专题3.3 函数奇偶性-重难点题型精讲【知识清单+8大题型+强化训练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题3.3 函数奇偶性-重难点题型精讲 知识点01：函数的奇偶性 1．偶函数 (1)定义：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数． (2)图象特征：图象关于y轴对称． 2．奇函数 (1)定义：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数． (2)图象特征：图象关于原点对称． 【注意】(1)奇、偶函数定义域的特点 由于f (x)和f (－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇、偶函数的对应关系的特点 ①奇函数有f (－x)＝－f (x)⇔f (－x)＋f (x)＝0⇔＝－1(f (x)≠0)； ②偶函数有f (－x)＝f (x)⇔f (－x)－f (x)＝0⇔＝1(f (x)≠0)． 【即学即练】 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数． 【详解】（1）∵函数的定义域为，关于原点对称， 又，故为偶函数； （2）∵函数的定义域为，关于原点对称， 又，故为奇函数． 知识点02：奇偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 【即学即练】 2．（26-27高一上·新疆·期中）若上的奇函数在上单调递减，且，则不等式解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质，结合单调性，借助换元法将原不等式转化成不等式组求解. 【详解】由上的奇函数在上单调递减，得在上单调递减，， 由，得，令，则不等式， 于是或， 由，得，则，解得， 由，得或，则或， 解得或， 因此或或，解得或或， 所以原不等式的解集为. 知识点03：对称性 (1)轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ (2)点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ (3)拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 【即学即练】 3．（25-26高三上·福建宁德·阶段检测）已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象平移得到关于原点对称的函数即可得解. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以将函数图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位， 可以得到函数，其图象关于原点对称， 即图象关于原点对称，函数为奇函数. 故选：B 题型01 函数奇偶性的判断 1．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1)偶函数； (2)奇函数； (3)奇函数； (4)非奇非偶函数； (5)既是奇函数又是偶函数 【分析】先求出（1）（2）（3）（4）（5）中函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义分别判断即可；. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）由，则函数的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由， 则函数定义域为，关于原点对称， 此时，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． （4）由， 则函数的定义域为， 所以函数定义域不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数． （5）由，所以， 所以函数的定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有， 所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 2．（2026高一·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝x3＋x； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）奇函数；（2）既是奇函数又是偶函数；（3）既不是奇函数也不是偶函数；（4）奇函数. 【分析】首先求出函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，再利用函数的奇偶性定义即可判断. 【详解】（1）函数的定义域为R，关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f（x）， 因此函数f（x）是奇函数． （2）由 得x2＝1，即x＝±1. 因此函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f（1）＝f(－1)＝－f(－1)＝0， 所以f（x）既是奇函数又是偶函数． （3）函数f（x）的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 不关于原点对称，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数． （4）函数f（x）的定义域为R，关于原点对称． f(－x)＝，于是有f(－x)＝－f（x）． 所以f（x）为奇函数． 【点睛】本题考查了函数奇偶性的定义，注意判断函数的奇偶性需判断函数的定义域，属于基础题. 3．（25-26高一上·山西朔州·期中）下列判断正确的为（    ） A．函数f(x)＝是奇函数 B．函数f(x)＝(1－x)是偶函数 C．函数f(x)＝1既是奇函数又是偶函数 D．函数f(x)＝是奇函数 【答案】D 【解析】按照函数奇偶性的定义逐项判断即可得解. 【详解】对于A，函数的定义域为，不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数，故A错误； 对于B，由可得函数的定义域为， 不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，函数不是奇函数，故C错误； 对于D，由可得且， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 所以，所以， 所以函数是奇函数，故D正确. 故选：D. 4．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列各函数是否具有奇偶性 （1）、；（2）、； （3）、；（4）、， ； （5）、；（6）、. 【答案】（1）为奇函数；（2）为偶函数；（3）为非奇非偶函数；（4）为非奇非偶函数；（5）为非奇非偶函数；（6）既是奇函数也是偶函数. 【分析】（1）判断函数的定义域为R，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （2）判断函数的定义域为R，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （3）判断函数的定义域为，结合函数奇偶性的定义即可得解； （4）由函数的定义域为，结合函数奇偶性的定义即可得解； （5）由函数的定义域为，结合函数奇偶性的定义即可得解； （6）由函数的定义域为，结合函数奇偶性的定义即可得解. 【详解】（1）由题意函数的定义域为R， 且对任意的，有， 所以函数是奇函数； （2）由题意函数的定义域为R， 且对任意的，有， 所以函数为偶函数； （3）由题意函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数； （4）由题意函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数，为非奇非偶函数； （5）由可得函数的定义域为， 定义域不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数； （6）由可得函数的定义域为， 且，，所以且， 所以函数既是奇函数也是偶函数. 【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，考查了运算求解能力，属于基础题. 题型02 利用奇偶性求解析式或求值 5．（26-27高一上·江苏·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是奇函数，所以， 当时，，所以， 所以． 6．（26-27高三上·山东·期中）设函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则____________. 【答案】 【分析】通过奇函数、偶函数的定义建立等式，联立求解得出函数表达式. 【详解】因为为奇函数，所以， 即. 又为偶函数，所以， 即 ，得 . 将 代入， 得：， 即， 化简得. 7．（26-27高三上·广东·阶段检测）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则__________． 【答案】 【详解】设 ，. 因为 为奇函数，所以对任意 ，有 ， 即 ；① 因为 为偶函数，所以对任意 ，有 ， 即 ，整理得 .② 由①得 .③ 由②③联立，得 ， 即 ， 故 . 所以 . 8．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数是定义域为R的偶函数，当时，，则当时，的表达式为　________　. 【答案】 【分析】利用偶函数的性质， 结合题设条件，代入化简即可． 【详解】当 时，，则 因为 是偶函数，所以 ． 即当 时，． 题型03 利用奇偶性求参数 9．（26-27高一上·全国·课后作业）（1）函数是偶函数，且定义域是，求的值. （2）已知函数，若函数为偶函数，求的值. 【答案】（1）. （2）. 【分析】（1）根据函数是偶函数，定义域关于原点对称，建立方程组即可求解. （2）根据题意得 为奇函数，利用奇函数的定义即可求解. 【详解】（1）因为偶函数的定义域是，所以，得到； 所以是偶函数，所以，所以， 所以. （2）令， 因为函数为偶函数，且为三次函数， 所以为奇函数，即， 所以， 即， 即， 所以，解得. 10．（26-27高一上·全国·课堂例题）若函数为奇函数，求的值. 【答案】 【详解】由题意得，则且， 因为为奇函数，其定义域关于原点对称， 所以，故， 又，即， 所以，则. 11．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）已知函数的定义域为，且为偶函数，则实数的值为（    ） A． B．3 C．2 D．6 【答案】C 【分析】结合函数图象平移变换得的图象关于直线对称，进而得，再解方程即可得答案. 【详解】因为为偶函数，所以图象关于直线对称， 因为的图象由图象向右平移1个单位得到， 所以，的图象关于直线对称， 所以，的定义域为区间中点等于对称轴横坐标,即，解得， 所以，实数的值为. 12．（25-26高二下·河北·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 【答案】B 【分析】利用定义域为的奇函数性质求出参数，借助奇函数对称性算出，代入等式求得，结合时的函数解析式解方程并舍去负根得到. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则. 因为是增函数，且当时，， 则当时，， 由，得， 所以，由，解得或（舍去）. 题型04 函数图象的识别、判断 13．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到为奇函数，图像关于原点对称，且时，可得，结合选项，即可求解. 【详解】由函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数，图像关于原点对称， 当时，可得，所以只有选项A的图像符合. 故选：A. 14．（25-26高二下·吉林长春·期末）函数的图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， 且， 函数为奇函数，A选项错误； 当时， ，函数单调递增，故BC选项错误. 故选：D. 15．（25-26高一上·广东广州·期中）（多选）下列图像中，可能是的图像的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】考虑，，三种情况，根据函数的奇偶性和单调性对比选项得到答案. 【详解】当时，，为反比例函数，A正确； 当时，是双勾函数，函数为奇函数，且时，在上单调递减，在上单调递增，D选项满足. 当时，为奇函数，且时，单调递减，故单调递减，C选项满足. 故选：ACD. 16．（2026高三·上海·专题练习）下列函数中，图像为下图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性可排除AC，利用可排除D. 【详解】由图象可知： 定义在上的偶函数， 对于AC，为非奇非偶函数，可排除AC； 对于D，当时，，与图象不符，可排除D； 对于B，，可知图象与函数相符，B正确. 故选：B. 【点睛】方法点睛：判断函数图象或根据图象选择解析式的问题，通常采用排除法来排除错误选项，进而得到正确结论，排除的依据有：①奇偶性；②特殊位置函数值的符号；③单调性. 题型05 利用单调性、奇偶性解不等式 17．（2027高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由以及函数奇偶性判断出函数在定义域上的单调性，再将不等式转化为或，结合即可求解． 【详解】已知是定义在上的偶函数，则， 因为对任意，且，都有， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 又因为，所以． 而等价为或， 根据函数的单调性，可知或， 解得或，即不等式的解集为． 18．（26-27高一上·湖南·期中）函数，满足. (1)求的解析式； (2)证明：在上为增函数； (3)解不等式：. 【答案】(1) (2)任取且， 则 ， 由，得，且，， 则 ，因此，即，所以在上为增函数. (3) 【分析】（1）代入即可求解， （2）根据单调性的定义即可求证， （3）根据函数的奇偶性以及单调性，即可列不等式求解. 【详解】（1）由且，得， 解得， 所以的解析式为. （2）略 （3）因为，， 故函数是定义在上的奇函数，且在上为增函数， 不等式， 因此 ，解得， 所以原不等式的解集为. 19．（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）已知奇函数是定义在上的严格减函数，若，则实数取值范围为_________． 【答案】 【详解】奇函数是定义在上的严格减函数， ，即， ，解得． 20．（26-27高一上·江苏·期中）已知函数为上的偶函数，，，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知，可得，构造函数，由其单调性和奇偶性即可求解. 【详解】由题意，，，则， 由，得， 即， 因为，，得， 设，则函数在上单调递增， 又，则， 则不等式，即， 即则，所以， 又函数为定义在上的偶函数， 在上是奇函数， 所以在上是奇函数， 所以函数在上单调递增，且 所以当时，不等式，即， 即.则，所以， 综上不等式的解集为. 题型06 抽象函数的奇偶性 21．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知定义域为的函数满足，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】ABC 【分析】给题中恒成立的等式赋值，对于A，令进行判断，对于B，令，赋值可求出的值，再令可求出的值，对于C，令进行判断，对于D，令，判断. 【详解】对于A，令，则，所以，所以A正确； 对于B，令，，得，所以， 令可得，所以，故B正确； 对于C，令，由得， 又因为函数的定义域为，所以为奇函数，所以C正确； 对于D，令，，得，所以，所以D错误. 22．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【分析】对进行赋值即可根据奇偶性的定义进行函数奇偶性的判断. 【详解】已知的定义域关于原点对称， 因为，， 故令时，则， 令时，， 令，时，， 所以，即 ，所以是偶函数， 又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数，故B正确. 23．（25-26高一下·浙江衢州·期末）（多选）定义在上的函数，满足当时，，且，，都有，下列说法正确的是（      ） A． B．是偶函数 C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】令可判断A；令结合函数奇偶性的定义可判断B；令，可得，然后通过换元法证明（成立），结合奇函数的性质可判断C；先利用定义法证明函数的单调性，然后把不等式变形为，最后利用函数单调性解不等式可判断D . 【详解】令，可得，故A正确； 令，可得，因为不恒等于0，结合可得： ，即，所以是奇函数，又不恒等于0， 所以不是偶函数，故B错误； 令，可得， 令，则原式变形为： ， 对任意，令，得， 替换为得，即（成立）； 当时，对等式用替换，替换可得： ，由奇函数的性质可得， 即（成立）； 当一个非负数一个负数时，不妨设，， 对等式用替换可得， 再用替换得，即（成立）； 故对所有成立，C正确； 是奇函数且满足得： 若，则，因为当时，， 所以，即，所以是上的增函数， 由得： ， 由增函数性质得，即，故D正确. 24．（26-27高一上·河南·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数． (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式 【答案】(1)1 (2)因为的定义域为，， 令，得， 即，所以函数为偶函数． (3) 【分析】（1）令，求得，再令，求得； （2）令，根据偶函数定义证明； （3）利用偶函数性质将不等式变形为，再根据单调性求解． 【详解】（1）由，令，得，得， 令，得，解得. （2）略. （3）不等式， 即， ， 由（2）知为偶函数，得， 又是区间上的递增函数， ，解得或， 所以不等式的解集为. 题型07 函数奇偶性的应用 25．（26-27高一上·河南·期中）已知是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的性质得，由在R上单调递增，可得时，；时，；结合不等式及一元二次不等式的解法，求解即可. 【详解】由函数是定义在R上的奇函数，则， 令，得，所以， 又在R上单调递增， 所以当时，；当时，； 等价于 或 ， 由可得，由可得， 所以或， 则不等式的解集为. 26．（2027高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，并对一切实数，都满足． (1)证明：函数的图象关于直线对称； (2)若是偶函数，且时，，求时，的表达式． 【答案】(1)证明：设是函数图象上任一点，则，点关于直线的对称点为， 因为 ， 所以也在的图象上， 所以函数的图象关于直线对称． (2) 【详解】（1）略 （2）当时，，所以． 又因为为偶函数， 所以，． 当时，， 所以， 而， 所以，， 所以 27．（26-27高三上·江西宜春·阶段检测）（多选）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】令，得到，且，可判定B正确；令，求得，可判定A正确；由，用代换，得到，联立方程组求得恒成立，可判定C错误；由为奇函数，和，求得，进而可判定D正确. 【详解】由题意知：对于任意，都有， 对于B，令，可得左边， 右边， 令，可得，即，可得， 代入上式，可得，整理得，所以B正确； 对于A，令，可得， 即， 由，且，可得， 代入上式得，左边， 右边， 即，所以，所以A正确； 对于C，由，可得， 将上式中替换为，可得， 联立方程组，可得， 整理得， 当时，可得，且， 所以，恒成立， 所以函数为奇函数，不是偶函数，所以C不正确； 对于D，因为函数为奇函数，可得， 由选项A知：，所以，即， 因为，可得，所以， 当时，，且，所以对于任意都成立， 因为函数在上为单调递增函数，所以在上单调递增，所以D正确. 28．（25-26高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则________________. 【答案】4050 【分析】变形得到，，得到为奇函数，则，故，故. 【详解】， 令，， 则，即为奇函数， 则， 由题意得，故 故答案为：4050. 题型08 奇偶函数对称性的应用 29．（25-26高二下·重庆·期末）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，结合，即可求解. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，可得， 又由函数是偶函数，其图象关于轴对称，可得的图象关于对称， 即，所以，即， 因为，可得. 30．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【详解】由是奇函数，则， 所以， 所以的图象关于对称，则， . 31．（25-26高一上·青海海东·期末）已知定义在上的函数满足对任意实数x，y，均有，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用赋值法求得，再判断的奇偶性，利用对称性求函数的最大值即可. 【详解】令，则， 令，则，而， 所以，则，即， 所以，则， 所以为奇函数且定义域为R，则时， 当且仅当时取等号，则在上的最大值为， 结合奇函数的对称性，知在R上的最大值为. 故选：D 32．（26-27高一上·全国·课后作业）研究下列函数的对称性： （1）若是奇函数，则图象的对称中心是______； （2）若是奇函数，则图象的对称中心是______； （3）若是奇函数，则图象的对称中心是______； （4）若是偶函数，则图象的对称轴是______； （5）若是偶函数，则图象的对称轴是______； （6）若是偶函数，则图象的对称轴是______； （7）若是奇函数，则图象的对称中心是______； （8）若是奇函数，则图象的对称中心是______； （9）若是奇函数，则图象的对称中心是______； （10）若是偶函数，则图象的对称轴是______； （11）若是偶函数，则图象的对称轴是______； （12）若是偶函数，则图象的对称轴是______； （13）若的图象关于点对称，则图象的对称中心是______； （14）若的图象关于直线对称，则图象的对称轴是______； （15）的图象关于直线______对称； （16）的图象关于点______对称． 【答案】 【分析】特例法，若题设条件是奇函数，则令；若题设条件是偶函数，则令，逐一验证即可求解； 严格推理的方法，利用对称性的定义验证，若，对称轴为，若，则对称中心为，逐一验证即可求解. 【详解】破招方法1：用特例法，若题设条件是奇函数，则令；若题设条件是偶函数，则令， （1）令，再令，则，所以图象的对称中心为． （2）若是奇函数，则，令，则，所以图象的对称中心为； （3）若是奇函数，则，令，则，所以，则图象的对称中心为； （4）若是偶函数，则，令，则，则图象的对称轴是； （5）若是偶函数，则，令，则，图象的对称轴是； （6）若是偶函数，则，则，则，则图象的对称轴是； （7）若是奇函数，则，令，则，则，则图象的对称中心是； （8）若是奇函数，则，令，则，则，则图象的对称中心是； （9）若是奇函数，则，令，则，则，则图象的对称中心是； （10）若是偶函数，则，令，则，则，则图象的对称轴是； （11）若是偶函数，则，则，则，则图象的对称轴是； （12）若是偶函数，则，则，则，则图象的对称轴是； 破招方法2：用严格推理的方法， （13）若的图象关于点对称，令，所以， 即， 所以的图象关于点中心对称； （14）若的图象关于直线对称，则，则，即，则图象的对称轴是； （15），则，则，则的图象关于直线对称； （16），则，则，则的图象关于点对称 故答案为：，，，，，，，，，，，，，，，. 1．（26-27高二上·广东茂名·开学考试）已知奇函数在上单调递减，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知奇函数在上单调递减， 对于A，，，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，，C错误； 对于D，，，，D错误． 2．（26-27高一上·全国·期中）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得函数的定义域为. ， 且， 为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故排除D； 又且时，，故排除C； 当时，，故A不正确，B正确. 3．（26-27高一上·北京·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】偶函数在 单调递减，则在单调递增. 由和偶函数性质得. 由可得以下两种情况： ① 时： ② 时： 所以不等式的解集为. 4．（26-27高三上·天津·期中）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性对选项逐一判断即可. 【详解】易知选项ABCD中的函数定义域即为； 因为是奇函数，是偶函数，所以， 对于A，因为，故是奇函数，即A错误； 对于B，因为，故是偶函数，即B错误； 对于C，，故是奇函数，即C正确； 对于D，，故是偶函数，即D错误. 5．（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）已知定义在上的偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为偶函数，且在上单调递增，所以，解得，故选B. 6．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，，当时，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以，且，因为，所以①， 为偶函数，所以②， 当时，，由①②得，， 解得，. 7．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知函数的定义域为，对任意的，，都有，且当时，，则下列说法错误的是（     ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】C 【分析】通过特殊值法，可判断AB选项，根据函数单调性定义即可判断C选项，根据函数单调性和抽象函数性质，即可判断D选项. 【详解】对于A选项，令，因此，则，故A选项正确； 对于B选项，令，则，且定义域关于原点对称，故B选项正确； 对于C选项，设，则， 则，，所以， 由题意得，，即， 故函数单调递减，则C选项错误； 对于D选项，根据定义域要求，，解得， 对于原不等式， 因为函数为奇函数且单调递减，故，解得， 故D选项正确； 8．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是减函数，那么在上是（     ） A．增函数 B．减函数           C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 【答案】A 【分析】先由题设求出函数的周期，接着由函数对称性和单调性即可分析求解. 【详解】由题可得， 所以是周期为2的函数，又函数是定义域为的偶函数， 所以函数图象关于y轴对称，则由周期为2可得函数关于直线对称， 因为在上是减函数，则在上是增函数， 所以由函数周期为2可得在上的单调性与在上的单调性相同，则在上是增函数. 故选：A 9．（26-27高一上·全国·期中）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】BCD 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断AB选项；利用基本初等函数的单调性可判断CD选项. 【详解】由题可知，的定义域为R，的定义域为， 对于AC选项，，函数的定义域为， 因为，函数为偶函数， 函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误，C正确； 对于BD选项，；定义域为， ， 函数为奇函数， 因为函数、在上也为增函数， 所以函数在上也为增函数，故B正确，D正确. 10．（26-27高一上·安徽·期中）（多选）已知均是定义域为的非常值函数，且满足，，则（ ） A． B． C． D．为奇函数 【答案】ACD 【分析】根据题意，令，求得，可判定A正确；令，求得，可判定B错误；令，得到 ，可判定C正确；令，得到分别令和，结合函数奇偶性的性质，可判定D正确． 【详解】对于A，令，则有， 两式相减可得 ，所以，正确； 对于B，令，有， 因为不是常函数，所以，错误； 对于C，令，有 ，所以 ， 所以，正确； 对于D，两式相加，可得， 令，则有，可得，所以是偶函数， 因为， 令，可得，整理得， 又因为， 令，可得，所以 ， 当时，可得，即， 当时，由C知： ，可得 ， 因为是偶函数，可得 ， 又因为 ，可得 ，即， 所以，即， 综上可得，函数满足，所以为奇函数； 因为奇函数与偶函数的乘积是奇函数，所以是奇函数，正确． 11．（2026·重庆·模拟预测）（多选）已知函数，则（    ） A． B． C．当时， D．，不等式恒成立 【答案】BCD 【分析】利用不等式的基本性质求出的值域，可判断A选项；代入验算可判断BC选项；利用函数的单调性与奇偶性的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，， 因为，则，可得，所以，所以A错误； 对于B选项，函数的定义域为，，所以B正确； 对于C选项，，所以C正确； 对于D选项，因为 ，故该函数在单调递减， 又由B知该函数为偶函数，且，即， 所以，所以D正确. 12．（25-26高一上·山东泰安·期末）（多选）已知函数对任意，总有，当时，，若，则下列选项正确的是（   ） A． B．为奇函数 C． D．在上的最小值为-6 【答案】BCD 【分析】令，得到，再令，求得，令，求得，可判定A错误；令，结合奇偶性的定义，可判定B正确；令，得到，递推得到， ， 进而推得，可判断C正确；根据单调性的定义，证得在上为减函数，得到在上的最小值为，结合递推关系，求得的值，可判定D正确. 【详解】对于A，令，可得，可得， 令，可得，即， 因为，令，可得，所以， 令，可得， 所以，所以A错误； 对于B，令，则， 因为，所以， 所以函数为奇函数，即为奇函数，所以B正确； 对于C，令，可得，即（*）， 由，可得， 将（*）代入上式，整理得（**）， 又由，可得， 将（**）代入上式，整理得，所以C正确； 对于D，设且，则， 因为当时，，所以， 又由， 则，即， 所以函数在上为减函数，所以在上的最小值为， 则 ， 因为，所以，所以D正确. 故选：BCD. 13．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数且，则的值为________. 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以， 所以 . 14．（2026高一上·全国·专题练习）若为奇函数，则关于________对称，则关于________对称； 【答案】 【分析】根据奇函数的对称性通过图象变换得到①和②即可. 【详解】因为为奇函数，关于对称， 将向左平移个单位得到，则关于对称； 将图象的横坐标扩大为原来的倍得到，则关于对称. 因为，所以关于对称. 15．（26-27高一上·全国·期中）已知函数和的定义域均为，且满足，． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若的图象关于直线对称，求，并证明：的图象关于点成中心对称图形． 【答案】(1)， (2)为奇函数 (3)， 思路1： 由（2）得，所以， 从而， 由，得， 由，得， 所以，即， 因此的图象关于点成中心对称图形． 思路2：由，得， 因为，所以， 即③， 由的图象关于直线对称，得， 由（2）得，所以， 由，得， 因为，所以④， 联立③④，得， 从而， 可得，即， 由，得， 因此的图象关于点成中心对称图形． 【分析】（1）赋值得，，联立两式即可求解； （2）根据已知结合奇函数定义证明即可； （3）根据对称性和已知求得，只需证明或即可． 【详解】（1）将代入，得①， 将代入，得②， 联立①②，解得，； （2）由，得， 由，得， 所以， 又的定义域为，所以为奇函数； （3）思路1：由，且的图象关于直线对称， 则， 又，所以，从而， 证明略． 思路2：证明略， 由，得，所以． 16．（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）设函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数的定义求解； （2）利用偶函数的定义求函数解析式； （3）分情况讨论对称轴与区间的位置关系求最值. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数， 且当时，， 则； （2）设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 所以； （3）当时，， 所以，对称轴为， 当时，； 当时，即时，； 当时，即时，； 综上所述，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 函数奇偶性-重难点题型精讲 知识点01：函数的奇偶性 1．偶函数 (1)定义：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数． (2)图象特征：图象关于y轴对称． 2．奇函数 (1)定义：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数． (2)图象特征：图象关于原点对称． 【注意】(1)奇、偶函数定义域的特点 由于f (x)和f (－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇、偶函数的对应关系的特点 ①奇函数有f (－x)＝－f (x)⇔f (－x)＋f (x)＝0⇔＝－1(f (x)≠0)； ②偶函数有f (－x)＝f (x)⇔f (－x)－f (x)＝0⇔＝1(f (x)≠0)． 【即学即练】 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； 知识点02：奇偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 【即学即练】 2．（26-27高一上·新疆·期中）若上的奇函数在上单调递减，且，则不等式解集为（ ） A． B． C． D． 知识点03：对称性 (1)轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ (2)点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ (3)拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 【即学即练】 3．（25-26高三上·福建宁德·阶段检测）已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 题型01 函数奇偶性的判断 1．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 2．（2026高一·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝x3＋x； （2）； （3）； （4） 3．（25-26高一上·山西朔州·期中）下列判断正确的为（    ） A．函数f(x)＝是奇函数 B．函数f(x)＝(1－x)是偶函数 C．函数f(x)＝1既是奇函数又是偶函数 D．函数f(x)＝是奇函数 4．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列各函数是否具有奇偶性 （1）、；（2）、； （3）、；（4）、， ； （5）、；（6）、. 题型02 利用奇偶性求解析式或求值 5．（26-27高一上·江苏·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·山东·期中）设函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则____________. 7．（26-27高三上·广东·阶段检测）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则__________． 8．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数是定义域为R的偶函数，当时，，则当时，的表达式为　________　. 题型03 利用奇偶性求参数 9．（26-27高一上·全国·课后作业）（1）函数是偶函数，且定义域是，求的值. （2）已知函数，若函数为偶函数，求的值. 10．（26-27高一上·全国·课堂例题）若函数为奇函数，求的值. 11．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）已知函数的定义域为，且为偶函数，则实数的值为（    ） A． B．3 C．2 D．6 12．（25-26高二下·河北·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 题型04 函数图象的识别、判断 13．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·吉林长春·期末）函数的图像为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·广东广州·期中）（多选）下列图像中，可能是的图像的是（    ） A． B． C． D． 16．（2026高三·上海·专题练习）下列函数中，图像为下图的是（    ） A． B． C． D． 题型05 利用单调性、奇偶性解不等式 17．（2027高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 18．（26-27高一上·湖南·期中）函数，满足. (1)求的解析式； (2)证明：在上为增函数； (3)解不等式：. 19．（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）已知奇函数是定义在上的严格减函数，若，则实数取值范围为_________． 20．（26-27高一上·江苏·期中）已知函数为上的偶函数，，，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 题型06 抽象函数的奇偶性 21．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知定义域为的函数满足，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．是奇函数 D． 22．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 23．（25-26高一下·浙江衢州·期末）（多选）定义在上的函数，满足当时，，且，，都有，下列说法正确的是（      ） A． B．是偶函数 C． D．若，则 24．（26-27高一上·河南·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数． (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式 题型07 函数奇偶性的应用 25．（26-27高一上·河南·期中）已知是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 26．（2027高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，并对一切实数，都满足． (1)证明：函数的图象关于直线对称； (2)若是偶函数，且时，，求时，的表达式． 27．（26-27高三上·江西宜春·阶段检测）（多选）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在上单调递增 28．（25-26高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则________________. 题型08 奇偶函数对称性的应用 29．（25-26高二下·重庆·期末）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 30．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 31．（25-26高一上·青海海东·期末）已知定义在上的函数满足对任意实数x，y，均有，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 32．（26-27高一上·全国·课后作业）研究下列函数的对称性： （1）若是奇函数，则图象的对称中心是______； （2）若是奇函数，则图象的对称中心是______； （3）若是奇函数，则图象的对称中心是______； （4）若是偶函数，则图象的对称轴是______； （5）若是偶函数，则图象的对称轴是______； （6）若是偶函数，则图象的对称轴是______； （7）若是奇函数，则图象的对称中心是______； （8）若是奇函数，则图象的对称中心是______； （9）若是奇函数，则图象的对称中心是______； （10）若是偶函数，则图象的对称轴是______； （11）若是偶函数，则图象的对称轴是______； （12）若是偶函数，则图象的对称轴是______； （13）若的图象关于点对称，则图象的对称中心是______； （14）若的图象关于直线对称，则图象的对称轴是______； （15）的图象关于直线______对称； （16）的图象关于点______对称． 1．（26-27高二上·广东茂名·开学考试）已知奇函数在上单调递减，则（ ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·期中）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·北京·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·天津·期中）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 5．（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）已知定义在上的偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，，当时，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 7．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知函数的定义域为，对任意的，，都有，且当时，，则下列说法错误的是（     ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 8．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是减函数，那么在上是（     ） A．增函数 B．减函数           C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 9．（26-27高一上·全国·期中）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 10．（26-27高一上·安徽·期中）（多选）已知均是定义域为的非常值函数，且满足，，则（ ） A． B． C． D．为奇函数 11．（2026·重庆·模拟预测）（多选）已知函数，则（    ） A． B． C．当时， D．，不等式恒成立 12．（25-26高一上·山东泰安·期末）（多选）已知函数对任意，总有，当时，，若，则下列选项正确的是（   ） A． B．为奇函数 C． D．在上的最小值为-6 13．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数且，则的值为________. 14．（2026高一上·全国·专题练习）若为奇函数，则关于________对称，则关于________对称； 15．（26-27高一上·全国·期中）已知函数和的定义域均为，且满足，． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若的图象关于直线对称，求，并证明：的图象关于点成中心对称图形． 16．（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）设函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $