3.2.2 奇偶性教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.2 奇偶性 课程：高中数学 教材：高中数学人教A版必修 第一册 章节：3.2.2 奇偶性 教材分析 本节课通过观察 、 等图象的对称性，归纳出偶函数定义；再类比探究 、 ，抽象出奇函数概念，体现从具体到抽象、数形结合的认知路径。教学过程以图象观察为起点，辅以数值验证与符号概括，引导学生自主建构概念。本节是函数性质的核心内容，承接单调性学习，为后续研究函数对称变换、三角函数奇偶性及函数综合应用奠定基础；有助于提升学生的抽象概括、逻辑推理与几何直观能力。 学情分析 学生在初中已学习了正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数等基本函数，掌握了描点作图及从图象直观感知“对称”现象的经验，具备初步的代数运算能力和符号表达意识；进入高中后，学生抽象思维能力逐步发展，但对“定义域关于原点对称”这一前提条件易忽略，对奇偶性本质——函数值随自变量变号的响应规律——理解尚浅，数形结合与逻辑严谨性有待提升；本节课要求学生能从图象对称性出发，通过观察、归纳、验证，准确理解偶函数满足 、奇函数满足 的定义，并能判断简单函数的奇偶性，从而深化函数的整体性认知，发展数学抽象与逻辑推理素养。 教学目标 1. 理解偶函数与奇函数的概念，能用符号语言描述图象关于 轴或原点对称的特征，达到数学抽象核心素养水平一的要求。 2. 能从具体函数图象与函数值表中归纳共同特征，抽象出奇偶性定义，达到直观想象与逻辑推理核心素养水平二的要求。 3. 能依据定义判断简单函数的奇偶性，并说明定义域关于原点对称的必要性，达到逻辑推理核心素养水平一的要求。 重点难点 教学重点：偶函数 与奇函数 的定义、图象对称性及判定方法。 教学难点：定义域关于原点对称的前提理解，抽象函数奇偶性的代数验证与分段函数奇偶性判断。 课堂导入 课堂导入 同学们，我们先来看两组生活中的对称现象：蝴蝶的左右翅膀完全重合，这是关于中线的轴对称；而风车的叶片围绕中心旋转180°后和原图形重合，这是中心对称。 那函数的图象也存在类似的对称特征吗？现在请大家在草稿纸上快速画出 和 的图象，观察它们的对称特点，思考：当自变量取互为相反数的两个值时，对应的函数值有怎样的关系？今天我们就来用符号语言精准描述函数的这种对称性质——奇偶性。 奇偶性 探究新知 （一）知识精讲 我们已经学习了函数的单调性，它刻画了函数图象在某个区间上“上升”或“下降”的变化趋势。接下来，我们进一步研究函数图象的对称性——这是函数整体结构的重要特征之一。 首先观察函数 和 的图象（图3.2-6）： 可以发现，这两个函数的图象都关于 轴对称。为了用数量关系刻画这种对称性，我们取自变量的一些特殊值，观察对应函数值的变化规律（见表3.2-1）： 从表中可以看出：当自变量取一对相反数时，相应的函数值相等。例如，对于 ，有 ， ， 。 进一步验证：对任意实数 ，都有 这说明函数值仅依赖于自变量的绝对值，与符号无关。 一般地，设函数 的定义域为 ，如果对于任意 ，都有 ，且满足 那么就称函数 为偶函数。 再观察函数 和 的图象（图3.2-8）： 可以发现，这两个函数的图象都关于原点成中心对称。同样地，我们通过取特殊值来分析其数量关系（完成表3.2-2）： 从表中可见：当自变量取一对相反数时，相应的函数值也互为相反数。例如，对于 ，有 ， ， 。 进一步验证：对任意实数 ，都有 一般地，设函数 的定义域为 ，如果对于任意 ，都有 ，且满足 那么就称函数 为奇函数。 需要特别注意的是：奇函数与偶函数的定义中，“定义域关于原点对称”是前提条件，即若 ，则必有 ；否则无法比较 与 的关系。 （二）师生互动 教师提问1：我们说函数 是偶函数，那它是否满足“对定义域内任意 ，都有 ”？请同学们代入验证，并思考：它的图象为什么一定关于 轴对称？ 教师提问2：函数 的定义域是什么？这个定义域是否关于原点对称？你能说明它为什么是偶函数吗？ 教师提问3：函数 在 处没有定义，它的定义域是 ，这个集合是否关于原点对称？如果是，我们能否据此判断它是奇函数？请写出 并与 比较。 教师提问4：有没有一个函数既是奇函数又是偶函数？如果存在，请举出例子；如果不存在，请说明理由。 （三）设计意图 本部分内容以学生已有的函数图象直观经验为基础，通过观察典型函数图象的对称特征，引导学生从“形”走向“数”，自然过渡到用符号语言刻画对称性的本质——即自变量取相反数时函数值的对应关系。在定义奇函数与偶函数的过程中，强调定义域关于原点对称这一隐含前提，既强化了函数概念中“定义域优先”的基本思想，又为后续判断函数奇偶性提供了严谨的逻辑依据。通过表格数据归纳、代数恒等变形验证、反例辨析等环节，发展学生的抽象概括能力、逻辑推理能力和数学表达能力；师生互动中设置层层递进的问题链，既紧扣定义的核心要素，又关注学生认知盲区（如定义域对称性的必要性、零函数的特殊性），体现以学生为主体、以问题为导向的学习方式；整个探究过程渗透“数形结合”“特殊到一般”“分类讨论”等基本数学思想，帮助学生建立函数性质的整体认知框架，提升数学思维的结构性与严谨性。 新知应用 例6题目： 判断下列函数的奇偶性： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 解答： 我们严格按照奇偶性定义进行判断，分三步走： 第一步：求定义域，并验证是否关于原点对称（即若 ，则必有 ）； 第二步：计算 的表达式； 第三步：与 或 比较，得出结论。 (1) 函数 · 定义域： （所有实数），显然关于原点对称（因为若 ，则 ）； · 计算： · 结论：对任意 ，都有 ，满足偶函数定义。 所以 是偶函数。 (2) 函数 · 定义域： ，关于原点对称； · 计算： · 结论：对任意 ，都有 ，满足奇函数定义。 所以 是奇函数。 (3) 函数 · 定义域：分母不能为0，故 ，即 ； 验证对称性：若 ，则 ，所以 ，定义域关于原点对称； · 计算： · 结论：对任意 ，都有 ，满足奇函数定义。 所以 是奇函数。 (4) 函数 · 定义域： ，即 ，关于原点对称； · 计算： · 结论：对任意 ，都有 ，满足偶函数定义。 所以 是偶函数。 总结： 1.题目考查内容 ① 函数奇偶性的严格定义与判定逻辑； ② 定义域关于原点对称是判断奇偶性的前提条件（缺一不可）； ③ 幂函数、分式函数等常见初等函数的奇偶性规律（如 ： 为偶数时是偶函数； 为奇数时是奇函数；含 时需同步考虑定义域）。 2.题目求解要点 ① 必须先写定义域并验证对称性——这是易错点！例如 定义域为 ，不关于原点对称，直接判定“既不是奇函数，也不是偶函数”； ② 代数变形要准确：注意负号运算（如 的符号由 的奇偶性决定）； ③ 整体代入、不可拆项判断：如 不能分别说“ 是奇函数， 是奇函数，所以和是奇函数”，而必须统一计算 ； ④ 结论表述规范：必须明确写出“函数 是偶函数（或奇函数）”，不可只写“ ”就结束。 新知巩固 题目： 判断下列函数的奇偶性，并说明理由： （1）f(x)=； （2）f(x)=； （3）f(x)=，x∈[−1,2]； （4）f(x)=0，x∈R。 解答： （1）函数 f(x)= 的定义域为 R，关于原点对称；。所以 f(x) 是奇函数。 （2）函数定义域为 R，关于原点对称。①当 x>0 时，−x<0，；②当 x<0 时，−x>0，；③当 x=0 时，。 综上，对任意 x∈R，都有 ，所以 f(x) 是奇函数，其图象关于原点对称。 （3）函数定义域为 [−1,2]。因为 2∈[−1,2] 而 −2 不在定义域内（定义域不关于原点对称），不满足奇偶性定义的前提，所以 f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数。 （4）f(x)=0 的定义域为 R，关于原点对称。对任意 x∈R，都有 ，所以它是偶函数；又有 ，所以它也是奇函数。综上，f(x)=0 既是奇函数又是偶函数（这也回答了教师提问4）。 总结： 1.题目考查内容 本题组覆盖奇偶性判断的全部四种结论（奇函数、偶函数、非奇非偶、既奇又偶），重点考查定义的完整应用：定义域关于原点对称这一前提的检验，以及 f(−x) 的整体计算与分段讨论，属于概念应用基础题。 2.题目求解要点 ①先求定义域并验证是否关于原点对称，第（3）问正是此陷阱；②计算 f(−x) 必须整体化简，不可拆项分别判断；③分段函数需逐段验证，含 x=0 时单独说明；④常函数 f(x)=0 同时满足两个定义，既是奇函数又是偶函数。 3.同类型题目解题步骤 ①求定义域，判断是否关于原点对称，若不对称，直接得出既不是奇函数也不是偶函数；②计算 f(−x) 并化简；③与 f(x) 比较：相等则为偶函数，相反则为奇函数，都不满足则为非奇非偶，同时满足则为既奇又偶；④分段函数逐段讨论后汇总下结论。 板书设计 一、偶函数 二、奇函数 三、共同要点 几何特征：图象关于 y 轴对称 代数定义：对任意 x∈D，有 −x∈D，且 典型例子： 几何特征：图象关于原点成中心对称 代数定义：对任意 x∈D，有 −x∈D，且 典型例子： ① 定义域关于原点对称是判断奇偶性的前提； ② 先求定义域，再计算 f(−x)，与 f(x) 或 −f(x) 比较； ③ 数形结合：由图象对称性直观识别，用定义严格确认。 教学反思 本次教学设计先通过 和 的图象和特殊值分析，引导学生归纳出偶函数定义，再借助探究环节，让学生研究 和 的图象与函数值特征，总结奇函数定义，完成了奇偶性概念的教学，多数学生能理解奇偶性的定义与核心特征。成功之处在于从具体函数入手，贴合学生认知规律，通过图象与代数分析结合，让概念形成更自然；不足部分是对定义域关于原点对称这一前提的强调不够深入，部分学生易忽略，且缺少更多变式训练帮助学生灵活运用概念判断函数奇偶性。 课堂练习 第1题 【题文】函数 的图象大致是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 第2题 【题文】已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且在 [0,+∞) 上单调递增。若 ，则实数 x 的取值范围是（　　） A．(−∞,1)　　B．(1,+∞)　　C．(−1,1)　　D．(−∞,−1) 【答案】A 【解答】由奇函数定义知 f(0)=−f(0)=0。先说明 f(x) 在 R 上单调递增：设 ，则 ，由 f(x) 在 [0,+∞) 上单调递增，得 ；又由奇函数定义，，所以 ，即 ，故 f(x) 在 (−∞,0] 上也单调递增。当 时，，故 。综上，f(x) 在 R 上单调递增，于是 f(2x−1)<f(1) 等价于 2x−1<1，解得 x<1。故选 A。 第3题 【题文】已知函数 为 上的偶函数， ， ，都有 ，且 ，则不等式 的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 课前任务 1.知识回顾 上节课我们学习了函数的单调性，用符号语言描述了函数在区间上的“上升”或“下降”：若 ，都有 ，则 在该区间单调递增。请回顾定义，并判断函数 在 上是否单调递增。 参考答案：f(x)= 在 R 上单调递增，图象从左到右始终上升。用定义验证：任取两个不相等的实数 a<b，则 ，其中 a−b<0，而 （配方可证），故 f(a)<f(b)，即 f(x) 在 R 上单调递增。另外，对任意 x∈R 都有 ，即 f(x)= 还是奇函数——这正是本节课要研究的问题。 2.预习教材 阅读教材“奇偶性”一节，重点理解偶函数与奇函数的定义：若 ，有 且 ，则 为偶函数；若 ，则为奇函数。观察 、 等图象特征，完成表3.2-1和表3.2-2，记录定义域对称性与函数值关系。 参考答案要点：表3.2-1：f(x)= 与 g(x)=2−|x| 中，当自变量取一对相反数时，相应的函数值相等，即 ，图象关于 y 轴对称；表3.2-2：f(x)=x 与 g(x)= 中，当自变量取一对相反数时，相应的函数值互为相反数，即 ，图象关于原点对称。两个表中函数的定义域都关于原点对称，这是用定义研究奇偶性的前提。 3.问题思考 为什么定义中强调“ ，都有 ”？若函数定义域不关于原点对称（如 ），它能否是奇函数或偶函数？试举反例说明。 参考答案：奇偶性刻画的是函数在整个定义域上的对称规律，必须对定义域 D 内的每一个 x，都能取到 −x 并比较 f(−x) 与 f(x)；若 −x 不在定义域内，f(−x) 就无意义，等式无从谈起，所以定义中强调“对任意 x∈D，都有 −x∈D”。反例：取 f(x)=x，x∈[−1,2]，当 x=2 时，−x=−2 不在定义域内，f(−2) 无意义，因此它既不是奇函数，也不是偶函数。只有定义域关于原点对称，才能进一步验证 f(−x) 与 f(x) 的关系。 学科网（北京）股份有限公司 $