精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高二上学期第一次诊断考试（9月）数学试题

2026学年第一学期高二年级第一次诊断考试 数学试题 考试时间：120分钟 试题分值：150分 命题人：王海军 一、单选题（每小题5分共40分，每题只有一个正确答案） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 两个单位向量一定相等 B. 物理学中的重力是向量 C. 若，，则 D. 长度相等的两个向量必相等 2. 正六边形中，=（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，且，则实数的值是（ ）. A. 1 B. C. 4 D. 4. 如图，在四棱锥中，底面四边形的两组对边均不平行．给出下列命题： ①在平面内不存在直线与平行； ②在平面内存在无数多条直线与平面平行； ③平面与平面的交线与底面不平行． 其中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，且，，则 7. 若复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一人赢得四局比赛时，该人获胜，比赛结束）．若甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分共18分，有错选不得分） 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的共轭复数是 C. 复数对应的点位于第二象限 D. 10. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，某市为了提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市知识竞赛”，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（成绩均不低于50分）分为5组：，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 样本答卷成绩的中位数为70 C. 样本答卷成绩的平均分为80（同一组数据用该组区间的中点值为代表） D. 在样本答卷成绩为、的两组市民中，用分层抽样的方法抽取6人，则样本答卷成绩在中的市民应抽4人 11. 如图，四边形为正方形，平面，，，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 点到平面的距离为 C. 平面平面 D. 三棱锥的体积为3 三、填空题（每小题5分共15分） 12. 甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别是、、，且他们是否破译出密码互不影响，则恰有两人破译出密码的概率为______． 13. 设五个数值31，38，34，35，x的平均数是34，则这组数据的标准差是________． 14. 正四面体边长为，其内切球，则在正四面体内与球和均相切的球的表面积为_________(用表示) 四、解答题（共77分） 15. 已知非零向量，，且． （1）求x的值； （2）求向量与的夹角； （3）求向量在方向上的投影向量的模． 16. 为研究高中生数学成绩进步与平时积极提问的关系，从某校的学生中随机抽了1000人，得到如下列联表： 是否积极提问组别 积极提问 不积极提问 合计 数学成绩进步 120 280 400 数学成绩不进步 80 520 600 合计 200 800 1000 （1）记该校平时不积极提问的学生其数学成绩进步的概率为．求的估计值． （2）根据小概率值的独立性检验，分析高中生平时是否积极提问与数学成绩进步有关． 附：． 17. 如图，在正三棱柱中，分别为棱，的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面⊥平面． 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为， ①求线段的长； ②求平面与平面所成角的余弦值. 19. 已知直线，，分别为，上的两个定点，点A在线段上，，，为直线上一动点，为直线上一动点，，两点均在直线的同一侧，．设．面积为． （1）若，求的最小值； （2）若，且， ①求的长； ②若线段与交与点，，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期高二年级第一次诊断考试 数学试题 考试时间：120分钟 试题分值：150分 命题人：王海军 一、单选题（每小题5分共40分，每题只有一个正确答案） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 两个单位向量一定相等 B. 物理学中的重力是向量 C. 若，，则 D. 长度相等的两个向量必相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量相关概念进行判断，得到答案 【详解】A选项，两个单位向量方向不同时，不相等，A错误； B选项，物理学中的重力既有大小，又有方向，是向量，B正确； C选项，若，则满足，，但不一定平行，C错误； D选项，长度相等，但方向不同的两个向量不相等，D错误. 故选：B 2. 正六边形中，=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正六边形的性质，结合向量的线性运算，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由图可知. 故选：A. 3. 已知向量，且，则实数的值是（ ）. A. 1 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标关系列式计算可得结果. 【详解】由，则有，解得. 故选：A 4. 如图，在四棱锥中，底面四边形的两组对边均不平行．给出下列命题： ①在平面内不存在直线与平行； ②在平面内存在无数多条直线与平面平行； ③平面与平面的交线与底面不平行． 其中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】由线面平行的判定与性质可逐个验证. 【详解】对于命题①，设平面内存在直线与平行， 又平面，平面，所以平面， 又平面平面，所以与题干矛盾， 即在平面内不存在直线与平行，故①正确； 对于命题②，设平面平面，则平面， 所以在平面内存在无数条直线与直线平行， 这无数条直线也与平面平行，故②正确； 对于命题③，设交线平面， 又平面，平面平面，所以， 同理可得，则与题干矛盾， 即平面与平面的交线与底面不平行，故③正确. 故选：D. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 6. 已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，且，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面、面面位置关系，结合线面平行的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由，，，得或与相交或与是异面直线，A错误； 对于B，由，，，，得或与相交，B错误； 对于C，由，，，得，C正确； 对于D，由，，，且，，得或与相交，D错误. 故选：C 7. 若复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可求解. 【详解】，又复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，， 则. 故选：B. 8. 甲、乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一人赢得四局比赛时，该人获胜，比赛结束）．若甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得甲比赛四局、五局、六局和七局获胜的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，若比赛四局，则甲赢的概率为； 若比赛五局，甲第五局赢，可得甲赢的概率为； 若比赛六局，甲第六局赢，可得甲赢的概率为； 若比赛七局，甲第七局赢，可得甲赢的概率为， 所以甲赢的概率为， 所以甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为． 故选：D. 二、多选题（每题6分共18分，有错选不得分） 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的共轭复数是 C. 复数对应的点位于第二象限 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的模判断A，求出其共轭复数，即可判断B，根据复数的几何意义判断C，根据复数代数形式的乘法运算法则判断D. 【详解】因为，则，故A错误； 的共轭复数是，故B正确； 复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，故C错误； 因为，， 所以，故D正确； 故选：BD 10. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，某市为了提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市知识竞赛”，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（成绩均不低于50分）分为5组：，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 样本答卷成绩的中位数为70 C. 样本答卷成绩的平均分为80（同一组数据用该组区间的中点值为代表） D. 在样本答卷成绩为、的两组市民中，用分层抽样的方法抽取6人，则样本答卷成绩在中的市民应抽4人 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据频率之和为1即可求，根据频率分布直方图里中位数、平均数的求法即可判断B、C，根据分层抽样相关概念即可判断D. 【详解】选项A：由频率之和为1，即：，可得，故A正确； 选项B：由于前两组频率之和恰好是0.5，所以中位数是70，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：由于成绩在、两组的人数分别为10人、5人，则在中应该抽取：人，故D正确； 故选：ABD. 11. 如图，四边形为正方形，平面，，，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 点到平面的距离为 C. 平面平面 D. 三棱锥的体积为3 【答案】AC 【解析】 【分析】A.通过证明平面与平面平行，得到直线与平面平行，B.利用等体积法求出距离，C.作辅助线先证明线面垂直，再得到面面垂直D.，求出 【详解】对于A，∵四边形为正方形，∴ 又，且，，在平面内，在平面内， ∴平面平面，又平面， 平面，A正确 对于B，三棱锥的体积， 易知为正三角形，且边长为，故， ，到平面的距离满足：， 解得：，B错误； 对于C， 连接交于点，连接，，取中点，则为直角三角形， 易知， ，，， ， 为等边三角形，且为中点， ，又，且都在平面内， 平面，又在平面内， ∴平面平面，C正确； 对于D，易知，又，与全等， ，为等腰三角形， ，， ∴棱锥的体积，D错误 故选：AC 三、填空题（每小题5分共15分） 12. 甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别是、、，且他们是否破译出密码互不影响，则恰有两人破译出密码的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用独立事件的概率乘法与互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，恰有两人破译出密码的概率为. 故答案为：. 13. 设五个数值31，38，34，35，x的平均数是34，则这组数据的标准差是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数求出x的值，再根据标准差的计算公式，即可求得答案. 【详解】由题意知，，解得：． ∴这组数据的标准差是， 故答案为： 14. 正四面体边长为，其内切球，则在正四面体内与球和均相切的球的表面积为_________(用表示) 【答案】 【解析】 【分析】先根据正四面体的结构特征求出内切球半径，然后根据相似关系求出球的半径，最后利用球的表面积公式即可求解. 【详解】设在正四面体内与球和均相切的球为，半径为， 设球的半径为，取的中点为，连接，设为正四面体的高， 球，球与侧面分别相切于点，显然点在上，是底面的中心， 又正四面体边长为，所以， 所以，如图，在中，， 连接，由，解得， 连接，又由， 所以球的表面积为， 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知非零向量，，且． （1）求x的值； （2）求向量与的夹角； （3）求向量在方向上的投影向量的模． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算以及模的计算公式，即可求得答案. （2）根据向量的夹角公式求解即可. （3）求出向量在方向上的投影向量，即可求得答案. 【小问1详解】 已知非零向量，，故， 而，故，解得或， 由于为非零向量，故，故； 【小问2详解】 结合（1）可知，，则， 故， 故向量与的夹角为； 【小问3详解】 向量在方向上的投影向量为，， 故向量在方向上的投影向量的模为. 16. 为研究高中生数学成绩进步与平时积极提问的关系，从某校的学生中随机抽了1000人，得到如下列联表： 是否积极提问组别 积极提问 不积极提问 合计 数学成绩进步 120 280 400 数学成绩不进步 80 520 600 合计 200 800 1000 （1）记该校平时不积极提问的学生其数学成绩进步的概率为．求的估计值． （2）根据小概率值的独立性检验，分析高中生平时是否积极提问与数学成绩进步有关． 附：． 【答案】（1）0.35； （2）有关. 【解析】 【分析】（1）由列联表数据及古典概型的概率求法求概率； （2）由卡方公式求卡方值，再根据独立检验基本思想即可得结论. 【小问1详解】 由列联表可知，不积极提问的800人中有280人进步，所以的估计值为； 【小问2详解】 零假设：数学成绩进步与平时是否积极提问无关， 根据表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为数学成绩进步与平时是否积极提问有关，该推断犯错误的概率不超过． 17. 如图，在正三棱柱中，分别为棱，的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面⊥平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，设连接EO，FO，，可证为平行四边形，得到，根据线面平行的判定定理，即可得证； （2）在棱柱中，先证平面，从而得到平面，根据面面垂直的判定定理，即可得证． 【小问1详解】 证明：连接与交于点O，则O为的中点，连接EO，FO， 因为E，F分别为棱，BC的中点，所以，， 所以四边形AEOF为平行四边形，∴， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 证明：因为平面ABC，平面ABC，所以， 又，且两直线在平面内相交，所以平面，因为，所以平面， 又平面，所以平面平面． 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为， ①求线段的长； ②求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为，，所以， 又，所以，， 所以， 所以，则，即， 因为平面，平面， 所以，又，、平面， 所以平面； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先由题设依次求出、，再由线面垂直判定定理即可得证； （2）①取中点，连接、，求证平面得到为直线与平面所成角，接着由正弦函数定义求出即可求解； ②建立适当空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量即可由空间角的向量法公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①取中点，连接、，则由（1）得，且， 因为平面，平面， 所以，又，、平面， 所以平面，所以为直线与平面所成角， 所以， ②由题意可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 显然是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 19. 已知直线，，分别为，上的两个定点，点A在线段上，，，为直线上一动点，为直线上一动点，，两点均在直线的同一侧，．设．面积为． （1）若，求的最小值； （2）若，且， ①求的长； ②若线段与交与点，，求实数的值． 【答案】（1） （2）①4；② 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，利用正弦定理可得，，进而求，结合三角知识分析求解； （2）利用正弦定理可得，，进而求，结合三角知识可得.①可得，，进而可得结果；②利用余弦定理解得，再利用面积关系分析求解. 【小问1详解】 因为，则，， 若，则， 在中，由正弦定理，可得， 在中，由正弦定理，可得， 则， 又因为，解得，则， 可知当，即时，取到最小值. 【小问2详解】 若，则， 在中，由正弦定理，可得， 在中，由正弦定理，可得， 则， 若，即， 可得， 且 ， 即，可得， 又因为，解得，则， 可得，解得. ①可得，， 在中，可知， 则，即为直角三角形， 所以； ②在中，由余弦定理可得， 即，则，可知，即为直角三角形， 则， 在中，因为， 即， 可得，解得， 又因为，所以. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用正弦定理边化角，进而求，结合三角知识分析求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $