精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2026-2027学年高二上学期9月考试数学试题

2026-2027学年第一学期9月考试 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知正方体的棱长为，若，，，则（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】 由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 2. 设，向量，，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个向量平行的坐标表示，列方程求解即可. 【详解】利用向量共线的充要条件求解即可.因为向量，），， 所以==，解得，. 故选：C. 3. 已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则⊥ D. 若，，⊥，则 【答案】C 【解析】 【分析】ABD可举出反例；C选项，设出平面的法向量和直线的方向向量，从而确定，，C正确； 【详解】A选项，若，，则或异面或相交，A错误； B选项，若，，则或，B错误； C选项，设的一个法向量分别为，直线的方向向量分别为， 若，，，则，， 故，⊥，C正确； D选项，若，，则， 又⊥，则或，D错误. 故选：C 4. 若直线：与：垂直，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线互相垂直列式计算即可. 【详解】由，可得，解得. 故选：B 5. 已知直线：和直线：，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知直线：，可变形为，其斜率为， 直线：，可变形为，其斜率为， 因为， 所以，解得． 6. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】直线与直线平行，它们之间的距离为. 故选：C 7. 过三点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出圆的一般方程，利用待定系数法求出并化成标准方程形式. 【详解】设圆的方程为， 由圆过三点，得，解得， 则圆的方程为，所以该圆的标准方程为. 故选：A 8. 已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】圆的圆心，半径为， 依题意，以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则， 而，因此，解得， 所以的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据向量的夹角公式计算即可；对于BC，利用向量垂直及平行的坐标表示验证即可；对于D，根据向量在向量上的投影向量为计算即可. 【详解】对于A，因为，， 所以， 又，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以B正确； 对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确； 对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D错误，． 故选：BC. 10. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点讨论，当直线不过原点时，设出直线方程，代入点即可求解. 【详解】若直线过原点，则在两坐标轴上的截距为0，满足题意， 此时直线斜率，方程为，即； 若直线不过原点，当在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为， 则，解得，此时方程为； 当在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为， 则，解得，此时方程为. 综上，直线的方程为或或. 故选：ACD 11. 下列四个命题中正确的有（ ） A. 过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为， B. 若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D. 若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，举出反例；B选项，求出恒过，求出直线，的斜率，数形结合得到或，求出实数的取值范围；C选项，当三条直线交于一点时，，C错误；D选项，当直线的斜率不存在时，不满足要求，当斜率存在时，设直线方程为，从而得到平移后的解析式，从而得到方程，求出. 【详解】A选项，当直线经过原点时，且经过，此时直线方程为，也符合题意，故 A错误， B选项，直线，恒过定点， 直线，的斜率分别为，， 又直线的斜率为，所以或， 解得或，故实数的取值范围为，B正确；  对于C，当直线，平行时，解得， 当直线，平行时，解得， 显然直线，交于点， 当点在直线时，， 实数的取值集合为，故 C错误； 对于D，当直线的斜率不存在时，不满足要求， 当斜率存在时，设直线方程为， 沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后， 得到，即，故，解得， 则该直线的斜率为，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为______. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的正弦向量夹角公式进行求解. 【详解】因为底面，平面， 所以，， 又底面是边长为1的正方形， 所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，故， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， ， PB与平面PCD的夹角正弦值为. 故答案为： 13. 若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是__________. 【答案】． 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，，由斜率与倾斜角关系得到不等式，再结合正切函数的图象性质即可得解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 则，因为，所以， 如图，根据正切函数的图象性质，可得直线的倾斜角. 故答案为：. 14. 已知为直线上的一点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两点的距离公式结合“将军饮马”模型计算最值即可. 【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和， 即． 设关于直线对称的点为， 则解之得即． 易得，当三点共线时，取到最小值， 且最小值为． 故答案为：. 四、解答题 15. 已知向量，且． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1）9； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据，可得，从而可得，再根据向量模的坐标求法计算即可； （2）结合（1）可得，，再由夹角公式求解即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以，解得， 所以， 则， 所以； 【小问2详解】 解：， ， ， 设向量与夹角为， 所以， 所以向量与夹角的余弦值为． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点. （1）试建立适当的空间直角坐标系，并写出点，的坐标； （2）求的长 （3）求证：. 【答案】（1） ，， （2） （3） ，. ，，，所以. 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，即可得到所求点的坐标. （2）根据空间向量坐标运算即可.. （3）根据，即可证明结论. 【小问1详解】 以为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 所以， 【小问2详解】 ，，， . 【小问3详解】 略 17. 已知直线：和：． （1）若，求实数m的值； （2）若，求实数m的值． 【答案】（1）2 （2）或 【解析】 【分析】（1）易知两直线的斜率存在，根据，由斜率相等求解. （2）分和，根据，由直线的斜率之积为-1求解. 【小问1详解】 由直线的斜率存在，且为，则直线的斜率也存在，且为， 因为， 所以， 解得或2， ①当时，由此时直线，重合， ②当时，，此时直线，平行， 综上：若，则实数m的值为2． 【小问2详解】 ①当时，直线的斜率为0，此时若必有，不可能. ②当时，若必有，解得， 由上知若，则实数m的值为或． 18. 已知点，直线，且点均在直线上，， （1）求点的坐标： （2）若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，由题意列方程组，即可求得. （2）设，由题意可得，可求得点的坐标，可求直线的方程. 【小问1详解】 设，由题意可得：，解得：， 所以点的坐标为. 【小问2详解】 设，由（1）知点的坐标为. 根据题意可得，解得或， 所以点的坐标为或， 当点为时，直线的方程为，即， 当点为时，直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. 19. 在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为． （1）求直线的方程； （2）若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出直线方程，与直线方程联立求出点的坐标，再设出点的坐标，由的中点在直线上，求出点的坐标，然后求出直线方程. （2）按直线过的中点及与平行求出方程即得. 【小问1详解】 由边的垂直平分线的斜率为，得直线方程为，即， 而边中线所在的直线方程为， 由，解得，则，设点，则点， 于是，解得，即点，直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知，，， 由直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，得直线过边的中点，或， 当直线过时，直线的斜率为，方程为，即， 当直线时，直线的斜率为，方程为，即， 所以直线l的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期9月考试 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知正方体的棱长为，若，，，则（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 2. 设，向量，，，则=（ ） A. B. C. D. 3. 已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则⊥ D. 若，，⊥，则 4. 若直线：与：垂直，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知直线：和直线：，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 过三点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 10. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 11. 下列四个命题中正确的有（ ） A. 过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为， B. 若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D. 若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为______. 13. 若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是__________. 14. 已知为直线上的一点，则的最小值为________． 四、解答题 15. 已知向量，且． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点. （1）试建立适当的空间直角坐标系，并写出点，的坐标； （2）求的长 （3）求证：. 17. 已知直线：和：． （1）若，求实数m的值； （2）若，求实数m的值． 18. 已知点，直线，且点均在直线上，， （1）求点的坐标： （2）若，求直线的方程. 19. 在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为． （1）求直线的方程； （2）若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $