点】利用同角三角函数关系求值 【分析】根据锐角三角函数的性质可知，角的大小确定后，锐角三角函数值固定不变，即可解答． 【详解】解：根据锐角三角函数的定义可知，的大小确定后，的三角函数值与边长无关，固定不变， ∴的边长扩大两倍，的值不变， 故选：C. 【点睛】此题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的性质是解题的关键． 26．（2024·上海·中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD=，AB=5，那么CD的长是_____ 【答案】2.4 【知识点】已知正切值求边长、同(等)角的余(补)角相等的应用、利用同角三角函数关系求值 【分析】根据余角的性质得到∠B=∠ACD，由tan∠ACD=，得到tan∠B==，设AC=3x，BC=4x，根据勾股定理得到AC=3，BC=4，根据三角形面积的公式即可得到结论． 【详解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠B=90°， ∴∠B=∠ACD， ∵tan∠ACD=， ∴tan∠B==， 设AC=3x，BC=4x， ∵AC2+BC2=AB2， ∴（3x）2+（4x）2=52， 解得x=1， ∴AC=3，BC=4， ∵S△ABC=AB×CD=AC×BC， ∴CD==2.4， 故答案为2.4． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积公式，熟记三角形的面积公式是解题的关键． 27．（2024·上海浦东·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 【答案】证明：在中，， ∴ 【知识点】求证同角三角函数关系式 【分析】本题考查同角的三角函数之间的关系，勾股定理以及互余两角三角函数的关系，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．根据直角三角形的边角关系求解即可． 【详解】略 28．（2024·上海·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 【答案】(1)成立， ∵，， ∴，结论成立； (2)成立， 理由如下： 在中，，且， ∴，故结论成立； (3) 【知识点】求证同角三角函数关系式、互余两角三角函数的关系 【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可； （2）根据正弦函数的定义列出，，结合勾股定理整理化简即可证得结论； （3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，，，再变形代入整理即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键． 地 城 考点06 已知三角函数值，求线段长 29．（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）如图，在中，，那么边的长是（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【知识点】已知正弦值求边长 【分析】本题考查了正弦的定义，根据正弦三角函数的定义可得． 【详解】解：∵在中，， ∴ 故选：C． 30．（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，，，，那么______． 【答案】8 【知识点】已知正弦值求边长 【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据，，，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：如图：在中，， ，， ， 故答案为：8． 31．（24-25九年级上·上海·期中）在中，，，，那么的长是_____． 【答案】 【知识点】已知正弦值求边长 【分析】利用直角三角形的边角间关系得结论． 【详解】解：在中， ∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 32．（25-26九年级上·上海·期中）在中，，的余弦值是，，那么的长为______． 【答案】16 【知识点】已知余弦求边长 【分析】本题考查余弦定义，熟知在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比是解答的关键．根据余弦的定义得到，代入已知值求解即可． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， 解得 ． 故答案为：16． 33．（24-25九年级上·上海静安·期中）如果是边长为10的菱形的一个锐角，，那么这个菱形的面积是______． 【答案】80 【知识点】已知正弦值求边长、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了锐角三角函数、菱形的性质，掌握正弦的定义是解题的关键．先画出符合题意的菱形，作交于点，利用正弦的定义求出，再利用菱形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，菱形的边长为10，，作交于点， 在中，， ， 菱形的面积． 故答案为：80． 34．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在中，，，，是边上的高，那么的长是______． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、已知正切值求边长 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握正切的含义是解题关键．根据题意设，，由勾股定理得，从而求出，，再利用三角形面积公式，通过面积相等列出方程求解即可． 【详解】解：在中，，， 设，， 由勾股定理得， ， ， ，， ， ， 故答案为：．    35．（25-26九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，是边上的高，，，那么的长是_______． 【答案】2 【知识点】已知余弦求边长 【分析】本题考查三角形的三角函数，掌握知识点是解题的关键． 先求出，则，求出，则，即可解答． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 36．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，已知在四边形中，与相交于点，，．若，，则______． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、已知正弦值求边长 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数的定义，垂线定义．解题时要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，有两角对应相等的三角形相似与有两边对应成比例且夹角相等三角形相似的性质的应用．由、可得，又由对顶角相等，根据有两角对应相等的三角形相似，易得，即可得到比例线段，再由，即可证得；由可得，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 地 城 考点07 相似 + 锐角三角函数综合 37．（2024九年级上·上海·期中）已知：如图，在中，，点D是中点，E在边上，且，如果．    (1)求边的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用相似三角形的性质求解、三角函数综合 【分析】（1）过点C作交于点H，求证，于是，而，，可求得，； （2）设，可证 ，中，由勾股定理得：，于是，所以，． 【详解】（1）解：过点C作交于点H，如图所示：   ∵， ∴， ∴， 又∵点D是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，或（舍去）， ∴； （2）设， ∵， ∴， ∴ ， 在中，由勾股定理得： ， 解得：， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，由相似三角形得出线段间的数量关系、相等角是解题的关键． 38．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，为边上的中线，点是的边上的一点，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的余弦值． 【答案】(1) 证明：在中，，为边上的中线， ，即， ， ， 又， ， ， ； (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、三角函数综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据等腰三角形的性质可得，即，由，得，推出，得到，即可证明； （2）根据题意可推出，，进而求出，根据，得到，即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：在中，，，为边上的中线， ，， ， ， ， ． 39．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，已知点、分别在中的边、的延长线上，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，，过点作，垂足为点，求的长． 【答案】(1)8； (2)． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、三角函数综合 【分析】（1）根据，得出∠E=∠C，∠EDA=∠B，可证△DEA∽△BCA，得出，可求，根据，得出，求BC即可； （2）根据，得出△DEA∽△BCA，得出，根据，得出，，在中，，代入数据得出，即可求出DF 【详解】（1）解：∵， ∴∠E=∠C，∠EDA=∠B， ∴△DEA∽△BCA， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）解：∵， ∴△DEA∽△BCA， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，垂足为点， ∴． 在中，， 即， ∴． 【点睛】本题考查平行线性质，三角形相似判定与性质，锐角三角函数，掌握平行线性质，三角形相似判定与性质，锐角三角函数是解题关键． 40．（2024九年级上·上海长宁·期中）如图，在△ABC中，sin∠BAC＝，AB＝13，AC＝7.2，BD⊥AC，垂足为点D，点E是BD的中点，AE与BC交于点F． （1）求：∠CBD的正切； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、三角函数综合 【分析】（1）先利用三角函数求出，再利用勾股定理求得，然后求出CD的长，再由进行求解即可； （2）过点F作交AD于H，从而可得△CHF∽△CDE，△AHF∽△ADE，，则，，，设，则，，则可推出，求出x的值，即可求解． 【详解】解：（1）∵BD⊥AC， ∴∠D=90°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，过点F作交AD于H， ∴∠FHC=∠EDC=90°，∠HFC=∠DBC， ∴△CHF∽△CDE，△AHF∽△ADE，， ∴，，， 设，则，， ∵E是BD的中点， ∴， ∴ ∴解得， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形函数，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握三角函数的相关知识． 41．（24-25九年级上·上海长宁·期中）已知在中，，点D在的平分线上，联结并延长，交边于点E． (1)点F在延长线上，， ①如图1，若平分，，求的值； ②如图2，若E是的中点，，求的值； (2)如图3，若，，，求的长． 【答案】(1)①② (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、三角函数综合 【分析】（1）①延长，交于点G，根据，点D在的平分线上，得到，结合，平分，得到，，得到，判定，从而得到． ②如图时间到了,申请延时,无人回复,请老师审核时,单独联系吧谢谢 （2）延长，交于点G，过点E作，垂足为F，证明，由此得到，，根据已知，求得，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）①延长，交于点G， 因为，点D在的平分线上， 所以， 因为，平分， 所以，， 所以， 所以， 所以． ②如图 （2）延长，交于点G，过点E作，垂足为F， 因为，点D在的平分线上， 所以， 所以， 所以，， 因为，， 所以． 设，则， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 解得（舍去）， 所以， 根据勾股定理，得， 所以， 解得（舍去）， 所以． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，三角函数，熟练掌握等腰三角形的性质，三角函数，勾股定理，三角形相似和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 42．（24-25九年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中（如图），一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，点是该反比例函数图像上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．    (1)求一次函数解析式及的面积； (2)当时，求点C到x轴的距离； (3)当与x轴夹角与相等时，求m的值． 【答案】(1)，4 (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、三角函数综合 【分析】（1）根据一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，确定，，代入解析式计算即可．设直线与y轴的交点为N，利用直线解析式计算，结合计算即可． （2）过点A作轴于点Q，过点C作轴于点R，根据三角形相似，反比例函数的性质，结合，求点C的纵坐标，再计算其绝对值即可得到与x轴的距离； （3）过点O作于点S，计算，， 过点C作轴于点T，利用等角的三角函数值相等，建立方程，结合反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据一次函数图像与反比例函数图像相交于点和， 设反比例函数的解析式为． 则， 解得， 则反比例函数的解析式为． 当时， 故点， 设一次函数解析式为， ∴， 解得， 故解析式为；． 设直线与y轴的交点为N， 则， 故， ∴．    （2）解：过点A作轴于点Q，过点C作轴于点R， 则， 故， ∴， ∵，， ∴， 解得， 故， ∴， ∴点C到x轴的距离为；    （3）解：过点O作于点S， ∵点和， ∴，， ∴， ∴， ∵点是该反比例函数图像上的一个动点， ∴，， 过点C作轴于点T， 根据题意，得， ∴， 整理，得（舍去）， ∴， 解得（舍去）， ∴．    【点睛】本题考查了待定系数法，三角函数的应用，勾股定理，反比例函数的性质，解方程，熟练掌握待定系数法，三角函数的应用是解题的关键． 43．（2024·上海嘉定·二模）在菱形中，，点在射线上，连接、． (1)如图，当点是边的中点，求的正切值； (2)如图，当点在线段的延长线上，连接与边交于点，如果，的面积等于，求的长； (3)当点在边上，与交于点，连接并延长与的延长线交于点，如果，与以点、、所组成的三角形相似，求的长． 【答案】(1)的正切值是 (2) (3) 【知识点】求角的正切值、利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）如图，连接，根据菱形的性质，结合已知判定是等边三角形，证明 ，后利用正切函数计算即可； （2）取的中点M，连接，结合(1)的解答，利用平行线的性质，三角形面积的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理计算即可； （3）过作点，垂足为，判定相似三角形的对应关系，结合等腰三角形的判定和性质，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∵点是边的中点， ∴，， ∴，   又， ∴，   设， ∴，， 在中，， ∴的正切值是． （2）解：取的中点M，连接， 由（1）可知：，， ∵， ∴， ∴ 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵的面积等于 ∴ ∵与是同高的，设这个高为 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴ ， ∴． （3）过作点，垂足为 由（1）得：是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵与以点、G、组成的三角形相似 ∴点只能与点G对应， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得：，（舍去， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，正切函数，勾股定理，解方程，熟练掌握正切函数，三角形相似，勾股定理是解题的关键． 44．（2024九年级上·上海宝山·期中）如图，在直角坐标平面内，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B，将该直线向上平移，使点A落在点P处，平移后所得直线与x轴交于点C．    (1)求的正切值； (2)如果四边形是等腰梯形，求平移后的直线表达式； (3)如果与相似，求这时四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】求角的正切值、用勾股定理解三角形、利用相似三角形的性质求解、一次函数图象平移问题 【分析】（1）先求出的坐标，设向上平移个单位，得到直线的解析式，进而得到点坐标，根据正切的定义，进行求解即可； （2）根据平移，得到，进而得到当四边形是等腰梯形时，，过点作轴，在中，利用勾股定理，求出的值，即可； （3）分和两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴，， 设直线向上平移个单位，则点平移后的对应点为，平移后直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴轴，，    ∴； （2）如图，    ∵平移， ∴， ∴当四边形是等腰梯形时，， 由（1）知：，， ∴， 过点作轴于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 即：， 解得：（不合题意，舍去）或； ∴直线的解析式为：； （3）①当时，如图：    则：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴轴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为； 当时，如图：    则：，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； 综上：四边形的面积为或． 【点睛】本题考查一次函数图象的平移，解直角三角形，勾股定理，等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是读懂题意，正确的画出图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，属于压轴题． 45．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图1，已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝，tan∠ABC＝3，BF⊥AC，垂足为F．点D是边AB上一点（不与A，B重合）． （1）求边BC的长； （2）如图2，联结DF，DF恰好经过△ABC的重心，求线段AD的长； （3）过点D作DE⊥BC，垂足为E，DE交BF于点Q．联结DF，如果△DQF和△ABC相似，求线段BD的长． 【答案】（1）10；（2）；（3）BD＝或BD＝ 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、三角函数综合 【分析】（1）先利用等腰三角形的性质判断出BC＝2BH，再用三角函数和勾股定理求出BH，即可得出结论； （2）作BN⊥BC，CM⊥BC，根据梯形中位线和平行线分线段成比例解答即可； （3）分两种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解（1）如图1，过点A作AH⊥BC于H， ∴∠AHB＝90°， ∵AB＝AC＝5， ∴BC＝2BH， 在Rt△AHB中，tan∠ABC＝＝3， ∴AH＝3BH， 根据勾股定理得，AH2＋BH2＝AB2， ∴（3BH）2＋BH2＝（5）2， ∴BH＝5， ∴BC＝2BH＝10； （2）∵BC＝10，tan∠ABC＝3， ∴CF＝，BF＝3，如图2，作BN⊥BC，CM⊥BC， ∵G为重心， ∴AG＝10，GH＝5， ∵AH⊥BC，CM⊥BC ∴， ∴∠ACM=∠CAG，∠GMC=∠AGM ∴△CMF∽△AGF 则＝， ∴CM＝AG＝， ∵AH⊥BC，CM⊥BC，BN⊥BC ∴ ∴ ∴G为MN中点 ∴HG为梯形CMNB的中位线， ∴BN＝2GH﹣CM＝， ∵， ∴∠DAG=∠NBD,∠AGD=∠BND ∴△ADG∽△BDN ∴， ∴AD＝AB＝； （3）∵BF⊥AC，DE⊥BC， ∴∠BFC＝∠DEB＝90°， ∴∠BQE＝∠ACB（同角的余角相等） ∵∠BQE＝∠DQF， ∴∠DQF＝∠ACB ∵△DQF和△ABC相似， ∴或， ∵tan∠BQE＝tan∠ACB＝tan∠ABC＝3， ∴， 设QE＝x，BE＝3x，则DE＝9x， ∴BQ＝，BD＝，DQ＝8x， ∵BF＝3CF＝， ∴QF＝， （ⅰ）当时，则，， 解得x＝， ∴BD＝＝， （ⅱ）当时，则，， 解得x， ∴BD＝， 综上所述，BD＝或BD＝． 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理，平行线分线断成比例及推论，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． 46．（24-25九年级上·上海·期中）已知在正方形ABCD中，，点P在边CD上，，点Q是射线AP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线BC于点M，点R在直线BC上，使RQ始终与射线AP垂直． (1)如图1，当点R与点C重合时，求PQ的长； (2)如图2，试探索：的值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明理由并求出变化规律；若没有变化，请求出它的比值； (3)如图3，当点Q在线段AP上，设，请用含x的式子表示RM． 【答案】(1)； (2)的比值随点的运动没有变化，比值为； (3)． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、三角函数综合 【分析】（1）由正方形的性质及可求出，，由勾股定理可求出，再由即可求出结论； （2）证明，得，即可得，故可得出结论； （3）延长交的延长线于点，通过证明求得，进而得，通过证明得，进而证明，利用三角函数得定义即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得，， 在中，， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴    ∴ ∴ （2）解： 的比值随点的运动没有变化 理由如下：如图， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴   ∵ ∴ ∴， ∴ ∵，      ∴ ∴的比值随点的运动没有变化，比值为； （3）解：延长交的延长线于点 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，直角三角形的性质及勾股定理，正方形的性质以及三角函数，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 地 城 考点08 翻折背景下求锐角三角函数（期中压轴高频） 47．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图所示，中，，，，且D为上一点，将沿翻折，C落在，边与边交于F，若，则_______．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、已知正切值求边长 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质．作，利用正切函数的定义结合勾股定理求得，，再利用勾股定理求得，证明和，利用相似三角形的性质列式即可求解． 【详解】解：作，垂足为，    ∵， ∴， 设，则， ∵， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，，， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 48．（2024·上海·中考真题）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则__________． 【答案】或/或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题、求角的余弦值 【分析】本题考查了平行四边形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解． 【详解】解：当在之间时，作下图， 根据，不妨设， 由翻折的性质知：， 沿直线翻折至所在直线， ， 。 ， 过作的垂线交于， ， ， 当在的延长线上时，作下图， 根据，不妨设， 同理知：， 过作的垂线交于， ， ， 故答案为：或． 49．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，．点为中点，点为边上的动点，过作交边于点．将沿着翻折，点的对应点为点，连接，直线交直线于点，若与相似，则的长为_______． 【答案】或 【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形、已知余弦求边长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了锐角三角函数，折叠的性质，相似三角形的判定和性质等，先利用得，即得，又由折叠可得点落在上，，再分两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的判定和性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵，将沿着翻折，点的对应点为点， ∴点落在上，， 当时，如图， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 如图，当的延长线交的延长线于点，且时，，过点作交于点， 则，， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 50．（2025·上海·期末）中，，．点D在边上，取射线上一点P，将沿直线翻折至的位置，延长交边于点F，射线交边于点E．若，且点C在边上，则线段与线段长度的比值为_________． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、已知正弦值求边长 【分析】连接，设，根据正弦的定义和勾股定理可得，，由翻折的性质得，得到，，进而得到，得到，设，在中利用勾股定理解出的值，表示出和，根据题意对点的位置分2种情况讨论：①在点左侧；②在点右侧，分别过点作交于点，过点作交于点，交于点，再利用相似三角形的知识分别求出对应和的值，最后利用即可求解． 【详解】解：连接， 在中，， 设，则， ， 由翻折的性质得，， ，， 点P在射线上， ， 又， ， ， 点C在边上，， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， ， ； ①若在点左侧，则， 如图，过点作交于点，过点作交于点，交于点， ， ，， ，， ，， ， ， 解得：， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， 解得：， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②若在点右侧，则， 如图，过点作交于点，过点作交于点，交于点， 同理①中的方法可得：，， ； 综上所述，线段与线段长度的比值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义、翻折的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点，学会添加平行线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $