专题3.2 函数单调性与最值-重难点题型精讲【知识清单+10大题型+强化训练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题3.2 函数单调性与最值-重难点题型精讲 知识点01：函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： (4)单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x) g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x) g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. (6)单调性定义的等价形式： （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且， 【即学即练】 1．（26-27高三上·四川遂宁·开学考试）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 知识点02：函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 【即学即练】 2．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型01 函数单调性的证明 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）利用单调性定义证明函数在上的单调性并求其最值． 2．（26-27高一上·全国·课后作业）设函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论. 3．（26-27高一上·北京·期中）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义证明； (2)若函数满足不等式，求实数的取值范围. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 题型02 求函数单调区间 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的单调递减区间是________，单调递增区间是________. 6．（25-26高一上·全国·课堂例题）已知函数，，根据图象写出它的单调区间．． 7．（25-26高一上·全国·课前预习）画出函数的图象，并指出函数的单调区间 8．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 题型03 复合函数单调区间 9．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是______． 10．（25-26高一上·湖北十堰·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·天津·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 题型04 根据函数图象判断单调性 13．（25-26高一上·重庆万州·期中）设函数. (1)求函数时的根； (2)在给出的平面直角坐标系中直接画出函数的图象，并写出单调区间． 14．（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知函数. (1)请在给定的坐标系中画出此函数的图像，并根据图像说出函数的值域及单调增区间； (2)若，求x的取值范围. 15．（25-26高一上·北京·期中）如图所示，函数在下列哪个区间上是增函数（    ）    A． B． C． D． 16．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知函数． (1)作出函数的图象； (2)根据图象写出的单调递增区间． 题型05 利用函数的单调性求参数的取值范围 17．（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 20．（26-27高三上·天津滨海新区·开学考试）函数，若对任意  都有 成立，则实数a 的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型06 利用函数的单调性比较大小 21．（26-27高一上·北京·期中）设函数满足，则（ ） A． B． C． D． 22．（2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 23．（25-26高一下·浙江·期中）（多选）若定义在上的函数满足，对，存在常数，都有，则下列结论中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·北京顺义·期中）已知函数． (1)利用函数的单调性定义证明函数在上单调递增； (2)比较，的大小． 题型07 利用函数的单调性解不等式 25．（26-27高一上·江苏·期中）已知函数 ，若 ，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 26．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知定义在上的函数满足：①；②当时，． (1)求的值，并证明在上是增函数； (2)若， （ⅰ）求的值； （ⅱ）解关于的不等式． 27．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的减函数，且，求的取值范围. 28．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型08 求函数的最值 29．（2026·山东济南·模拟预测）已知表示，中的最小者，则函数的最大值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 30．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数，则的最大值为（    ） A． B．6 C．4 D．3 31．（25-26高一上·湖南娄底·期末）已知，用表示中的较大者，记作的最小值为___________． 32．（25-26高一上·云南昆明·期中）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 题型09 利用函数的最值求参数 33．（2026高二下·全国·竞赛）已知函数 若在上存在最小值，求实数的取值范围. 34．（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）已知函数在上的最大值为，则实数的值为________. 35．（25-26高一上·山东聊城·期中）设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高三上·河南·期中）已知函数在区间上的最大值为5，则实数a的取值范围为________． 题型10 函数不等式恒成立、能成立问题 37．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）设函数，若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 38．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知二次函数（）满足，． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (3)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 39．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数. (1)是否存在实数使不等式对任意恒成立，并说明理由． (2)若存在一个实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 40．（25-26高一上·天津·期中）已知函数 . (1)若，求函数的单调区间； (2)若，都有，求实数 的取值围. 1．（26-27高三上·四川成都·开学考试）函数的最大值为（    ） A．−2 B．−4 C．−6 D．−9 2．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 3．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东青岛·期中）的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·北京·开学考试）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．10 6．（26-27高二上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）设函数.若是的最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·江西南昌·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则函数的递增区间为 B．若，则函数的值域为 C．若的值域为，则的取值范围为 D．若的定义域为，则的取值范围为 10．（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 11．（25-26高一上·湖南·期中）（多选）已知连续函数满足：①，，有；②当时，；③．则以下说法正确的是（    ） A． B． C．在区间上的最大值是6 D．不等式的解集为 12．（26-27高一上·北京·期中）若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______． 13．（26-27高一上·北京·期中）已知，函数，（1）若，则的单调递增区间是______. （2）若对任意实数，方程有解，则实数的取值范围是______. 14．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 15．（26-27高一上·天津南开·开学考试）已知点是二次函数图象上的点. (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的最大值与最小值的差； (3)当时，若函数的最大值与最小值的差为4，求的值. 16．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． (1)若函数的值域为，求实数的值； (2)已知，，求函数的单调区间和值域； (3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值集合． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 函数单调性与最值-重难点题型精讲 知识点01：函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： (4)单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x) g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x) g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. (6)单调性定义的等价形式： （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且， 【即学即练】 1．（26-27高三上·四川遂宁·开学考试）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，设，分别判断内外函数的单调性，利用复合函数的性质即得. 【详解】由解得或，所以函数的定义域为， 设，函数在上单调递增， 二次函数的开口向上，对称轴为直线， 则二次函数在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的“同增异减”的性质，可知函数的单调递增区间为. 知识点02：函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 【即学即练】 2．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数在闭区间上有最大值3，最小值2， 所以，即的取值范围是. 题型01 函数单调性的证明 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）利用单调性定义证明函数在上的单调性并求其最值． 【答案】函数在上是减函数，最大值是5，最小值是4. 【详解】任取，且， 则， 由于，则，即， 于是，即，故在上单调递减， 从而最大值是，最小值是. 2．（26-27高一上·全国·课后作业）设函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论. 【答案】函数在上单调递增；证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，且， 所以，且. 所以，且. 所以，即， 所以函数在上单调递增. 【分析】通过单调性的定义判断即可. 【详解】函数在上单调递增,证明略. 3．（26-27高一上·北京·期中）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义证明； (2)若函数满足不等式，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明如下： 、且， ， 因为，所以，，，则， 所以，则，即， 故函数在上单调递增. (2) 【分析】（1）根据单调性的定义证明即可； （2）不等式等价于，利用（1）的结论即可列出不等式，进而求解. 【详解】（1）略 （2）因为，，且在上单调递增， 由可得，所以，解得或， 所以不等式的解集为. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以， 故， 故， 所以在上单调递增. 【分析】（1）将已知两点坐标代入解析式后求解； （2）根据单调性的定义证明：任取，且，利用作差法证明. 【详解】（1）将点，的坐标代入解析式得， 解得，故. （2）略 题型02 求函数单调区间 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的单调递减区间是________，单调递增区间是________. 【答案】 【详解】，故其对称轴为，结合函数图象知其单调递减区间是，单调递增区间是. 6．（25-26高一上·全国·课堂例题）已知函数，，根据图象写出它的单调区间．． 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为． 【分析】根据二次函数的性质作出函数图象，即可根据图象求解单调区间. 【详解】， 函数图象如图所示． 由图象可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 7．（25-26高一上·全国·课前预习）画出函数的图象，并指出函数的单调区间 【答案】 单调递增区间为和，单调递减区间为. 【分析】先对函数化简，然后画出函数图象，再根据图象可求出函数的单调区间. 【详解】， 函数的图象如图实线部分所示． 由函数的图象知，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 8．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】先将分离常数得，再根据反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】， 所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到. 因为在和上单调递减， 所以在和上单调递减. 故选：D 题型03 复合函数单调区间 9．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是______． 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得在单调递减，在单调递增，再由复合函数的单调性即可得到结果. 【详解】设，由可得，或， 则函数，由在单调递减，在单调递增， 而在单调递增，由复合函数的单调性可知， 函数的单调递减区间是. 故答案为： 10．（25-26高一上·湖北十堰·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，令，可知该函数在上单调递减，由单调性的性质即可得出答案. 【详解】解：由，解得, 所以函数的定义域为， 令，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为， 该函数在上单调递减， 则函数的单调递增区间是. 故选：C. 11．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数定义域，再由二次函数单调性及幂函数单调性求解. 【详解】由解得， 又当时，单调递减， 所以的单调递减区间为， 故选：B 12．（25-26高一上·天津·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，结合复合函数的单调性即可求解. 【详解】由，解得或， 所以函数的定义域为， 设，则， 函数的对称轴为， 所以函数在区间上单调递增，且， 函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 函数在区间上单调递减，且， 函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为， 故选：C 题型04 根据函数图象判断单调性 13．（25-26高一上·重庆万州·期中）设函数. (1)求函数时的根； (2)在给出的平面直角坐标系中直接画出函数的图象，并写出单调区间． 【答案】(1)或 (2)； 图象可知函数的单调递增区间为：和； 函数的单调递减区间为：和. 【分析】（1）令，解方程即可； （2）画出图象，由图象观察即可写出单调区间. 【详解】（1）由，解得或； （2）因为， 所以图象为： 由图象可知函数的单调递增区间为：和； 函数的单调递减区间为：和. 14．（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知函数. (1)请在给定的坐标系中画出此函数的图像，并根据图像说出函数的值域及单调增区间； (2)若，求x的取值范围. 【答案】(1) 函数的值域为；单调增区间为， (2) 【分析】（1）分段函数分别画出每一段的图像，进而观察出函数的值域及单调增区间； （2）直接解不等式即可求得. 【详解】（1） 由图可知，函数的值域为，单调增区间， （2）或， 解得或 故x的取值范围为 15．（25-26高一上·北京·期中）如图所示，函数在下列哪个区间上是增函数（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数图象上升所对区间确定函数单调递增区间即可. 【详解】观察函数图象，在、上随x的增大，函数的图象是下降的， 在上随x的增大，函数的图象是上升的， 因此函数在、上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上是增函数. 故选：C 16．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知函数． (1)作出函数的图象； (2)根据图象写出的单调递增区间． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）分类讨论去掉绝对值，转化为分段函数，根据二次函数画出图象； （2）由图象写出函数单调区间. 【详解】（1）由， 作出函数图象，如图，    （2）由图象可知，函数单调增区间为，. 题型05 利用函数的单调性求参数的取值范围 17．（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数在上单调递增的性质，需满足各分段区间内函数分别单调递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值，分类讨论段函数的单调性求解的取值范围. 【详解】分段函数在上单调递增，需同时满足以下条件： 当时，一次函数单调递增，故斜率，解得； 当时，函数单调递增，分两类讨论： ① 当即时，函数在上单调递增， 满足在上单调递增的要求； ② 当即时，对勾函数的单调递增区间为， 故需，平方得，解得，结合得， 分段点处，需满足左段函数极限值不大于右段函数值，即， 化简得，解得。 将上述条件取交集，得的取值范围为. 18．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分段函数的单调性，结合一次函数，二次函数的单调性列出不等式组求解． 【详解】依题意得，，解得， 故实数的取值范围是． 19．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用韦达定理求解即可. 【详解】由题知，当时，或， 所以可得，即， 所以. 20．（26-27高三上·天津滨海新区·开学考试）函数，若对任意  都有 成立，则实数a 的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意判断函数在R上单调递减，根据分段函数在R上单调递减即要在每一段上都单调递减，即可求出a的取值范围，另外还要考虑分界点处的大小关系. 【详解】因为对任意，  都有 成立， 所以函数在R上单调递减. 设，在上单调递减， 即，即. 设，在上单调递减， 的图象开口向上，对称轴为直线. 所以，即. 又，， 因为在R上单调递减，所以， 即，解得. 综上所述，a的取值范围是. 题型06 利用函数的单调性比较大小 21．（26-27高一上·北京·期中）设函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 的对称轴为. 的图像开口向上， 在上单调递减， ， ， ， . 22．（2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递减，且， 所以. 23．（25-26高一下·浙江·期中）（多选）若定义在上的函数满足，对，存在常数，都有，则下列结论中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据题设条件：对任意，有， 构造函数，则是严格递增函数， （因差商）， 由，得，利用，逐一分析选项： 选项A：，代入得：，即， 因，；又，严格递增，故 ， 取（严格递增，），，则 ， 满足，对应，A可能成立． 选项B：，代入得：，即， 取（严格递增，），，则 ， 满足，对应，B可能成立． 选项C：，代入得：， 即 ，但（），严格递增， 故 ，矛盾，C不可能成立． 选项D：，代入得：，即 ， 取（严格递增，），，则， 对应，D可能成立． 24．（25-26高一上·北京顺义·期中）已知函数． (1)利用函数的单调性定义证明函数在上单调递增； (2)比较，的大小． 【答案】(1) 函数，任取， ， 由，，，，即， 所以函数在上单调递增. (2) 【分析】（1）由定义法证明函数的单调性； （2）通过单调性比较函数值的大小. 【详解】（1）略 （2），则，当且仅当，即时等号成立， ， 由，有，则，， 函数在上单调递增，所以. 题型07 利用函数的单调性解不等式 25．（26-27高一上·江苏·期中）已知函数 ，若 ，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析函数的性质，再根据与的关系，求解 时实数的取值范围． 【详解】当时，，则 ， 当时，，则 ， 当时， ，因此，是奇函数， 当时， ，是一个开口向上， 对称轴为的二次函数，在上单调递增，因为是奇函数， 所以在也单调递增，因此在上单调递增， 已知 ，则 可转化为 即， 因此 或 ， 又， ，即 或 ， 又在上单调递增， 所以或 ，解得或， 综上，实数的取值范围为． 26．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知定义在上的函数满足：①；②当时，． (1)求的值，并证明在上是增函数； (2)若， （ⅰ）求的值； （ⅱ）解关于的不等式． 【答案】(1)令， 任取， 则， ， ，则可得是上的单调增函数. (2)（ⅰ）；（ⅱ）或 【分析】（1）令，代入即可解出的值．利用函数单调性的定义证明利用等式化简判断正负即可． （2）（ⅰ）依题意得，，由累加法，即可求解； （ⅱ）由题意转化条件为，利用单调性等价变形为，解出即可． 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）令，得， 由得，， 则 ． （ⅱ）由得， 所以， 又函数f (x)在R上是增函数，故，解得或， 故原不等式的解集为或． 27．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的减函数，且，求的取值范围. 【答案】 【分析】结合函数定义域与减函数性质列不等式组，取交集即可. 【详解】∵ 是定义在上的减函数，且， ∴，解得. ∴的取值范围是. 28．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意所求变为或，求解即可得答案． 【详解】因为是定义在上的减函数，且， 所以当时，，当时，， 由， 得或， 即或， 解得或，所以解集为． 故选：C． 题型08 求函数的最值 29．（2026·山东济南·模拟预测）已知表示，中的最小者，则函数的最大值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】C 【详解】令，整理得一元二次方程，解得或. 当或时，，因此； 当时，，因此. 求分段函数的最大值： 时，； 时，是递减函数，； 时，是递增函数，. 综上，当时的最大值为3. 30．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数，则的最大值为（    ） A． B．6 C．4 D．3 【答案】A 【分析】令，利用二次函数性质求解可得. 【详解】令，则，． 因为，则，所以． 又在单调递增，在单调递减， 所以，所以． 故选：A 31．（25-26高一上·湖南娄底·期末）已知，用表示中的较大者，记作的最小值为___________． 【答案】1 【分析】根据定义写出函数解析式的分段形式，数形结合确定其单调性并求最小值. 【详解】令，则，可得或， 令，则，可得， 所以的图象如下， 由图，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 32．（25-26高一上·云南昆明·期中）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用换元法，令，再结合对勾函数的性质，即可得解. 【详解】令，则，， 令，由对勾函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值， 又因为， 因此在上的值域为， 故的值域为， 即函数在区间上的值域为， 故选：C. 题型09 利用函数的最值求参数 33．（2026高二下·全国·竞赛）已知函数 若在上存在最小值，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】先按、、分类讨论. 时无最小值；时有最小值；时需满足一定的条件，再分与 讨论，综合得的取值范围. 【详解】若，则由可知无最小值； 若，则有最小值. 以下假设，此时在区间上单调递减， 于是在上有最小值当且仅当. 下面对的取值分类讨论： 当时，因为， 所以. 当时，因为， 所以，整理得 ， 该二次判别式，不等式左端恒大于0，无解，不符合要求. 综合以上讨论可知：当时的取值范围是. 综上所述，实数的取值范围是. 34．（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）已知函数在上的最大值为，则实数的值为________. 【答案】 【分析】根据函数图象分类讨论取得最大值时的情况，进而求解即可. 【详解】当时，，草图如下， 所以， 可得，解得； 当时，，草图如下， 所以， 可得，解得（舍）. 故答案为： 35．（25-26高一上·山东聊城·期中）设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质结合基本不等式求解即可. 【详解】，当时，， 当且仅当即时，等号成立； 当时，，要使是的最小值， 只需在上递减，且， 即，解得. 故选：B 36．（25-26高三上·河南·期中）已知函数在区间上的最大值为5，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】由条件可得，再由时，可得，从而，可求得答案. 【详解】由函数在区间上的最大值为5，则，，所以上式可变为， 即，则，即， 化简得； 又，，则，所以； ，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型10 函数不等式恒成立、能成立问题 37．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）设函数，若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】或或 【分析】由恒成立求出，只需成立，记，，看成关于的函数，最后转化为，得到关于的不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为，所以，所以，当时，，所以， ，，不等式恒成立，等价于时，，对恒成立， 即在上恒成立， 记， 所以只需，即，解得或或． 38．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知二次函数（）满足，． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (3)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2），对称轴是，根据二次函数在区间上的不同单调性求出最小值，继而即可求解； （3）由题意得，当时，不等式恒成立；当时，利用分离参数法得在上恒成立，结合换元法与对勾函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又， 所以，得，，所以． （2），所以的图象开口向上，对称轴是． 当，即时，在上单调递增， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增． ，得或，不满足题意． 综上所述，或． （3），，化简得：． 当时，不等式恒成立； 当时，，在上恒成立． 令，， ，． 又在上单调递增，所以当时，有． 故，即的取值范围是． 39．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数. (1)是否存在实数使不等式对任意恒成立，并说明理由． (2)若存在一个实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)存在，理由如下： 不等式可化为，即， 要使对于任意恒成立，等价于， 而，所以， 故存在实数使不等式对于任意恒成立，此时需. (2) 【分析】（1）不等式对任意恒成立等价转化为，即可得实数的取值范围； （2）存在一个实数，使不等式成立等价转化为，即可得实数的取值范围. 【详解】（1）略 （2）不等式可化为． 若存在一个实数，使不等式成立，只需， 又，则，所以. 所以所求实数的取值范围是. 40．（25-26高一上·天津·期中）已知函数 . (1)若，求函数的单调区间； (2)若，都有，求实数 的取值围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (2) 【分析】（1）写出的分段形式，得到的单调区间； （2）在上的值域包含在上的值域，分，和三种情况，得到的值域，进而分这三种情况，得到的值域，进而得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故单调递增区间为，单调递减区间为； （2），都有， 故在上的值域包含在上的值域， ， 当时，， 因为， 当时，，，故值域为， 当时，，， 值域为， 当时，，， 值域为， ，， 当时，此时，， 值域为， 则，故，解得， 与求交集得， 当时，， 其中， ， 故， ，显然， 值域为，则， 所以，解得， 与求交集得， 当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 其中，显然， 值域为， 则， 所以，解得， 与求交集得， 综上，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第二问需先转化为在上的值域包含在上的值域，对变形后，分三种情况，得到值域，进而分这三种情况，得到的值域，得到不等式，求出答案. 1．（26-27高三上·四川成都·开学考试）函数的最大值为（    ） A．−2 B．−4 C．−6 D．−9 【答案】C 【详解】因为，所以，. 由基本不等式得： 当且仅当，即，即.时，等号成立. 因此，的最小值为. 所以. 故当时，函数取得最大值. 2．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】因为为开口向上的二次函数，其对称轴方程为， 所以在单调递减，在单调递增； 若在上具有单调性，则或， 因此或. 3．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先考虑；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间. 【详解】由可得或， ∵在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得， 函数的单调递增区间是. 故选：D. 4．（25-26高一上·山东青岛·期中）的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用时，，排除AD；利用，函数单调递减，排除B得解. 【详解】由，当时，，排除AD； 当时，函数单调递减，当时，函数单调递减，排除B. 故选：C. 5．（26-27高三上·北京·开学考试）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【详解】对任意，不等式恒成立， 而函数在上单调递减，则，因此 所以的最小值是10. 6．（26-27高二上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的特点进行求解. 【详解】对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 当时，若使单调递增，则需满足； 当时，若使单调递增，需满足二次函数的对称轴，即：， 若在上单调递增，则需满足，即：， 所以实数的取值范围为. 7．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的值，再根据的取值范围分和两种情况，分别代入分段函数对应的解析式列不等式求解，最后将两种情况的解集合并得到的取值范围. 【详解】， 当，即时，，由，得； 当，即时，，由，得，解得， 综上，，即的取值范围为. 8．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）设函数.若是的最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分和两种情况，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意得：， 当时，，当且仅当时等号成立， 即， 当时，对称轴为， 当时，即，因为是的最小值， 所以，即，解得， 所以， 当时，即，所以，不满足题意， 综上所述，. 9．（25-26高一上·江西南昌·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则函数的递增区间为 B．若，则函数的值域为 C．若的值域为，则的取值范围为 D．若的定义域为，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】对于A，利用复合函数单调性即可判断，对于B由即可判断，对于C令，则，根据的情况，分类讨论即可判断，对于D，由对恒成立，根据的情况，分类讨论即可判断. 【详解】对于A，若，，令， 由得或， 则函数的定义域为， 在单调递增，且在单调递增， 所以函数的递增区间为，故A错误； 对于B，由，所以， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，若的值域为，令，则， 当时，，解得，满足题意， 当时，，所以， 当时，不满足题意，所以，故C正确； 对于D，若的定义域为，则对恒成立， 当时，，不满足题意， 当时，，所以，故D错误. 10．（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】通过分离常数+反比例函数平移的方法，结合初中已学的反比例函数单调性规律来分析. 【详解】将整理得： ， 该函数的定义域为， 其图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的. 当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减， 因此在上单调递减，A正确、B错误. 当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减， 因此在上单调递减，C正确、D错误. 11．（25-26高一上·湖南·期中）（多选）已知连续函数满足：①，，有；②当时，；③．则以下说法正确的是（    ） A． B． C．在区间上的最大值是6 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】对A，令求值判断；对B，将分解赋值代入已知关系式求解；对C，判断的单调性，结合赋值求解最值；对D，将不等式转化为，利用单调性求解. 【详解】对于A：令，则，解得，A正确； 对于B： ，B正确； 对于C：，且，则， 因为，所以，所以， 所以，即， 所以在单调递减，在上最大值为， 因为，且， 所以，C错误； 对于D：由得， 因为， 所以，因为是减函数， 所以，解得， 所以不等式的解集为.D正确； 故选：ABD. 12．（26-27高一上·北京·期中）若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由二次函数的图象的性质可得的取值范围． 【详解】因为函数开口向下，且对称轴， 由题意可知，即， ∴． 故答案为： 13．（26-27高一上·北京·期中）已知，函数，（1）若，则的单调递增区间是______. （2）若对任意实数，方程有解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】（1）分类讨论，结合一次函数、二次函数的图象即可写出的单调增区间； （2）根据题意可得的值域为，因为时，，故时，的最小值小于等于即可. 【详解】如图1所示，若，则 ， 当时，，开口向上，对称轴，在单调递增； 当时，无单调增区间； 综上所述，若，则的单调增区间为. （2）对任意实数，方程有解，的值域为， 时，在上单调递减， ，此时， 若的值域为，则时，的最小值小于等于. 开口向上，对称轴为，如图2所示， ①当时，在单调递减，， 此时只需，解得，结合得； ② 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，此时只需， 解得，结合得 综上所述：的取值范围为，即的取值范围为. 14．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图所示. 由图可知函数的单调递增区间为，， 因为函数在区间上单调递增， 所以或，解得或. 所以的取值范围为 . 15．（26-27高一上·天津南开·开学考试）已知点是二次函数图象上的点. (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的最大值与最小值的差； (3)当时，若函数的最大值与最小值的差为4，求的值. 【答案】(1) 顶点坐标为 (2) (3) 或 【分析】（3）属于定轴动区间问题，对进行分类讨论. 【详解】（1）代入点，，解得. 二次函数的解析式为，所以顶点坐标为. （2）因为抛物线开口向上，结合图像可知， 时，单调递减；时，单调递增. 所以时，函数取最小值为， 时，；时，，所以函数在时取最大值为， 函数的最大值与最小值的差为. （3）情况一：当，即时，在上单调递减， 时，；时，， 所以，解得（舍）. 情况二：当时，在上单调递减， 在上单调递增，所以时，， 当时，对称轴距离更远，时，， 此时，解得或（舍）. 当时，对称轴距离更远，时，， 此时，解得或（舍） 情况三：当时，在上单调递增， 时，；时，， 此时，解得（舍）. 综上所述，或. 16．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． (1)若函数的值域为，求实数的值； (2)已知，，求函数的单调区间和值域； (3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)单调减区间为，单调增区间为，值域为 (3) 【详解】（1）当时，函数在上为单调增函数，此时函数的值域不是，故不成立，则 由已知得在上是减函数，在上是增函数 ∴函数的值域为 ∵函数的值域为， ，即 （2） ∴令，，则， 由已知得当，即时，函数单调递减，则单调减区间为 当，即时，函数单调递增，则单调增区间为 ，，， 函数的值域为 （3）为减函数，， ∵对任意，总存在，使得成立， ∴函数的值域为函数值域的子集 ，解得，即的取值集合为 学科网（北京）股份有限公司 $